Nghiên Cứu Cơ Chế Làm Việc Của Kết Cấu Metal Road

Nghiên cứu cơ chế làm việc của kết cấu metal road trong luận văn thạc sĩ kỹ thuật xây dựng, cung cấp kiến thức chuyên sâu và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Lê Quang Dũng
• Người hướng dẫn: TS. Đặng Đăng Tùng
• Trường học: Đại học Bách Khoa - ĐHQG - HCM
• Chuyên ngành: Xây dựng Cầu - Hầm
• Đề tài: Nghiên Cứu Cơ Chế Làm Việc Của Kết Cấu Metal Road Trong Xây Dựng Cầu
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng Quan về Kết Cấu Metal Road trong Xây Dựng Cầu

Giải pháp Metal Road là một dạng kết cấu cầu hệ khung không gian, sử dụng mặt cầu bằng bê tông cốt thép được đỡ bởi hệ dầm thép liên kết với các trụ thép tròn nhồi bê tông. Ưu điểm của Metal Road bao gồm khả năng chịu lực tốt, tiết kiệm chi phí thi công, và độ ổn định cao. Chính vì vậy, nó rất phù hợp cho các dự án đường khu vực miền núi ở Việt Nam, đặc biệt là các khu vực có địa hình phức tạp và yêu cầu bảo tồn cảnh quan thiên nhiên. Theo nghiên cứu của TS. Đặng Đăng Tùng, TS. Nguyễn Cảnh Tuấn, ThS. Vũ Việt Hùng, Metal Road cho thấy tiềm năng lớn trong việc ứng dụng vào các dự án giao thông tại Việt Nam.

1.1. Lịch Sử Phát Triển và Ứng Dụng Metal Road trên Thế Giới

Công nghệ Metal Road có nguồn gốc từ Nhật Bản, được phát triển bởi Tập đoàn JFE và đã được chứng nhận vào tháng 3 năm 2000. Công nghệ này đã được triển khai trong nhiều dự án đường miền núi ở Nhật Bản, cho thấy tính hiệu quả và khả năng ứng dụng thực tế. Ưu điểm của Metal Road là khả năng thi công nhanh, giảm thiểu tác động đến môi trường và phù hợp với địa hình phức tạp.

1.2. Đặc Điểm Cấu Tạo Chính của Kết Cấu Metal Road trong Cầu

Kết cấu Metal Road bao gồm các thành phần chính: mặt cầu bê tông cốt thép, hệ dầm thép, và trụ thép tròn nhồi bê tông. Các thành phần này được liên kết với nhau để tạo thành một hệ khung không gian vững chắc. Trụ thép tròn nhồi bê tông đóng vai trò quan trọng trong việc chịu tải và truyền tải trọng xuống nền đất. Vật liệu sử dụng thường là vật liệu thép cường độ cao và bê tông chất lượng tốt để đảm bảo độ bền và khả năng chịu lực.

II. Cơ Chế Làm Việc và Phân Tích Kết Cấu Metal Road Chi Tiết

Để hiểu rõ hơn về hiệu quả của kết cấu Metal Road, việc nghiên cứu cơ chế làm việc của nó là rất quan trọng. Điều này bao gồm việc phân tích ứng suất, biến dạng, độ bền, và độ ổn định của kết cấu dưới tác động của các loại tải trọng cầu khác nhau. Các phương pháp phân tích kết cấu, bao gồm cả mô phỏng kết cấu bằng phần mềm chuyên dụng, được sử dụng để đánh giá khả năng chịu lực và độ an toàn của Metal Road. Các nghiên cứu trước đây, như luận văn của Nguyễn Văn Út Thi, đã chỉ ra tiềm năng của Metal Road trong việc xây dựng đường miền núi ở Việt Nam.

2.1. Phân Tích Ứng Suất và Biến Dạng trong Kết Cấu Metal Road

Phân tích ứng suất và biến dạng là một phần quan trọng trong việc đánh giá cơ chế làm việc của kết cấu Metal Road. Việc này giúp xác định các điểm yếu tiềm ẩn và đảm bảo rằng kết cấu có thể chịu được các tải trọng dự kiến. Sử dụng phần mềm phân tích kết cấu, các kỹ sư có thể mô phỏng hoạt động của Metal Road dưới các điều kiện khác nhau và đánh giá hiệu quả của thiết kế.

