Đặt vấn đề Tấm sàn bê tông cốt thép (BTCT) là kết cấu phổ biến, được sử dụng rộng rãi trong thực tế, vì vậy, thiết kế tối ưu cho tắm sàn BTCT sẽ mang lại hiệu quả kinh tế rất lớn. Nhiều nghiên cứu đã tập trung vào lĩnh vực này và thu được những thành quả đáng kể. Để xác định tải trọng phá hoại của kết cấu, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp như: gia tải từng bước, lý thuyết đường chảy dẻo (yield line). Phương pháp gia tải từng bước giúp chúng ta hiểu rõ quá trình hình thành cơ cấu nhưng nhược điểm của phương pháp này là tốn nhiều thời gian và công sức tính toán.
Phương pháp đường chảy dẻo, được đề xuất bởi Johansen, là phương pháp hiệu quả để thực hiện phân tích dẻo cho tấm sàn, tuy nhiên, phương pháp này gặp khó khăn trong bài toán sàn được liên kết trực tiếp với cột hoặc khoét lỗ. Một hướng khác để dự đoán tải trọng phá hoại của tấm sàn BTCT là sử dụng phương pháp phân tích giới hạn. Trong phân tích giới hạn, trường chuyển vị hoặc trường ứng suất sẽ được rời rạc, sau đó, định lý cận trên hoặc định lý cận dưới được áp dụng để xác định tải trọng giới hạn. So với trường ứng suất thì trường chuyên vị dễ rời rạc hơn, tuy nhiên việc tính toán năng lượng tiêu tán dẻo gặp phải khó khăn vì phụ thuộc rất lớn vào tiêu chuẩn chảy dẻo, đặc biệt là những tiêu chuẩn chảy dẻo có ràng buộc phi tuyến và không trơn.
Hầu hết các nghiên cứu đều sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo đơn giản như tiêu chuẩn hình vuông, hoặc tuyến tính hóa tiêu chuẩn chảy dẻo phi tuyến, như vậy, việc tính toán sẽ trở nên đơn giản nhưng lại không mô tả đúng ứng xử của vật liệu. Hơn nữa, khi sử dụng các thuật toán tuyến tính, tiêu chuẩn dẻo phải được tuyến tính hóa, điều này làm tăng số lượng ấn số trong bài toán, chỉ phí tính toán vì thế cũng tăng lên. Tiêu chuẩn Nielsen là một trong những tiêu chuẩn mô tả chính xác nhất ứng xử dẻo của vật liệu BTCT. Tiêu chuẩn Nielsen được mô tả là sự giao nhau của hai hình nón, điều này dẫn đến những ràng buộc phi tuyến và không liên tục, gây khó khăn cho việc tính toán năng lượng tiêu tán dẻo.
Trở ngại này được giải quyết bằng cách áp dụng chương trình hình nón bậc hai (SOCP) và kỹ thuật đối ngẫu điểm nội. Khi đó, bài toán phân tích giới hạn được phát biểu dưới dạng bài toán tối ưu. Các nghiên cứu cho thấy hầu hết các tiêu chuẩn chảy dẻo truyền thống đều có thể chuyển về bài toán tối ưu hình nón bậc hai. Ưu điểm của việc sử dụng SOCP là số lượng biến trong bài toán tối ưu ít hơn nhiều so với khi đưa bài toán về những ràng buộc tuyến tính.
Điều này giúp giảm đáng kẻ thời gian và chỉ phí tính toán. Bên cạnh đó, các phương pháp số cũng không ngừng được phát triển và là công cụ đắc lực để nâng cao hiệu quả tính toán, trong đó phải kể đến phần tử hữu han (FEM), mot cong cu rat mạnh mẽ, có thé giải quyết được rất nhiều bài toán. Tuy nhiên, bản chất của FEM là chia miền bài toán thành những phần tử nhỏ liên kết với nhau tại các nút, để đảm bảo tính chính xác của lời giải, cần phải áp đặt điều kiện liên tục giữa các phần tử. Hàm dạng của FEM dễ dàng tính toán nhưng có bậc liên tục thấp, vì vậy, FEM gặp phải khó khăn, thậm chí không thể áp dụng được cho nhiều bài toán như bài toán nứt, biến dạng lớn.
