Sử dụng biểu diễn trực quan phát triển năng lực suy luận toán học hình học lớp 9

Nghiên cứu ứng dụng biểu diễn trực quan trong dạy học hình học 9, nhằm phát triển năng lực suy luận toán học và tư duy logic cho học sinh.

• Tác giả: Nguyễn Thị Diệu Ngọc
• Người hướng dẫn: Nguyễn Danh Nam
• Trường học: Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Sử dụng biểu diễn trực quan phát triển năng lực suy luận toán học cho học sinh thông qua dạy học hình học lớp 9
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
• DANH MỤC CÁC BẢNG
• DANH MỤC BIỂU ĐỒ
• DANH MỤC HÌNH VẼ
• MỞ ĐẦU
• Lý do chọn đề tài
• Mục đích nghiên cứu
• Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Giả thuyết khoa học
• Nhiệm vụ nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu
• Đóng góp của luận văn
• Cấu trúc của luận văn
• 1. Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
• 1.1. Biểu diễn toán học
• 1.1.1. Phân loại biểu diễn toán học
• 1.1.2. Biểu diễn trực quan
• 1.1.3. Biểu diễn trực quan động
• 1.1.4. Vai trò của biểu diễn trực quan động
• 1.2. Năng lực và năng lực Toán học
• 1.2.1. Năng lực Toán học
• 1.3. Các loại suy luận
• 1.3.1. Phân biệt suy luận diễn dịch, ngoại suy và quy nạp trong toán học
• 1.3.2. Một số quy tắc suy luận cơ bản
• 1.4. Mô hình Toulmin
• 1.4.1. Cấu trúc của mô hình Toulmin
• 1.4.2. Mô hình Toulmin trong suy luận
• 1.4.3. Cấu trúc của suy luận suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa trên mô hình Toulmin
• 1.5. Năng lực suy luận
• 1.5.1. Các thành tố cơ bản của năng lực suy luận
• 1.5.2. Vai trò của giáo viên trong quá trình suy luận của học sinh
• 1.6. Thực trạng dạy học hình học lớp 9 ở trường THCS
• 1.6.1. Nội dung hình học lớp 9
• 1.6.2. Thực trạng dạy học phát triển năng lực suy luận cho học sinh
• 1.7. Tiểu kết chương 1
• 2. Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
• 2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp sư phạm
• 2.1.1. Môi trường hình học động khám phá toán học
• 2.1.2. Vấn đề mở, tình huống mở phải phù hợp với học sinh
• 2.1.3. Chú ý đến các quy tắc suy luận khi xây dựng tình huống
• 2.1.4. Tăng cường các hoạt động thảo luận nhóm để phát triển năng lực suy luận
• 2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực ngoại suy cho học sinh trong dạy học hình học lớp 9
• 2.2.1. Biện pháp 1: Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ phát triển năng lực suy luận của học sinh
• 2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng một số bài toán kết thúc mở hỗ trợ HS phát triển khả năng khám phá toán bằng suy luận thông qua việc sử dụng BDTQ
• 2.2.3. Biện pháp 3: Phát triển khả năng tư duy, dự đoán phát hiện, định hướng lời giải các bài toán hình học lớp 9
• 2.2.4. Biện pháp 4: Cung cấp cho HS các tri thức về các quy tắc suy luận lôgic trong hình học 9
• 2.3. Tiểu kết chương 2
• 3. Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
• 3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm
• 3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm
• 3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm
• 3.4.1. Phân tích định tính
• 3.4.2. Phân tích định lượng
• 3.5. Tiểu kết chương 3
• KẾT LUẬN CHUNG
• DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về phát triển suy luận toán hình học 9 trực quan