2.2. Đánh Giá Độ Bền và Độ Ổn Định của Metal Road Dưới Tải Trọng

Độ bền và độ ổn định là hai yếu tố then chốt quyết định tuổi thọ và an toàn của kết cấu Metal Road. Các yếu tố ảnh hưởng đến độ bền bao gồm chất lượng vật liệu thép, chất lượng vật liệu bê tông, và quá trình thi công. Độ ổn định của kết cấu cần được đảm bảo để tránh các hiện tượng mất ổn định như uốn dọc hoặc xoắn.

2.3. Ảnh hưởng của Tải Trọng Động Lực Học đến Metal Road Trong Cầu Dầm

Tải trọng động lực học từ xe cộ và các yếu tố khác có thể gây ra các dao động và tăng ứng suất trong kết cấu Metal Road. Nghiên cứu về động lực học cầu giúp hiểu rõ hơn về cách Metal Road phản ứng với các tải trọng này và đưa ra các giải pháp thiết kế phù hợp để giảm thiểu tác động tiêu cực.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu và Mô Hình Hóa Metal Road Bằng Midas

Nghiên cứu cơ chế làm việc của Metal Road đòi hỏi việc sử dụng các phương pháp phân tích hiện đại, bao gồm cả mô hình hóa kết cấu bằng phần mềm MIDAS/Civil. Phần mềm này cho phép tạo ra các mô hình chi tiết của Metal Road, áp dụng các loại tải trọng khác nhau, và phân tích ứng suất, biến dạng, và độ ổn định. Các kết quả mô phỏng giúp các kỹ sư hiểu rõ hơn về hành vi của Metal Road và đưa ra các quyết định thiết kế tối ưu.

3.1. Hướng dẫn Mô Hình Hóa Kết Cấu Metal Road Trong MIDAS Civil

Mô hình hóa kết cấu Metal Road trong MIDAS/Civil đòi hỏi việc xác định chính xác các thông số hình học, thuộc tính vật liệu, và điều kiện biên. Các phần tử hữu hạn được sử dụng để mô phỏng các thành phần khác nhau của Metal Road, và các tải trọng được áp dụng để mô phỏng điều kiện làm việc thực tế. Việc kiểm tra tính chính xác của mô hình là rất quan trọng để đảm bảo độ tin cậy của kết quả phân tích.

3.2. Lựa Chọn Vật Liệu Thép và Vật Liệu Bê Tông Phù Hợp Cho Metal Road

Việc lựa chọn vật liệu thép và vật liệu bê tông phù hợp là rất quan trọng để đảm bảo hiệu suất và tuổi thọ của kết cấu Metal Road. Các yếu tố cần xem xét bao gồm cường độ, độ dẻo, khả năng chống ăn mòn, và giá thành. Các tiêu chuẩn thiết kế cầu quy định các yêu cầu cụ thể về vật liệu sử dụng.

3.3. Thiết Lập Điều Kiện Biên và Tải Trọng Cầu Trong Mô Hình

Điều kiện biên và tải trọng là hai yếu tố quan trọng cần được thiết lập chính xác trong mô hình MIDAS/Civil. Điều kiện biên xác định cách Metal Road được cố định hoặc liên kết với các thành phần khác, trong khi tải trọng mô phỏng các lực tác động lên cầu. Việc lựa chọn các loại tải trọng phù hợp, chẳng hạn như tải trọng tĩnh, tải trọng động, và tải trọng môi trường, là rất quan trọng để đảm bảo tính thực tế của kết quả phân tích.

IV. Ảnh Hưởng Chiều Dài Nhịp và Góc Nghiêng Đến Metal Road

Luận văn của Lê Quang Dũng đã nghiên cứu ảnh hưởng của chiều dài nhịp và góc nghiêng mặt dốc đến nội lực và biến dạng của kết cấu Metal Road. Các kết quả cho thấy rằng Metal Road có khả năng ứng dụng trong việc xây dựng và mở rộng đường miền núi ở Việt Nam trong điều kiện địa hình phức tạp. Nghiên cứu này tập trung vào việc đánh giá sự thay đổi trong ứng suất và biến dạng khi các thông số này thay đổi.

