I. Điểm Bất Động và Cân Bằng Tổng Quan Nghiên Cứu Banach
Nghiên cứu về điểm bất động và điểm cân bằng trong không gian Banach là một lĩnh vực quan trọng của giải tích hàm và lý thuyết điểm bất động. Các khái niệm này xuất hiện trong nhiều bài toán toán học và ứng dụng kỹ thuật. Việc xác định và tìm kiếm các điểm này có ý nghĩa then chốt trong việc giải quyết các phương trình và bài toán liên quan. Theo tài liệu, nhiều vấn đề trong toán học và kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình T(x) = x, nghiệm x của phương trình này được gọi là điểm bất động của ánh xạ T. Các nhà nghiên cứu đã tập trung vào việc xây dựng các công cụ hiệu quả để khảo sát sự tồn tại và tìm kiếm điểm bất động của các ánh xạ. Việc nghiên cứu này đã thu hút sự quan tâm lớn từ các tác giả và đã tạo ra nhiều kết quả quan trọng trong lý thuyết điểm bất động.
1.1. Khái Niệm Cơ Bản về Không Gian Banach
Không gian Banach là một không gian vectơ định chuẩn đầy đủ. Điều này có nghĩa là mọi dãy Cauchy trong không gian đều hội tụ đến một điểm trong không gian đó. Các khái niệm liên quan như tính liên tục, sự hội tụ, và giới hạn có ý nghĩa quan trọng trong không gian Banach. Một ví dụ điển hình là không gian các hàm liên tục trên một khoảng đóng với chuẩn supremum. Theo tài liệu, không gian Banach (X, ||.||) là một không gian vectơ trên trường số thực (hoặc phức) cùng với một hàm ||.||: X -> R thỏa mãn các tính chất: ||x|| >= 0 với mọi x thuộc X, ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = 0, ||ax|| = |a| ||x|| với mọi a thuộc trường số thực (hoặc phức) và x thuộc X, và ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc X. Một không gian Banach còn phải là không gian đầy đủ, tức là mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ đến một điểm trong không gian.
1.2. Điểm Bất Động Định Nghĩa và Ý Nghĩa
Điểm bất động của một ánh xạ T là một điểm x sao cho T(x) = x. Việc tìm kiếm điểm bất động có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm giải phương trình, tối ưu hóa và kinh tế học. Một trong những kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết điểm bất động là Nguyên lý ánh xạ co Banach, khẳng định sự tồn tại duy nhất và đưa ra phương pháp lặp để tìm điểm bất động của ánh xạ co. Nguyên lý này đã được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ tổng quát hơn và cho nhiều lớp không gian khác nhau. Cụ thể, Nguyên lý ánh xạ co Banach phát biểu rằng: Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T: X -> X là một ánh xạ co (contraction mapping). Khi đó, T có một điểm bất động duy nhất.
II. Thách Thức Nghiên Cứu Điểm Bất Động Hạn Chế Hiện Tại
Mặc dù đã có nhiều kết quả về điểm bất động, việc tìm kiếm và xác định chúng trong các không gian Banach phức tạp vẫn còn nhiều thách thức. Một trong những khó khăn là việc tìm kiếm các dãy lặp hội tụ đến điểm bất động cho các lớp ánh xạ không thỏa mãn điều kiện co. Nhiều kết quả chỉ đảm bảo sự tồn tại điểm bất động mà không cung cấp thuật toán hiệu quả để tìm kiếm chúng. Hơn nữa, các giả thiết về không gian Banach và tính chất của ánh xạ cũng có thể là những rào cản lớn. Theo tài liệu, việc xây dựng những kỹ thuật để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ không giãn tiệm cận được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [15]. Kỹ thuật cơ bản để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ không giãn tiệm cận là xây dựng dãy lặp và nghiên cứu sự hội tụ của dãy lặp đến điểm bất động cũng như điểm bất động chung của những ánh xạ không giãn và ánh xạ không giãn tiệm cận.
