Tổng quan luận án

Lý thuyết điểm bất động là một bộ phận trọng yếu của giải tích hàm phi tuyến, cung cấp công cụ cơ bản để khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của các phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình hàm, hệ động lực cũng như các bài toán cân bằng trong kinh tế và lý thuyết trò chơi. Kể từ nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) trên không gian mêtric đầy đủ, hướng nghiên cứu điểm bất động mêtric phát triển theo ba mạch song hành: nới lỏng và mở rộng các điều kiện co của ánh xạ; mở rộng cấu trúc không gian nền; và tìm kiếm các ứng dụng mới.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định xuất phát từ ba vấn đề thời sự:

  1. Lớp ánh xạ $T$-co do S. Omid đề xuất năm 2010 đã mở ra hướng tiếp cận mới trong không gian mêtric, tuy nhiên các điều kiện co kinh điển như co kiểu Meir-Keeler, tựa co Ciric và $(\psi, \phi)$-co yếu chưa được thiết lập một cách hệ thống cho lớp ánh xạ $T$-co này.
  2. Cấu trúc không gian mêtric riêng do S. Matthew đề xuất năm 1992 cho phép khoảng cách tự thân $p(x, x)$ có thể nhận giá trị dương. Do đó, các tiên đề và kỹ thuật chứng minh giải tích chuẩn tắc trên không gian mêtric thông thường không thể chuyển giao trực tiếp sang không gian mêtric riêng. Vấn đề đặt ra là phải xây dựng các kỹ thuật chứng minh mới để thiết lập định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric riêng.
  3. Khái niệm điểm bất động bộ đôi của ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn (T. Lakshmikantham, 2006) và khái niệm ánh xạ $F$-co (D. Wardowski, 2012) chưa được kết hợp và mở rộng trên lớp không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận nhằm giải quyết các bài toán ứng dụng cụ thể.

Mục đích nghiên cứu của luận án:

  1. Mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian: không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận.
  2. Tìm hiểu ứng dụng của các kết quả lý thuyết thu được trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận; các lớp ánh xạ co suy rộng ($T$-co, Meir-Keeler, tựa co Ciric, $(\psi, \phi)$-co yếu, $F$-co); điểm bất động và điểm bất động bộ đôi; một số lớp phương trình tích phân.
  • Phạm vi nghiên cứu: Các định lý điểm bất động và điểm bất động bộ đôi đối với các ánh xạ trong không gian mêtric và không gian mêtric riêng; ứng dụng vào bài toán tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm và bài toán cân bằng không cộng tác hai người chơi trong lý thuyết trò chơi.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết điểm bất động khởi nguồn từ ba định lý nền tảng: Định lý điểm bất động Brouwer (1911) cho hướng tôpô, Định lý điểm bất động Banach (1922) cho hướng mêtric, và Định lý điểm bất động Tarski (1955) cho hướng rời rạc. Đối với hướng mêtric, việc mở rộng điều kiện co đã hình thành nên nhiều lớp ánh xạ tiêu biểu được ghi nhận trong y văn:

