Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường Đất Đắp Trên Nền Thiên Nhiên

Luận án tiến sĩ nghiên cứu về ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên, cung cấp giải pháp tối ưu cho công trình giao thông.

• Tác giả: Đỗ Thắng
• Người hướng dẫn: GS.TSKH Hà Huy Cương
• Trường học: Trường Đại Học Giao Thông Vận Tải
• Chuyên ngành: Xây Dựng Đường Ô Tô Và Đường Thành Phố
• Đề tài: Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường Đất Đắp Trên Nền Thiên Nhiên
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
• DANH MỤC CÁC BẢNG
• DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
• MỞ ĐẦU
• Lý do chọn đề tài
• Mục đích nghiên cứu
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
• Bố cục của luận án
• Đóng góp mới của luận án
• 1. Chương 1: TỔNG QUAN VỀ NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN
• 1.1. Phân tích các nghiên cứu liên quan ở trong và ngoài nước
• 1.1.1. Các dạng mất ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên
• 1.1.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường
• 1.1.3. Các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng
• 1.1.4. Phương pháp nghiên cứu ổn định khối đất
• 1.1.5. Cường độ giới hạn nền thiên nhiên
• 1.1.6. Phương pháp nghiên cứu ổn định mái dốc
• 1.2. Những vấn đề còn tồn tại trong nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên
• 1.3. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án
• 2. Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN
• 2.1. Trường ứng suất đàn hồi trong đất
• 2.2. Trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max)
• 2.3. Xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong đất
• 2.4. Phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán
• 2.5. Lời giải bài toán Flamant bằng số
• 2.6. Lời giải bài toán phẳng theo lý thuyết min (max)
• 2.7. Kết quả và bàn luận
• 3. Chương 3: BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TẢI TRỌNG GIỚI HẠN VÀ ỔN ĐỊNH MÁI DỐC
• 3.1. Trạng thái ứng suất tự nhiên của nền đất trong nửa không gian vô hạn
• 3.2. Bài toán Prandtl
• 3.3. Bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô
• 3.4. Kết quả và bàn luận
• 4. Chương 4: NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH KHỐI ĐẤT CÓ MÁI DỐC THẲNG ĐỨNG
• 4.1. Nghiên cứu ổn định mái dốc thẳng đứng do tải trọng ngoài
• 4.2. Nghiên cứu ổn định mái dốc thẳng đứng do trọng lượng bản thân
• 4.3. Kết quả và bàn luận
• 5. Chương 5: PHƯƠNG PHÁP MỚI NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN
• 5.1. Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên. Xây dựng bài toán
• 5.2. Khảo sát ảnh hưởng của lưới sai phân đến chiều cao giới hạn nền đắp
• 5.3. Khảo sát ảnh hưởng của bề rộng nền đắp đến chiều cao giới hạn nền đắp
• 5.4. Khảo sát ảnh hưởng của độ dốc taluy đến chiều cao giới hạn nền đắp
• 5.5. Khảo sát ảnh hưởng của lực dính đơn vị đến chiều cao giới hạn nền đắp
• 5.6. Khảo sát ảnh hưởng của góc nội ma sát đến chiều cao giới hạn nền đắp
• 5.7. So sánh kết quả tính toán chiều cao giới hạn nền đắp theo phương pháp phân tích giới hạn với phương pháp cân bằng giới hạn
• 5.8. Khảo sát ảnh hưởng của nền đất không đồng nhất đến chiều cao giới hạn nền đắp
• 5.9. Ứng dụng phương pháp mới nghiên cứu ổn định nền đường trong tính toán thiết kế
• 5.10. Kết quả và bàn luận
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường Đất Đắp Trên Nền Thiên Nhiên

Nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên là một trong những yếu tố quan trọng trong xây dựng cơ sở hạ tầng giao thông. Việc nghiên cứu ổn định nền đường không chỉ giúp đảm bảo an toàn cho người sử dụng mà còn kéo dài tuổi thọ của công trình. Các nghiên cứu hiện tại đã chỉ ra rằng, nền đường cần phải đáp ứng các tiêu chuẩn về cường độ và ổn định để chịu được tải trọng và các yếu tố môi trường. Những thách thức trong việc duy trì ổn định nền đường đắp trên nền thiên nhiên đang ngày càng trở nên cấp thiết.

1.1. Các Nghiên Cứu Liên Quan Đến Ổn Định Nền Đường

Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến ổn định nền đường. Các phương pháp như phân tích giới hạn và mô hình hóa ứng suất đã được áp dụng để đánh giá tình trạng nền đường. Những nghiên cứu này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cơ chế hoạt động của nền đường mà còn cung cấp cơ sở cho việc phát triển các phương pháp mới.

1.2. Tình Hình Ổn Định Nền Đường Ở Việt Nam

Tại Việt Nam, việc nghiên cứu nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên đã được chú trọng. Các tiêu chuẩn thiết kế hiện hành yêu cầu nền đường phải đảm bảo ổn định và cường độ. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều thách thức trong việc áp dụng các phương pháp nghiên cứu hiện đại vào thực tiễn.

II. Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường

Một trong những thách thức lớn nhất trong nghiên cứu ổn định nền đường là sự biến đổi của các yếu tố môi trường. Đất nền có thể thay đổi tính chất theo thời gian, ảnh hưởng đến khả năng chịu tải của nền đường. Ngoài ra, việc xác định các điều kiện chảy dẻo và ứng suất trong đất cũng là một vấn đề phức tạp. Các phương pháp truyền thống thường không đủ để giải quyết các vấn đề này một cách hiệu quả.

2.1. Các Yếu Tố Ảnh Hưởng Đến Ổn Định Nền Đường

Các yếu tố như độ ẩm, tải trọng và cấu trúc đất đều có thể ảnh hưởng đến ổn định nền đường. Việc phân tích các yếu tố này là cần thiết để đưa ra các giải pháp phù hợp nhằm nâng cao độ bền vững của nền đường.