Phát triển năng lực suy luận toán học, đặc biệt trong lĩnh vực hình học lớp 9, là một mục tiêu trọng tâm của giáo dục hiện đại. Năng lực này không chỉ là nền tảng để học tốt môn Toán mà còn là công cụ cốt lõi để hình thành tư duy logic toán học và khả năng giải quyết vấn đề trong thực tiễn. Nghiên cứu của Nguyễn Thị Diệu Ngọc (2021) nhấn mạnh rằng, việc phát triển suy luận toán hình học 9 trực quan đóng vai trò then chốt trong việc chuyển đổi từ nền giáo dục thụ động, ghi nhớ máy móc sang phương pháp chủ động, kiến tạo tri thức. Suy luận toán học được hiểu là quá trình tư duy logic để từ những tiền đề (giả thiết, định lý đã biết) rút ra một kết luận mới. Quá trình này bao gồm các hoạt động như phân tích, tổng hợp, so sánh, và đặc biệt là khả năng đưa ra phỏng đoán và kiểm chứng. Trong bối cảnh đổi mới chương trình giáo dục phổ thông, việc rèn luyện năng lực tư duy hình học không chỉ dừng lại ở việc chứng minh các định lý có sẵn mà còn khuyến khích học sinh tự khám phá, phát hiện ra các tính chất mới thông qua các công cụ hỗ trợ. Việc này giúp học sinh thấy rằng toán học không phải là một tập hợp các công thức khô khan, mà là một lĩnh vực đầy ý nghĩa và có tính ứng dụng cao, như Hội đồng giáo viên toán quốc gia của Mỹ (NCTM) đã khẳng định. Do đó, việc nghiên cứu và áp dụng các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao khả năng suy luận cho học sinh là một nhiệm vụ cấp thiết.

1.1. Tầm quan trọng của năng lực tư duy hình học ở bậc THCS

Ở bậc Trung học cơ sở (THCS), năng lực tư duy hình học là một thành tố cốt lõi của năng lực toán học nói chung. Nó bao gồm khả năng quan sát, tưởng tượng không gian, nhận biết các mối quan hệ hình học và vận dụng các tính chất để giải quyết bài toán. Một học sinh có tư duy hình học tốt sẽ dễ dàng hơn trong việc tiếp thu các kiến thức phức tạp như hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất đường tròn và tiếp tuyến, hay các bài toán về tứ giác nội tiếp. Việc rèn luyện năng lực này từ sớm giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các cấp học cao hơn và hình thành tư duy phản biện trong toán học, một kỹ năng quan trọng trong thế kỷ 21. Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, mục tiêu là giúp học sinh phát triển toàn diện, trong đó năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong những thành tố cốt lõi.

1.2. Phân biệt các dạng suy luận toán học cơ bản trong hình học

Trong toán học, có ba loại suy luận cơ bản mà học sinh cần nắm vững: diễn dịch, quy nạp và ngoại suy. Suy luận diễn dịch đi từ quy luật chung đến trường hợp cụ thể, đây là dạng suy luận chủ đạo trong các bài toán chứng minh hình học. Ví dụ: từ định lý “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ”, ta suy ra một tam giác cụ thể cũng có tổng ba góc là 180 độ. Suy luận quy nạp đi từ các trường hợp riêng lẻ để khái quát hóa thành một quy luật chung. Suy luận ngoại suy là quá trình tìm kiếm một giả thuyết hợp lý nhất để giải thích cho một quan sát bất ngờ. Việc hiểu và vận dụng linh hoạt các loại suy luận này là chìa khóa để học tốt hình học 9, giúp học sinh không chỉ giải được bài toán mà còn hiểu được bản chất của vấn đề.

II. Thực trạng thách thức khi phát triển suy luận hình học 9

Thực tiễn giảng dạy hình học lớp 9 tại các trường THCS hiện nay đang đối mặt với nhiều thách thức, ảnh hưởng trực tiếp đến việc phát triển suy luận toán hình học 9 trực quan của học sinh. Một trong những rào cản lớn nhất đến từ phương pháp giảng dạy truyền thống, vốn chú trọng vào việc truyền thụ kiến thức một chiều. Giáo viên giảng, học sinh ghi nhớ máy móc các định lý, hệ quả mà thiếu đi các hoạt động khám phá, trải nghiệm. Điều này dẫn đến tình trạng học sinh có thể thuộc lòng công thức nhưng lại lúng túng khi vận dụng vào giải quyết một bài toán mới, đặc biệt là các bài toán yêu cầu tư duy sáng tạo. Khảo sát tại trường THCS Chu Văn An (Thái Nguyên) cho thấy, dù giáo viên nhận thức được tầm quan trọng của các phương pháp dạy học tích cực, việc áp dụng chúng vẫn còn hạn chế do áp lực về thời gian và thiếu các công cụ hỗ trợ phù hợp. Học sinh, do đó, thường cảm thấy môn hình học khô khan, trừu tượng và khó tiếp cận, nhất là với các nội dung phức tạp như hình học không gian lớp 9 hay các bài toán chứng minh nhiều bước. Việc thiếu đi tính trực quan trong giảng dạy làm giảm khả năng tưởng tượng và nâng cao khả năng suy luận của người học, tạo ra một khoảng cách lớn giữa lý thuyết và thực hành.