Một lớp phương pháp số mới được phát triển trong thời gian gần đây là phương pháp không lưới (meshfree hay meshless), phương pháp này được cho là có khả năng khắc phục những hạn chế mà FEM mắc phải. Đặc điểm của phương pháp không lưới là rời rạc hóa miền bài toán thành một hệ nút và xây dựng hàm dạng dựa trên miền ảnh hưởng của nút. Gần đây, nhiều phương pháp không lưới được phát triển như phương pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG), không lưới Local Petrov Galerkin (MLPG), không lưới Radial Point Interpolation Method (RPIM), không ludi Local Radial Point Interpolation Method (LRPIM), khong lưới Moving Kriging (MGK). Khác nhau cơ bản giữa các phương pháp này là kỹ thuật nội suy, có nhiều kỹ thuật nội suy được áp dụng như Kernel Partical Method, Moving Least Square Approximate, Partition of Unity, Kringing Interpolation.
Phương pháp EFG là một phương pháp không lưới được phát triển bởi Belytchko e al. Trong phương pháp EFG, xấp xi bình phương cực tiểu (Moving Least Square (MLS)) được sử dụng để xây dựng hàm dạng, phương trình hệ thống được xây dựng thông qua dạng yếu Galerkin, những ô nền được yêu cầu cho việc tính tích phân từng phần. Khi sử dụng phương pháp EFG để rời rạc trường chuyên vị cho bài toán cận trên, số lượng biến trong bài toán ít hơn nhiều so với khi rời rạc bằng FEM vì phương pháp EFG chỉ yêu cầu một bậc tự do tại mỗi nút thay vì ba bậc tự do như FEM. Để đảm bảo tính chính xác cho lời giải khi sử dụng phương pháp EFG, tích phân nút 6n dinh (Stablised Confroming Nodal Intergration (SCNI)) được áp dụng để làm trơn biến dạng.
Khi đó, tích phân được tính trực tiếp tại các nút mà không sử dụng những điểm Gauss giúp giảm nhẹ chỉ phí tính toán. Trong luận văn này, phương pháp EFG, tiêu chuẩn Nielsen kết hợp với chương trình hình nón bậc hai và kỹ thuật đối ngẫu điểm nội được sử dụng để giải quyết bài toán phân tích giới hạn cận trên cho tắm sàn BTCT. Tình bình nghiên cứu của đề tài 1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới Phương pháp phân tích giới hạn được phát triển từ đầu thế ki XX dựa trên mô hình vật liệu cứng — dẻo lý tưởng và trở thành công cụ rất hiệu quả để thiết kế và đánh giá độ an toàn của kết cấu.
Những phát biểu hoàn chỉnh đầu tiên về lý thuyết phân tích giới hạn được giới thiệu bởi Drucker er al. Sau đó, Prager (1972) và Martin (1975) đã có những đóng góp quan trọng để phát triển và áp dụng phương pháp phân tích giới hạn. Việc áp dụng lý thuyết phân tích giới hạn vào phân tích kết cấu được thực hiện bởi Hodge (1959, 1961, 1963). Một thời gian ngắn sau đó, Massonet & Save (1967) và Save & Massonet (1972) đã có những phát triển xa hơn.
Trong vài thập niên qua, lý thuyết phân tích giới hạn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu như Charakbarty (1988), Chen & Han (1988), Lubliner (1990), Kamenjarzh (1996) và gần đây nhất là Jirasek & Bazant (2002) cho nhiều bài toán kỹ thuật. Sự phát triển của phân tích giới hạn phụ thuộc rất lớn vào sự phát triển của những phương pháp rời rạc bài toán và các kỹ thuật toán học được sử dụng. Trong vài thập niên vừa qua, nhiều phương pháp số cho bài toán phân tích giới hạn được phát triển, và song song với nó là sự tiến bộ đáng kế của những phân tích số và kỹ thuật tối ưu. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là kỹ thuật phân tích số thông dụng nhất cho những bài toán có dạng hình học, điều kiện biên và đặc trưng vật liệu phức tạp.