2.2. Những Khó Khăn Trong Việc Áp Dụng Phương Pháp Nghiên Cứu

Việc áp dụng các phương pháp nghiên cứu hiện đại vào thực tiễn gặp nhiều khó khăn do thiếu dữ liệu và công nghệ. Các phương pháp như mô hình hóa ứng suất và phân tích giới hạn cần được cải tiến để phù hợp hơn với điều kiện thực tế tại Việt Nam.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường Đất Đắp

Để nghiên cứu ổn định nền đường, nhiều phương pháp đã được phát triển. Phương pháp phân tích giới hạn và mô hình hóa ứng suất là hai trong số những phương pháp phổ biến nhất. Những phương pháp này giúp xác định các điều kiện cần thiết để duy trì ổn định cho nền đường trong suốt thời gian sử dụng.

3.1. Phương Pháp Phân Tích Giới Hạn

Phương pháp phân tích giới hạn giúp xác định các điều kiện cần thiết để nền đường không bị phá hoại. Phương pháp này đã được áp dụng rộng rãi trong thiết kế nền đường và cho kết quả đáng tin cậy.

3.2. Mô Hình Hóa Ứng Suất Trong Đất

Mô hình hóa ứng suất trong đất là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu ổn định nền đường. Phương pháp này cho phép xác định trạng thái ứng suất trong khối đất và giúp dự đoán các hiện tượng mất ổn định.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường

Nghiên cứu về ổn định nền đường không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn cao. Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trong thiết kế và thi công nền đường, giúp nâng cao độ bền vững và an toàn cho công trình. Việc áp dụng các phương pháp mới vào thực tiễn sẽ giúp cải thiện chất lượng nền đường.

4.1. Kết Quả Nghiên Cứu Ứng Dụng Trong Thiết Kế

Các kết quả nghiên cứu đã được áp dụng vào thiết kế nền đường, giúp xác định chiều cao và độ dốc giới hạn của nền đắp. Điều này giúp các kỹ sư có thể đưa ra các giải pháp thiết kế hiệu quả hơn.

4.2. Các Biện Pháp Nâng Cao Ổn Định Nền Đường

Nghiên cứu cũng đã chỉ ra các biện pháp nâng cao ổn định nền đường như gia cường nền đất và cải thiện cấu trúc nền. Những biện pháp này giúp giảm thiểu rủi ro và tăng cường độ bền cho nền đường.

V. Kết Luận Về Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường Đất Đắp

Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên là một lĩnh vực quan trọng trong xây dựng cơ sở hạ tầng. Các phương pháp nghiên cứu hiện đại đã giúp cải thiện khả năng dự đoán và đánh giá tình trạng nền đường. Tuy nhiên, vẫn cần tiếp tục nghiên cứu và phát triển để đáp ứng các yêu cầu ngày càng cao trong thực tiễn.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu Ổn Định Nền Đường

Tương lai của nghiên cứu ổn định nền đường sẽ phụ thuộc vào việc áp dụng các công nghệ mới và cải tiến phương pháp nghiên cứu. Việc này sẽ giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong thiết kế nền đường.

5.2. Đề Xuất Các Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo

Các hướng nghiên cứu tiếp theo nên tập trung vào việc phát triển các phương pháp mới và cải tiến các phương pháp hiện có. Điều này sẽ giúp giải quyết các vấn đề còn tồn tại trong nghiên cứu ổn định nền đường.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Nền đường là bộ phận chịu lực cốt lõi trong công trình đường ô tô, giữ vai trò quyết định đến sự ổn định và tuổi thọ của toàn bộ kết cấu áo đường phía trên. Hai vấn đề kỹ thuật trọng yếu trong thiết kế nền đường là bài toán ổn định và bài toán lún. Theo Tiêu chuẩn thiết kế đường ô tô hiện hành TCVN 4054-2005, nền đường đắp trên nền thiên nhiên phải thỏa mãn đồng thời hai yêu cầu kỹ thuật:

• Đảm bảo ổn định toàn khối, không xuất hiện các hiện tượng mất ổn định như trượt lở mái taluy, trượt phần đắp trên sườn dốc tự nhiên, trượt trồi hoặc lún sụt cục bộ khi xây dựng trên nền đất yếu.
• Đảm bảo đủ cường độ chịu lực, không phát sinh các vùng biến dạng dẻo nguy hiểm làm lượn sóng hoặc phá hoại kết cấu mặt đường trong suốt thời gian khai thác.

Khoảng trống nghiên cứu được chỉ ra xuất phát từ hạn chế của phương pháp cân bằng giới hạn truyền thống đang được áp dụng rộng rãi. Trong bài toán phẳng, hệ phương trình cơ bản gồm hai phương trình vi phân cân bằng tĩnh học nhưng có tới ba thành phần ứng suất chưa biết. Để giải hệ này, các phương pháp truyền thống phải gán thêm điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb hoặc giả thiết trước dạng hình học của mặt trượt (mặt trượt trụ tròn, mặt trượt phẳng, mặt trượt xoắn ốc logarit). Cách tiếp cận này bộc lộ các nhược điểm:

1. Việc áp dụng điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb đối với đất có ma sát làm thay đổi thể tích khối đất khi chảy dẻo, vi phạm quy tắc chảy dẻo kết hợp và chưa phản ánh đúng bản chất của phương pháp phân tích giới hạn trong lý thuyết đàn - dẻo lý tưởng.
2. Không thể xác định được trạng thái ứng suất tại các điểm chưa đạt trạng thái chảy dẻo, dẫn đến việc không đánh giá được trạng thái cơ học của toàn khối đất.
3. Nghiên cứu tách rời giữa bài toán ổn định mái dốc của nền đắp với bài toán sức chịu tải giới hạn của nền đất thiên nhiên bên dưới, bỏ qua sự tương tác cơ học qua lại giữa hai bộ phận này.

Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm:

1. Xây dựng phương pháp mới dựa trên việc áp dụng trực tiếp định lý giới hạn kết hợp với lý thuyết $\min(\tau_{\max})$ nhằm đánh giá ổn định đồng thời của nền đắp và nền thiên nhiên, phù hợp với điều kiện làm việc thực tế của môi trường đất.
2. Ứng dụng phương pháp đã thiết lập để xây dựng các chương trình tính toán số, lập bảng tra cứu và hệ thống toán đồ hỗ trợ xác định nhanh chiều cao giới hạn ($H_{gh}$) và độ dốc giới hạn của nền đường đắp.
3. Sử dụng định lý giới hạn dưới để xác định trường phân bố ứng suất trước khi phá hoại và nhận diện lưới mặt trượt thực tế thông qua các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo, làm cơ sở đề xuất giải pháp xử lý gia cường nền đất đúng vị trí.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

• Đối tượng nghiên cứu: Nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên.
• Phạm vi nghiên cứu: Đánh giá trạng thái ổn định cơ học của khối nền đường đất đắp và nền thiên nhiên xét trong bài toán phẳng (bài toán biến dạng phẳng).

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã tổng hợp và phân tích có hệ thống các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến bài toán ổn định khối đất và nền đường:

• Charles-Augustin de Coulomb (1776): Đưa ra giả thiết mặt trượt phẳng để tính toán áp lực đất lên tường chắn và thiết lập điều kiện ứng suất tiếp giới hạn $\tau_f = \sigma \tan \varphi + c$.
• Koiter (1903): Đề xuất biến đổi hệ phương trình cân bằng sang hệ tọa độ cong có tiếp tuyến trùng với vectơ đường trượt.
• Ludwig Prandtl (1920): Tìm ra hàm giải tích xác định lưới đường trượt gồm các đoạn thẳng và xoắn ốc logarit cho móng cứng trên nền không trọng lượng, xác định tải trọng giới hạn $p_{gh} = (\pi + 2)c = 5,14c$.
• Wolmar Fellenius (1926): Đề xuất phương pháp phân mảnh cổ điển giả thiết mặt trượt trụ tròn, bỏ qua lực tương tác giữa các phân mảnh.
• Novotortsev (1938): Phát triển lời giải giải tích cho bài toán móng chịu tải trọng đặt xiên góc so với phương đứng.
• Karl Terzaghi (1943): Mở rộng bài toán Prandtl cho móng thô ráp có xét ma sát đáy móng và trọng lượng bản thân của đất, đưa ra công thức tải trọng giới hạn $p_{gh} = \frac{1}{2}\gamma B N_\gamma + q N_q + c N_c$.
• Alan W. Bishop (1955): Hoàn thiện phương pháp phân mảnh mặt trượt tròn có xét đến các lực đẩy ngang tác dụng tương hỗ giữa hai bên mảnh trượt.
• Berezansev (1958): Xác định nêm đất dạng tam giác cân góc đáy $\theta = \pi/4 - \varphi/2$ dưới đáy móng và lập công thức sức chịu tải giới hạn $p_{gh} = \gamma B N_\gamma + q N_q + c N_c$.
• V. V. Sokolovski (1965): Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn giải hệ phương trình vi phân đường trượt.
• Wai-Fah Chen (1975): Ứng dụng lý thuyết phân tích giới hạn và mặt trượt xoắn ốc logarit để đánh giá chiều cao giới hạn của mái dốc đứng theo cận dưới $H_{gh(dưới)} = \frac{2c}{\gamma} \tan(45^\circ + \varphi/2)$ và cận trên $H_{gh(trên)} = \frac{3,83c}{\gamma} \tan(45^\circ + \varphi/2)$.
• N. N. Maslov và K. A. Shakhunyants: Phát triển phương pháp tính ổn định trên sườn dốc với mặt trượt gãy khúc; Maslov thiết lập công thức xác định ứng suất tiếp cực đại $\tau_{\max} = 0,25p$ cho tải trọng hình tam giác.
• N. P. Puzyrevsky: Xác định tải trọng giới hạn đàn hồi $p_0$ của nền đất có xét đến trọng lượng thể tích.
• Lê Bá Lương: Nghiên cứu sự hình thành vùng trạng thái ứng suất giới hạn dưới tải trọng nền đắp tam giác ($p_0 = 2c\pi / \alpha_0$), đề xuất phương pháp đường đẳng $K_{\min}$ và tiêu chuẩn phạm vi vùng dẻo cho phép $R \le \frac{1}{2}B$.
• Đặng Hữu: Thiết lập khái niệm ứng suất cắt hoạt động $\tau_a$ và xây dựng hệ thống toán đồ xác định tỷ số $\tau_a/p$ cho nền đắp hình thang.
• Janbu, Morgenstern-Price, Spencer, Fredlund (phương pháp GLE): Các phương pháp phân mảnh tổng quát xét đến cân bằng lực và mômen giữa các mảnh trượt.
• Ngô Thị Thanh Hương và Hà Huy Cương (2011): Kết hợp điều kiện ứng suất tiếp cực đại đạt cực tiểu $\min(\tau_{\max})$ với hai phương trình cân bằng để giải trạng thái ứng suất chưa tới hạn của nền, góc dốc tới hạn của cát khô và tải trọng giới hạn móng băng không trọng lượng.
• Nguyễn Minh Khoa: Ứng dụng lý thuyết $\min(\tau_{\max})$ giải bài toán ứng suất giới hạn nền đất dưới tác dụng của nền đường và bệ phản áp, nhưng quy đổi nền đắp thành tải trọng phân bố ngoài.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án lựa chọn giải quyết là: Khắc phục sự tách rời giữa nền đắp và nền thiên nhiên bằng cách xây dựng bài toán ổn định tổng thể đồng thời; loại bỏ việc phải giả định trước dạng hình học của mặt trượt; và áp dụng trực tiếp định lý giới hạn dưới của lý thuyết phân tích giới hạn thông qua việc kết hợp điều kiện tối ưu $\min(\tau_{\max})$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên các cơ sở lý thuyết và phương pháp sau:

• Khái niệm môi trường đàn dẻo lý tưởng: Đất được mô hình hóa là vật liệu đàn dẻo lý tưởng tuân theo điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb biểu diễn qua các thành phần ứng suất trong bài toán phẳng: $$\tau_{\max} = \sqrt{\frac{(\sigma_x - \sigma_y)^2}{4} + \tau_{xy}^2} \le \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\sin\varphi + c\cos\varphi$$
• Quy tắc chảy dẻo và phân tích giới hạn: Tốc độ biến dạng dẻo $\dot{\varepsilon}{ij}^p = \lambda \frac{\partial f}{\partial \sigma{ij}}$, năng lượng dẻo khuếch tán thỏa mãn bất đẳng thức $(\sigma_{ij} - \sigma_{ij}^0)\dot{\varepsilon}_{ij}^p \ge 0$. Định lý giới hạn dưới khẳng định tải trọng thực tế gây phá hoại luôn lớn hơn hoặc bằng tải trọng lớn nhất tìm được từ một trường ứng suất tĩnh học cân bằng không vi phạm điều kiện chảy dẻo.
• Lý thuyết $\min(\tau_{\max})$: Dựa trên quy luật hình thành trầm tích tự nhiên và quá trình đầm nén đất (đạt độ chặt khô cực đại $\gamma_{k\max}$ tại độ ẩm tối ưu $W_{tn}$), trạng thái ứng suất tự nhiên trong đất có xu hướng tự điều chỉnh để ứng suất tiếp lớn nhất đạt giá trị cực tiểu ($\tau_{\max} \to \min$).
• Thiết lập mô hình toán học: Kết hợp 2 phương trình vi phân cân bằng với nguyên lý cực trị, dẫn đến bài toán quy hoạch phi tuyến xác định phiếm hàm Lagrange: $$Z = \int_V \left[ \tau_{\max} - \left( \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\sin\varphi + c\cos\varphi \right) \right]^2 dV \to \min$$ với các ràng buộc phương trình cân bằng vi phân tĩnh học: $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} = 0; \quad \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} - \gamma = 0$$
• Phương pháp giải số: Luận án sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method) rời rạc hóa miền tính toán thành lưới các nút $(i, j)$ với kích thước bước lưới $\Delta x, \Delta y$. Mô hình tối ưu hóa phi tuyến được lập trình và giải trên phần mềm MATLAB.
• Nguồn dữ liệu sử dụng: Các thông số cơ lý chuẩn của đất gồm lực dính đơn vị của nền thiên nhiên ($c_0$) và nền đắp ($c_1$), góc nội ma sát nền thiên nhiên ($\varphi_0$) và nền đắp ($\varphi_1$), trọng lượng thể tích ($\gamma$), môđun đàn hồi ($E$), môđun trượt ($G$) và hệ số Poisson ($\nu$).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Tổng quan về nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên

Chương 1 tổng hợp các dạng mất ổn định phổ biến của nền đắp (trượt mái taluy, trượt phần đắp trên sườn dốc, lún sụt và trượt trồi trên đất yếu) theo quy định của TCVN 4054-2005. Phân tích chi tiết các phương pháp đánh giá ổn định: phương pháp giải tích đường trượt (Prandtl, Sokolovski), phương pháp phân mảnh cân bằng giới hạn (Fellenius, Bishop, Janbu, Spencer, Morgenstern-Price, GLE), phương pháp lý thuyết đàn hồi (Flamant, Puzyrevsky, Maslov, Lê Bá Lương, Đặng Hữu) và phương pháp phân tích giới hạn của W. Chen. Chương này làm rõ các tồn tại về mặt toán học và cơ học của các phương pháp cũ, từ đó xác lập mục tiêu nghiên cứu của luận án.

Chương 2: Cơ sở lý thuyết nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên

Chương 2 trình bày bản chất cơ học của lý thuyết $\min(\tau_{\max})$, so sánh trường ứng suất đàn hồi với trường ứng suất xác định theo lý thuyết $\min(\tau_{\max})$. Sử dụng phép tính biến phân thiết lập hệ 6 phương trình Euler-Lagrange và rút gọn về phương trình vi phân cấp bốn đối với các thành phần ứng suất. Chương này trình bày chi tiết thuật toán sai phân hữu hạn giải bài toán Flamant, chứng minh nghiệm số hội tụ chính xác với nghiệm giải tích giải bằng phương pháp đàn hồi cổ điển, khẳng định tính khả thi của việc giải hệ phương trình ứng suất trong môi trường đất.

Chương 3: Bài toán cơ bản về tải trọng giới hạn và ổn định mái dốc

Chương 3 áp dụng lý thuyết $\min(\tau_{\max})$ và thuật toán sai phân hữu hạn để kiểm chứng trên ba bài toán cơ bản:

1. Xác định trạng thái ứng suất tự nhiên trong nửa không gian vô hạn dưới tác dụng của trọng lượng bản thân.
2. Bài toán Prandtl về móng băng cứng đặt trên nền không trọng lượng: Kết quả giải số cho giá trị tải trọng giới hạn đạt $p_{gh} = 5,14c$, trùng khớp với nghiệm giải tích chính xác của Prandtl.
3. Bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô không dính ($c=0$): Kết quả tính toán số chứng minh góc nghiêng giới hạn của mái dốc cát khô đúng bằng góc nội ma sát $\varphi$ của vật liệu cát.