  • Ánh xạ co Kannan (1968), Boyd-Wong (1969), Meir-Keeler (1969), Reich (1971), Ciric (1971, 1974), Zamfirescu (1972), Hardy - Rogers (1973), Berinde (2004). Cùng với đó là các dạng ánh xạ co suy rộng như $\Phi$-co, co yếu, tựa co, hầu co.
  • Về mở rộng không gian, các cấu trúc tương tự không gian mêtric đã được nghiên cứu gồm không gian mêtric suy rộng, không gian 2-mêtric, không gian mêtric nón, không gian $b$-mêtric. Đặc biệt, năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S. Matthew đã xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng.
  • Về lớp ánh xạ $T$-co, S. Omid (2010) đưa ra định nghĩa ánh xạ $S$ được gọi là $T$-co trên không gian mêtric $(X, d)$ nếu tồn tại $k \in [0, 1)$ sao cho $d(TSx, TSy) \le k d(Tx, Ty)$ với mọi $x, y \in X$.
  • Về lớp ánh xạ $(\psi, \phi)$-co yếu, D. Doric (2009) đã chứng minh kết quả về điểm bất động chung của hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện co yếu liên quan đến các hàm điều khiển $\psi \in \Psi$ và $\phi \in \Phi$.
  • Về điểm bất động bộ đôi và $F$-co, T. Lakshmikantham (2006) giới thiệu khái niệm điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận. Năm 2012, D. Wardowski đưa ra khái niệm ánh xạ $F$-co dựa trên bất đẳng thức $\tau + F(d(Tx, Ty)) \le F(d(x, y))$. Vetro (2011, 2012) đã mở rộng lớp ánh xạ này cho các ánh xạ đa trị trên không gian mêtric và không gian mêtric riêng.
Hướng nghiên cứu tiền đề Tác giả tiêu biểu và năm Kết quả nền tảng Hướng mở rộng của luận án
Ánh xạ $T$-co S. Omid (2010) Điểm bất động cho ánh xạ $T$-co tuyến tính Mở rộng sang $T$-co kiểu Meir-Keeler, tựa co Ciric và $(\psi, \phi)$-co yếu
Co yếu với hàm kiểm soát D. Doric (2009) Điểm bất động chung của hai ánh xạ $(\psi, \phi)$-co yếu Thiết lập dạng $T$-co trên không gian mêtric và mở rộng lên không gian mêtric riêng
Không gian mêtric riêng S. Matthew (1992, 1994) Xây dựng không gian và nguyên lý co Banach Thiết lập định lý cho ánh xạ co suy rộng kiểu Hardy-Rogers và co yếu
Điểm bất động trên mêtric riêng I. Simsek (2010), D. Rakocevic (2011) Điểm bất động cho ánh xạ kiểu Hardy-Rogers, mở rộng Banach Mở rộng điều kiện co suy rộng với hệ số suy rộng trên tập $X_p$
Điểm bất động bộ đôi và $F$-co T. Lakshmikantham (2006), D. Wardowski (2012) Điểm bất động bộ đôi mêtric sắp thứ tự; Ánh xạ $F$-co Xây dựng điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ kiểu $F$-co trên mêtric riêng có thứ tự bộ phận

Khoảng trống học thuật mà luận án lựa chọn giải quyết là: tổng quát hóa các điều kiện co thông qua việc phối hợp toán tử phụ $T$ (đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy); khắc phục khó khăn giải tích khi $p(x, x) \ne 0$ trong không gian mêtric riêng bằng các bổ đề đánh giá dãy lặp và hàm khoảng cách $R_x$; và tích hợp khái niệm $F$-co vào bài toán điểm bất động bộ đôi trên cấu trúc thứ tự bộ phận nhằm phục vụ trực tiếp bài toán nghiệm phương trình tích phân phi tuyến và bài toán cân bằng trò chơi.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án vận dụng các cơ sở lý thuyết giải tích hàm và lý thuyết mêtric sau:

  1. Khái niệm ánh xạ $T$-co và tính chất hội tụ dãy: Cho không gian mêtric $(X, d)$ và các ánh xạ $T, S: X \to X$. Ánh xạ $T$ được gọi là hội tụ dãy (sequentially convergent) nếu với bất kỳ dãy ${y_n} \subset X$ mà dãy ${Ty_n}$ hội tụ thì bản thân dãy ${y_n}$ hội tụ. Khi $Tx = x$ với mọi $x \in X$, các kết quả trên ánh xạ $T$-co trở về kết quả mêtric cổ điển.

  2. Cấu trúc không gian mêtric riêng (Partial Metric Space): Theo S. Matthew, mêtric riêng trên tập $X$ là ánh xạ $p: X \times X \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn các tiên đề với mọi $x, y, z \in X$:

  • $p(x, x) \le p(x, y)$ (bất đẳng thức tự thân);
  • $x = y \iff p(x, x) = p(x, y) = p(y, y)$;
  • $p(x, y) = p(y, x)$ (tính đối xứng);
  • $p(x, y) \le p(x, z) + p(z, y) - p(z, z)$ (bất đẳng thức tam giác suy rộng).

