Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Sử dụng một số dãy lặp trong nghiên cứu điểm bất động và điểm cân bằng" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Nguyễn Trung Hiếu, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Nguyễn Bích Huy và TS. Nguyễn Văn Dung, chuyên ngành Toán Giải tích (mã số: 9460102), bảo vệ tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vào năm 2023.

Nhiều vấn đề thực tiễn trong toán học và các ngành khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình điểm bất động $Tx = x$ và giải bài toán cân bằng. Một trong những nền tảng cơ bản của lý thuyết điểm bất động là Nguyên lý ánh xạ co Banach, khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động và cung cấp thuật toán xấp xỉ nghiệm thông qua dãy lặp Picard. Các nghiên cứu kinh điển của Browder (1965) cho lớp ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và của Goebel - Kirk (1972) cho lớp ánh xạ không giãn tiệm cận đã mở rộng lý thuyết tồn tại điểm bất động, nhưng các kết quả này không cung cấp kỹ thuật tìm điểm bất động cụ thể như dãy lặp Picard. Do đó, việc thiết lập các cấu trúc dãy lặp và khảo sát điều kiện hội tụ của chúng đến điểm bất động hoặc điểm bất động chung của các lớp ánh xạ không giãn suy rộng là yêu cầu then chốt.

Trong những năm gần đây, hướng nghiên cứu kết hợp lý thuyết điểm bất động với lý thuyết đồ thị định hướng nhận được nhiều quan tâm từ sau công trình của Jachymski (2008). Tuy nhiên, các công bố trước đây (như của Kangtunyakarn, Suparatulatorn, Sridarat, Thianwan, Yambangwai) còn tồn tại sai sót khi giả thiết tập cạnh $E(G)$ của đồ thị là tập lồi trong tích Descartes $X \times X$, dẫn đến mâu thuẫn với tính phản xạ của đồ thị trên các tập xác định cụ thể. Mặt khác, việc so sánh tốc độ hội tụ giữa các dãy lặp đa bước trước đó chủ yếu sử dụng định nghĩa của Berinde (2004) vốn phụ thuộc vào việc chọn dãy chặn trên nên chưa hoàn toàn chính xác. Bên cạnh đó, việc giải bài toán cân bằng $(EP)$ do Muu và Oettli (1992) đề xuất cùng bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$ trong không gian Banach thông qua các toán tử giải thức và dãy lặp lai ghép (phương pháp chiếu CQ) vẫn còn nhiều vấn đề cần giải quyết, đặc biệt là khi toán tử giải thức của $(GMEP)$ theo định nghĩa của Darvish (2016) chứa biểu thức chưa xác định trên toàn không gian.

Xuất phát từ các khoảng trống đó, luận án xác định bốn mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể sau:

  1. So sánh tốc độ hội tụ đến điểm bất động chung của một số dãy lặp đã được giới thiệu bằng phép chứng minh giải tích và ví dụ minh họa tính toán số; xây dựng dãy lặp mới có tốc độ hội tụ tốt hơn những dãy lặp đã có và thiết lập sự hội tụ của dãy lặp mới đến điểm bất động chung của ánh xạ $G$-không giãn trong không gian Banach với đồ thị.
  2. Giới thiệu khái niệm ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn và ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị; từ đó mở rộng các kết quả hội tụ của dãy lặp lai ghép cho điểm bất động của ánh xạ $G$-không giãn và ánh xạ $G$-không giãn tiệm cận từ không gian Hilbert với đồ thị sang không gian Banach với đồ thị.
  3. Sử dụng phiếm hàm Lyapunov, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và phép chiếu suy rộng trong không gian Banach để xây dựng dãy lặp tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng $(EP)$ và tập điểm bất động của ánh xạ tựa $\phi$-không giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi chặt và trơn đều.
  4. Sử dụng khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và toán tử giải thức hiệu chỉnh để xây dựng dãy lặp, thiết lập sự hội tụ của dãy lặp đến điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$ và tập điểm bất động của ánh xạ tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman trong không gian Banach phản xạ.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Điểm bất động và điểm bất động chung của các lớp ánh xạ phi tuyến suy rộng (ánh xạ $G$-co, ánh xạ $G$-không giãn, ánh xạ $G$-không giãn tiệm cận, ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn, ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn tiệm cận, ánh xạ tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman); tập nghiệm của bài toán cân bằng $(EP)$ và bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$; các cấu trúc dãy lặp hai bước, ba bước và dãy lặp lai ghép.
  • Phạm vi không gian: Không gian Banach thực, bao gồm các cấu trúc hình học không gian Banach lồi đều, trơn đều, lồi chặt, phản xạ, không gian thỏa mãn điều kiện Opial, không gian Banach trang bị đồ thị định hướng phản xạ và bắc cầu. Toàn bộ công trình được hoàn thành năm 2023.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm lại hệ thống các công trình nghiên cứu trong nước và quốc tế theo các mạch chủ đề chính:

Mạch nghiên cứu Tác giả và năm công bố tiêu biểu Nội dung và kết quả chính được điểm lại
Sự tồn tại điểm bất động và dãy lặp cổ điển Browder (1965), Goebel & Kirk (1972), Mann (1953), Halpern (1967), Ishikawa (1974), Noor (2000), Thakur và cộng sự (2014) Thiết lập định lý tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn và không giãn tiệm cận; đề xuất các lược đồ lặp xấp xỉ điểm bất động trong không gian Hilbert và Banach.
Lý thuyết điểm bất động trên không gian với đồ thị Jachymski (2008), Aleomraninejad và cộng sự (2012), Kangtunyakarn (2018), Suparatulatorn và cộng sự (2018), Sridarat và cộng sự (2018), Thianwan & Yambangwai (2019), Hieu & Mai (2019), Yambangwai và cộng sự (2019), Sangago và cộng sự (2018) Mở rộng nguyên lý co Banach và ánh xạ không giãn sang không gian metric và Banach có trang bị đồ thị định hướng $G$; xây dựng các dãy lặp hai bước, ba bước kiểu $S$-lặp, $SP$-lặp, $CR$-lặp để xấp xỉ điểm bất động chung.
Dãy lặp lai ghép và phép chiếu suy rộng Nakajo & Takahashi (2003), Takahashi và cộng sự (2008), Matsushita & Takahashi (2005), Hammad và cộng sự (2019) Giới thiệu phương pháp chiếu CQ kết hợp dãy lặp Mann với phép chiếu metric trong Hilbert để loại bỏ giả thiết nửa compact hoặc điều kiện (A) của Senter - Dotson (1974); mở rộng sang không gian Banach nhờ phiếm hàm Lyapunov và phép chiếu suy rộng.
Bài toán cân bằng và điểm chung với điểm bất động Muu & Oettli (1992), Blum & Oettli (1994), Combettes & Hirstoaga (2005), Takahashi & Zembayashi (2009), Qin và cộng sự (2011), Kazmi & Ali (2016) Giới thiệu bài toán $(EP)$; chứng minh tập nghiệm $(EP)$ tương đương tập điểm bất động của toán tử giải thức $H_r$; xây dựng dãy lặp tìm điểm chung của tập nghiệm $(EP)$ và điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối suy rộng trong Banach.
Khoảng cách Bregman và bài toán $(GMEP)$ Reich & Sabach (2010), Zhu & Huang (2016), Chang và cộng sự (2010), Darvish (2016) Sử dụng khoảng cách Bregman $D_g$ và toán tử giải thức $Res_f^g$ giải bài toán $(EP)$ trong Banach phản xạ; mở rộng sang bài toán $(GMEP)$ với toán tử giải thức $Res_{f,\phi,\psi}^g$ và ánh xạ tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman.
Phương pháp so sánh tốc độ hội tụ Berinde (2004), Popescu (2007), Phuengrattana & Suantai (2013), Zalinescu (2021) Phân tích tính không phù hợp của định nghĩa Berinde; đề xuất tiêu chuẩn so sánh tốc độ hội tụ dựa trên giới hạn tỷ số sai số tiệm cận.