Chương 4: Nghiên cứu ổn định khối đất có mái dốc thẳng đứng

Chương 4 nghiên cứu cơ chế hình thành vùng dẻo và mặt trượt của mái dốc thẳng đứng trong hai trường hợp:

1. Mái dốc chịu tải trọng ngoài phân bố đều trên mặt: Tải trọng giới hạn xác định từ mô hình trùng khớp với công thức lý thuyết, các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo thể hiện rõ mặt trượt phát triển từ mép tải trọng chạy nghiêng xuống chân mái dốc.
2. Mái dốc chỉ chịu tác dụng của trọng lượng bản thân: Khảo sát quá trình xuất hiện điểm chảy dẻo đầu tiên tại chân mái dốc đứng và sự lan truyền của vùng chảy dẻo khi tăng dần chiều cao $H$. Kết quả cho thấy khi không có tải trọng ngoài, mặt trượt không xuất hiện trực tiếp trên bề mặt đứng mà hình thành vùng dẻo tập trung ở chân dốc.

Chương 5: Phương pháp mới nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên

Chương 5 là nội dung trọng tâm của luận án, xây dựng bài toán ổn định tổng thể nền đắp hình thang đặt trên nền thiên nhiên. Luận án tiến hành các khảo sát tham số chi tiết:

• Ảnh hưởng của kích thước lưới sai phân ($\Delta x, \Delta y$) đến độ chính xác của chiều cao giới hạn $H_{gh}$.
• Ảnh hưởng của bề rộng đỉnh nền đắp $B$, độ dốc taluy ($1:m$), lực dính đơn vị ($c_0, c_1$) và góc nội ma sát ($\varphi_0, \varphi_1$) đến chiều cao giới hạn $H_{gh}$.
• Khảo sát trường hợp nền đất không đồng nhất và sự tương tác giữa cường độ vật liệu đắp với cường độ nền thiên nhiên.
• Xây dựng hệ thống bảng số liệu, lập biểu đồ đường đẳng trị khả năng chảy dẻo, xây dựng toán đồ quan hệ giữa tỷ số không thứ nguyên $H_{gh}\gamma/c_0$ với góc nội ma sát $\varphi$ và tỷ số lực dính $c_1/c_0$.
• So sánh kết quả tính $H_{gh}$ theo phương pháp phân tích giới hạn của luận án với phương pháp Fellenius và Bishop, đồng thời ứng dụng phương pháp vào tính toán kiểm toán trắc dọc thiết kế thực tế.

Bảng tổng hợp các thông số khảo sát và phạm vi ảnh hưởng đến chiều cao giới hạn nền đắp trong Chương 5:

Tham số khảo sát	Ký hiệu	Quy luật biến thiên tác động đến chiều cao giới hạn $H_{gh}$
Lực dính đơn vị	$c_1, c_0$	$H_{gh}$ tăng tuyến tính rõ rệt khi lực dính đơn vị tăng lên; $c$ là yếu tố quyết định giữ ổn định mái dốc.
Góc nội ma sát	$\varphi_1, \varphi_0$	$H_{gh}$ tăng khi $\varphi$ tăng; tác động làm tăng sức chịu tải tổng thể của nền.
Độ dốc mái taluy	$1:m$	Mái taluy càng thoải ($m$ càng lớn) thì $H_{gh}$ càng tăng; mái dốc càng đứng thì $H_{gh}$ giảm mạnh.
Bề rộng nền đắp	$B$	Khi $B$ tăng, tải trọng tác dụng mở rộng, vùng chảy dẻo dưới nền phát triển sâu hơn, ảnh hưởng đến $H_{gh}$.
Tương quan cường độ	$(c_1,\varphi_1) \le (c_0,\varphi_0)$	Mặt trượt chỉ xuất hiện cục bộ ở khu vực chân taluy nền đắp.
Tương quan cường độ	$(c_1,\varphi_1) > (c_0,\varphi_0)$	Mặt trượt phát triển ăn sâu xuống tầng nền đất thiên nhiên bên dưới.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các kết quả và đóng góp mới sau:

1. Về mặt phương pháp lý luận: Sử dụng lý thuyết $\min(\tau_{\max})$ để áp dụng trực tiếp định lý giới hạn dưới vào bài toán ổn định nền đất mà không cần giả định trước trạng thái ứng suất hay hình dạng mặt trượt. Cho phép xác định đồng thời trường phân bố ứng suất của toàn khối đất trước khi phá hoại và nhận diện chính xác vị trí lưới mặt trượt thực tế.
2. Về mặt mô hình hóa kết cấu: Xây dựng bài toán ổn định tổng thể xét đồng thời nền đường đắp hình thang và nền đất thiên nhiên, giải quyết được bài toán tương tác cơ học qua lại thay vì tính toán tách rời như các phương pháp truyền thống.
3. Về mặt cơ học và công cụ tính toán: Thiết lập bài toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc chảy dẻo Mohr-Coulomb, giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn trên phần mềm MATLAB. Kết quả giải số đạt độ chính xác cao khi kiểm chứng với các bài toán chuẩn (Flamant, Prandtl, mái dốc cát khô, mái dốc đứng).
4. Về mặt quy luật cơ học và ứng dụng thực tiễn:
   • Chứng minh rằng đối với vật liệu đắp nền (đất, cát, đá dăm vụn), lực dính đơn vị $c$ là yếu tố quyết định giữ ổn định mái dốc, trong khi góc nội ma sát $\varphi$ quyết định chủ yếu đến sức chịu tải.
   • Phát hiện quy luật hình thành mặt trượt: Khi chỉ chịu trọng lượng bản thân, mặt trượt không xuất hiện trên mái dốc và mặt nền; mặt trượt chỉ xuất hiện trên mái dốc khi có tải trọng ngoài. Khi nền đắp có cường độ lớn hơn nền thiên nhiên, mặt trượt ăn sâu vào nền thiên nhiên; khi nền đắp có cường độ nhỏ hơn hoặc bằng nền thiên nhiên, mặt trượt chỉ xuất hiện ở chân taluy.
   • Xây dựng chương trình tính toán, hệ thống bảng tra và toán đồ quan hệ $H_{gh}\gamma/c_0$ phục vụ thiết kế nhanh chiều cao và độ dốc giới hạn của nền đắp.
   • Dựa vào biểu đồ đường đẳng trị khả năng chảy dẻo để xác định chính xác vị trí và phạm vi xuất hiện mặt trượt, phục vụ thiết kế các biện pháp gia cường nền đúng vị trí.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án:

• Nghiên cứu giới hạn trong phạm vi bài toán phẳng (biến dạng phẳng), chưa xét đến bài toán không gian ba chiều.
• Đất được giả thiết là vật liệu đàn dẻo lý tưởng đồng nhất hoặc phân lớp đơn giản; chưa xét đến tác động của mực nước ngầm thay đổi, áp lực nước lỗ rỗng phát sinh và tiêu tán theo thời gian (quá trình cố kết).
• Chưa xét đến tác động của tải trọng động giao thông phức tạp và tải trọng động đất trong mô hình sai phân hữu hạn.