4.1. Phân Tích Ảnh Hưởng Của Chiều Dài Nhịp Đến Nội Lực và Biến Dạng

Chiều dài nhịp có ảnh hưởng đáng kể đến nội lực (lực dọc, mômen, lực cắt) và biến dạng của kết cấu Metal Road. Khi chiều dài nhịp tăng lên, nội lực và biến dạng thường có xu hướng tăng theo. Việc phân tích này giúp xác định giới hạn chiều dài nhịp an toàn cho Metal Road.

4.2. Nghiên Cứu Ảnh Hưởng Của Góc Nghiêng Mặt Dốc Đến Trụ Thép Nhồi Bê Tông

Góc nghiêng mặt dốc ảnh hưởng đến nội lực và biến dạng của trụ thép nhồi bê tông trong kết cấu Metal Road. Khi góc nghiêng tăng lên, các trụ có thể chịu tải trọng lớn hơn, gây ra sự thay đổi trong ứng suất và biến dạng. Nghiên cứu này giúp tối ưu hóa thiết kế trụ để đảm bảo độ ổn định và khả năng chịu lực.

V. Ứng Dụng Thực Tế và Giải Pháp Tối Ưu Cho Metal Road

Kết cấu Metal Road có nhiều ứng dụng thực tế trong xây dựng đường miền núi, đặc biệt là ở những khu vực có địa hình phức tạp và yêu cầu bảo tồn cảnh quan thiên nhiên. Việc sử dụng Metal Road giúp giảm thiểu tác động đến môi trường, rút ngắn thời gian thi công, và tiết kiệm chi phí. Tuy nhiên, việc áp dụng Metal Road cần được xem xét kỹ lưỡng và có các giải pháp thiết kế phù hợp để đảm bảo hiệu quả và an toàn.

5.1. Ứng Dụng Metal Road Trong Xây Dựng và Sửa Chữa Cầu

Metal Road có thể được sử dụng trong xây dựng cầu mới hoặc sửa chữa các cầu hiện có. Việc sử dụng Metal Road giúp rút ngắn thời gian thi công, giảm thiểu tác động đến giao thông, và tăng cường độ bền và độ ổn định của cầu.

5.2. Các Giải Pháp Chống Ăn Mòn Metal Road Hiệu Quả

Ăn mòn là một vấn đề quan trọng cần được giải quyết khi sử dụng kết cấu Metal Road, đặc biệt là ở những khu vực có môi trường khắc nghiệt. Các giải pháp chống ăn mòn hiệu quả bao gồm sử dụng vật liệu thép chống ăn mòn, sơn phủ bảo vệ, và áp dụng các biện pháp bảo trì định kỳ.

5.3. Tiêu Chuẩn Thiết Kế Cầu và Các Lưu Ý Khi Sử Dụng Metal Road

Việc thiết kế Metal Road phải tuân thủ các tiêu chuẩn thiết kế cầu hiện hành. Các lưu ý quan trọng bao gồm lựa chọn vật liệu, tính toán tải trọng, đảm bảo độ ổn định, và thiết kế các chi tiết liên kết. Việc tuân thủ các tiêu chuẩn và lưu ý này giúp đảm bảo an toàn và hiệu quả của Metal Road.

VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Phát Triển Metal Road Tương Lai

Nghiên cứu về cơ chế làm việc của kết cấu Metal Road đã cho thấy tiềm năng ứng dụng lớn của nó trong xây dựng đường miền núi ở Việt Nam. Tuy nhiên, cần có thêm nhiều nghiên cứu để hoàn thiện các giải pháp thiết kế, thi công, và bảo trì. Các hướng nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc tối ưu hóa vật liệu, phát triển các phương pháp phân tích kết cấu tiên tiến, và đánh giá tuổi thọ cầu của Metal Road. Việc tiếp tục nghiên cứu và phát triển Metal Road sẽ góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của hệ thống giao thông Việt Nam.