Khoảng trống nghiên cứu luận án lựa chọn giải quyết:

  1. Khắc phục lỗi giả thiết hình học đồ thị: Trong các công trình của Sridarat và cộng sự (2018), Suparatulatorn và cộng sự (2018, 2019), Thianwan & Yambangwai (2019), Tiammee và cộng sự (2015), Yambangwai và cộng sự (2019), các tác giả giả thiết tập cạnh $E(G)$ là tập lồi trong $X \times X$. Luận án chỉ ra rằng giả thiết này không tương thích với điều kiện phản xạ $(u,u) \in E(G)$ trên các tập cụ thể, từ đó đề xuất khái niệm chuẩn xác hơn là "tập lồi theo tọa độ".
  2. Cải tiến tốc độ hội tụ của dãy lặp đa bước: Xây dựng dãy lặp ba bước mới cho ba ánh xạ $G$-không giãn, chứng minh bằng toán học giải tích và ví dụ tính toán số rằng dãy lặp mới hội tụ nhanh hơn các dãy lặp Ishikawa, $S$-lặp, $SP$-lặp và các biến thể cải tiến trước đó theo tiêu chuẩn Popescu (2007).
  3. Loại bỏ các điều kiện bổ sung ngặt nghèo trong Banach có đồ thị: Các kết quả trước đây đòi hỏi hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) hoặc ba ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C). Luận án xây dựng dãy lặp lai ghép trong không gian Banach trơn đều và lồi đều có đồ thị nhằm loại bỏ hoàn toàn các điều kiện này.
  4. Sửa đổi toán tử giải thức bài toán $(GMEP)$: Phát hiện sơ hở trong định nghĩa toán tử giải thức $Res_{f,\phi,\psi}^g$ của Darvish (2016) khi chứa giá trị $\psi(u)$ với $u \in X \setminus C$ (không thuộc miền xác định của $\psi$), thực hiện hiệu chỉnh thành $\psi(w)$ với $w \in C$ và thiết lập định lý hội tụ mạnh cho dãy lặp lai ghép tương ứng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và khung phân tích

Luận án vận dụng các công cụ toán học của Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến và Lý thuyết tối ưu hóa:

  • Các lớp không gian Banach: Không gian Banach thực $X$, không gian đối ngẫu $X^*$, không gian trơn, trơn đều (thông qua môđun trơn $\rho_X(t)$), không gian lồi chặt, lồi đều (thông qua môđun lồi $\delta_X(\epsilon)$), không gian phản xạ ($X = X^{**}$), không gian có tính chất Kadec-Klee và không gian thỏa mãn điều kiện Opial.
  • Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J$: Ánh xạ $J: X \to 2^{X^}$ xác định bởi $Ju = {u^ \in X^* : \langle u^, u\rangle = |u|^2 = |u^|^2}$. Trong không gian trơn, lồi chặt và phản xạ, $J$ là song ánh đơn trị, chuẩn tắc và liên tục yếu*.
  • Phiếm hàm Lyapunov và Phép chiếu suy rộng:
    • Phiếm hàm Lyapunov $\phi: X \times X \to [0, \infty)$ xác định bởi $\phi(u, v) = |u|^2 - 2\langle u, Jv\rangle + |v|^2$.
    • Phép chiếu suy rộng $\Pi_C: X \to C$ lên tập lồi đóng khác rỗng $C \subset X$ thỏa mãn $\phi(\Pi_C u, u) = \inf_{y \in C} \phi(y, u)$, có tính chất tương đương $\langle \Pi_C u - v, J u - J \Pi_C u\rangle \ge 0, \forall v \in C$.
  • Lý thuyết đồ thị định hướng trong không gian Banach: Đồ thị $G = (V(G), E(G))$ có tập đỉnh $V(G) = C$ và tập cạnh $E(G) \subset C \times C$ phản xạ và bắc cầu; tập $C$ có tính chất $(G)$ đối với dãy hội tụ yếu; khái niệm mới "tập lồi theo tọa độ" trong $X \times X$.
  • Khoảng cách Bregman và Phép chiếu Bregman: Cho hàm lồi Legendre $g: X \to (-\infty, +\infty]$ khả vi Gâteaux, khoảng cách Bregman được xác định bởi $D_g(x, y) = g(x) - g(y) - \langle \nabla g(y), x - y\rangle$. Phép chiếu Bregman $P_C^g(x)$ là phần tử duy nhất trong $C$ thỏa mãn $D_g(P_C^g(x), x) = \inf_{y \in C} D_g(y, x)$.
  • Các bài toán cân bằng:
    • Bài toán cân bằng $(EP)$: Tìm $x \in C$ sao cho $f(x, y) \ge 0, \forall y \in C$. Toán tử giải thức $H_r(x) = {z \in C : f(z, y) + \frac{1}{r}\langle y - z, Jz - Jx\rangle \ge 0, \forall y \in C}$.
    • Bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$: Tìm $x \in C$ sao cho $f(x, y) + \langle \psi(x), y - x\rangle + \varphi(y) \ge \varphi(x), \forall y \in C$. Toán tử giải thức hiệu chỉnh $Res_{f,\varphi,\psi,r}^g(x) = {w \in C : f(w, y) + \langle \psi(w), y - w\rangle + \varphi(y) - \varphi(w) + \frac{1}{r}\langle \nabla g(w) - \nabla g(x), y - w\rangle \ge 0, \forall y \in C}$.