Hướng nghiên cứu tiếp:

• Mở rộng mô hình lý thuyết và thuật toán sai phân sang bài toán không gian ba chiều (3D).
• Tích hợp bài toán thấm, xét sự thay đổi áp lực nước lỗ rỗng và quá trình cố kết của đất yếu dưới nền đắp theo thời gian.
• Khảo sát bài toán ổn định nền đắp trên sườn dốc nghiêng phức tạp và chịu tải trọng động xe chạy.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo đối với:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Xây dựng đường ô tô, Đường thành phố và Địa kỹ thuật công trình: Tham khảo cơ sở lý thuyết $\min(\tau_{\max})$, phương pháp áp dụng trực tiếp định lý giới hạn và kỹ thuật lập trình sai phân hữu hạn giải bài toán tối ưu phi tuyến trong cơ học đất.
• Kỹ sư thiết kế công trình giao thông và cán bộ kỹ thuật: Sử dụng hệ thống toán đồ $H_{gh}\gamma/c_0$ và các bảng tra cứu để xác định nhanh chiều cao đắp giới hạn, độ dốc taluy an toàn; ứng dụng biểu đồ đường đẳng trị khả năng chảy dẻo để định vị chính xác khu vực cần xử lý gia cố đất yếu hoặc bố trí kết cấu chống giữ.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án giải quyết hạn chế cốt lõi nào của phương pháp phân mảnh truyền thống (Fellenius, Bishop)?

Phương pháp phân mảnh truyền thống buộc phải giả thiết trước dạng mặt trượt (thường là mặt trượt trụ tròn) và chỉ xét trạng thái cân bằng giới hạn dọc theo mặt trượt đó mà không xác định được trạng thái ứng suất thực của toàn bộ khối đất. Luận án khắc phục hạn chế này bằng cách áp dụng lý thuyết $\min(\tau_{\max})$ theo định lý giới hạn dưới, không cần giả định trước mặt trượt, xác định được trường phân bố ứng suất toàn phần và tự động nhận diện lưới mặt trượt thực tế thông qua các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo.

2. Sự khác biệt giữa kết quả xác định chiều cao giới hạn mái dốc đứng của W. Chen và của luận án là gì?

W. Chen giả thiết trường ứng suất đơn giản cho định lý giới hạn dưới và mặt trượt xoắn ốc logarit cứng cho định lý giới hạn trên, dẫn đến khoảng chênh lệch rất lớn giữa cận dưới ($H_{gh} = \frac{2c}{\gamma}\tan(45^\circ + \varphi/2)$) và cận trên ($H_{gh} = \frac{3,83c}{\gamma}\tan(45^\circ + \varphi/2)$). Luận án sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tối ưu hóa theo lý thuyết $\min(\tau_{\max})$, không giả định trước trạng thái ứng suất từng vùng, cho ra kết quả tải trọng giới hạn và chiều cao giới hạn hội tụ chính xác với điều kiện cơ học thực tế.

3. Quy luật xuất hiện của mặt trượt thay đổi như thế nào theo tương quan cường độ giữa nền đắp và nền thiên nhiên?

Theo kết quả tính toán trong Chương 5:

• Khi vật liệu nền đắp có cường độ ($c_1, \varphi_1$) nhỏ hơn hoặc bằng cường độ nền thiên nhiên ($c_0, \varphi_0$), vùng dẻo và mặt trượt chỉ xuất hiện cục bộ tại vị trí chân mái taluy nền đắp.
• Khi vật liệu nền đắp có cường độ lớn hơn cường độ nền thiên nhiên, vùng chảy dẻo phát triển vượt qua ranh giới tiếp xúc và mặt trượt ăn sâu xuống tầng đất nền thiên nhiên bên dưới.

4. Tại sao luận án kết luận lực dính $c$ quyết định ổn định mái dốc hơn góc nội ma sát $\varphi$?

Mặc dù điều kiện Mohr-Coulomb chỉ ra rằng $\varphi$ làm tăng sức chịu tải tổng thể khi ứng suất nén tăng, nhưng đối với phần mái dốc đất đắp (nơi ứng suất pháp $\sigma$ nhỏ), thành phần lực dính đơn vị $c$ đóng vai trò chủ đạo trong việc cung cấp sức kháng cắt giữ cho khối đất mái dốc không bị trượt lở. Các phân tích tham số trong luận án chứng minh chiều cao giới hạn $H_{gh}$ tăng tỷ lệ thuận rõ rệt với sự gia tăng của lực dính $c$.

5. Toán đồ xây dựng trong Chương 5 biểu diễn mối quan hệ gì và được ứng dụng như thế nào?

Toán đồ biểu diễn mối quan hệ giữa đại lượng không thứ nguyên $H_{gh}\gamma/c_0$ với góc nội ma sát $\varphi$ và tỷ số lực dính đơn vị $c_1/c_0$. Người kỹ sư thiết kế có thể dựa vào các chỉ tiêu cơ lý đất đã khảo sát ($c_0, c_1, \varphi_0, \varphi_1, \gamma$) để tra nhanh giá trị chiều cao giới hạn $H_{gh}$ và lựa chọn độ dốc taluy phù hợp mà không cần thực hiện các phép lặp phân mảnh phức tạp.

