CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TẬP MỜ Trong các bộ môn toán cơ bản, suy luận logic nguyên thủy hay logic rõ với hai giá trị đúng/sai hay 1/0 đã rất quen thuộc. Tuy nhiên, các suy luận này không đáp ứng được hầu hết các bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tế như những bài toán trong lĩnh vực điều khiển tối ưu, nhận dạng hệ thống,chuyên gia… mà các dữ liệu không đầy đủ, không được định nghĩa một cách rõ ràng. Trong những năm cuối thập kỷ 20, một ngành khoa học mới đã được hình thành và phát triển mạnh mẽ đó là hệ mờ. Đây là hệ thống làm việc với môi trường không hoàn toàn xác định, với các tham số, các chỉ tiêu kinh tế kỹ thuật, các dự báo về môi trường sản xuất kinh doanh chưa hoặc khó xác định một cách thật rõ ràng, chặt chẽ.
Khái niệm logic mờ được giáo sư Lofti A.Zadeh đưa ra lần đầu tiên vào năm 1965 tại Mỹ. Từ đó lý thuyết mờ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi. Chương này tập trung trình bày một số kiến thức cơ bản về tập mờ, hệ mờ có liên quan tới ra quyết định với quan hệ hơn ngôn ngữ sẽ được đề cập tới ở chương sau.1 Định nghĩa Tập mờ A xác định trên tập vũ trụ X là một tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp các giá trị (x,μA(x)), trong đó x X và μA là ánh xạ: μA : X [0,1] Ánh xạ μA được gọi là hàm thuộc hoặc hàm liên thuộc (hoặc hàm thành viên - membership function) của tập mờ A. Tập X được gọi là cơ sở của tập mờ A.
4 μA(x) là độ phụ thuộc, sử dụng hàm thuộc để tính độ phụ thuộc của một phần tử x nào đó, có hai cách: Tính trực tiếp nếu μA(x) ở dạng công thức tường minh. Tra bảng nếu μA(x) ở dạng bảng. Kí hiệu: A = { (μA(x)/x) : x X } Các hàm thuộc μA(x) có dạng “trơn” được gọi là hàm thuộc kiểu S. Đối với hàm thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn μA(x) có độ phức tạp lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lớn.
Trong kỹ thuật điều khiển mờ thông thường, các hàm thuộc kiểu S thường được thay gần đúng bằng một hàm tuyến tính từng đoạn. Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính. Hàm thuộc μA(x) có mức chuyển đổi tuyến tính. Hàm thuộc như trên với m1 = m2 và m3 = m4 chính là hàm thuộc của một tập vũ trụ Ví dụ 1.1 5 Một tập mờ B của các số tự nhiên nhỏ hơn 5 với hàm thuộc μB(x) có dạng như Hình 1.2 định nghĩa trên tập vũ trụ X sẽ chứa các phần tử sau: B = {(1,1),(2,1),(3,0.
Hàm thuộc của tập B. Các số tự nhiên 1, 2, 3 và 4 có độ phụ thuộc như sau: μB(1) = μB(2) = 1, μB(3) = 0.7 Những số không được liệt kê đều có độ phụ thuộc bằng 0.2 Xét X là tập các giá trị trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh về môn Toán, X = {1, 2, …, 10}. Khi đó khái niệm mờ về năng lực học môn toán giỏi có thể được biểu thị bằng tập mờ A sau: A = 0.0/10 Trong trường hợp tập mờ rời rạc ta có thể biểu diễn tập mờ ở dạng bảng. Chẳng hạn, đối với tập mờ A ở trên ta có bảng như sau: Bảng 1.
Biểu diễn tập mờ A X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 0 0 0 0.2 Các phép toán trên tập mờ 1.1 Phần bù của một tập mờ Cho tập mờ A trên tập vũ trụ X, tập mờ bù của A là tập mờ , hàm thuộc được tính từ hàm thuộc μA(x) Hình 1. Tập bù của tập mờ A. a) Hàm thuộc của tập mờ A. b) Hàm thuộc của tập mờ.
Một cách tổng quát để tìm từ μA(x), ta dùng hàm bù c :[0,1] [0,1] như sau: 7 1.2 Hợp của các tập mờ Cho tập mờ A, B trên tập vũ trụ X, tập mờ hợp của A và B là một tập mờ, ký hiệu là C = A B. Theo phép chuẩn ta có μC(x)từ các hàm thành viên μA(x), μB(x) như sau: μC(x) = μA B(x) = max[μA(x), μB(x)], xX Hình 1. Hợp hai tập mờ có cùng tập vũ trụ. Một cách tổng quát ta dùng hàm hợp u : [0,1]x[0,1] [0,1].
Hàm thành viên μC(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x), μB(x) như sau: μC(x) = u(μA(x), μB(x)) 1.3 Giao của các tập mờ Cho A, B là hai tập mờ trên tập vũ trụ X, tập mờ giao của A và B cũng là một tập mờ, ký hiệu: I = A B. Theo phép giao chuẩn ta có μI(x) từ các hàm thành viên μA(x) , μB(x): μI(x) = μA B(x) = min[μA(x), μB(x)], xX 8 Hình 1. Giao hai tập mờ có cùng tập vũ trụ. Một cách tổng quát ta dùng hàm giao i : [0,1]x[0,1] [0,1].