Phương pháp nghiên cứu

  1. Phương pháp giải tích giải tích phi tuyến thuần túy: Thiết lập các đánh giá bất đẳng thức giải tích, khai thác cấu trúc hình học của không gian Banach (bất đẳng thức đặc trưng của không gian lồi đều, trơn đều, tính chất của phiếm hàm Lyapunov, khoảng cách Bregman).
  2. Kỹ thuật quy nạp toán học: Chứng minh tính bảo toàn cạnh của các dãy lặp đa bước trên đồ thị định hướng $((u_n, p), (v_n, p), (w_n, p) \in E(G))$.
  3. Phương pháp dãy lặp lai ghép (CQ Method): Xây dựng dãy lặp kết hợp bước lặp toán tử với phép chiếu suy rộng hoặc phép chiếu Bregman lên giao của hai tập lồi đóng $C_{n+1} \cap Q_{n+1}$ để bảo đảm tính hội tụ mạnh.
  4. Phương pháp so sánh tốc độ hội tụ tiệm cận: Áp dụng định nghĩa tỉ số giới hạn của Popescu (2007) và Zalinescu (2021) để chứng minh tính ưu việt về tốc độ hội tụ giữa hai dãy ${u_n}$ và ${v_n}$ hội tụ về $p$: $\lim_{n \to \infty} \frac{|u_n - p|}{|v_n - p|} = 0$.
  5. Phương pháp thực nghiệm tính toán số: Thiết lập các ví dụ tính toán trên không gian số thực $\mathbb{R}$, lập bảng theo dõi giá trị các bước lặp và sai số $|u_n - p|$ qua từng bước để kiểm chứng trực quan các định lý lý thuyết.

Nguồn tư liệu và dữ liệu nghiên cứu

Luận án sử dụng dữ liệu là các mô hình toán học giải tích trừu tượng, hệ thống định lý và bổ đề từ 90 tài liệu tham khảo khoa học chuyên ngành, kết hợp với các bộ dữ liệu tính toán số mô phỏng được sinh ra từ các thuật toán lặp trên các hàm và ánh xạ giải tích cụ thể.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, bổ đề và tính chất cơ bản làm tiền đề cho các chứng minh ở Chương 2 và Chương 3, bao gồm bốn nội dung chính:

  • Mục 1.1: Trình bày các khái niệm về không gian Banach trơn, trơn đều, lồi chặt, lồi đều, phản xạ, tính chất Kadec-Klee, điều kiện Opial; các tính chất giải tích của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J$, phiếm hàm Lyapunov $\phi(u, v)$ và phép chiếu suy rộng $\Pi_C$; cấu trúc đồ thị định hướng $G = (V(G), E(G))$ và tính chất $(G)$ của tập lồi đóng $C$.
  • Mục 1.2: Giới thiệu hàm lồi Legendre, hàm liên hợp Fenchel $g^$, gradient Gâteaux và Fréchet, khoảng cách Bregman $D_g(x, y)$, hàm hai biến $V_g(x, x^)$, phép chiếu Bregman $P_C^g(x)$ và các bất đẳng thức giải tích liên quan đến hàm lồi hoàn toàn trên tập bị chặn.
  • Mục 1.3: Khảo sát các lớp ánh xạ không giãn suy rộng: ánh xạ tựa $\phi$-không giãn, ánh xạ tựa $\phi$-không giãn tiệm cận, ánh xạ $G$-co, ánh xạ $G$-không giãn, ánh xạ $G$-không giãn tiệm cận, ánh xạ tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman. Cung cấp các ví dụ cụ thể chứng minh sự tồn tại của ánh xạ $G$-không giãn nhưng không là ánh xạ không giãn thông thường, và ánh xạ $G$-không giãn tiệm cận nhưng không là ánh xạ không giãn tiệm cận thông thường.
  • Mục 1.4: Khảo sát nghiệm bài toán cân bằng $(EP)$ thông qua ánh xạ giải thức $H_r$ trong không gian Hilbert và không gian Banach lồi chặt, trơn đều. Phân tích bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$, chỉ ra khiếm khuyết trong định nghĩa toán tử giải thức $Res_{f,\varphi,\psi}^g$ của Darvish (2016) và đưa ra công thức hiệu chỉnh với $\psi(w), w \in C$.

Chương 2. Sự hội tụ của dãy lặp đến điểm bất động chung của ánh xạ trong không gian Banach với đồ thị

Chương 2 tập trung vào hai nội dung cốt lõi:

1. Khái niệm tập lồi theo tọa độ và dãy lặp ba bước mới (Mục 2.1):

  • Định nghĩa tập lồi theo tọa độ: Tập $D \subset X \times X$ được gọi là lồi theo tọa độ nếu với mọi $t \in [0, 1]$, khi $(p, u), (p, v) \in D$ thì $(p, (1-t)u + tv) \in D$, và khi $(u, p), (v, p) \in D$ thì $((1-t)u + tv, p) \in D$. Khái niệm này bao hàm khái niệm tập lồi trong $X \times X$ nhưng không dẫn đến mâu thuẫn về tính phản xạ của đồ thị.
  • Đề xuất dãy $SP$-lặp cải tiến ba bước (2.7) cho ba ánh xạ $T_1, T_2, T_3$: $$\begin{cases} w_n = (1 - c_n)u_n + c_n T_3 u_n \ v_n = (1 - b_n)T_3 w_n + b_n T_2 w_n \ u_{n+1} = (1 - a_n)T_2 v_n + a_n T_1 v_n \end{cases}$$
  • Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh dãy lặp luôn bảo toàn quan hệ cạnh đồ thị: $(u_n, p), (v_n, p), (w_n, p) \in E(G)$ với mọi $n \ge 1$ và $p \in F(T_1) \cap F(T_2) \cap F(T_3)$.
  • Chứng minh giải tích rằng dãy $SP$-lặp cải tiến ba bước (2.7) và dãy $S$-lặp cải tiến hai bước (2.4) hội tụ đến điểm bất động chung của các ánh xạ $G$-co nhanh hơn dãy kiểu Ishikawa (2.1), dãy kiểu $S$-lặp (2.2) và dãy kiểu $SP$-lặp (2.3) theo tiêu chuẩn Popescu.
  • Thiết lập các định lý về sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của dãy lặp ba bước mới đến điểm bất động chung của ba ánh xạ $G$-không giãn trong không gian Banach lồi đều; xây dựng ví dụ số trên $\mathbb{R}$ kiểm chứng kết quả.

2. Dãy lặp lai ghép cho ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn tiệm cận (Mục 2.2):

  • Đưa ra định nghĩa ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn và ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn tiệm cận trong không gian Banach trơn có đồ thị.
  • Chứng minh tập điểm bất động $F(T)$ là tập lồi và đóng.
  • Xây dựng hai dãy lặp lai ghép và chứng minh định lý hội tụ mạnh đến hình chiếu suy rộng của điểm ban đầu lên tập điểm bất động chung của hai ánh xạ trong không gian Banach trơn đều và lồi đều với đồ thị mà không cần các điều kiện bổ trợ (B) hay (C).