Kết luận

Luận án của tác giả Đỗ Thắng đã xây dựng phương pháp đánh giá ổn định tổng thể nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên dựa trên lý thuyết $\min(\tau_{\max})$ và định lý giới hạn dưới của lý thuyết đàn - dẻo lý tưởng. Phương pháp giải số sai phân hữu hạn trên MATLAB đã giải quyết bài toán quy hoạch phi tuyến có ràng buộc chảy dẻo Mohr-Coulomb, khắc phục triệt để việc phải giả định trước dạng mặt trượt của các phương pháp truyền thống. Kết quả nghiên cứu làm sáng tỏ quy luật tương tác cơ học giữa nền đắp và nền thiên nhiên, đồng thời cung cấp hệ thống toán đồ và bảng tra cứu có giá trị ứng dụng trực tiếp trong công tác tính toán thiết kế nền đường ô tô.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN Trong chương này trình bày các nghiên cứu về ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên đã và đang được áp dụng ở Việt Nam và các nước trên thế giới. Tiếp theo, tác giả phân tích ưu, nhược điểm và các tồn tại của các phương pháp đó. Cuối cùng trình bày mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài luận án. Phân tích các nghiên cứu liên quan ở trong và ngoài nước 1.

Các dạng mất ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên Theo tiêu chuẩn thiết kế đường ôtô TCVN 4054-2005 [7], nền đường phải đảm bảo ổn định, duy trì được các kích thước hình học, có đủ cường độ để chịu được các tác động của tải trọng xe và các yếu tố thiên nhiên trong suốt thời gian sử dụng. Do đó, với nền đường đắp phải đảm bảo không bị các hiện tượng như: trượt lở mái taluy, trượt phần đắp trên sườn dốc, trượt trồi, lún sụt nền đắp trên đất yếu…(hình 1. Các hiện tượng mất ổn định nền đường đắp a. Trượt mái dốc nền đắp b.

Trượt phần đắp trên sườn dốc c. Lún sụt trên đất yếu d. Trượt trồi trên đất yếu Tiêu chuẩn hiện hành ở nước ta có các quy định để đảm bảo ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên cho từng trường hợp như sau: 8 Trường hợp chiều cao mái dốc đắp lớn Khi chiều cao mái dốc đắp lớn hơn 12m phải kiểm toán ổn định [7], [8]. Với mái dốc bằng vật liệu rời rạc, ít dính thì nên áp dụng phương pháp mặt trượt phẳng; với đất dính kết thì nên dùng phương pháp mặt trượt tròn, hệ số ổn định nhỏ nhất phải bằng hoặc lớn hơn 1,25.

Trên thực tế thường sử dụng phương pháp phân mảnh cổ điển do Fellenius đề xuất từ năm 1926 [38] và phương pháp Bishop (1955) [32] để kiểm toán ổn định mái dốc. Phương pháp phân mảnh cổ điển giả thiết khối đất trên mái dốc khi mất ổn định sẽ trượt theo mặt trượt hình trụ tròn nhưng không xét đến tác dụng của các lực giữa các phân mảnh, còn phương pháp Bishop có xét đến các lực đẩy ngang tác dụng từ hai phía của mảnh trượt (không quan tâm đến điểm đặt của hai lực ngang đó). Trường hợp nền đắp trên sườn dốc Khi xây dựng nền đường trên sườn dốc [5], để đảm bảo điều kiện ổn định, việc tính toán, thiết kế cần đáp ứng được hai yêu cầu sau: - Nền đường phải đặt trên một sườn dốc ổn định và bản thân sườn dốc đó vẫn ổn định sau khi xây dựng nền đường. - Trên cơ sở một sườn dốc chắc chắn ổn định, nền đắp phải không bị trượt trên mặt dốc đó và bản thân mái ta luy của nền đường phải đảm bảo ổn định.

Đánh giá sự ổn định của sườn dốc thường dựa vào cách tính toán trên cơ sở xét điều kiện cân bằng tĩnh của khối trượt trên mặt trượt dự kiến (hoặc mặt trượt đã điều tra được). Các phương pháp thường được sử dụng là phương pháp Maslov, phương pháp Shakhunyants cho mặt trượt gẫy khúc và phương pháp mặt trượt trụ tròn khi khó xác định mặt trượt. Trường hợp nền đắp trên đất yếu Nền đắp trên đất yếu [6] phải đảm bảo ổn định, không bị phá hoại do trượt trồi trong quá trình thi công đắp (đắp phần nền theo thiết kế hoặc đắp cao hơn cao độ thiết kế để gia tải trước) và trong suốt quá trình đưa vào khai thác sử dụng sau đó. 9 Phương pháp được sử dụng để tính toán đánh giá mức độ ổn định của nền đắp trên đất yếu là phương pháp phân mảnh cổ điển hoặc phương pháp Bishop với mặt trượt tròn khoét xuống vùng đất yếu.

Có thể nói yêu cầu vừa nêu trên của quy trình khảo sát thiết kế nền đường ôtô đắp trên đất yếu không đảm bảo điều kiện an toàn và không phù hợp với truyền thống nghiên cứu ổn định khối đất. Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường Đất là vật liệu phức tạp, chúng ta chưa biết được đầy đủ các đặc trưng cơ lý của nó. Tuy nhiên, nghiên cứu mẫu đất trong phòng thí nghiệm cũng như thí nghiệm tấm ép ở hiện trường cho thấy có thể coi đất là vật liệu đàn dẻo lý tưởng tuân theo điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb [34] để có thể sử dụng phương pháp cân bằng giới hạn hoặc tổng quát hơn là các định lý về phân tích giới hạn để nghiên cứu ổn định của khối đất. Vì vậy, trong mục này, trước khi giới thiệu các phương pháp nghiên cứu ổn định nền đất, tác giả trình bày các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng.