2.1. Hạn chế của phương pháp dạy học truyền thống và lối mòn tư duy

Các phương pháp dạy học truyền thống thường trình bày kiến thức hình học dưới dạng chuỗi các định lý và bài tập mẫu. Học sinh tiếp thu một cách thụ động, dẫn đến việc hình thành lối mòn tư duy “bài nào, dạng nấy”. Các em thiếu đi kỹ năng giải toán hình học một cách linh hoạt. Khi gặp một vấn đề mới không nằm trong các dạng đã học, học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu. Lối dạy này vô tình triệt tiêu sự tò mò và khả năng tự đặt câu hỏi, vốn là khởi nguồn của mọi suy luận và khám phá khoa học. Đây là một trong những nguyên nhân chính khiến nhiều học sinh sợ môn hình học và không phát huy được năng lực tư duy hình học tiềm ẩn của mình.

2.2. Khó khăn khi tiếp cận bài toán chứng minh hình học phức tạp

Các bài toán chứng minh hình học luôn là một thử thách lớn đối với học sinh lớp 9. Các em thường gặp khó khăn trong việc kết nối các giả thiết của bài toán với kết luận cần chứng minh. Việc vẽ thêm các yếu tố phụ, xác định các tính chất bất biến, hay lựa chọn định lý phù hợp để áp dụng đòi hỏi một khả năng phân tích và tổng hợp cao. Nếu không được rèn luyện tư duy logic toán học một cách bài bản, học sinh dễ bị “rối” trong một ma trận các mối quan hệ hình học. Sự trừu tượng của các khái niệm như góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp, hay các phép biến hình càng làm tăng thêm độ khó. Việc thiếu các công cụ trực quan để mô phỏng và kiểm chứng giả thuyết khiến quá trình suy luận trở nên mò mẫm và thiếu cơ sở.

III. Phương pháp dùng biểu diễn trực quan phát triển suy luận

Để khắc phục những hạn chế của phương pháp truyền thống và thúc đẩy việc phát triển suy luận toán hình học 9 trực quan, việc sử dụng biểu diễn trực quan được xem là một giải pháp đột phá. Biểu diễn trực quan (BDTQ) là quá trình sử dụng hình ảnh, sơ đồ, mô hình để cụ thể hóa các khái niệm và mối quan hệ toán học trừu tượng. Theo Arcavi (2003), trực quan hóa không chỉ đóng vai trò minh họa mà còn là một công cụ mạnh mẽ để khám phá và tư duy. Thay vì chỉ nghe và ghi chép, học sinh được quan sát, tương tác và thao tác trực tiếp với các đối tượng hình học. Điều này giúp các em xây dựng một mô hình nhận thức vững chắc trong tâm trí, làm cho các khái niệm như đường tròn và tiếp tuyến hay tứ giác nội tiếp trở nên gần gũi và dễ hiểu hơn. Việc áp dụng các BDTQ trong giảng dạy giúp học sinh dễ dàng nhận ra các quy luật, các tính chất bất biến, từ đó đưa ra các phỏng đoán và giả thuyết. Quá trình này chính là bước khởi đầu quan trọng cho việc hình thành năng lực tư duy hình học và suy luận logic. Đây là một sáng kiến kinh nghiệm toán 9 mang lại hiệu quả cao, giúp biến những giờ học hình học căng thẳng thành những buổi học khám phá đầy thú vị.

3.1. Vai trò của mô hình hóa toán học và sơ đồ tư duy hình học 9

Trong các dạng biểu diễn trực quan, mô hình hóa toán học và sơ đồ tư duy hình học 9 là hai công cụ cực kỳ hiệu quả. Mô hình hóa giúp học sinh chuyển một vấn đề thực tế hoặc một bài toán phức tạp thành một mô hình hình học đơn giản hơn để phân tích. Sơ đồ tư duy, mặt khác, giúp hệ thống hóa kiến thức một cách logic. Thay vì một danh sách các định lý rời rạc, học sinh có thể xây dựng một sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa các khái niệm, ví dụ như mối quan hệ giữa các loại góc trong đường tròn. Công cụ này giúp các em có cái nhìn tổng thể, dễ dàng truy xuất kiến thức và tìm ra hướng đi khi giải quyết bài toán, từ đó nâng cao khả năng suy luận một cách tự nhiên.