Chương 3. Sự hội tụ của dãy lặp đến điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ trong không gian Banach

Chương 3 trình bày hai lược đồ lặp lai ghép giải quyết đồng thời bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động:

1. Dãy lặp lai ghép cho bài toán $(EP)$ và ánh xạ tựa $\phi$-không giãn tiệm cận (Mục 3.1):

  • Xây dựng thuật toán lặp lai ghép trong không gian Banach trơn đều và lồi chặt: $$\begin{cases} u_0 \in C, \quad C_1 = C \ z_n = H_{r_n} u_n \ y_n = J^{-1}\left(\alpha_n J u_n + (1 - \alpha_n) J T^n z_n\right) \ C_{n+1} = \left{w \in C_n : \phi(w, y_n) \le \phi(w, u_n) + \xi_n\right} \ u_{n+1} = \Pi_{C_{n+1}} u_0 \end{cases}$$
  • Khắc phục yêu cầu không gian lồi đều của các nghiên cứu trước bằng cách chỉ giả thiết không gian Banach là lồi chặt và trơn đều.
  • Chứng minh dãy ${u_n}$ hội tụ mạnh đến $\Pi_{EP(f) \cap F(T)} u_0$; cung cấp ví dụ số minh họa tính toán.

2. Dãy lặp lai ghép cho bài toán $(GMEP)$ và ánh xạ tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman (Mục 3.2):

  • Xây dựng thuật toán lặp lai ghép sử dụng khoảng cách Bregman trong không gian Banach phản xạ: $$\begin{cases} u_0 \in C, \quad C_1 = C \ z_n = Res_{f,\varphi,\psi,r_n}^g (u_n) \ y_n = \nabla g^* \left(\alpha_n \nabla g(u_n) + (1 - \alpha_n) \nabla g(T^n z_n)\right) \ C_{n+1} = \left{w \in C_n : D_g(w, y_n) \le D_g(w, u_n) + \zeta_n\right} \ u_{n+1} = P_{C_{n+1}}^g u_0 \end{cases}$$
  • Chứng minh định lý hội tụ mạnh của dãy lặp đến $P_{GMEP \cap F(T)}^g u_0$ trong không gian Banach phản xạ; xây dựng ví dụ số khẳng định sự hội tụ của thuật toán.

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả và đóng góp mới của luận án bao gồm:

Đóng góp về mặt lý luận khoa học

  1. Khắc phục khiếm khuyết trong các công trình trước:
    • Phát hiện và chỉnh sửa sai sót trong giả thiết lồi của tập cạnh đồ thị $E(G)$ trong các nghiên cứu quốc tế trước đây bằng việc đề xuất khái niệm "tập lồi theo tọa độ".
    • Phát hiện và hiệu chỉnh khiếm khuyết về miền xác định trong định nghĩa toán tử giải thức của bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$ do Darvish (2016) đề xuất.
  2. Đề xuất các khái niệm mới: Giới thiệu khái niệm ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn và ánh xạ tựa $G$-$\phi$-không giãn tiệm cận trong không gian Banach có đồ thị.
  3. Xây dựng các thuật toán lặp mới:
    • Đề xuất dãy $SP$-lặp cải tiến ba bước cho ba ánh xạ $G$-không giãn trong không gian Banach với đồ thị.
    • Xây dựng các dãy lặp lai ghép dạng CQ trong không gian Banach có đồ thị, loại bỏ việc sử dụng các điều kiện phụ trợ ngặt nghèo như điều kiện (B) hay điều kiện (C).
    • Xây dựng dãy lặp lai ghép tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán $(EP)$ và tập điểm bất động của ánh xạ tựa $\phi$-không giãn tiệm cận trong không gian Banach trơn đều và lồi chặt (nới lỏng giả thiết lồi đều).
    • Thiết lập dãy lặp lai ghép cho bài toán $(GMEP)$ và ánh xạ tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman trong không gian Banach phản xạ.
  4. Chứng minh toán học chặt chẽ: Thiết lập đầy đủ các định lý hội tụ mạnh, hội tụ yếu và chứng minh giải tích về tốc độ hội tụ vượt trội của dãy lặp đề xuất theo tiêu chuẩn Popescu.