2.1. Giới Hạn của Ánh Xạ Co Trong Không Gian Banach
Nguyên lý ánh xạ co Banach là một công cụ mạnh mẽ, nhưng nó chỉ áp dụng cho các ánh xạ co. Trong thực tế, nhiều ánh xạ không thỏa mãn điều kiện này. Việc mở rộng lý thuyết cho các lớp ánh xạ tổng quát hơn, chẳng hạn như ánh xạ không giãn, là một thách thức lớn. Ánh xạ không giãn là một lớp ánh xạ rộng hơn ánh xạ co, nhưng việc tìm điểm bất động của chúng khó khăn hơn nhiều. Theo tài liệu, năm 1965, Browder [14] đã giới thiệu một lớp ánh xạ tổng quát của lớp ánh co và được gọi là ánh xạ không giãn, đồng thời thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ này trong không gian Banach lỗi đều.
2.2. Tính Toán Điểm Cân Bằng Độ Phức Tạp Thuật Toán
Việc tính toán điểm cân bằng trong không gian Banach, đặc biệt là khi liên quan đến các bài toán cân bằng tổng quát (GMEP), có thể rất phức tạp. Các thuật toán hiện tại có thể hội tụ chậm hoặc không hội tụ trong một số trường hợp. Việc tìm kiếm các thuật toán hiệu quả và ổn định hơn là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng. Bài toán cân bằng (EP) được Muu và Oettli [43] giới thiệu vào năm 1992, sau đó, một số kết quả về điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng (EP) đã được thiết lập bởi Blum và Oettli [10], Noor và Oettli [47].
III. Phương Pháp Dãy Lặp Giải Pháp Nghiên Cứu Điểm Bất Động
Một phương pháp phổ biến để tìm kiếm điểm bất động là sử dụng các dãy lặp. Các dãy lặp như dãy Mann, dãy Halpern, và dãy Ishikawa đã được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu. Việc lựa chọn dãy lặp phù hợp và chứng minh sự hội tụ của nó là một vấn đề then chốt. Các nhà nghiên cứu cũng đã phát triển các kỹ thuật để tăng tốc độ hội tụ của các dãy lặp. Từ đó, nhiều kết quả về sự hội tụ của những dãy lặp đến điểm bất động của ánh xạ không giãn và ánh xạ không giãn tiệm cận đã được thiết lập trong không gian Hilbert cũng như trong không gian Banach [48, 66, 69].
3.1. Dãy Lặp Mann Ưu Điểm và Nhược Điểm
Dãy lặp Mann là một dãy lặp đơn giản và được sử dụng rộng rãi. Tuy nhiên, nó có thể hội tụ chậm trong một số trường hợp. Việc lựa chọn các tham số trong dãy lặp Mann có ảnh hưởng lớn đến tốc độ hội tụ. Để khắc phục hạn chế này, năm 2003, Nakajo và Takahashi [44] đã kết hợp dãy lặp Mann với phép chiếu metric trong không gian Hilbert để giới thiệu dãy lặp lai ghép như sau: Họ EQ Vp = đạt + (1 = ay) Tuy, Cy = {0 ED: |w — || < In — v|} Q, = {v € @: {uy — vua — Hạ) = 0} Unt = Po,ngnMo: trong đó, Pc„=o„ là phép chiếu từ @ lên C„í1@„.
3.2. Dãy Lặp Halpern Cải Thiện Tốc Độ Hội Tụ
Dãy lặp Halpern là một cải tiến của dãy lặp Mann và có thể hội tụ nhanh hơn trong một số trường hợp. Nó sử dụng một điểm cố định để điều chỉnh hướng của dãy lặp. Việc lựa chọn điểm cố định phù hợp có thể cải thiện đáng kể tốc độ hội tụ. Trong không gian Banach với đồ thị, năm 2018, Kangtunyakarn [35] đã tổng quát kết quả của Tiammee và cộng sự [79] để nghiên cứu sự hội tụ của dãy lap Halpern cho họ hữu han ánh xạ G-không giãn trong không gian Banach với đỗ thị.
IV. Ứng Dụng Điểm Bất Động Giải Bài Toán Cân Bằng EP
Nghiên cứu về điểm bất động có ứng dụng quan trọng trong việc giải các bài toán cân bằng (EP). Bài toán cân bằng là một mô hình tổng quát bao gồm nhiều bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân. Việc tìm kiếm nghiệm của bài toán cân bằng có ý nghĩa thực tiễn trong nhiều lĩnh vực. Vì bài toán cân bằng (EP) là bài toán tổng quát của nhiều mô hình toán học khác như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động nên bài toán cân bằng (EP) được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau, trong đó có hướng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính chất của tập nghiệm và phương pháp giải.