3.2. Cách trực quan hóa khái niệm trừu tượng đường tròn góc

Đối với các khái niệm trừu tượng, việc trực quan hóa đóng vai trò quyết định. Ví dụ, để dạy về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, giáo viên có thể sử dụng một mô hình động cho phép di chuyển đường thẳng lại gần đường tròn. Học sinh sẽ quan sát được sự thay đổi từ không có điểm chung, đến một điểm chung (tiếp xúc), và hai điểm chung (cắt nhau). Quá trình này giúp các em tự mình khám phá ra mối liên hệ giữa khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính, thay vì phải học thuộc một cách máy móc. Tương tự, các tính chất về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung... cũng có thể được minh họa sinh động, giúp học sinh xây dựng một nền tảng kiến thức vững chắc để học tốt hình học 9.

IV. Hướng dẫn dùng phần mềm động nâng cao suy luận toán học

Sự phát triển của công nghệ thông tin đã mở ra một hướng đi mới cho việc phát triển suy luận toán hình học 9 trực quan thông qua các phần mềm hình học động. Khác với hình vẽ tĩnh trên giấy, biểu diễn trực quan động (BDTQ động) cho phép người học tương tác, thay đổi các yếu tố của hình vẽ và quan sát kết quả ngay lập tức. Đây là một bước đột phá trong đổi mới phương pháp dạy học. Các phần mềm dạy học toán như Geogebra, Geometer's Sketchpad cung cấp một môi trường khám phá vô tận. Học sinh có thể kéo, thả các điểm, thay đổi kích thước của hình, và kiểm tra xem tính chất nào được bảo toàn. Chẳng hạn, khi di chuyển một đỉnh của tứ giác nội tiếp trên đường tròn, các em có thể quan sát thấy tổng hai góc đối diện luôn không đổi và bằng 180 độ. Trải nghiệm này có ý nghĩa hơn nhiều so với việc chỉ được thông báo về định lý. Việc sử dụng BDTQ động không chỉ giúp học sinh kiểm chứng giả thuyết mà còn khơi gợi sự tò mò, khuyến khích các em đặt câu hỏi “Tại sao?” và tự mình đi tìm lời giải, qua đó rèn luyện tư duy phản biện trong toán học và khả năng suy luận một cách hiệu quả.

4.1. Ứng dụng Geogebra tạo biểu diễn trực quan động trong dạy học

Trong số các phần mềm hiện có, Geogebra dạy hình học là một công cụ mạnh mẽ và miễn phí, được sử dụng rộng rãi. Giáo viên có thể dễ dàng tạo ra các mô hình động để minh họa cho các bài toán về quỹ tích, bài toán cực trị hình học, hay các tính chất phức tạp của đường tròn. Việc sử dụng Geogebra để xây dựng một giáo án hình học 9 trực quan giúp bài giảng trở nên sinh động và dễ hiểu. Học sinh có thể tự mình thao tác trên các mô hình, thực hiện các phép đo đạc chính xác, từ đó phát hiện ra các mối quan hệ toán học một cách chủ động. Đây là phương pháp hiệu quả để bồi dưỡng học sinh giỏi toán cũng như hỗ trợ các học sinh yếu kém tiếp cận môn học.

4.2. Khuyến khích học sinh khám phá đặt giả thuyết với công nghệ

Môi trường hình học động là nơi lý tưởng để khuyến khích học sinh khám phá và đặt giả thuyết. Giáo viên có thể đưa ra các bài toán có kết thúc mở, yêu cầu học sinh sử dụng phần mềm để tìm tòi, dự đoán các tính chất. Ví dụ: “Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến qua A cắt hai đường tròn tại M và N. Tìm vị trí của cát tuyến để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.” Học sinh sẽ tự mình di chuyển cát tuyến, quan sát sự thay đổi độ dài MN và đưa ra dự đoán. Quá trình này rèn luyện kỹ năng giải toán hình học và khả năng suy luận ngoại suy, một thành tố quan trọng của năng lực tư duy hình học.

