Tổng quan nghiên cứu

Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế (PISA) do Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD) khởi xướng từ năm 1997 với chu kỳ 3 năm một lần trên phạm vi hơn 70 quốc gia đã định hình lại chuẩn mực giáo dục toàn cầu. Đánh giá này cho thấy năng lực vận dụng toán học vào các tình huống thực tiễn đời sống là thước đo năng lực cốt lõi của học sinh ở độ tuổi 15. Tuy nhiên, trong chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam, đặc biệt từ đợt đổi mới chương trình năm 2002 và năm 2006, việc đưa các yếu tố thực tế vào môn Toán vẫn nặng tính minh họa một chiều.

Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của đề tài là khảo sát mối quan hệ thể chế đối với tri thức hệ phương trình tuyến tính và làm rõ thực trạng dạy học chủ đề này trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học. Mục tiêu cụ thể nhằm xác định sự chuyển hóa sư phạm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bậc tiểu học, trung học cơ sở đến đại học, đồng thời thiết kế đồ án dạy học thực nghiệm để hiện thực hóa quan niệm "dạy học bằng mô hình hóa". Phạm vi khảo sát bao gồm hệ thống chương trình, sách giáo khoa môn Toán hiện hành tại Việt Nam (Toán lớp 4, 5, 8, 9 và Đại số 10), tài liệu giảng dạy Đại số tuyến tính bậc đại học, cùng quá trình thực nghiệm sư phạm tại Trường THCS Phường 1, thị xã Gò Công, tỉnh Tiền Giang. Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc khắc phục sự mất cân đối khi các bài toán thực tế chỉ chiếm khoảng 29,7% trong sách giáo khoa Toán 9, nâng cao hơn 85% khả năng tự chủ thiết lập mô hình của học sinh trong thực nghiệm.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu vận dụng Lý thuyết nhân chủng học trong Didactic Toán (Anthropological Theory of the Didactic - ATD) của Yves Chevallard nhằm phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức, tổ chức toán học và các quy tắc ngầm định trong hợp đồng sư phạm giữa giáo viên và học sinh. Bên cạnh đó, Lý thuyết tình huống Didactic (Guy Brousseau) được sử dụng để xây dựng đồ án dạy học (ingénierie didactique) thông qua các pha phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm.

Khung lý thuyết mô hình hóa toán học chuẩn mực được kế thừa từ các công trình của Blum, Niss (1991) và Nguyễn Thị Nga (2011), bao gồm chu trình 4 bước:

  1. Chuyển đổi hệ thống thực tiễn ngoài toán học thành mô hình trung gian định tính.
  2. Toán học hóa mô hình trung gian thành mô hình toán học tường minh thông qua việc chọn biến và lập quan hệ định lượng.
  3. Hoạt động toán học thuần túy trong mô hình (sử dụng các thuật toán đại số để giải hệ phương trình).
  4. Phân tích, kiểm định và đối chiếu kết quả toán học với bối cảnh thực tiễn ban đầu.

Đề tài phân biệt rõ hai khái niệm nền tảng: "Dạy học mô hình hóa" (dạy tri thức lý thuyết trước rồi áp dụng vào các bài toán mẫu) và "Dạy học bằng mô hình hóa" (tri thức toán học mới nảy sinh trực tiếp từ nhu cầu giải quyết tình huống thực tiễn).

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích thể chế đối với nguồn dữ liệu gồm 148 bài tập trong chương Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Sách giáo khoa Toán 9 tập 2), nội dung phương trình Đại số 10, cùng 2 giáo trình Toán cao cấp dành cho khối ngành kinh tế (tiêu biểu là tài liệu Đại số tuyến tính của tác giả Trương Lâm Đông năm 2007).

Về phương pháp thực nghiệm sư phạm, tác giả lựa chọn cỡ mẫu gồm 40 học sinh lớp 9 tại Trường THCS Phường 1, thị xã Gò Công, Tiền Giang theo phương pháp chọn mẫu thuận tiện có chủ đích. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích Didactic kết hợp phân tích tiên nghiệm - hậu nghiệm là nhằm làm rõ các ràng buộc thể chế mà phương pháp thống kê định lượng đơn thuần không thể bộc lộ, đồng thời kiểm chứng tính khả thi của tiến trình 6 pha dạy học trong khung thời gian năm học 2011 - 2012.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, phân tích 148 bài tập trong chương Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn của Sách giáo khoa Toán 9 cho thấy: Kiểu nhiệm vụ T1 (Giải hệ phương trình thuần túy) chiếm ưu thế áp đảo với 53,4% (79 bài); Kiểu nhiệm vụ T2 (Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình) chỉ chiếm 29,7% (44 bài); Kiểu nhiệm vụ T3 (Đoán nhận số nghiệm) chiếm 16,9% (25 bài). Thời lượng dành riêng cho giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình chỉ chiếm 2 trên tổng số 13 tiết của chương (tương đương 15,4% thời lượng).

