phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến đƣợc trình bày trong 3 chƣơng sau: - Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn - Chƣơng 2: Dạy học chƣơng Hàm số và đồ thị theo hƣớng phát triển năng lực mô hình hóa toán học - Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm 8 c CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Mô hình hóa toán học và một số khái niệm liên quan 1. Mô hình và mô hình toán học 1.
Mô hình Mô hình có thể hiểu là một mẫu, một đại diện, một minh họa đƣợc thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tƣợng thuộc hệ thống [7]. Theo ý nghĩa vật lí của nó, mô hình còn có thể hiểu là một bản sao nhỏ hơn của đối tƣợng, mang những đặc trƣng (đặc điểm, màu sắc, chức năng) của đối tƣợng mà nó biểu diễn [1] và thông qua mô hình đó, ta có thể thao tác và khám phá thuộc tính của đối tƣợng mà không cần đến vật thật [12]. Về mặt trực giác, mô hình thƣờng đƣợc hiểu là một đối tƣợng vật lý, một bản sao, khác về kích thƣớc nhƣng có cấu trúc, tính chất và cách thức vận hành nhƣ đối tƣợng gốc mà mô hình đó thể hiện (nhƣ mô hình không gian vũ trụ, mô hình tên lửa nƣớc, mô hình thuyền buồm…). Tuy nhiên, mô hình còn có thể đƣợc hình thành trong trí não sử dụng với nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (nhƣ hệ tiên đề của hình học Ơclít, ).
Như vậy, mô hình là một hình thức mô tả, minh họa thay thế mà qua đó ta thấy được các đặc điểm, đặc trưng của vật thể thực tế. Mô hình toán học Từ định nghĩa về mô hình đã có, mô hình toán học đƣợc định nghĩa là một biểu diễn cho các phần quan trọng của một hệ thống có sẵn hoặc sắp đƣợc xây dựng nhằm biểu diễn tri thức về hệ thống đó dƣới dạng có thể dùng đƣợc. Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, mô hình toán học là mô hình để mô tả gần đúng một lớp nào đó các hiện tƣợng của thế giới xung quanh, đƣợc diễn đạt bằng các kí hiệu toán học [7]. 9 c Theo tác giả Lê Văn Hồng, mô hình toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà ngƣời ta đặt ra trên hệ thống này [9].
Như vậy,mô hình toán học là mô hình để mô tả, giải thích bằng toán học cho các hiện tượng thế giới xung quanh, được biểu đạt bằng ngôn ngữ toán học. Trong đó, ngôn ngữ toán học có thể là các kí hiệu toán học, thuật ngữ toán học, hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ toán học hoặc thậm chí là các mô hình ảo trên máy vi tính… Từ nghiên cứu của một số tác giả trong nƣớc, ta có thể liệt kê một số mô hình toán học nhƣ sau : - Mô hình số học là mô hình đƣợc biểu diễn bởi các bộ số có thứ tự, bảng phép toán, vecto và tƣơng tự nhƣ bộ số tự nhiên, bộ số nguyên, bộ số hữu tỉ… - Mô hình đại số - giải tích là mô hình đƣợc biểu diễn bởi một số loại phƣơng trình hoặc bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình hoặc hệ bất phƣơng trình với ẩn, tập hợp, hàm số, vecto, ma trận và tƣơng tự nhƣ phƣơng trình bậc nhất một ẩn ax b 0 , phƣơng trình bậc hai một ẩn ax2 bx c 0 … - Đồ thị là mô hình biểu diễn bởi đồ thị của một hàm số nào đó nhƣ đồ thị hàm số y ax b là một đƣờng thẳng, đồ thị hàm số y ax 2 là một parabol đi qua gốc tọa độ… - Mô hình hình học đƣợc biểu diễn bởi các hình học nhƣ hình thang, hình bình hành, hình tam giác, hình tròn… - Mô hình hỗn hợp bao gồm các loại mô hình trên 1. Mô hình hóa toán học và quá trình mô hình hóa toán học MHH có thể hiểu là một quá trình chuyển đổi trừu tƣợng một thực tiễn cụ thể nhằm mô tả thế giới trực giác bằng ngôn ngữ tự nhiên. 10 c Có nhiều định nghĩa và chia sẻ khác nhau về MHHTH trong giáo dục của các tác giả trong và ngoài nƣớc tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà tác giả hƣớng tới.
Sơ đồ về quá trình MHHTH của Pollak (1979) là một trong những sơ đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả hai chiều khi thực hiện MHH. Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong thế giới thực, ngƣời MHH thực hiện chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải bài toán trong thế giới toán học, bằng ngôn ngữ toán học, và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho phép sự lặp đi lặp lại nhiều lần giữa thế giới thực và thế giới toán học. Quá trình mô hình hóa toán học mô phỏng theo Pollak (1979) Thế Thế giới giới toán thực học Theo sơ đồ trên, MHHTH là một quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề thực tiễn, đƣợc xây dựng bằng cách phiên dịch các vấn đề từ thực tiễn thông qua phƣơng tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tƣợng, kí hiệu để giải quyết vấn đề trong môi trƣờng toán học.