Từ mêtric riêng $p$, hai mêtric thông thường tương đương được xác định:

  • $p_s(x, y) = 2p(x, y) - p(x, x) - p(y, y)$;
  • $p_m(x, y) = \max{p(x, y) - p(x, x), p(x, y) - p(y, y)}$.

Tôpô $\tau_p$ trên $X$ được sinh bởi cơ sở các hình cầu mở $B_p(x, \varepsilon) = {y \in X : p(x, y) < p(x, x) + \varepsilon}$. Không gian $(X, \tau_p)$ là một $T_0$-không gian. Dãy ${x_n}$ hội tụ tới $x$ khi và chỉ khi $p(x, x) = \lim_{n \to \infty} p(x_n, x)$. Dãy ${x_n}$ là dãy Cauchy khi $\lim_{n, m \to \infty} p(x_n, x_m)$ tồn tại hữu hạn; và là dãy $0$-Cauchy nếu giới hạn đó bằng $0$. Không gian $(X, p)$ đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy hội tụ theo $\tau_p$.

  1. Các lớp hàm điều khiển $\Psi$ và $\Phi$:
  • Họ $\Psi$ gồm các hàm $\psi: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ liên tục, không giảm, và $\psi(t) = 0 \iff t = 0$.
  • Họ $\Phi$ gồm các hàm $\phi: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ nửa liên tục dưới, và $\phi(t) = 0 \iff t = 0$.
  1. Khung lý thuyết ánh xạ $F$-co: Họ $\mathcal{F}$ gồm các hàm $F: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $(F_1)$ $F$ tăng ngặt và liên tục; $(F_2)$ liên quan đến hành vi giới hạn của dãy số dương.

Phương pháp nghiên cứu:

  • Luận án sử dụng thuần túy phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và lý thuyết điểm bất động.
  • Kỹ thuật giải tích định tính bao gồm: xây dựng các dãy lặp Picard biến tính thông qua toán tử $T$; thiết lập các đánh giá quy nạp cho đường kính quỹ đạo hữu hạn $\delta(O(Tx, n))$; sử dụng bổ đề chặn trên bởi bán kính $R_x$; khử thành phần mêtric riêng tự thân $p(x_n, x_n)$ thông qua giới hạn trên $\limsup$; và chứng minh tính duy nhất thông qua tính đơn ánh của toán tử.
  • Nguồn tư liệu: Các công trình nghiên cứu công bố trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành toán học phân tích phi tuyến và kỷ yếu hội nghị toán học.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Điểm bất động của một số ánh xạ T -co suy rộng trong không gian mêtric

Chương 1 mở rộng các định lý điểm bất động trên không gian mêtric đầy đủ sang lớp ánh xạ $T$-co cho ba dạng điều kiện co suy rộng:

  1. Ánh xạ $T$-co kiểu Meir-Keeler: Thiết lập Định lý 1.5 (và mở rộng tại Định lý 1.8): Cho $(X, d)$ là không gian mêtric đầy đủ, $T: X \to X$ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy. Giả sử ánh xạ $S: X \to X$ thỏa mãn: với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho: $$\varepsilon \le d(Tx, Ty) < \varepsilon + \delta \implies d(TSx, TSy) < \varepsilon, \quad \forall x, y \in X$$ Khi đó $S$ có duy nhất điểm bất động $z \in X$ và $\lim_{n \to \infty} T^n x = z$ (hoặc $\lim_{n \to \infty} S^n x = z$).
  • Quá trình chứng minh dựa trên việc xét dãy lặp $x_{n+1} = S x_n$, $y_n = T x_n$. Luận án chứng minh dãy ${d(y_n, y_{n+1})}$ giảm ngặt về $0$, từ đó suy ra ${y_n}$ là dãy Cauchy. Nhờ tính đầy đủ của $X$ và tính hội tụ dãy của $T$, dãy ${x_n}$ hội tụ về điểm bất động duy nhất.
  • Ví dụ 1.1 minh họa tính mở rộng thực sự: Xét $X = [1, 8]$ với mêtric Euclid, $Sx = \frac{8}{\sqrt{x}}$, chọn $Tx = \ln x + 1$. Tại $\varepsilon_0 = 3$, ánh xạ $S$ không thỏa mãn điều kiện Meir-Keeler thông thường, nhưng thỏa mãn điều kiện $T$-co Meir-Keeler với $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$.
  • Định lý 1.8 tiếp tục tổng quát hóa cho hàm $M_T(x, y) = \max{d(Tx, Ty), d(Tx, TFx), d(Ty, TFy), \frac{1}{2}[d(Tx, TFy) + d(Ty, TFx)]}$.
  1. Ánh xạ $T$-co kiểu tựa co Ciric: Thiết lập Định lý 1.6: Giả sử tồn tại $q \in [0, 1)$ sao cho: $$d(TSx, TSy) \le q \max{d(Tx, Ty), d(Tx, TSx), d(Ty, TSy), d(Tx, TSy), d(Ty, TSx)}$$ với mọi $x, y \in X$, và mọi dãy Cauchy dạng ${TS^n x}$ đều hội tụ trong $X$.
  • Luận án chứng minh:
    • (i) $d(TS^i x, TS^j x) \le q \delta(O(Tx, n))$ với mọi $i, j \in {1, \dots, n}$;
    • (ii) $\delta(O(Tx, \infty)) \le \frac{1}{1-q} d(Tx, TSx)$;
    • (iii) $S$ có điểm bất động duy nhất $b \in X$;
    • (iv) $\lim_{n \to \infty} TS^n x = Tb$.
  • Hệ quả 1.7 suy rộng cho trường hợp điều kiện tựa co bậc $k$ ($S^k$) và điều kiện tổng tuyến tính 5 hệ số $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 1$.
  • Ví dụ minh họa: $X = \mathbb{R}^+$, $Sx = \frac{x^2}{x+1}$, không thỏa mãn điều kiện tựa co Ciric thông thường, nhưng thỏa mãn điều kiện $T$-co với $Tx = e^x - 1$ và $q = \frac{1}{2}$.
  1. Điểm bất động chung của các ánh xạ $T$-co kiểu $(\psi, \phi)$-co yếu: Thiết lập Định lý 1.2: Cho $(X, d)$ đầy đủ, $T$ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy. Cho hai ánh xạ $f, g: X \to X$ thỏa mãn: $$\psi(d(Tfx, Tgy)) \le \psi(M(Tx, Ty)) - \phi(M(Tx, Ty))$$ với $\psi \in \Psi, \phi \in \Phi$, trong đó: $$M(Tx, Ty) = \max\left{d(Tx, Ty), d(Tx, Tfx), d(Ty, Tgy), \frac{d(Tx, Tgy) + d(Ty, Tfx)}{2}\right}$$
  • Luận án chứng minh $f$ và $g$ có duy nhất một điểm bất động chung.
  • Ví dụ 1.5 chứng minh tính mở rộng so với định lý Doric (2009): Xét $X = [1, +\infty)$, $fx = gx = 4\sqrt{x}$, vi phạm điều kiện Doric tại $x=4, y=1$, nhưng thỏa mãn điều kiện của luận án khi chọn $Tx = \ln x + 1$, $\psi(t)=t$, $\phi(t)=\frac{t}{3}$.

Chương 2: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng

Chương 2 giải quyết bài toán điểm bất động khi không gian nền mang cấu trúc mêtric riêng $(X, p)$:

  1. Đặc trưng giải tích của không gian mêtric riêng:
  • Phân tích sự khác biệt cốt lõi: trong không gian mêtric riêng, dãy hội tụ có thể không là dãy Cauchy và giới hạn của dãy hội tụ có thể không duy nhất. Minh chứng qua ví dụ: $X = \mathbb{R}^+$, $p(x, y) = \max{x, y}$, dãy $x_n = 0$ khi $n$ chẵn và $x_n = 1$ khi $n$ lẻ, hội tụ tới mọi điểm $x \ge 1$ nhưng $\lim_{n, m \to \infty} p(x_n, x_m)$ không tồn tại.
  • Phân biệt tính đầy đủ và $0$-đầy đủ: Không gian $(\mathbb{Q}^+, p)$ với $p(x, y) = \max{x, y}$ là $0$-đầy đủ nhưng không đầy đủ.
  1. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng: Mở rộng kết quả của I. Simsek (2010) và D. Rakocevic (2011), luận án thiết lập Định lý 2.12 và Hệ quả 2.13 cho ánh xạ $T: X \to X$ thỏa mãn điều kiện co suy rộng: $$p(Tx, Ty) \le \max\left{ a p(x, y), b p(x, Tx), c p(y, Ty), \frac{d}{2}[p(x, Ty) + p(y, Tx)], p(x, x), p(y, y) \right}$$ với $a, b, c \in [0, 1)$ và $d \in [0, \frac{1}{2})$. Đặt $L = \max{a, b, c, 2d} < 1$.
  • Các kết quả bổ trợ cốt lõi:
    • Bổ đề 2.4: Đánh giá quy nạp số mũ $p(x_m, x_n) \le L^k p(x_{i_0}, x_{j_0})$ khi khoảng cách các phần tử lớn hơn khoảng cách tự thân tại các bước trước đó.
    • Bổ đề 2.5: Đặt $R_x = \frac{1}{1-L} p(x, Tx) + p(x, x)$, chứng minh bán kính quỹ đạo $d_m = \max{p(x_i, x_j) : 0 \le i, j \le m} \le R_x$ với mọi $m$.
    • Chứng minh giới hạn: $\lim_{n \to \infty} p(x_{n+1}, x_n) = \limsup_{n \to \infty} p(x_n, x_n) = r$.
  • Kết luận định lý: Tập $X_p = {x \in X : p(x, x) = \inf_{y \in X} p(y, y)}$ là tập khác rỗng và tồn tại duy nhất phần tử $u \in X_p$ sao cho $Tu = u$.
  1. Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu $(\psi, \phi)$-co yếu: Mục 2.3 thiết lập Định lý 2.7 và Hệ quả 2.8 khẳng định sự tồn tại và duy nhất điểm bất động chung của hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện $(\psi, \phi)$-co yếu trên không gian mêtric riêng, kèm theo Ví dụ 2.6 chứng minh tính mở rộng.

Chương 3: Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và ứng dụng

Chương 3 kết hợp cấu trúc mêtric riêng, quan hệ thứ tự bộ phận và điều kiện co kiểu $F$-co của Wardowski, đồng thời hiện thực hóa các ứng dụng giải tích:

  1. Lý thuyết điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ kiểu $F$-co:
  • Cho không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận $(X, p, \le)$. Ánh xạ $F: X \times X \to X$ được giả thiết có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone property). Phần tử $(x, y) \in X \times X$ được gọi là điểm bất động bộ đôi nếu $F(x, y) = x$ và $F(y, x) = y$.
  • Thiết lập Định lý 3.7 và Hệ quả 3.6 chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của điểm bất động bộ đôi cho lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện $F$-co suy rộng trên không gian mêtric riêng sắp thứ tự bộ phận.
  1. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến:
  • Khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm có dạng: $$x(t) = \int_a^b K(t, s, x(s)) ds + g(t), \quad t \in [a, b]$$
  • Luận án đưa vào khái niệm cặp nghiệm bộ đôi trên và dưới (coupled lower and upper solutions). Bằng cách thiết lập không gian mêtric riêng thích hợp trên không gian các hàm liên tục $C([a, b])$ và áp dụng Định lý 3.7, luận án chứng minh nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến tồn tại và duy nhất.
  1. Ứng dụng vào lý thuyết trò chơi:
  • Khảo sát bài toán cân bằng không cộng tác trong trò chơi gồm hai người chơi. Không gian chiến lược của mỗi người chơi được trang bị cấu trúc thứ tự và mêtric riêng.
  • Chuyển bài toán tìm điểm cân bằng Nash của trò chơi về bài toán tìm điểm bất động bộ đôi của toán tử phản ứng tốt nhất. Luận án chứng minh sự tồn tại điểm bất động bộ đôi kéo theo sự tồn tại điểm cân bằng không cộng tác của mô hình trò chơi.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp mới về lý luận và thực tiễn:

  1. Đóng góp về lý luận:
  • Thiết lập thành công các định lý điểm bất động duy nhất cho lớp ánh xạ $T$-co kiểu Meir-Keeler (Định lý 1.5, 1.8), tựa co Ciric (Định lý 1.6, Hệ quả 1.7) và điểm bất động chung của ánh xạ $T$-co kiểu $(\psi, \phi)$-co yếu (Định lý 1.2) trong không gian mêtric đầy đủ, mở rộng các kết quả kinh điển của Meir-Keeler (1969), Ciric (1974), Doric (2009) và Zhang - Song (2009).
  • Thiết lập định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric riêng đầy đủ (Định lý 2.12, Hệ quả 2.13), khắc phục rào cản $p(x, x) > 0$ và mở rộng kết quả của D. Rakocevic (2011) cùng I. Simsek (2010). Thiết lập định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ $(\psi, \phi)$-co yếu trong không gian mêtric riêng (Định lý 2.7, Hệ quả 2.8).
  • Xây dựng định lý về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ kiểu $F$-co trên không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận (Định lý 3.7, Hệ quả 3.6), mở rộng nguyên lý của D. Wardowski (2012) và T. Lakshmikantham (2006).
  1. Đóng góp về ứng dụng thực tiễn:
  • Đưa ra tiêu chuẩn bảo đảm sự tồn tại duy nhất nghiệm cho lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm thông qua phương pháp nghiệm bộ đôi trên và dưới.
  • Áp dụng kết quả điểm bất động bộ đôi để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng không cộng tác trong mô hình lý thuyết trò chơi với hai người chơi.
  1. Minh chứng công bố khoa học: Toàn bộ kết quả chính của luận án được công bố qua 07 công trình khoa học (trong đó có 04 bài báo đã xuất bản trong danh mục ISI và 01 bài báo đã được nhận đăng trong danh mục ISI), gồm:
  • Arab Journal of Mathematical Sciences (2012);
  • Abstract and Applied Analysis (2012);
  • International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (2012);
  • Mathematical and Computer Modelling;
  • Journal of Nonlinear Science and Applications;
  • Bulletin of the Iranian Mathematical Society;
  • Journal of Inequalities and Applications. Đồng thời, các nội dung đã được báo cáo tại Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp tại Huế (2012) và Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang (2013).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ vào phạm vi và nội dung văn bản trình bày:

  • Về cấu trúc không gian: Luận án mới tập trung khảo sát trên không gian mêtric, không gian mêtric riêng và không gian mêtric riêng sắp thứ tự bộ phận; chưa mở rộng sang các cấu trúc không gian tổng quát hơn như không gian $b$-mêtric riêng, không gian mêtric nón riêng hay không gian mêtric mờ.
  • Về phạm vi bài toán tích phân: Ứng dụng giải tích dừng lại ở lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm thông qua kỹ thuật nghiệm bộ đôi trên và dưới; chưa xét tới phương trình tích phân Volterra, phương trình tích phân kỳ dị hoặc hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên.
  • Về lý thuyết trò chơi: Mô hình cân bằng không cộng tác mới chỉ áp dụng cho trường hợp hữu hạn hai người chơi; chưa mở rộng cho mô hình trò chơi $N$ người chơi ($N \ge 3$) hoặc trò chơi với không gian chiến lược vô hạn chiều tổng quát.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và sinh viên ngành Toán giải tích, giải tích hàm và toán ứng dụng.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến và lý thuyết điểm bất động: Cung cấp hệ thống kỹ thuật xử lý bất đẳng thức dãy lặp qua toán tử phụ $T$, kỹ thuật đánh giá bán kính quỹ đạo $R_x$ để vượt qua trở ngại khoảng cách tự thân khác không của không gian mêtric riêng.
  • Các nhà nghiên cứu phương trình vi - tích phân và lý thuyết trò chơi: Cung cấp khung phương pháp luận chuyển hóa bài toán tồn tại nghiệm tích phân và điểm cân bằng Nash sang bài toán điểm bất động bộ đôi.
  • Các ví dụ phản chứng chi tiết trong Chương 1 và Chương 2 là tài liệu mẫu mực để phân tích sự mở rộng thực sự của các điều kiện co suy rộng.