Thứ hai, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã xuất hiện ngầm ẩn từ bậc tiểu học (Toán lớp 4 và lớp 5) qua dạng toán "Tìm hai số khi biết tổng và hiệu" với 19 bài tập (gồm 9 bài số học thuần túy và 10 bài gắn với ngữ cảnh thực tế). Ở giai đoạn này, sơ đồ đoạn thẳng đóng vai trò là một mô hình trung gian trực quan xuất sắc, tương ứng ngầm định với phương pháp cộng đại số.

Thứ ba, ở bậc đại học, trong các giáo trình Toán cao cấp ngành kinh tế với các mô hình như cân bằng thu nhập quốc dân của Keynes, mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa hay mô hình Input - Output của Leontief, mô hình toán học luôn được cung cấp sẵn. Sinh viên chỉ thực hiện 100% thao tác tính toán ở Bước 3 và Bước 4, hoàn toàn bỏ qua Bước 1 và Bước 2 của chu trình mô hình hóa.

Thứ tư, kết quả thực nghiệm đồ án dạy học 6 pha cho thấy trên 85% học sinh trong các nhóm đã vượt qua chướng ngại chọn ẩn số thực tế, tự chủ thiết lập mô hình trung gian và hình thành hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn một cách tự nhiên.

Thảo luận kết quả

Thực trạng phân tích chứng minh thể chế dạy học toán tại Việt Nam chủ yếu duy trì mối quan hệ ứng dụng thay vì mô hình hóa thực thụ. Bước 1 (loại bỏ chi tiết phụ để lập mô hình định tính) và Bước 2 (toán học hóa) thường bị loại bỏ do đề bài đã được "chuẩn hóa" thành các bài toán phỏng thực tế. Giáo viên và học sinh bị ràng buộc bởi hợp đồng sư phạm truyền thống: đọc đề, quy về dạng quen thuộc, giải hệ và ghi đáp số.

Cấu trúc phân bổ bài tập toán học có thể được hình dung trực quan qua bảng dữ liệu tổng hợp:

Phân loại kiểu nhiệm vụ trong SGK Toán 9 Số lượng bài tập Tỷ lệ phần trăm
Giải hệ phương trình thuần túy (Nhiệm vụ T1) 79 53,4%
Giải bài toán thực tế bằng lập hệ (Nhiệm vụ T2) 44 29,7%
Đoán nhận số nghiệm hình học (Nhiệm vụ T3) 25 16,9%
Tổng cộng 148 100%

Sự mất cân đối này giải thích vì sao học sinh phổ thông thường gặp lúng túng lớn khi đối mặt với các bài đánh giá năng lực thực tế theo chuẩn PISA. Kết quả này hoàn toàn đồng thuận với các kết luận của Nguyễn Thị Nga (2011) về phương trình lượng giác, Quách Huỳnh Hạnh (2009) về thống kê và Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010) về hàm số.

Đề xuất và khuyến nghị

Thứ nhất, tái cấu trúc thời lượng chương trình môn Toán cấp THCS và THPT. Bộ Giáo dục và Đào tạo cùng các tổ chuyên môn cần nâng tỷ trọng các tiết học giải bài toán thực tiễn từ mức 15,4% hiện tại lên tối thiểu 30% đến 35% tổng thời lượng chương trình, thực hiện ngay trong phân phối chương trình của năm học tới.

Thứ hai, chuyển đổi triệt để từ tiến trình "Dạy học mô hình hóa" sang "Dạy học bằng mô hình hóa". Giáo viên cần chủ động thiết kế các tình huống có vấn đề xuất phát từ hiện tượng tự nhiên, kinh tế, xã hội (như chuyển động, dân số, năng suất) để học sinh tự trải nghiệm trọn vẹn 4 bước của chu trình mô hình hóa thay vì cung cấp sẵn công thức.

Thứ ba, cải tiến cấu trúc đề kiểm tra và đánh giá định kỳ. Đưa tối thiểu 20% đến 25% câu hỏi đòi hỏi năng lực thiết lập mô hình toán học và kiểm định kết quả thực tế vào các bài thi học kỳ, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 và kỳ thi tốt nghiệp THPT, tạo "vùng sinh tồn" vững chắc cho phương pháp dạy học mới.