4.1. Liên Hệ Giữa Điểm Bất Động và Nghiệm EP
Nghiệm của bài toán cân bằng (EP) có thể được xem như điểm bất động của một ánh xạ liên quan. Việc sử dụng các kỹ thuật tìm kiếm điểm bất động có thể giúp giải quyết bài toán cân bằng. Một số tác giả đã xây dựng dãy lặp và khảo sát sự hội tụ của dãy lap này đến nghiệm của bài toán cân bằng hoặc đến hình chiếu của điểm xuất phát lên tập nghiệm của bài toán cân bằng. Cụ thể, năm 2005, Combettes và Hirstoaga [20] đã chứng minh rằng tập nghiệm của bài toán cân bằng (EP) là tập điểm bất động của ánh xạ giải thức H, : H ——› 2@.
4.2. Khoảng Cách Bregman Công Cụ Mới Cho Bài Toán EP
Khoảng cách Bregman là một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu bài toán cân bằng trong không gian Banach phản xạ. Nó cho phép xây dựng các ánh xạ giải thức và các dãy lặp hội tụ đến nghiệm của bài toán. Năm 2010, Reich và Sabach [57] đã sử dụng khái niệm khoảng cách Bregman, gradient của hàm khả vi Gâteaux,. để nghiên cứu bài toán cân bằng (EP) trong không gian Banach phản xạ. Các tác giả đã chứng minh rằng tập nghiệm của bài toán cân bang (EP) là tập điểm bất động của ánh xạ giải thức Res}: X — 2%.
V. Kết Luận Hướng Đi Mới Trong Nghiên Cứu Điểm Bất Động
Nghiên cứu về điểm bất động và điểm cân bằng trong không gian Banach vẫn là một lĩnh vực năng động và đầy tiềm năng. Các kết quả mới và các phương pháp tiếp cận mới liên tục được phát triển. Việc mở rộng lý thuyết cho các lớp ánh xạ và không gian Banach tổng quát hơn là một hướng đi quan trọng. Ngoài ra, việc phát triển các thuật toán hiệu quả và ổn định để tìm kiếm điểm bất động và nghiệm của bài toán cân bằng cũng là một mục tiêu quan trọng. Từ những phân tích trên, luận án tập trung nghiên cứu những nội dung sau: (1) So sánh tốc độ hội tụ đến điểm bất động chung của một số dãy lặp đã được giới thiệu bằng phép chứng minh và ví dụ minh họa tính toán. (2) Giới thiệu khái niệm ánh xạ tựa G-ó-không giãn và ánh xạ tựa G-ỏ-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đỗ thị.
5.1. Tổng Kết Các Kết Quả Nghiên Cứu Hiện Tại
Các kết quả nghiên cứu hiện tại đã cung cấp nhiều công cụ và kỹ thuật để nghiên cứu điểm bất động và điểm cân bằng. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề mở cần được giải quyết. Việc kết hợp các phương pháp khác nhau và phát triển các phương pháp mới có thể mang lại những đột phá quan trọng. Một số kết quả hội tụ của day lap cho họ hữu han bài toán cân bằng (EP) trong không gian Banach phản xạ đã được thiết lập. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, một số tác giả quan tâm xây dựng những dãy lặp mới và ứng dụng vào nghiên cứu điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng (EP) và tập điểm bất động của ánh xạ liên quan đến khoảng cách Bregman [39, 59, 68].
5.2. Triển Vọng và Hướng Nghiên Cứu Tương Lai
Nghiên cứu tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn, mở rộng lý thuyết cho các lớp ánh xạ và không gian Banach tổng quát hơn, và áp dụng các kết quả vào các bài toán thực tế. Việc kết hợp lý thuyết điểm bất động với các lĩnh vực khác như học máy và khoa học dữ liệu cũng có thể mang lại những kết quả thú vị. Đến đây, một van dé cũng được đặt ra là tiếp tục xây dung những day lặp mới và chứng minh sự hội tụ của chúng đến điểm chung của tập nghiệm bài toán (GMEP) và tập điểm bất động của những ánh xa liên quan khoảng cách Bregman, trong đó có ánh xa tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman.