Hàm thành viên μI(x) có thể được suy từ hàm thành viên μA(x) , μB(x)như sau: μI(x) = i(μA(x), μB(x)) 1.4 Tích Descartes các tập mờ Cho Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi, i = 1, 2, …, n. Tích Descartes của các tập mờ Ai , ký hiệu là A1 × A2 ×…× An hay , là một tập mờ trên tập vũ trụ X1 ×X2 ×…× Xn được định nghĩa như sau: A1 × A2 ×…× An= Ví dụ 1.3 Cho X1 = X2 = {1, 2, 3} và 2 tập mờ A = 0,5/1 + 1,0/2 + 0,6/3 và B = 1,0/1 + 0,6/2 Khi đó: A × B = 0,5/(1,1) + 1,0/(2,1) + 0,6/(3,1) + 0,5/(1,2) + 0,6/(2,2) + 0,6/(2,3) 9 Một ví dụ ứng dụng của tích Descartes là kết nhập (aggreegation) các thông tin mờ về các thuộc tính khác nhau của một đối tượng. Ví dụ trong các hệ luật của các hệ trợ giúp quyết định hay hệ chuyên gia, hệ luật trong điều khiển thường có các luật dạng sau đây: Nếu x1 là A1 và x2 là A2 và… và xn là An thì y là B Trong đó, các xi là các biến ngôn ngữ (vì giá trị của nó là các ngôn ngữ được xem như là nhãn của các tập mờ) và Ai là các tập mờ trên tập vũ trụ Xi của biến xi. Hầu hết các phương pháp giải liên quan đến các luật “nếu - thì” trên đều đòi hỏi việc tích hợp các dữ liệu trong phần tiền tố “nếu” nhờ toán tử kết nhập, một trong những toán tử như vậy là lấy tích Descartes A1 × A2 ×…×An .5 Phép kéo theo Cho (T, S, n) là một bộ ba DeMorgan với n là phép phủ định, phép kéo theo lS(x,y) hay xy được xác định trên khoảng [0,1]2 được định nghĩa bằng biểu thức sau đây: ls(x,y) = S(T(x,y),n(x)) Bảng dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử dụng nhất : Bảng 1.2 Một số phép kéo theo mờ thông dụng STT Tên Biểu thức xác định 1 Early Zadeh xy = max(1-x,min(x,y)) 2 Lukasiewicz xy = min(1,1- x+y) 3 Mandani xy = min(x,y) 10 4 Larsen xy = x.y 5 Standard Strict xy = 1 if x y 0 other 6 Godel xy = 1 if x y y other 7 1 if x y Gaines xy = y x other 8 Kleene – Dienes xy = max(1 –x,y) 9 Kleene – Dienes –Lukasiwicz xy = 1- x + y 10 Yager xy = yx 1.6 Tính chất của các phép toán trên tập mờ Như các phép toán trên tập rõ, các phép toán trên tập mờ cũng có một số tính chất sau đối với các tập mờ A, B, C trên tập vũ trụ X: Giao hoán: A B= B A A B= B A Kết hợp: A ( B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Phân bố: 11 A ( B C) =( A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Đẳng trị: AA=A AA=A Đồng nhất: AX=A A= Hấp thụ: A= AX=X Cuộn xoắn: Bắc cầu: A B, B C A C 1.
Biến ngôn ngữ, nhãn ngôn ngữ 1.1 Biến ngôn ngữ Logic mờ liên quan đến lập luận trên các thuật ngữ mờ và mơ hồ trong ngôn ngữ tự nhiên của con người. Biến nhận các từ trong ngôn ngữ tự nhiên làm giá trị gọi là biến ngôn ngữ. Biến ngôn ngữ dùng để mô hình hóa những tri thức không chính xác hay mơ hồ về một biến mà giá trị chính xác có thể chưa biết. Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X,T(X),U,R,M), trong đó: X là tên biến, T(X) là tập các gía trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu hay còn gọi là miền cơ sở của biến X, R là một quy tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ trong T(X), M là quy tắc gán ngữ nghĩa biểu thị bằng tập mờ trên U cho các từ ngôn ngữ trong T(X).
Cho X là biến ngôn ngữ có tên AGE, miền tham chiếu của X là U = [0,120]. Tập các giá trị ngôn ngữ T(AGE) = {very old, possible old, Less old, less young, quite young, more young,. Chẳng hạn với giá trị nguyên thủy old, quy tắc gán ngữ nghĩa M cho old bằng tập mờ sau: M(old) = {(u,µold(u)) : u [0,120]} Trong đó µold(u)) = max(min(1,(u-50)/20),0), là một cách chọn hàm thuộc cho khái niệm mờ old. Đặc trưng của biến ngôn ngữ - Các giá trị ngôn ngữ có ngữ nghĩa tự nhiên của biến ngôn ngữ khi được con người sử dụng trong cuộc sống hàng ngày; con người sử dụng ngữ nghĩa này để xác định quan hệ thứ tự ngữ nghĩa giữa các giá trị ngôn ngữ của cùng một biến.
- Các gia tử ngôn ngữ được con người sử dụng để nhấn mạnh về mặt ngữ nghĩa của giá trị ngôn ngữ; tức là mỗi gia tử có thể làm mạnh lên hoặc yếu đi ngữ nghĩa tự nhiên của giá trị ngôn ngữ được tác động. Các tính chất trên cho phép chúng ta xây dựng một cấu trúc thứ tự ngữ nghĩa ứng với một biến ngôn ngữ bất kỳ, cấu trúc thứ tự này có thể làm tăng hoặc giảm ngữ nghĩa của giá trị biến ngôn ngữ. 13 Dựa vào đặc trưng của biến ngôn ngữ, ta xây dựng miền giá trị của biến ngôn ngữ thành một tập hợp sắp thứ tự bộ phận. Xét biến ngôn ngữ X, khi đó T(X) là tập hợp các giá trị của biến ngôn ngữ X và được gọi là miền giá trị của biến ngôn ngữ X.2 Nhãn ngôn ngữ Nhãn ngôn ngữ là nhãn có giá trị là giá trị ngôn ngữ.
