Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập" do nghiên cứu sinh Phạm Thị Thu Hoài thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Bường, bảo vệ năm 2022 tại Học viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam (chuyên ngành Toán ứng dụng, mã số 9 46 01 12).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật (bài toán biến phân, bài toán cực trị, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân) và đời sống kinh tế - kỹ thuật (bài toán kế hoạch sản xuất, bài toán vận tải, bài toán khẩu phần thức ăn) đều dẫn về bài toán tìm cực tiểu của một phiếm hàm $f$ trong không gian Hilbert. Điểm cực tiểu của phiếm hàm lồi chính là không điểm của dưới vi phân của phiếm hàm đó, dẫn đến bài toán tổng quát là tìm không điểm của một toán tử đơn điệu cực đại $T$: $$0 \in Tp^$$ hoặc tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại $A, B$: $$0 \in (A + B)p^$$

Song song với đó, bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem - SFP) và bài toán chấp nhận tách nhiều tập (Multiple-Sets Split Feasibility Problem - MSSFP) nảy sinh từ mô hình hóa bài toán ngược, phục hồi pha, tái tạo hình ảnh y tế và xạ trị điều biến cường độ: $$\text{Tìm } x \in C := \bigcap_{i \in J_1} C_i \quad \text{sao cho} \quad Ax \in Q := \bigcap_{j \in J_2} Q_j$$ trong đó $C_i, Q_j$ là các tập con lồi, đóng trong các không gian Hilbert thực $H_1, H_2$, và $A: H_1 \to H_2$ là ánh xạ tuyến tính bị chặn.

Các khoảng trống nghiên cứu chính được chỉ ra trong luận án bao gồm:

  1. Đối với bài toán tìm không điểm toán tử đơn điệu cực đại, các phương pháp điểm gần kề (Proximal Point Algorithm - PPA) cổ điển chỉ đạt hội tụ yếu trong không gian vô hạn chiều. Các cải biên đạt hội tụ mạnh trước đây đều đòi hỏi điều kiện khắt khe về dãy tham số của toán tử giải (bị chặn dưới bởi hằng số dương $r_k \ge \varepsilon > 0$). Một số công trình xét trường hợp tham số hội tụ về $0$ lại đòi hỏi dùng hợp của vô số toán tử giải $J^k = J_1 J_2 \dots J_k$, làm tăng đáng kể khối lượng tính toán.
  2. Đối với bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại, các phương pháp tách tiến-lùi (Forward-Backward Splitting) đạt sự hội tụ mạnh cũng thường yêu cầu dãy tham số ${r_k}$ bị chặn dưới bởi một số dương và thỏa mãn điều kiện tổng sai phân hữu hạn $\sum |t_{k+1} - t_k| < \infty$.
  3. Đối với bài toán MSSFP, hầu hết các thuật toán đã công bố chỉ áp dụng cho trường hợp số tập chỉ số $J_1, J_2$ là hữu hạn. Trong trường hợp $J_1, J_2$ là các họ vô hạn đếm được, các phương pháp hiện hành gặp khó khăn khi mỗi bước lặp phải tính toán đồng thời vô hạn các phép chiếu metric.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định 3 mục tiêu cụ thể:

  1. Đề xuất một số thuật toán điểm gần kề cải biên mới cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại, đảm bảo tính hội tụ mạnh trong không gian Hilbert với điều kiện tham số ${r_k}$ của toán tử giải là một dãy số dương bất kỳ trong $(0, \infty)$ và cấu trúc bước lặp chỉ sử dụng tối đa 2 toán tử giải.
  2. Thiết lập phương pháp lặp dạng tách tiến-lùi kết hợp phương pháp hướng dốc nhất để giải bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại, đạt hội tụ mạnh khi dãy tham số ${r_k}$ dần về $0$ hoặc là dãy bất kỳ trong $(0, \alpha)$ với $\alpha > 0$, đồng thời giảm nhẹ các điều kiện ràng buộc trên các dãy tham số lặp.
  3. Xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách nhiều tập (MSSFP) trong không gian Hilbert thực với $J_1, J_2$ là các họ vô hạn đếm được, sao cho tại mỗi bước lặp thuật toán chỉ cần sử dụng hữu hạn các tập lồi đóng, thu được nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Toán tử đơn điệu cực đại, toán tử ngược đơn điệu mạnh, ánh xạ không giãn, ánh xạ co, ánh xạ trung bình, bài toán chấp nhận tách và bài toán chấp nhận tách nhiều tập.
  • Phạm vi không gian: Không gian Hilbert thực hữu hạn chiều và vô hạn chiều ($H, H_1, H_2, E^n$).
  • Phạm vi phương pháp: Phương pháp giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết toán tử đơn điệu, lý thuyết điểm bất động, giải tích lồi và các kỹ thuật hiệu chỉnh Tikhonov, Bakushinsky, Bruck.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước đây

Luận án đã hệ thống hóa lịch sử phát triển của các hướng nghiên cứu liên quan:

  • Phương pháp điểm gần kề (PPA): Khởi xướng bởi Martinet (1970) cho bài toán quy hoạch lồi, sau đó được Rockafellar (1976) tổng quát hóa cho toán tử đơn điệu cực đại $T$: $$x_{k+1} = J_k x_k + e_k \quad \text{hoặc} \quad x_{k+1} = J_k(x_k + e_k), \quad J_k = (I + r_k T)^{-1}$$ Năm 1991, Güler chỉ ra PPA chỉ hội tụ yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Eckstein và Bertsekas (1992) đề xuất dạng tổng quát nhưng cũng chỉ đạt hội tụ yếu. Để đạt hội tụ mạnh, Lehdili và Moudafi (1996) kết hợp PPA với hiệu chỉnh Tikhonov, mở rộng bởi Xu (2006), Boikanyo và Morosanu (2012); Kamimura và Takahashi (2000) đưa ra PPA dạng co, mở rộng bởi Yao và Noor (2008). Wang (2012) áp dụng giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Nguyễn Bường (2017) đưa ra thuật toán hội tụ mạnh khi $r_k \to 0$ ($\sum r_k < \infty$) nhưng phải dùng tích của $k$ toán tử giải $J^k = J_1 J_2 \dots J_k$.
  • Phương pháp tách cho tổng hai toán tử: Peaceman và Rachford (1955), Douglas và Rachford (1956) đề xuất phương pháp tách cho toán tử tuyến tính. Lions và Mercier (1979) mở rộng cho toán tử đơn điệu cực đại. Lions - Mercier (1979) và Passty (1979) đề xuất phương pháp tách tiến-lùi: $$x_{k+1} = J_k (I - r_k A) x_k$$ nhưng dãy lặp chỉ hội tụ yếu. Combettes (2004), Jiao và Wang (2012) kết hợp với dãy lặp Mann; Takahashi, Wong và Yao (2010) kết hợp với dãy lặp Halpern; Takahashi và Toyoda (2010) kết hợp Mann - Halpern; Boikanyo (2016) đề xuất phương pháp xấp xỉ nhớt. Các kết quả này đều đòi hỏi ${r_k}$ bị chặn dưới bởi số dương $r_k \ge \varepsilon > 0$.
  • Bài toán chấp nhận tách (SFP và MSSFP): SFP được đề xuất bởi Censor và Elfving (1994) với thuật toán liên quan đến ma trận nghịch đảo. Byrne (2002) khắc phục bằng thuật toán CQ sử dụng phép chiếu trực giao. Xu (2006, 2010) mở rộng cho không gian Hilbert vô hạn chiều và dùng hiệu chỉnh Bakushinsky - Bruck để đạt hội tụ mạnh. Đối với MSSFP, Censor và cộng sự (2005) đề xuất phương pháp chiếu gradient trong không gian hữu hạn chiều; Zhang (2008), Zhao và Zhang, He và cộng sự phát triển thuật toán tự thích nghi; Wen (2015) đưa ra thuật toán xoay vòng và song song; Nguyễn Bường (2017) nghiên cứu cho trường hợp họ vô hạn nhưng cấu trúc thuật toán còn phức tạp.

Vị trí và giải pháp của luận án

Luận án định vị trọng tâm giải quyết các nút thắt kỹ thuật:

  • Thay thế việc sử dụng hợp $k$ toán tử giải $J_1 \dots J_k$ bằng việc chỉ kết hợp 2 toán tử giải $J_k$ và $J_c$ ($c > 0$ cố định) tại mỗi bước lặp, đồng thời chứng minh hội tụ mạnh với dãy ${r_k}$ hoàn toàn bất kỳ trong $(0, \infty)$.
  • Thiết lập sơ đồ tách tiến-lùi hội tụ mạnh khi $r_k \to 0$ ($\sum r_k < \infty$) hoặc ${r_k} \subset (0, \alpha)$, loại bỏ điều kiện ràng buộc tổng sai phân $\sum |t_{k+1} - t_k| < \infty$.
  • Mở rộng phương pháp hiệu chỉnh lặp cho MSSFP với 2 họ vô hạn đếm được các tập lồi đóng ($J_1 = J_2 = \mathbb{N}^+$), trong đó mỗi bước lặp chỉ lấy tổng hữu hạn các phép chiếu metric từ $1$ đến $k$, cho phép thuật toán triển khai tính toán khả thi trên thực tế.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án xây dựng trên nền tảng giải tích hàm và lý thuyết toán tử phi tuyến:

  • Tính hội tụ: Dãy ${x_k} \subset H$ hội tụ mạnh về $x$ ($x_k \to x$) nếu $|x_k - x| \to 0$; hội tụ yếu ($x_k \rightharpoonup x$) nếu $\langle x_k, y \rangle \to \langle x, y \rangle, \forall y \in H$.
  • Dưới vi phân: Cho hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới $f: H \to (-\infty, +\infty]$, dưới vi phân $\partial f(x) = {z \in H : f(y) \ge f(x) + \langle y - x, z \rangle, \forall y \in H}$.
  • Toán tử đơn điệu: Toán tử đa trị $T: H \to 2^H$ là đơn điệu nếu $\langle u - v, x - y \rangle \ge 0, \forall (x, u), (y, v) \in \text{gra}T$; là đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó không bị chứa thực sự trong đồ thị của bất kỳ toán tử đơn điệu nào khác.
  • Toán tử giải và xấp xỉ Yosida: Với $r > 0$, toán tử giải $J_r = (I + rT)^{-1}$ và xấp xỉ Yosida $T_r = \frac{I - J_r}{r}$. $J_r$ là ánh xạ đơn trị, không giãn chặt và $\text{Fix}(J_r) = \text{Zer}T = {x \in D(T) : 0 \in Tx}$.
  • Các lớp ánh xạ: Ánh xạ $\eta$-đơn điệu mạnh, $L$-Lipschitz, $\alpha$-ngược đơn điệu mạnh ($\langle Tx - Ty, x - y \rangle \ge \alpha |Tx - Ty|^2$), ánh xạ trung bình, phép chiếu metric $P_C$.

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp giải tích giải tích: Sử dụng các bất đẳng thức giải tích hàm, biến đổi đại số tích vô hướng, đánh giá chuẩn và các bổ đề về dãy số phi âm dạng $a_{k+1} \le (1 - b_k)a_k + b_k c_k$ (Bổ đề 1.10) cùng kỹ thuật chia hai trường hợp của Maingé (Bổ đề 1.11) để chứng minh sự hội tụ mạnh ngặt nghèo của các dãy lặp.
  • Phương pháp tính toán số thực nghiệm: Xây dựng chương trình mô phỏng số, giải các bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân mẫu trong các không gian $E^2, E^3$.
  • Môi trường và công cụ: Mã nguồn chương trình tính toán số được viết và thực thi trên phần mềm Free Pascal IDE. Phần cứng máy tính thử nghiệm là CPU Intel(R) Core(TM) i5-5200U @ 2.20GHz, bộ nhớ RAM 2.00 GB.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số khái niệm, bài toán và phương pháp cơ bản

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, tính chất cơ bản và tập hợp 12 bổ đề giải tích quan trọng làm nền tảng cho toàn bộ luận án:

  • Trình bày tính chất hình học của không gian Hilbert: đẳng thức hình bình hành, quan hệ giữa chuẩn và tích vô hướng: $$|x + y|^2 \le |x|^2 + 2\langle y, x + y \rangle$$
  • Phân tích chi tiết tính chất của phép chiếu metric $P_C$: $\langle x - P_C x, y - P_C x \rangle \le 0, \forall y \in C$; $|P_C x - P_C y|^2 \le \langle P_C x - P_C y, x - y \rangle$.
  • Thiết lập tính chất của toán tử giải $J_r$ và toán tử tổng $A + B$.
  • Tổng hợp các bổ đề hội tụ giải tích then chốt:
    • Bổ đề 1.6 (Yamada, 2001) và Bổ đề 1.7 (Wang, 2011) về bất đẳng thức biến phân cho ánh xạ đơn điệu mạnh.
    • Bổ đề 1.10 (Xu, 2002): Cho dãy số thực không âm ${a_k}$ thỏa mãn $a_{k+1} \le (1 - b_k)a_k + b_k c_k$ với ${b_k} \subset [0, 1], \sum b_k = \infty$ và $\limsup c_k \le 0$, khi đó $\lim a_k = 0$.
    • Bổ đề 1.11 (Maingé, 2008): Kỹ thuật xử lý dãy số không đơn điệu thông qua dãy chỉ số $m_k = \max{l \le k : a_l \le a_{l+1}}$.
    • Bổ đề 1.12: Tính chất hợp của hữu hạn các ánh xạ trung bình.

Chương 2. Phương pháp lặp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

Chương 2 giải quyết bài toán tìm $p^* \in H$ sao cho $0 \in Tp^*$. Tác giả đề xuất thuật toán cải biên mới kết hợp hai toán tử giải $J_c$ ($c > 0$ cố định) và $J_k = (I + r_k T)^{-1}$:

$$z_{k+1} = J_k J_c (I - t_k \mu F) z_k + e_k$$ và $$z_{k+1} = (1 - \beta_k)(I - t_k \mu F) J_c z_k + \beta_k J_k z_k + e_k$$ trong đó $F$ là ánh xạ $\eta$-đơn điệu mạnh và $L$-Lipschitz, $\mu \in (0, 2\eta/L^2)$.

Các trường hợp riêng tường minh tương ứng gồm: $$x_{k+1} = J_k J_c (t'_k u + (1 - t'k)x_k) + e_k$$ $$x{k+1} = t'_k u + \beta'_k J_c x_k + \gamma'_k J_k x_k + e_k$$

Định lý 2.1 & 2.2: Chứng minh rằng với điều kiện sai số $\sum |e_k| < \infty$ (hoặc $\lim \frac{|e_k|}{t_k} = 0$), $t_k \in (0, 1), \lim t_k = 0, \sum t_k = \infty$, và điều kiện $(A8')$: ${r_k}$ là dãy số bất kỳ trong $(0, \infty)$, dãy lặp hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất $p^$ của bất đẳng thức biến phân $\langle Fp^, p^* - p \rangle \le 0, \forall p \in \text{Zer}T$.

Tác giả cũng phát triển thuật toán hai bước (Định lý 2.3): $$\tilde{x}{k+1} = J_k (x_k + e{k+1}), \quad x_{k+1} = t_k u + (1 - t_k) J_c \tilde{x}{k+1}$$ hội tụ mạnh về $p^* = P{\text{Zer}T} u$ với sai số thỏa mãn $|e_{k+1}| \le \eta_k |\tilde{x}_{k+1} - x_k|$ và $\sum \eta_k^2 < \infty$.

Kết quả tính toán số thực nghiệm: Xét bài toán tìm cực tiểu hàm lồi $g(x)$ trên $E^2$. So sánh thuật toán (2.4) của luận án với thuật toán (1.13) của Yao và Noor (2008):

Bước lặp ($k$) Thuật toán (2.4) của Luận án: $x_k = (x_{k1}, x_{k2})$ Thuật toán (1.13) Yao & Noor: $x_k = (x_{k1}, x_{k2})$
10 (1.7013898144, 2.7013898144) (1.6969894371, 2.6969894371)
50 (1.5432616231, 2.5432616231) (1.5645598695, 2.5645598695)
100 (1.5218774780, 2.5218774780) (1.5367675904, 2.5367675904)
500 (1.5044439009, 2.5044439009) (1.5083819875, 2.5083819875)

Kết quả sau 500 bước lặp cho thấy thuật toán của luận án đạt nghiệm xấp xỉ gần nghiệm đúng $(1.5; 2.5)$ hơn thuật toán của Yao và Noor.

Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert

Chương 3 xét bài toán $0 \in (A + B)p^*$. Kết hợp phương pháp hướng dốc nhất với phương pháp tách tiến-lùi, tác giả thiết lập dãy lặp: $$z_1 \in H, \quad z_{k+1} = T^k (I - t_k F) z_k + e_k$$ trong đó $T^k = T_1 T_2 \dots T_k$ với $T_i = J_i(I - r_i A)$, $J_i = (I + r_i B)^{-1}$, $A$ là toán tử $\alpha$-ngược đơn điệu mạnh, $B$ là toán tử đơn điệu cực đại.

Định lý 3.1 & các bổ đề bổ trợ:

  • Bổ đề 3.2 chứng minh với điều kiện $(B9')$: $r_k \in (0, \alpha)$ và $\sum_{k=1}^\infty r_k < \infty$ ($r_k \to 0$) cùng điều kiện chặn $(B12)$, với mỗi $x \in C$, giới hạn $T_i^\infty x := \lim_{k\to\infty} T_i^k x$ tồn tại.
  • Bổ đề 3.3 chứng minh tập điểm bất động $\text{Fix}(T^\infty) = \Omega = \text{Zer}(A + B)$.
  • Luận án chứng minh dãy lặp hội tụ mạnh mà không cần điều kiện $\sum |t_{k+1} - t_k| < \infty$ như trong công trình của Takahashi, Wong và Yao (2010).

Kết quả tính toán số thực nghiệm: Thử nghiệm trên bài toán bất đẳng thức biến phân trong $E^2$ và $E^3$ với tập ràng buộc hình cầu $C = {x \in E^n : \sum_{j=1}^n (x_j - a_j)^2 \le r^2}$.

Bảng so sánh sai số tuyệt đối $err = |x_k - p^|$ trong $E^2$ giữa thuật toán (3.18) của luận án và thuật toán (1.23) của Takahashi, Wong và Yao:*

Số bước lặp ($k$) Sai số $err$ của Thuật toán (3.18) Sai số $err$ của Thuật toán (1.23)
10 0.0094191636 0.0108341995
50 0.0020875323 0.0027732915
100 0.0010642442 0.0014766989
500 0.0002195045 0.0003222624
1000 0.0001107297 0.0001648218
2000 0.0000557476 0.0000839804

Bảng so sánh sai số tuyệt đối $err = |x_k - p^|$ trong $E^3$ giữa thuật toán (3.20) của luận án và thuật toán (1.23) của Takahashi, Wong và Yao:*

Số bước lặp ($k$) Sai số $err$ của Thuật toán (3.20) Sai số $err$ của Thuật toán (1.23)
10 0.0384462211 0.0468494116
50 0.0098418042 0.0125867375
100 0.0051877685 0.0067676646
500 0.0011116279 0.0014909066
1000 0.0005662779 0.0007641261
2000 0.0002868212 0.0003899650

Kết quả định lượng khẳng định phương pháp của luận án cho sai số nhỏ hơn ở tất cả các mốc bước lặp.

Chương 4. Phương pháp hiệu chỉnh lặp cho bài toán chấp nhận tách nhiều tập trong không gian Hilbert

Chương 4 mở rộng thuật toán hiệu chỉnh Bakushinsky - Bruck cho bài toán MSSFP: $$\text{Tìm } x \in \bigcap_{i=1}^\infty C_i \quad \text{sao cho} \quad Ax \in \bigcap_{j=1}^\infty Q_j$$

Tác giả đề xuất thuật toán hiệu chỉnh lặp (4.6) - (4.7): $$x^{k+1} = U_k T_{\gamma_k, \alpha_k} x^k$$ trong đó: $$U_k = \frac{1}{\tilde{\beta}k} \sum{i=1}^k \beta_i P_{C_i}, \quad T_{\gamma_k, \alpha_k} = I - \gamma_k \left( A^*(I - V_k)A + \alpha_k I \right), \quad V_k = \frac{1}{\tilde{\eta}k} \sum{j=1}^k \eta_j P_{Q_j}$$ với $\tilde{\beta}k = \sum{i=1}^k \beta_i$, $\tilde{\eta}k = \sum{j=1}^k \eta_j$, $\sum_{i=1}^\infty \beta_i = 1$, $\sum_{j=1}^\infty \eta_j = 1$, $\alpha_k \to 0, \sum \alpha_k = \infty$, $\gamma_k \in (\varepsilon_0, \frac{2}{|A|^2 + 2})$.

Định lý 4.1: Chứng minh dãy ${x^k}$ hội tụ mạnh về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất $x^*$ của bài toán MSSFP với hai họ vô hạn đếm được các tập lồi đóng. Điểm cốt lõi là tại bước lặp $k$, thuật toán chỉ cần tính tổng hữu hạn từ $1$ đến $k$.

Từ Định lý 4.1, tác giả suy ra các trường hợp đặc biệt:

  • Định lý 4.2: Áp dụng khi $J_1 = {1, \dots, N}$ (hữu hạn) và $J_2 = \mathbb{N}^+$ (vô hạn).
  • Định lý 4.3: Áp dụng khi $J_1 = \mathbb{N}^+$ (vô hạn) và $J_2 = {1, \dots, M}$ (hữu hạn).
  • Định lý 4.4: Áp dụng khi cả $J_1$ và $J_2$ đều là các tập chỉ số hữu hạn ($N$ và $M$).

Kết quả tính toán số thực nghiệm: Thử nghiệm với hệ vô hạn các nửa không gian và hình cầu trong $E^2$ và $E^3$:

  • Trong ví dụ $E^2$: Sau 3000 bước lặp, nghiệm xấp xỉ đạt được là $x^{3000} = (0.0000000000, 0.0000331969)$, hội tụ sát nghiệm đúng có chuẩn nhỏ nhất $x^* = (0, 0)$.
  • Trong ví dụ $E^3$: Sau 3000 bước lặp, nghiệm đạt được là $x^{3000} = (0.0014355553, 0.0000000000)$, hội tụ về $(0, 0)$.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được 4 đóng góp khoa học mới về mặt lý thuyết và thực nghiệm tính toán:

  1. Đóng góp về phương pháp điểm gần kề: Đề xuất cải biên mới chỉ sử dụng 2 toán tử giải tại mỗi bước lặp, thiết lập định lý hội tụ mạnh trong không gian Hilbert với điều kiện tham số ${r_k}$ của toán tử giải là một dãy số bất kỳ trong $(0, \infty)$. Kết quả này khắc phục đồng thời hai nhược điểm: yêu cầu $r_k$ bị chặn dưới bởi số dương ở các nghiên cứu trước đây và cấu trúc tính toán phức tạp phải dùng hợp $k$ toán tử giải khi $r_k \to 0$.
  2. Đóng góp về phương pháp tách tiến-lùi: Xây dựng thuật toán lặp dạng tách tiến-lùi kết hợp phương pháp hướng dốc nhất để tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại, chứng minh sự hội tụ mạnh khi dãy tham số $r_k \to 0$ hoặc ${r_k} \subset (0, \alpha)$, đồng thời loại bỏ điều kiện ràng buộc tổng sai phân $\sum |t_{k+1} - t_k| < \infty$.
  3. Đóng góp về bài toán chấp nhận tách nhiều tập: Mở rộng phương pháp hiệu chỉnh lặp giải bài toán MSSFP cho trường hợp hai họ vô hạn đếm được các tập lồi đóng, thu được nghiệm có chuẩn nhỏ nhất. Điểm mới quan trọng là thuật toán chỉ sử dụng tổng hữu hạn các phép chiếu tại mỗi bước lặp, giúp thuật toán hoàn toàn khả thi trong thực thi tính toán số.
  4. Đóng góp về thực nghiệm số: Toàn bộ các thuật toán đề xuất đều được lập trình mô phỏng trên Free Pascal IDE, thực hiện so sánh đối chuẩn với các thuật toán quốc tế đã công bố (Yao & Noor 2008; Takahashi, Wong & Yao 2010), minh chứng tính đúng đắn và sự cải thiện về sai số xấp xỉ.

Các kết quả của luận án đã được công bố trong 5 công trình khoa học uy tín, bao gồm 1 bài báo trên tạp chí SCIE nhóm Q1 (Calcolo, 2018), 1 bài báo trên tạp chí SCIE nhóm Q2 (Acta Applicandae Mathematicae, 2019), 1 bài báo thuộc danh mục Scopus (Nonlinear Functional Analysis and Applications, 2020), 1 bài báo trên East-West Journal of Mathematics (2020) và 1 bài báo trong Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia về CNTT-TT (2020).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Các hướng nghiên cứu tiếp theo được tác giả xác định ở phần kết luận của luận án gồm:

  1. Đề xuất và nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp lặp mới nhằm tìm không điểm của toán tử dạng đơn điệu, tổng hai toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và không gian Banach.
  2. Đánh giá tốc độ hội tụ (convergence rates) tới nghiệm của các phương pháp lặp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và tổng hai toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert đã thu được ở Chương 2 và Chương 3.
  3. Tiếp tục nghiên cứu mở rộng phương pháp hiệu chỉnh lặp để giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập với các tham số lặp tự điều chỉnh, không phụ thuộc vào chuẩn của toán tử $|A|$.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán học: Đặc biệt trong các chuyên ngành Toán ứng dụng, Toán giải tích, Lý thuyết tối ưu và Giải tích phi tuyến. Phần kỹ thuật chứng minh hội tụ mạnh ở Chương 2 và Chương 3 (sử dụng phối hợp Bổ đề 1.10 của Xu và Bổ đề 1.11 của Maingé) là tài liệu mẫu mực về phương pháp phân chia trường hợp xử lý dãy không đơn điệu.
  • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Xử lý tín hiệu, Phục hồi ảnh và Xạ trị y tế: Nội dung Chương 4 về thuật toán hiệu chỉnh lặp cho bài toán MSSFP cung cấp công cụ toán học trực tiếp để giải quyết các bài toán biên, bài toán ngược y tế và tối ưu hóa hệ ràng buộc phức tạp có vô hạn điều kiện lồi.

Câu hỏi thường gặp

1. Thuật toán điểm gần kề cải biên ở Chương 2 khắc phục điểm hạn chế nào của các công trình trước đó?

Thuật toán ở Chương 2 giải quyết đồng thời hai điểm nghẽn:

  • Khắc phục yêu cầu dãy tham số ${r_k}$ phải bị chặn dưới bởi hằng số dương $r_k \ge \varepsilon > 0$ vốn bắt buộc trong các công trình của Rockafellar (1976), Lehdili & Moudafi (1996), Marino & Xu (2004), Yao & Noor (2008).
  • Khắc phục sự phức tạp tính toán trong công trình của Nguyễn Bường (2017) (vốn phải tính hợp của $k$ toán tử giải $J_1 J_2 \dots J_k$) bằng cách chỉ sử dụng kết hợp 2 toán tử giải $J_c$ ($c > 0$ cố định) và $J_k$, trong khi dãy ${r_k}$ chỉ cần là một dãy số dương bất kỳ trong $(0, \infty)$.

2. Thuật toán tách tiến-lùi ở Chương 3 đã nới lỏng những điều kiện tham số nào so với kết quả của Takahashi, Wong và Yao (2010)?

Thuật toán của luận án loại bỏ hoàn toàn điều kiện tổng sai phân hữu hạn $\sum_{k=1}^\infty |t_{k+1} - t_k| < \infty$ và thay thế điều kiện chặn dưới của tham số toán tử giải ($0 < \varepsilon \le r_k \le 2\alpha$) bằng điều kiện $r_k \in (0, \alpha)$ với $\sum_{k=1}^\infty r_k < \infty$ ($r_k \to 0$) hoặc ${r_k}$ là dãy bất kỳ trong $(0, \alpha)$.

3. Giải pháp kỹ thuật giúp bài toán MSSFP ở Chương 4 giải được với họ vô hạn các tập lồi đóng là gì?

Tác giả sử dụng trọng số chuẩn hóa $\tilde{\beta}k = \sum{i=1}^k \beta_i$ và $\tilde{\eta}k = \sum{j=1}^k \eta_j$ để xây dựng các toán tử xấp xỉ $U_k = \frac{1}{\tilde{\beta}k} \sum{i=1}^k \beta_i P_{C_i}$ và $V_k = \frac{1}{\tilde{\eta}k} \sum{j=1}^k \eta_j P_{Q_j}$. Nhờ đó, tại mỗi bước lặp thứ $k$, thuật toán chỉ cần thực hiện phép chiếu lên hữu hạn $k$ tập con đầu tiên của hai họ ${C_i}{i=1}^\infty$ và ${Q_j}{j=1}^\infty$, loại bỏ sự bất khả thi khi phải chiếu lên vô hạn tập cùng lúc.

4. Các thuật toán của luận án được kiểm thử số trên môi trường và cấu hình phần cứng nào?

Tất cả các ví dụ số minh họa trong luận án được lập trình và chạy trên môi trường Free Pascal IDE, thực thi trên máy vi tính trang bị bộ vi xử lý Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU @ 2.20GHz và bộ nhớ RAM 2.00 GB.

5. Những công trình ISI/Scopus tiêu biểu nào đã công bố kết quả của luận án?

Hai công trình tiêu biểu nhất gồm:

  • Bài báo công bố kết quả Chương 3 trên tạp chí Calcolo (NXB Springer, năm 2018, Vol. 55, Art. 7), thuộc danh mục SCIE nhóm Q1.
  • Bài báo công bố kết quả Chương 4 trên tạp chí Acta Applicandae Mathematicae (NXB Springer, năm 2019, Vol. 165, pp. 183-197), thuộc danh mục SCIE nhóm Q2.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Phạm Thị Thu Hoài là một công trình nghiên cứu hoàn chỉnh, nhất quán và chặt chẽ trong lĩnh vực Toán ứng dụng và Giải tích phi tuyến. Tác giả đã giải quyết trọn vẹn 3 bài toán lớn về giải tích toán tử: tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại, tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập với các họ tập vô hạn. Các định lý hội tụ mạnh được chứng minh với các điều kiện tham số nới lỏng hơn so với y văn quốc tế, đồng thời được xác thực độ chính xác qua các thử nghiệm tính toán số. Các kết quả này đã đóng góp thiết thực vào sự phát triển của lý thuyết tối ưu hóa và giải thuật toán tử trong không gian Hilbert.