V. Sáng kiến kinh nghiệm Kết quả thực nghiệm dạy học trực quan

Luận văn của Nguyễn Thị Diệu Ngọc (2021) không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn tiến hành thực nghiệm sư phạm tại trường THCS Chu Văn An để đánh giá hiệu quả của việc phát triển suy luận toán hình học 9 trực quan. Kết quả thu được rất khả quan, là một minh chứng rõ ràng cho tính đúng đắn của phương pháp này. Lớp thực nghiệm, được giảng dạy với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động, đã cho thấy sự tiến bộ vượt trội so với lớp đối chứng học theo phương pháp truyền thống. Học sinh ở lớp thực nghiệm tỏ ra hứng thú, tích cực và chủ động hơn trong giờ học. Các em không còn sợ hãi các bài toán chứng minh hình học mà thay vào đó, xem chúng như những thử thách để khám phá. Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm cũng cho thấy điểm số của lớp thực nghiệm cao hơn đáng kể. Cụ thể, tỷ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng lên, trong khi tỷ lệ học sinh yếu, kém giảm mạnh. Sáng kiến kinh nghiệm toán 9 này khẳng định rằng, khi được trang bị công cụ và phương pháp phù hợp, mọi học sinh đều có thể nâng cao khả năng suy luận và chinh phục môn hình học.

5.1. Phân tích kết quả định tính và định lượng sau thực nghiệm

Về mặt định lượng, các bảng số liệu và biểu đồ trong nghiên cứu đã chỉ ra sự khác biệt rõ rệt về kết quả học tập giữa hai nhóm lớp. Điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn, và độ phân tán điểm cũng tốt hơn. Về mặt định tính, thông qua quan sát lớp học và phỏng vấn, tác giả nhận thấy học sinh lớp thực nghiệm đã thay đổi thái độ học tập một cách tích cực. Các em mạnh dạn hơn trong việc đưa ra giả thuyết, thảo luận và bảo vệ ý kiến của mình. Khả năng vận dụng tư duy logic toán học để giải quyết các vấn đề mới được cải thiện rõ rệt, cho thấy hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học.

5.2. Minh chứng về việc nâng cao khả năng suy luận và học tốt hình học 9

Một trong những thành công lớn nhất của thực nghiệm là sự cải thiện trong khả năng giải các bài toán đòi hỏi suy luận cao. Học sinh lớp thực nghiệm đã biết cách sử dụng mô hình Toulmin một cách vô thức để cấu trúc các bước lập luận của mình, từ việc xác định dữ kiện (Data), đưa ra kết luận (Claim) và tìm kiếm luận chứng (Warrant). Các em không chỉ tìm ra lời giải mà còn có thể giải thích tại sao lời giải đó lại đúng. Điều này chứng tỏ phương pháp dạy học trực quan không chỉ giúp học sinh học tốt hình học 9 về mặt điểm số, mà còn thực sự phát triển được năng lực tư duy ở tầng sâu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Biểu diễn toán học 1.1 Phân loại biểu diễn toán học Theo Từ điển từ và ngữ Việt Nam, biểu diễn là: “ghi bằng hình vẽ hoặc kí hiệu” [18, tr.147] Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn (representation) trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong (internal representation) và ngoài (external), trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ. Tác giả Asli (1998, [32]) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn toán trong dạy học như sau:  Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;  Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;  Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;  Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn. Bruner, nhà tâm lý học nhận thức người Mỹ đã mô tả các giai đoạn phát triển của biểu diễn theo trình tự từ biểu diễn thực tế đến biểu diễn ký hiệu như sau (Tadao Nakahara, 2007, [48]): Hình 1.

Các giai đoạn phát triển có tính trình tự của biểu diễn 1 Bruner cũng chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành ba phạm trù từ thấp đến cao như sau [48]: + Thực tế: gồm các biểu diễn thực tế và các biểu diễn thao tác được. + Biểu tượng: các BDTQ sử dụng các hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng. + Ký hiệu: gồm có biểu diễn ngôn ngữ và biểu diễn ký hiệu. Trong ba phạm trù biểu diễn ở trên, BDTQ đóng vai trò trung gian nối kết biểu diễn thực tế với biểu diễn ký hiệu.