Các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng Để trình bày ngắn gọn, ta sẽ dùng các quy tắc chỉ số sau: a i a i  a 12  a 22  a 32 (1.1a) a kk  a 1  a 2  a 3 Hệ số Kronecker  ij  0 nếu i  j (1.1b)  ij  1 nếu i  j Tenxơ môđun đàn hồi E  E ijkl  ( lk  ij   ij kl ) (1.1c) 1  1  2 Biến dạng dẻo Trên hình 1.2 trình bày quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu đàn dẻo lý tưởng khi chịu ứng suất một chiều [2], [41]. Ứng suất tăng từ không đến giới hạn 10 đàn hồi  E thì ta có biến dạng đàn hồi, khi đạt giới hạn này thì ứng suất không tăng nhưng biến dạng vẫn tăng. Khi dỡ tải, đường dỡ tải song song với đường đặt tải và biến dạng không hồi phục hoàn toàn, đó là biến dạng dẻo. Ta thấy biến dạng dẻo phụ thuộc vào quá trình (lịch sử) đặt tải.

Ứng suất  E còn được gọi là giới hạn dẻo.Vật liệu đất được xem là vật liệu đàn dẻo lý tưởng. Mô hình đàn dẻo lý tưởng Hàm giới hạn chảy dẻo Vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là đưa ra các điều kiện chảy dẻo cho trường hợp vật liệu làm việc ở trạng thái ứng suất phức tạp. Các điều kiện chảy dẻo cũng phải được kiểm tra bằng thí nghiệm. Đối với vật liệu đàn dẻo lý tưởng, điều kiện chảy dẻo được viết dưới dạng sau: f ( ij )  k  0 (1.2) trong đó:  ij biểu thị trạng thái ứng suất tại một điểm trong vật thể; k là thông số vật liệu.

Hiện nay, trong tính toán thường dùng các điều kiện chảy dẻo sau: điều kiện chảy dẻo Tresca, điều kiện chảy dẻo Von Mises, điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb, điều kiện chảy dẻo Drucker- Prager [34]. Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb sẽ được dùng trong luận án này nên được giới thiệu ở đây. Vòng tròn Mohr Khi biết trạng thái ứng suất tại một điểm thì sử dụng vòng tròn Mohr ta có thể biết được trạng thái ứng suất trên các bề mặt khác nhau qua điểm đó. Như vậy, để vẽ vòng tròn Mohr (hình 1.3), trước hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc O với 11 trục hoành là ứng suất pháp và trục tung là ứng suất tiếp .

Biết trạng thái ứng suất của một điểm ta có thể xác định được ứng suất chính lớn nhất 1 và ứng suất chính nhỏ nhất 2. Vẽ vòng tròn Mohr qua hai điểm trên trục hoành có hoành độ 1 và 2, tâm C trên trục hoành có hoành độ bằng 1/2(1+2), bán kính bằng 1/2(1-2). Vòng tròn Mohr Các thành phần ứng suất trên mặt phẳng bất kỳ nghiêng một góc bằng  so với phương ứng suất chính nhỏ nhất 2 được xác định bởi điểm A trên vòng Mohr có: ứng suất pháp  là hoành độ điểm A; ứng suất tiếp  là tung độ điểm A. Các giá trị này được xác định như sau:  1   2 1  2     cos 2 2 2  (1.3)   1  2 sin 2  2 Điểm B trên vòng tròn Mohr đối xứng với điểm A qua tâm C xác định các thành phần ứng suất trên mặt vuông góc với mặt đang xét.

Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb Năm 1776 Charles-Augustin de Coulomb, nhà khoa học người Pháp có những đóng góp quan trọng vào lý thuyết điện, đã sử dụng sự tương tự với một khối trượt để đề nghị ứng suất tiếp giới hạn f trong đất như sau [48]: 12 f =tg +c (1.4) trong đó:  là ứng suất nén vuông góc với mặt phẳng đang xét; c là lực dính đơn vị;  là góc nội ma sát. Hiểu một cách đơn giản là nếu ứng suất tiếp trên tất cả các mặt phẳng nhỏ hơn ứng suất tiếp giới hạn f thì biến dạng sẽ bị giới hạn. Nếu ứng suất tiếp trên một mặt phẳng nào đó lớn hơn ứng suất tiếp giới hạn f thì xuất hiện biến dạng trượt trong đất. Bây giờ ta có thể xác định bán kính vòng tròn Mohr khi ứng suất thỏa mãn điều kiện chảy dẻo Coulomb.4, vòng tròn Mohr tiếp xúc với hai đường ứng suất tiếp giới hạn tạo với trục hoành một góc  và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c được gọi là vòng tròn Mohr giới hạn.

Chiếu đoạn OC có chiều dài bằng (1+2)/2 và đoạn OF có chiều dài bằng c lên trục CD ta lần lượt được được các đoạn CO’ và O’D. Do đó, ta có bán kính vòng tròn Mohr giới hạn được xác định theo công thức sau: 1   2 R gh  CD  sin   c. Điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb 13 Do bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất có: 1+2=x+y, nên phương trình (1.5) có thể viết thông qua ứng suất thành phần như sau: x   y R gh  sin   c.6) 2 trong đó: x, y là các ứng suất pháp theo phương x, y. Khi ứng suất tiếp max (max) trong các mặt phẳng đi qua trọng tâm của một phân tố thỏa mãn điều kiện: x   y  max  sin   c.7) 2 thì xuất hiện biến dạng dẻo trong đất.

Trường hợp tổng quát ta có thể viết: x   y  max  sin   c.8) thường gọi là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Nhân cả 2 vế của phương trình (1.5) với cos (chính là phép chiếu đoạn CO’ và đoạn O’D lên trục tung), ta được điều kiện chảy dẻo như (1.4): f  tg  c Các liên hệ cơ bản giữa ứng suất và biến dạng Có rất nhiều mô hình toán khác nhau nhằm xác lập quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu dẻo. Cho đến nay các nhà nghiên cứu đều thống nhất sử dụng mô hình xác định tốc độ biến dạng dẻo theo phương trình sau [35], [36],[40], [41]: f (ij )  ijp   (1.