Tiếp thu quan điểm của Pollak, Lalina Coulange (1997) đã định nghĩa quá trình MHHTH một vấn đề, tình huống thực tiễn và mô tả quy trình MHHTH theo sơ đồ với các bƣớc cụ thể nhƣ sau: 11 c Sơ đồ 1. Quá trình mô hình hóa toán học mô phỏng theo Lalina Coulange (1997) (Nguồn: Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2014) Theo quan điểm trên, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã định nghĩa trong nghiên cứu của mình là: Quá trình MHHTH là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [7].Và theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Thị Nga [7], [15] quá trình này gồm 4 bƣớc (nhƣ sơ đồ). Theo tác giả Nguyễn Thị Tân An, MHHTH là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu các giải quyết không thể chấp nhận [2]. Ở nghiên cứu của tác giả năm 2013, quy trình MHH đƣợc thể hiện qua 6 bƣớc mô phỏng theo quá trình MHH của Stillman & Galbraith: 12 c Sơ đồ 1.
Quá trình mô hình hóa mô phỏng theo Stillman & Galbraith (2006) (Nguồn: Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh năm 2013) Trong khi đó, tác giả Nguyễn Danh Nam lại cho rằng MHHTH đƣợc hiểu là sử dụng công cụ toán học đƣợc thể hiện dƣới dạng ngôn ngữ toán học, tạo ra mô hình để giải quyết các vấn đề toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn [13].Tác giả đã xuất phát từ tình huống thực tiễn và phân chia quá trình MHH từ 4 bƣớc cơ bản (theo Lê T. Hoài Châu, Nguyễn Thị Nga) hoặc 6 bƣớc (theo Nguyễn T. Tân An) thành 7 bƣớc chi tiết (theo quan điểm của Blum & Leib năm 2006) Sơ đồ 1.
Quá trình mô hình hóa toán học mô phỏng theo Blum & Leib (2006) (Nguồn: Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2015) 13 c Tất cả các quá trình trên cũng đƣợc thể hiện tƣơng tự trong khung đánh giá PISA ở lĩnh vực Toán học [4], [16], [17], quá trình MHH với 4 bƣớc nêu trên đƣợc thể hiện bởi sơ đồ sau: Sơ đồ 1. Chu trình toán học hóa (OECD/PISA) (Nguồn: Tài liệu tập huấn PISA năm 2014) Một số tác giả dùng thuật ngữ “chu trình” thay cho “quá trình” bởi muốn mô tả quá trình trên theo “vòng lặp” khép kín đi từ các tình huống đƣợc nảy sinh trong thực tiễn và kết quả đƣợc dùng để giải thích, cải thiện các vấn đề trong chính thực tiễn. Khi đƣa ra mô hình toán học nào đó và giải quyết vấn đề nhờ mô hình đó, thì bƣớc “rút kinh nghiệm” đƣợc tiến hành để đƣa ra mô hình khác nhằm mô tả hiện thƣợng tốt hơn và giải quyết tốt hơn. Lúc đó từ “chu trình” phù hợp hơn từ quá trình.
Hai từ quá trình và chu trình này đều gắn với MHH. Từ các nghiên cứu quá trình mô hình hóa toán học, luận văn lựa chọn xây dựng định nghĩa về MHHTH theo 4 giai đoạn nhƣ sau: Mô hình hóa toán học là một chu trình giải quyết các vấn đề thực tiễn, các ý tưởng, hiện tượng về thế giới xung quanh thông qua mô hình toán học gồm 4 giai đoạn: Giai đoạn 1: Quan sát, tìm hiểu, khám phá tình huống thực tiễn và xác định các yếu tố quan trọng (biến, tham số) có tác động đến vấn đề 14 c Giai đoạn 2: Xây dựng giả thiết về mối quan hệ giữa các yếu tố bằng toán học và phác họa mô hình toán học tương ứng. Giai đoạn 3: Sử dụng phương pháp và các công cụ toán học phù hợp để phân tích và giải quyết mô hình toán học Giai đoạn 4: Thông báo kết quả và đối chiếu kết quả với thực tế. Đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại các bước nhiều lần cho đến khi có được kết quả hợp lý.
Mô hình hóa toán học trong dạy học phổ thông MHHTH trong giáo dục đã đƣợc xuất hiện trên thế giới từ những năm 1968 tại hội nghị của Freudenthal. Tại đây nhiều nhà khoa học đã ra các câu hỏi liên quan đến MHH, về việc giúp HS áp dụng kiến thức toán vào những tình huống đơn giản cuộc sống. Năm 1977, hội nghị các nƣớc nói tiếng Đức cũng thảo luận một số nội dung về ứng dụng của toán học trong giáo dục. Nghiên cứu của Pollak năm 1979 về ảnh hƣởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trƣờng đã đánh dấu mốc quan trọng trong việc đƣa MHHTH vào nhà trƣờng.
Ông khẳng định, giáo dục toán học phải có trách nhiệm dạy cho HS các sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày. Từ đó, dạy và học MHH trong nhà trƣờng trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu [1].