Một minh họa về biểu diễn toán Loại biểu Ví dụ trong chủ đề đạo Đặc trưng diễn Hàm Biểu diễn f (x)  x 2  f '(2)  4 Rất chuẩn xác, ngắn gọn và rõ ràng. ký hiệu Bị chi phối bởi các quy ước của ngôn 2 Đạo hàm của hàm số x Biểu diễn ngữ, thiếu sự cô đọng và ngắn gọn tại điểm x bằng 2 là 4. ngôn ngữ nhưng mô tả được và tạo cảm giác quen thuộc, dễ nhớ. Vì tương tự với đối tượng được biểu Biểu diễn diễn nên loại biểu diễn này vừa trực minh họa, quan vừa trực giác.

Nếu được thiết kế trực quan trên máy tính thì sẽ thể hiện được quá trình trung gian. Mô hình tạo từ các vật liệu có thể uốn Biểu diễn cong được. Thể hiện khá cụ thể, thực thực thao hiện được các thao tác lên đối tượng, độ tác được chính xác chấp nhận được. Mô hình mô tả chiếc xe đang chuyển Biểu diễn động.

Thể hiện sống động, rất cụ thể và thực tế tự nhiên. 2 Để học sinh có thể nhận thức được một khái niệm, cần kết hợp những biểu diễn khác nhau nhằm thể hiện được các khía cạnh của khái niệm đó. Trong luận văn này, chúng tôi chú trọng đến BDTQ, đặc biệt là các BDTQ với sự hỗ trợ của các phần mềm hình học động trên máy tính nhằm giúp HS phát triển năng lực suy luận.2 Biểu diễn trực quan Có nhiều quan điểm khác nhau về trực quan hóa. Với nội dung của luận văn này, tác giả luận văn sử dụng định nghĩa được tổng hợp bởi Arcavi (2003, [31], tr.

217) như sau: Trực quan hóa là quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, sơ đồ.) trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ. Trực quan hóa nhằm mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu.1: Tìm tổng vô hạn của cấp số nhân   . 4 4 2 43 1 1 1 1 HS có thể dùng biểu diễn đại số để tính Sn   2  3 .  n , 4 4 4 4 rồi tính giới hạn: 1 1  ( )n 1 4 1 lim Sn  lim  n  n  4 1 3 1 4 Một cách chứng minh khác (hình 1.2) của bài toán trên được trích từ bài báo mang tên “chứng minh không từ ngữ” của Mabry (xem Trần Vui, 2009, [29]) với việc sử dụng BDTQ như sau: Giả sử diện tích tam giác đều lớn bằng 1.

Từ tam giác đều lớn, ta đục tam giác đều ở giữa, tiếp tục đục tam giác đều ở trên. Dãy tam giác đều bị đục có tổng diện tích là: 1 1 1    .2 BDTQ tổng vô hạn 4 4 2 43 3 Ta thấy có ba dãy tam giác đều vô hạn giống nhau và ba dãy này lấp đầy tam giác 1 1 1 1 đều lớn nên:  2  3 .  4 4 4 3 BDTQ là một công cụ hiệu quả cho việc học toán bởi: + BDTQ mang lại ý nghĩa cho các khái niệm toán học và các mối quan hệ toán học. + BDTQ cung cấp các tiếp cận đơn giản, ngắn gọn và đầy nội lực cho các kết quả toán học, góp phần tạo ra sự kết nối giữa các lĩnh vực khác nhau của toán học như số học, đại số và hình học.

+ BDTQ giúp gợi ý hướng giải quyết vấn đề. + BDTQ cung cấp thêm cho HS những công cụ và phương tiện, kĩ thuật khác nhau khi nhìn nhận một tình huống toán học.3 Biểu diễn trực quan động Khái niệm BDTQ động có thể hiểu là BDTQ trong đó cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. BDTQ động thường được xây dựng thông qua các phần mềm hình học động trên máy tính. [24] Phần mềm hình học động là các chương trình phần mềm máy tính được tạo ra để dựng các hình của bộ môn hình học.