Những nghiên cứu được thực hiện chủ yếu dựa vào 3 mô hình FEM chính: tương thích, cân bằng và hỗn hợp. Những phương pháp số cho phân tích giới hạn cận đưới sử dụng cho FEM cân bằng được phát triển bởi một số tác giả như Hodge & Belytschko (1968) [1], Nguyen Dang (1976) [2], Bottero et al. M6 hinh FEM tương thích được áp dụng cho những bai toán phân tích giới hạn bởi những nhà nghiên cứu như Hogde & Belytschko (1968) [I], Anderheggen (1976), Capsoni & Corradi (1997) và Krabbenhoft e ai. Mô hình FEM hỗn hợp còn được phát triển cho những bài toán phân tích giới hạn bởi Christiansen (1981, 1996), Capsoni (1999) [4], Yu & Tĩin-Loi (2006).
Một phương pháp rời rạc khác là Boundary Element Method (BEM) cũng được áp dụng cho bài toán phân tích giới hạn, một số nhà nghiên cứu đã áp dụng phương pháp này như Maier & Polizzotto (1983), Panzeca (1992), Liu et al. (2004) va Zhang et al. Phương pháp không lưới được phát triển trong những năm gần đây và được xem là có thể khắc phục một số nhược điểm của FEM, Chen e¿ z/. (2008) đã sử dụng phương pháp EFG cho bài toán phân tích giới han can dudi, C.
Le et al. (2009 [5], 2010 [6]) sử dụng phương pháp EFG để xác định hệ số tải trọng giới hạn cận trên và cận dưới cho một số bài toán tấm, và gần đây nhất, Zhou e¿ ai. (2012) [7] đã sử dụng phương pháp không lưới C' NEM cho bài toán cận trên. Hiệu quả của những phương pháp số cho những bài toán phân tích giới hạn thường dựa vào việc chọn lựa những chương trình toán học sử dụng dé giải bài toán.
Trước đây, chương trình tuyến tính (LP) được sử dụng rộng rãi trong nhiều bài toán phân tích giới hạn vì thuật toán sử dụng đơn giản (Anderhegsen & Knopfel, 1972 [8]; Cohn & Maier, 1979; Grierson, 1977; Nguyen Dang, 1984; Sloan, 1988). Một số tác giả đã sử dụng chương trình tuyến tính để tuyến tính một phần của mặt dẻo phi tuyến như Maier (1970), Laudiero (1972), Tin — Loi (1970) va Christiansen (1996). Những bài toán phân tích giới hạn sử dụng tiêu chuẩn dẻo có ràng buộc phi tuyến được giải quyết bằng các thuật toán tối ưu phi tuyến như thuật toán Sequential quadratic programming (SQP) với phương pháp Newton suy rộng cho tối ưu không ràng buộc (Gaudrat, 1991; Zouain e/ al., 1993; Liu et al. 1995; Andersen, 1996) hoặc thuật toán trực tiếp (Capsoni & Corradi, 1999 |4]).
Thuật toán tối ưu chương trình hình nón bậc hai (SOCP) được sử dụng bởi Lobo et al. (1998), Andersen et al. Le et al. Bài toán phân tích giới hạn cho tấm sàn được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Đối với tắm sàn BTCT, phương pháp đường chảy dẻo được chứng tỏ là phương tiện hiệu quả để thực hiện cho tắm (Wood, 1961; Johansen, 1962). Tuy nhiên, phương pháp này gặp phải nhiều khó khăn khi giải quyết những bài toán có dạng hình học bất kì, đặc biệt là khi bài toán bao gồm cột và lỗ trống. Do đó, nhiều phương pháp phân tích giới hạn sử dụng FEM và những chương trình toán học được phát triển trong vài thập niên gần đây.