Đóng góp về mặt thực tiễn và tính toán số

  • Cung cấp các ví dụ tính toán số chi tiết, bảng số liệu bước lặp mô phỏng trên không gian $\mathbb{R}$, minh họa trực quan sự hội tụ và tốc độ của các thuật toán lặp được đề xuất.
  • Công bố 04 bài báo khoa học trên các tạp chí chuyên ngành và báo cáo tại 05 hội nghị, hội thảo khoa học trong nước và quốc tế (Hội nghị ĐH KHTN - ĐHQG TP.HCM năm 2020; Hội thảo quốc tế ISAS năm 2019, 2021 tại ĐH Bách khoa TP.HCM; Hội thảo quốc tế tại ĐH Đồng Tháp năm 2020, 2021).

Kiến nghị đề xuất từ luận án

Tác giả đề xuất mở rộng nghiên cứu sang:

  • Thiết lập sự hội tụ của dãy lặp cho họ vô hạn ánh xạ $G$-không giãn và $G$-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị.
  • Nghiên cứu bài toán tìm điểm chung của họ vô hạn bài toán cân bằng và bài toán cân bằng co định tổng quát với họ ánh xạ không giãn suy rộng liên quan đến khoảng cách Bregman.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế của luận án:
    • Các thuật toán lặp đa bước ở Chương 2 mới giới hạn khảo sát cho họ hữu hạn 2 hoặc 3 ánh xạ, chưa mở rộng cho họ đếm được hoặc họ vô hạn ánh xạ.
    • Các định lý hội tụ trong Chương 3 gắn liền với các điều kiện hình học ngặt của không gian Banach (trơn đều, lồi chặt hoặc phản xạ) và các hàm sinh Bregman thỏa mãn tính chất Legendre, chưa khảo sát trên các không gian metric tổng quát không có cấu trúc tuyến tính.
  • Hướng nghiên cứu tiếp theo:
    • Mở rộng cấu trúc dãy lặp lai ghép cho họ vô hạn bài toán cân bằng và họ vô hạn ánh xạ không giãn suy rộng.
    • Tích hợp các tham số hiệu chỉnh gia tốc và kỹ thuật quán tính (inertial extrapolation techniques) vào các bước lặp CQ để tăng tốc độ hội tụ của thuật toán.
    • Ứng dụng các thuật toán điểm bất động và điểm cân bằng vào việc giải các bài toán tối ưu hóa lồi, bài toán chấp nhận lồi và bài toán khôi phục tín hiệu/hình ảnh trong thực tế.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo giá trị cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Thuộc chuyên ngành Toán Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Lý thuyết tối ưu hóa và Toán ứng dụng.
  • Nội dung tham khảo đặc thù:
    • Kỹ thuật xử lý không gian với đồ thị (Chương 2): Cách tiếp cận sử dụng khái niệm tập lồi theo tọa độ để khắc phục lỗi trong các bài toán điểm bất động trên đồ thị định hướng.
    • Kỹ thuật so sánh tốc độ hội tụ: Phương pháp luận và kỹ thuật chứng minh giải tích bất đẳng thức sai số theo tiêu chuẩn Popescu thay cho tiêu chuẩn Berinde.
    • Phương pháp lặp lai ghép với phép chiếu Bregman (Chương 3): Kỹ thuật giải quyết bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$ kết hợp với ánh xạ tựa tiệm cận không giãn hoàn toàn Bregman trong không gian Banach phản xạ.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm "tập lồi theo tọa độ" được luận án định nghĩa như thế nào và nhằm giải quyết vấn đề gì?

Tập $D \subset X \times X$ được gọi là tập lồi theo tọa độ nếu với mọi $t \in [0, 1]$: khi $(p, u), (p, v) \in D$ thì $(p, (1-t)u + tv) \in D$, và khi $(u, p), (v, p) \in D$ thì $((1-t)u + tv, p) \in D$. Khái niệm này được đưa ra nhằm thay thế cho giả thiết "tập $E(G)$ là tập lồi trong $X \times X$" vốn bị mâu thuẫn với tính phản xạ của đồ thị định hướng $(u, u) \in E(G)$ trong các ví dụ minh họa của nhiều bài báo quốc tế trước đây.