Thứ tư, triển khai các khóa bồi dưỡng Didactic chuyên sâu cho giáo viên phổ thông. Các trường Đại học Sư phạm cần phối hợp với Sở Giáo dục và Đào tạo tổ chức chương trình tập huấn 40 giờ chuyên đề về kỹ thuật xây dựng đồ án dạy học thực nghiệm, hướng dẫn khai thác mô hình trung gian và sử dụng phần mềm hỗ trợ mô phỏng toán học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

  1. Giáo viên môn Toán tại các trường THCS và THPT: Khai thác tài liệu để thiết kế các giáo án thực nghiệm sinh động về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giúp bài giảng thoát ly khỏi lối mòn giải toán hình thức.
  2. Chuyên gia phát triển chương trình và tác giả biên soạn sách giáo khoa: Tham khảo nguồn số liệu phân tích thể chế (148 bài tập) để cân đối hợp lý tỷ lệ giữa toán học lý thuyết và toán học ứng dụng thực tiễn trong các lần tái bản sách.
  3. Giảng viên và học viên cao học chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán: Sử dụng khung lý thuyết nhân chủng học, khái niệm hợp đồng sư phạm và phương pháp luận thiết kế đồ án thực nghiệm 6 pha làm tài liệu nghiên cứu mẫu.
  4. Sinh viên ngành Sư phạm Toán: Nắm bắt sâu sắc bản chất của phương pháp "Dạy học bằng mô hình hóa", chuẩn bị năng lực sư phạm đáp ứng các yêu cầu giảng dạy đổi mới theo định hướng phát triển năng lực người học.

Câu hỏi thường gặp

  1. Mô hình hóa toán học khác biệt như thế nào so với việc giải bài toán thực tế thông thường trong sách giáo khoa? Mô hình hóa toán học đòi hỏi học sinh tự trải qua chu trình 4 bước, từ phân tích bài toán thực, xây dựng mô hình trung gian đến đối chiếu kết quả. Ngược lại, bài toán thực tế trong sách giáo khoa hiện nay thường đã được toán học hóa sẵn, học sinh chỉ cần thay số vào công thức mà không hiểu bản chất thực tiễn.

  2. Tại sao dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu ở lớp 4 lại được xem là hệ phương trình ngầm ẩn? Bản chất của bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu là tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Việc học sinh lớp 4 vẽ sơ đồ đoạn thẳng để tính hai lần số bé chính là việc thực hiện phép trừ đại số ngầm ẩn để khử một ẩn số mà chưa cần dùng đến ký hiệu đại số x, y.

  3. Trở ngại lớn nhất của giáo viên khi triển khai dạy học bằng mô hình hóa là gì? Trở ngại lớn nhất là việc thiết kế tình huống thực tiễn vừa sức và áp lực thời gian giảng dạy. Các giờ học mô hình hóa đòi hỏi giáo viên đầu tư nhiều thời gian chuẩn bị và cần thêm khoảng 30% thời gian trên lớp để quản lý các tình huống mở và hướng dẫn học sinh tranh luận, phản biện.

  4. Học sinh được hưởng lợi ích gì rõ rệt nhất từ tiến trình dạy học bằng mô hình hóa? Tiến trình này giúp học sinh hiểu sâu sắc nguồn gốc hình thành của tri thức toán học, phát triển tư duy phê phán và năng lực giải quyết vấn đề. Dữ liệu thực nghiệm tại Tiền Giang ghi nhận hơn 85% học sinh vận dụng linh hoạt hệ phương trình để xử lý các bài toán liên môn như Vật lý và Hóa học.

  5. Vì sao các giáo trình Toán cao cấp bậc đại học khối ngành kinh tế vẫn cung cấp sẵn mô hình toán? Do sinh viên năm thứ nhất chưa tích lũy đủ kiến thức chuyên sâu về kinh tế học vĩ mô và vi mô. Các giáo trình thường giản lược Bước 1 và Bước 2, cung cấp sẵn hệ phương trình tuyến tính để tập trung rèn luyện kỹ thuật đại số ma trận và định thức ở Bước 3.

Kết luận

  • Luận văn đã hệ thống hóa cơ sở lý luận Didactic vững chắc về mô hình hóa toán học, vạch rõ ranh giới khoa học giữa dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa.
  • Phân tích chi tiết 148 bài tập trong chương trình Toán 9, chỉ ra sự áp đảo của dạng toán đại số thuần túy (53,4%) so với dạng toán thực tế (29,7%).
  • Chứng minh sự hiện diện ngầm ẩn nhưng hiệu quả của hệ phương trình tuyến tính từ cấp tiểu học thông qua công cụ mô hình trung gian sơ đồ đoạn thẳng.
  • Khảo sát các ràng buộc thể chế ở bậc đại học, làm rõ nguyên nhân của việc tinh giản quy trình lập mô hình trong các giáo trình toán kinh tế.
  • Thiết kế và thực nghiệm thành công đồ án dạy học 6 pha tại Tiền Giang, nâng tỷ lệ học sinh tự chủ lập mô hình toán học lên trên 85%.

Kế hoạch tiếp theo cần tập trung mở rộng quy mô áp dụng đồ án dạy học này tại các trường phổ thông trong học kỳ tới; quý thầy cô và các nhà nghiên cứu quan tâm có thể khai thác toàn văn tài liệu luận văn để ứng dụng chi tiết bộ giáo án thực nghiệm vào thực tế giảng dạy.