6.1. Các Hướng Nghiên Cứu Về Tối Ưu Vật Liệu và Thiết Kế Cầu Metal Road

Tối ưu hóa vật liệu và thiết kế là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng để nâng cao hiệu quả và giảm chi phí của Metal Road. Các nghiên cứu có thể tập trung vào việc sử dụng vật liệu composite, phát triển các thiết kế kết cấu mới, và áp dụng các phương pháp tối ưu hóa hiện đại.

6.2. Đánh Giá Tuổi Thọ Cầu Metal Road và Các Yếu Tố Ảnh Hưởng

Đánh giá tuổi thọ cầu là một phần quan trọng trong việc đảm bảo độ an toàn và hiệu quả của Metal Road. Các yếu tố ảnh hưởng đến tuổi thọ cầu bao gồm tải trọng, môi trường, và chất lượng vật liệu. Các nghiên cứu có thể tập trung vào việc mô phỏng quá trình lão hóa, phát triển các phương pháp dự đoán tuổi thọ cầu, và đề xuất các biện pháp bảo trì phù hợp.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CÔNG NGHỆ “METAL ROAD” 1. Lịch sử ra đời của phương pháp “Metal road” Phương pháp “Metal road” là công nghệ xây dựng đường của Nhật, được phát triển bởi Tập đoàn JFE, Nhật Bản. Công nghệ này đã được hội đồng thành viên Trung tâm Công nghệ bảo trì đường bộ đánh giá và chứng nhận vào tháng 3 năm 2000. Giải pháp “Metal Road” đã được ứng dụng thực tế trong nhiều dự án đường miền núi ở Nhật Bản [3].

Kết cấu “Metal road” Giải pháp “Metal Road” đã được ứng dụng thực tế trong nhiều dự án đường miền núi ở Nhật Bản. Kết cấu “Metal road” là một dạng kết cấu cầu hệ khung không gian bao gồm mặt cầu bằng bê tông cốt thép được đỡ bởi hệ dầm thép liên kết với các trụ thép tròn nhồi bê tông. Với ưu điểm về khả năng chịu lực, tiết kiệm chi phí thi công, độ ổn định cao, nên giải pháp “Metal Road” rất phù hợp cho các dự án đường khu vực miền núi Việt Nam, đặc biệt các khu vực có danh lam thắng cảnh, khu bảo tồn thiên nhiên. (a) (b) Hình 1-1: (a) Kết cấu “Metal road”; (b) Ứng dụng trong thực tế Trong đó, kết cấu cọc ống thép nhồi bê tông giữ vai trò rất quan trọng vì vừa là hệ móng cọc, vừa là trụ đỡ kết cấu phần trên làm việc như một cột chịu nén và uốn đồng thời.

Tuy nhiên, do phương án kết cấu được áp dụng trong khu vực đồi núi có độ dốc sườn lớn nên chiều dài cọc ống thép sẽ thay đổi tùy theo vị trí cọc. ‐8‐ Các cọc nằm ngoài sườn dốc sẽ có chiều dài lớn hơn nên khả năng mất ổn định khi chịu nén sẽ bị hạn chế. Kết cấu ống thép nhồi bê tông có những ưu điểm như sức kháng uốn và nén cao, dễ thi công, không cần ván khuôn, và kích thước cấu kiện nhỏ hơn so với kết cấu bê tông cốt thép. Ngoài ra, lõi bê tông còn có tác dụng chống mất ổn định cục bộ làm gia tăng sức kháng cho kết cấu.[5] Giải pháp “Metal Road” phù hợp cho công trình mở rộng đường bộ ở mặt phẳng nghiêng dốc ở khu vực miền núi, đặc biệt các khu vực có danh lanh thắng cảnh, khu bảo tồn thiên nhiên, duy trì đáng kể thảm thực vật và hiện trạng địa hình, gần như không có bất kỳ đất thải và đất dư thừa, bảo vệ môi trường tốt hơn so với các phương pháp xây dựng đào đắp truyền thống.