2. Cấu trúc dãy $SP$-lặp cải tiến ba bước cho ba ánh xạ trong luận án có dạng như thế nào?

Dãy lặp được xác định bởi công thức (2.7): $$\begin{cases} w_n = (1 - c_n)u_n + c_n T_3 u_n \ v_n = (1 - b_n)T_3 w_n + b_n T_2 w_n \ u_{n+1} = (1 - a_n)T_2 v_n + a_n T_1 v_n \end{cases}$$ với ${a_n}, {b_n}, {c_n} \subset [0, 1]$. Dãy lặp này được chứng minh bảo toàn quan hệ cạnh đồ thị và có tốc độ hội tụ nhanh hơn các dãy lặp Ishikawa, $S$-lặp và $SP$-lặp đã công bố trước đó.

3. Luận án đã phát hiện và chỉnh sửa khiếm khuyết nào trong toán tử giải thức của bài toán $(GMEP)$ do Darvish (2016) đề xuất?

Trong công thức toán tử giải thức $Res_{f,\varphi,\psi}^g$ của Darvish (2016) có chứa số hạng $\psi(u)$ với $u \in X$. Do miền xác định của $\psi$ là tập lồi đóng $C \subset X$, giá trị $\psi(u)$ không tồn tại khi $u \in X \setminus C$. Luận án đã hiệu chỉnh bằng cách thay $\psi(u)$ bằng $\psi(w)$ với $w \in C$, qua đó thiết lập miền xác định đúng $\text{dom}(Res_{f,\varphi,\psi}^g) = X$.

4. Phương pháp dãy lặp lai ghép (CQ method) giúp khắc phục những hạn chế nào của dãy lặp thông thường?

Thông thường, sự hội tụ của các dãy lặp kinh điển (như Mann, Ishikawa) đến điểm bất động của ánh xạ không giãn đòi hỏi không gian phải thỏa mãn điều kiện Opial hoặc ánh xạ phải là nửa compact/thỏa mãn điều kiện (A) của Senter - Dotson. Phương pháp dãy lặp lai ghép kết hợp bước lặp với phép chiếu suy rộng lên giao của hai tập lồi đóng $C_{n+1} \cap Q_{n+1}$ bảo đảm dãy lặp hội tụ mạnh đến hình chiếu của điểm ban đầu mà không cần các giả thiết ngặt nghèo nêu trên.

5. Tiêu chuẩn nào được luận án lựa chọn để so sánh tốc độ hội tụ giữa các dãy lặp?

Luận án sử dụng tiêu chuẩn của Popescu (2007) và Zalinescu (2021): Dãy ${u_n}$ được gọi là hội tụ đến $p$ nhanh hơn dãy ${v_n}$ nếu $\lim_{n \to \infty} \frac{|u_n - p|}{|v_n - p|} = 0$. Tiêu chuẩn này khắc phục được nhược điểm của định nghĩa Berinde (2004) vốn phụ thuộc vào cách chọn dãy chặn trên số học.

Kết luận

Luận án "Sử dụng một số dãy lặp trong nghiên cứu điểm bất động và điểm cân bằng" của NCS. Nguyễn Trung Hiếu đã giải quyết có hệ thống các bài toán xấp xỉ điểm bất động chung và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian Banach. Công trình có đóng góp khoa học rõ nét qua việc đề xuất khái niệm tập lồi theo tọa độ để hoàn thiện lý thuyết điểm bất động trên không gian Banach có đồ thị, xây dựng dãy $SP$-lặp cải tiến ba bước có tốc độ hội tụ ưu việt, và hiệu chỉnh toán tử giải thức cho bài toán cân bằng co định tổng quát $(GMEP)$. Các định lý hội tụ mạnh được thiết lập cùng hệ thống ví dụ tính toán số mô phỏng đã khẳng định tính chính xác và giá trị học thuật của luận án trong chuyên ngành Toán Giải tích.