The Geometer Sketchpad (GSP), Cabri, Geogebra là ba trong số các phần mềm hình học động được sử dụng khá phổ biến trong giáo dục toán ở phổ thông hiện nay. Khía cạnh mang tính đột phá của những phần mềm này so với môi trường giấy bút truyền thống là tính “động”, nghĩa là các đối tượng trên BDTQ động có thể di chuyển nhưng vẫn bảo đảm giữ nguyên tính chất và các mối quan hệ hình học được thiết lập ban đầu. Những thao tác lên BDTQ động trên máy tính khác cũng sẽ khác với những thao tác lên các BDTQ trong môi trường giấy bút do chúng có thêm những hỗ trợ từ phần mềm hình học động mang lại. Một số nhà nghiên cứu cho rằng, các phần mềm hình học động đã thay đổi cách suy nghĩ về các đối tượng hình học truyền thống vì trong khi di chuyển hay kéo rê các đối tượng hình học, đo đạc và kiểm tra các tính chất, người học có thể nhận ra các tính chất bất biến hình học [25].

Từ đó, giả thuyết ban đầu về các đối tượng hình học và 4 mối quan hệ giữa chúng được hình thành, sau đó, phần mềm hình học động cũng hỗ trợ quá trình kiểm tra tính đúng đắn của các giả thuyết đó [11]. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Lấy điểm E trên (O) khác A, B. Đường thẳng EA và EB cắt (O’) lần lượt tại C và D.

Tiến hành đo độ dài các đoạn thẳng EC, ED và CD.3 Thao tác động cho điểm trên đường tròn Khi bạn kéo điểm E quanh đường tròn (O), các độ dài EC và ED thay đổi nhưng độ dài CD là không đổi. Trong mô hình này có thể thấy đường tròn khi thay đổi vị trí của nó, thay đổi kích thước của đường tròn, dựng thêm các đối tượng khác… Rõ ràng, việc chủ động phát hiện ra độ dài CD là không đổi có ý nghĩa hơn so với việc bạn được yêu cầu chứng minh nó. Việc giá trị CD không đổi gây cho bạn ngạc nhiên, thú vị và gợi động cơ chứng minh phát hiện này. Những trải nghiệm nhờ các thao tác động trong ví dụ này hoàn toàn khác với những trải nghiệm khi thực hiện trong điều kiện chỉ có giấy và bút.

Bạn sẽ không thấy được một cách trực quan những chuyển động, những biến đổi của các đối tượng. Chúng ta chỉ có thể dự đoán rồi làm việc với những biểu diễn ký hiệu để khẳng định chúng. Chúng ta cũng có thể dự đoán được những ứng xử như trên của mô hình nhưng điều đó cũng chỉ dừng lại ở mức độ dự đoán. Số hình ảnh thu được từ mắt mình chỉ là một, trong khi thao tác trên mô hình, bạn sẽ thu nhận được vô số những biến thể của hình đó.

5 Phần mềm hình học động có thể hỗ trợ hiệu quả cho việc học toán bằng các thao tác động, trong đó người học khám phá, thực nghiệm và hình thành kiến thức toán học thông qua các tương tác. Theo Finzer và Jackiw (1998, [49]), các môi trường thao tác động được đặc trưng bởi ba tính chất: - Thao tác trực tiếp. Vẽ đồ thị hàm số f(x) rồi dựng một cát tuyến đi qua hai điểm E0 và E trên đồ thị. Bạn nắm lấy điểm E rồi kéo rê nó đến với điểm E0.

Bạn sẽ nói “Tôi kéo rê điểm E” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và nó sẽ làm thay đổi vị trí của điểm E”. - Chuyển động cập nhật liên tục. Các thay đổi được cập nhật liên tục trong suốt quá trình kéo rê. Các đối tượng toán học có trên màn hình vẫn liên kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm.

Chẳng hạn, nếu tính giá trị khoảng cách từ E tới E0 thì giá trị hiển thị trên màn hình này sẽ thay đổi tương ứng với vị trí của điểm E khi kéo rê. - Môi trường thuận lợi cho các thao tác. Thực nghiệm của bạn chỉ liên quan đến những đối tượng mà bạn thao tác. Bạn khám phá khi làm việc với chúng.

Giao diện của chương trình hầu như không gây ra tác động nào và bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được những mục đích toán học chứ không phải làm thế nào để điều khiển công nghệ. Đối với việc học toán, các thao tác động có thể giải quyết được những vấn đề chẳng hạn như lý giải về sự liên tục. Thông qua chương trình học, học sinh học toán đối mặt với hai hiện tượng: liên tục và rời rạc. Tuy nhiên những công cụ mà giáo viên đưa ra để lý giải về các hiện tượng này chưa tạo ra cầu nối giữa chúng.