Kết cấu khung không gian 3 chiều có độ cứng lớn, các cấu kiện được chế tạo sẵn trong nhà máy, trọng lượng nhẹ và ngắn; vận chuyển, thi công, xây dựng và lắp đặt dễ dàng; đồng thời thời gian xây dựng cũng được rút ngắn. Tải trọng từ cấu trúc thượng tầng sẽ truyền đến mặt đất thông qua sự hỗ trợ trụ thép tròn nhồi bê tông, không gây ảnh hưởng đến sự ổn định của mặt dốc hiện hữu. Trong quá trình xây dựng không cần xây dựng đường tạm mà vẫn duy trì được giao thông hiện có trong khu vực. Hình 1-2: Bố trí chung một phương án “Metal road” ‐9‐ Phương pháp “Metal road” có 3 loại mặt cắt phổ biến: loại tiêu chuẩn, loại kiểu hẫng, loại kiểu cầu.

[3] a) Loại tiêu chuẩn: Hình 1-3: Loại tiêu chuẩn b) Loại kiểu hẫng: Hình 1-4: Loại kiểu hẫng c) Loại kiểu cầu: ‐10‐ Hình 1-5: Loại kiểu cầu 1. Khả năng ứng dụng của phương pháp “Metal road” Phương pháp “Metal road” thích hợp trong việc xây dựng mới, mở rộng cũng như sửa chữa đường miền núi. Phương pháp “Metal road” rất phù hợp khi áp dụng ở những nơi địa hình phức tạp và có mái dốc lớn. Một số trường hợp cụ thể áp dụng phương pháp “Metal road” như sau: a) Trường hợp tránh tác động và bảo vệ bờ sông: b) Trường hợp vùng mặt trượt: ‐11‐ c) Trường hợp sử dụng không gian trên các sườn dốc: d) Trường hợp trong các khu vực cần bảo tồn thiên nhiên: e) Trường hợp khắc phục thảm họa: ‐12‐ f) Trường hợp đường có bán kính đường cong nhỏ: g) Trường hợp đảm bảo giao thông đường bộ hiện hành: h) Trường hợp sử dụng trong các cầu ‐13‐ i) Trường hợp trên làn bên của đường cao tốc j) Trường hợp bắt qua thung lũng sâu 1.

Phạm vi áp dụng phương pháp “Metal road” Phương pháp “Metal road” được áp dụng trong trường hợp góc nghiêng của mặt dốc trên 300 hoặc trong trường hợp tầng chống đỡ sâu (chiều dày lớp phong hóa trên 2m) ‐14‐ Hình 1-6: Phạm vi ứng dụng của phương pháp “Metal Road” 1. Phương pháp thi công của kết cấu “Metal Road” Trong trường hợp mở rộng đường, phương pháp thi công của kết cấu “Metal Road” sẽ không ảnh hưởng đến sự lưu thông của các phương tiện giao thông và luôn đảm bảo mặt bằng xây dựng, quá trình xây dựng hoàn toàn nằm trong phạm vi của phần mở rộng (phần mặt đường xây dựng mới). Quá trình xây dựng gồm 5 bước như hình 1-7, hình 1-8, hình 1-9, hình 1-10, hình 1-11 mô tả dưới đây: Hình 1-7: Hình 1-8: Bước 1: Chuẩn bị thiết bị, vật liệu. Bước 2: Xác định vị trí tim cọc.

Khoan đào, đóng cọc CFT. ‐15‐ Hình 1-9: Hình 1-10: Bước 3: Đậy nắp cọc, thi công dầm. Bước 4: Tháo gỡ tấm thép tạm. Đặt tấm thép tạm tạo thành hệ Thi công bản mặt cầu.

Thiết bị di chuyển trên hệ giàn giáo và thi công cọc tiếp theo. Hình 1-11: Bước 5: Hoàn thiện. ‐16‐ CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN VÀ MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN Hiện nay có rất nhiều phương pháp để tính toán, kết cấu “Metal road” là một kết cấu siêu tĩnh bậc cao nên việc tính toán chính xác nội lực biến dạng cầu rất phức tạp. Trong thiết kế cần phải xem xét đầy đủ các mô hình chịu lực, các giai đoạn làm việc… và có thể dùng các phương pháp cơ học kết cấu thông thường hoặc phần tử hữu hạn để giải.

Thực chất của phương pháp lực và chuyển vị trong cơ học kết cấu đều xuất phát từ ý tưởng giải bài toán của lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị và theo ứng suất, phương pháp lực chọn các phản lực làm ẩn số, phương pháp chuyển vị chọn các chuyển vị làm ẩn số, tuy nhiên quá trình giải theo hai phương pháp này đều mang tính thủ công nên khả năng thực hiện đồng bộ trên máy tính cũng như tính chính xác là không cao, gặp nhiều khó khăn. Luận văn sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn thông qua phần mềm Midas/Civil 2011 để giải quyết việc tính toán nội lực và biến dạng cầu trong các trường hợp nghiên cứu.1 Tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn Ngày nay với sự phát triển vượt bậc của máy tính, phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp được ứng dụng nhiều nhất để phân tích kết cấu. Phương pháp phần tử hữu hạn xuất hiện vào những năm 1940 khi máy tính còn trong buổi sơ khai và phương pháp này phát triển mạnh vào những năm của thập niên 60 cùng với việc phát triển ngày càng mạnh của máy tính. So với các phương pháp số học khác, một trong những ưu thế của phương pháp này là lập trình để dùng trên máy.

Nó tạo ra thuận lợi trong việc tự động tính toán các số liệu với nhiều loại kích thước, hình dạng, vật liệu, điều kiện biên khác nhau… Ngày nay, phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật công trình, cơ khí, truyền nhiệt ,thấm ,trường điện thế, điện từ, cơ chất lỏng… và được xem như là một phương pháp hữu hiệu nhất trong việc giải các bài toán trong môi trường liên tục và rời rạc. Đây là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó. ‐17‐ Trong phương pháp phần tử hữu hạn vật thể liên tục (tức miền tính toán) được biểu diễn như là một tập hợp các phần tử hữu hạn. Các phần tử hữu hạn này được xem như liên kết với nhau tại một số điểm gọi là nút.

Các nút thường nằm trên biên phần tử nơi các phần tử liền kề nhau được xem là liên kết với nhau. Do sự biến thiên thực sự của biến trường (chuyển vị,ứng suất, nhiệt độ, áp suất…) bên trong vật thể (môi trường liên tục) chưa biết trước, ta giả thiết biến thiên của biến trường bên trong một phần tử hữu hạn có thể được xấp xỉ bởi một hàm đơn giản. Hàm xấp xỉ (hay hàm nội suy) được xác định theo biến trường tại các nút. Khi phương trình của biến trường được viết cho toàn bộ miền tính toán, các ẩn số mới sẽ là giá trị tại các nút của biến trường.

Bằng cách giải hệ phương trình này ta xác định được giá trị của biến trường tại các nút và từ hàm nội suy đã giả thuyết ta xác định được sự biến thiên của biến trường trong miền tính toán. Hình 2-1: Sự chia lưới thành các phần tử hữu hạn Mấu chốt trong việc giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn là xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử. Từ đó lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các điều kiện liên tục, điều kiện biên để tạo phương trình cho hệ và giải các hệ phương trình này [7]. Các bước tiến hành chung của phương pháp phần tử hữu hạn như sau: Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu: phân chia miền tính toán thành E miền con/phần tử các miền con liên kết với nhau tại điểm nút: - Xây dựng lưới phần tử hữu hạn.

- Xây dựng hệ tọa độ địa phương và toàn cục. ‐18‐ - Xây dựng số nút và số phần tử. - Tính chất hình học cho bài toán. Bước 2: Chọn một hàm nội suy hay một mô hình chuyển vị thích hợp.

Mô hình nên đơn giản (thường có dạng đa thức) nhưng phải thỏa mãn một số yêu cầu về hội tụ. Mô hình chuyển vị bên trong phần tử được giả thiết là: u  x, y, z        e  U   v ( x, y , z )    N  Q (2. Xây dựng ma trận độ cứng [K  e  ] và vecto tải P của từng phần tử bằng cách sử dụng nguyên lý thế năng cực tiểu. Phiến hàm thế năng  p của toàn bộ vật thể (chỉ xét lực thể tích và lực mặt) có thể được viết như sau:  p   e1 pe  E (2.