Câu hỏi thường gặp

1. Ánh xạ T-co là gì và đóng vai trò như thế nào trong việc mở rộng nguyên lý co Banach?

Ánh xạ $S: X \to X$ được gọi là $T$-co nếu tồn tại $k \in [0, 1)$ sao cho $d(TSx, TSy) \le k d(Tx, Ty)$ với mọi $x, y \in X$. Khi $Tx = x$, ánh xạ này trở về ánh xạ co Banach thông thường. Vai trò của $T$-co là cho phép khảo sát những ánh xạ $S$ bản thân không thỏa mãn bất đẳng thức co mêtric thông thường, nhưng khi tác động qua một toán tử phụ $T$ (thỏa mãn tính chất đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy) thì thỏa mãn điều kiện co.

2. Vì sao các kỹ thuật chứng minh trên không gian mêtric thông thường không thể áp dụng trực tiếp cho không gian mêtric riêng?

Trong không gian mêtric thông thường, khoảng cách tự thân luôn bằng không: $d(x, x) = 0$. Trong không gian mêtric riêng $(X, p)$, tiên đề này được thay bằng $p(x, x) \le p(x, y)$, do đó $p(x, x)$ có thể nhận giá trị dương. Điều này dẫn tới việc một dãy hội tụ có thể không phải là dãy Cauchy và giới hạn của dãy hội tụ có thể không duy nhất. Vì vậy, các phép khử đại số và đánh giá giới hạn mêtric chuẩn tắc bị vô hiệu hóa, đòi hỏi phải xây dựng các đại lượng mới như tập $X_p$ và bán kính $R_x$.

3. Khái niệm ánh xạ hội tụ dãy (sequentially convergent) có ý nghĩa gì trong Chương 1?

Ánh xạ $T: X \to X$ được gọi là hội tụ dãy nếu với bất kỳ dãy ${y_n}$ mà dãy ảnh ${Ty_n}$ hội tụ trong $X$ thì dãy gốc ${y_n}$ cũng hội tụ. Tính chất này là điều kiện cốt tử để sau khi chứng minh dãy lặp $y_n = Tx_n$ hội tụ về điểm giới hạn trong không gian đầy đủ, người nghiên cứu có thể suy ngược lại sự hội tụ của chính dãy nghiệm lặp $x_n = S^n x_0$ về điểm bất động cần tìm.

4. Luận án ứng dụng định lý điểm bất động bộ đôi vào những bài toán cụ thể nào?

Trong Chương 3, kết quả về điểm bất động bộ đôi của ánh xạ kiểu $F$-co trên không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận được ứng dụng vào hai bài toán:

  • Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm dựa trên khái niệm nghiệm bộ đôi trên và dưới.
  • Chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng không cộng tác trong mô hình lý thuyết trò chơi với hai người chơi thông qua toán tử phản ứng tốt nhất.

5. Kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố tại những tạp chí khoa học nào?

Các kết quả chính được công bố trên 07 bài báo khoa học, trong đó có 04 bài ISI đã xuất bản và 01 bài ISI nhận đăng, tiêu biểu gồm các tạp chí: Arab Journal of Mathematical Sciences, Abstract and Applied Analysis, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Mathematical and Computer Modelling, Journal of Nonlinear Science and Applications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, và Journal of Inequalities and Applications.

Kết luận

Luận án đã giải quyết một cách hệ thống bài toán mở rộng định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian mêtric riêng và không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận. Bằng việc xây dựng các công cụ phân tích giải tích chặt chẽ, tác giả đã khắc phục triệt để khó khăn phát sinh từ tính chất khoảng cách tự thân khác không của mêtric riêng và mở rộng phạm vi ứng dụng của nguyên lý co Banach. Các kết quả lý thuyết không chỉ đóng góp trực tiếp vào lý thuyết giải tích phi tuyến mà còn được hiện thực hóa qua việc giải quyết trọn vẹn bài toán nghiệm phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi.