Chương I b„(t)=e”” zi | (I-A-52) trong đó ea argument của W,, Vì thế, xác suất tìm thấy hệ trong trạng thdilg,) ở thời điểm t là ; P, ((:e =O, ) = sin’ Dị W | (-A-53) Khi @ khác œ, (nhưng hiện tượng cộng hưởng vẫn còn xảy ra), hệ phương trình (I-A-47) vẫn có thể giải được, tuy nhiên trong giới hạn của luận văn này ta không xét cách giải chính xác nó [có thể xem cách giải trong Fạy Quantum mechanics volum one, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu Franck Laloẻ]. * Như vậy: Khi @=@,, với nhiễu loạn nhỏ, sự dời chuyển có thể xảy ra hoàn toàn từ trạng thái |ø,) sang trạng thái |e,). Hay nói cách khác, nếu nhiễu loạn không cộng hưởng, xác suất P,(r;@) luôn luôn nhỏ hơn 1. So sánh kết quả thu được ở phần này với kết quả thu được ở phẩn phương pháp gần đúng liên tiếp, ta thấy rằng với tất cả các giá trị của t, xác suất P, (t;@) sẽ có giá trị nằm trong khoảng 0 đến |.
Lí thuyết gần đúng ở đây cho phép ta tránh được những khó khăn gặp phải trong phần II (sẽ được bàn kĩ trong phần sự đúng đắn của nhiễu loạn khảo sát phân B). Khi ta cho t gần bằng 0 trong (1-A-53) sẽ ta thu được (1-B-18) (được tính ở phần B). Nhiễu loạn hình sin và nhiễu loạn không đổi. Biểu thức tổng quát của xác suất đời chuyển.
Giả sử rằng W(t) có một trong hai dạng đơn giản sau: W(t)=W sinar (I-B-1) W(t)=W cosax (I-B-2) Luận văn tốt nghiệp Chương I trong đó W là một đại lượng không phụ thuộc thời gian và œ là một hằng số. Với trường hợp đặc biệt (1-B-1) của toán tử nhiễu loạn W(r), phẩn tử ma trận „(t) có dạng: W ;(t)= W ; sin ae = T a ( e n e — (I-B-3) i trong đó W « là một số phức không phụ thuộc thời gian. Bây gid ta xét hệ trong gần đúng bậc một theo A. Nếu ta đặt (I-B-3) vào công thức tổng quát (I-A-28) ta được: J ( (oto! t(o„-e}"*Ì,„z b„ lD== Jie.
Tính toán tương tự ta cũng thu được: Luận văn tốt nghiệp Chương I V 2 I—e* +o 1 “| P,(t,@)= ae =a fo + eT (1-B-7) Ta lại thấy rằng W cosa sẽ không phụ thuộc thời gian nếu ta chọn œ=0, khi đó hệ sé chịu một nhiễu loạn không đổi V, xác suất đời chuyển Py dé dàng thu được khi thay (0=0 vào (I-B-7): Val I ễe” [ fi P, (t,@)= - F(t,@,) (I-B-8) trong đó: F(t,@,)= a X/ 7 (I-B-9) ⁄2 Để nghiên cứu (I-B-6), (I-B-7), (I-B-8) ta xét hai trường hợp: trường hợp một; xét dời chuyển từ ttrang thái |ø,) đến trạng thái |ø,) là hai trạng thái gián đoạn; trường hợp hai: ta sẽ xét trang thái cuối |ø,) thuộc một miễn các trạng thái liên tục. 6 21 Luận văn tốt nghiệp Chương I trường hợp đầu, xác suất P„{U có thể tính được, còn ở trường hợp thứ hai ta chỉ tính được mật độ xác suất ồP,át) mà thôi. Hiện tượng cộng hưởng, phản cộng hưởng. Bây giờ ta xét trường hợp cộng hưởng đối với nhiễu loạn hình sin, tuy nhiên kết quả có thể suy ra được cho trường hợp nhiễu loạn không đổi.
Ta thấy rằng trong công thức (I-B-6) và (I-B-7) Pidt,o) sẽ đạt giá trị rất lớn nếu OW, hoặc œ=-œ. Tại một thời điểm xác định (tức t cố định), xác suất đời chuyển chỉ là một hàm theo biến số œ, hàm nay đạt cực đại khi @=@, hoặc W=-W,. Khi đó ta có hiện tượng cộng hưởng xảy ra (nói cách khác hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tin số của nhiễu loạn bằng với tần số Bohr trong dời chuyển giữa hai trạng thái |g,) và le,)). Nếu ta chọn @20 thì œ=e và (=-w„ sẽ ứng với trường hợp œ„>0 và œ<0.
Trong trường hợp một hệ đi từ trạng thái có năng lượng thấp E; lên trạng thái có nang lượng cao E; bằng cách hấp thụ một lượng tử năng lượng hw. Trong khi trường hợp hai hệ đi từ trạng thái có năng lượng cao E, đến trạng thái có năng lượng thấp E; kèm theo sự phát ra một lượng tử năng lượng Aw. Ta xét trường hợp >0 (trường hợp („<0 có thể khảo sắt tương tự). Trong (1-B-6) và (1-B-7) Pit) tỉ lệ với hai số hạng: (I-B-10) (I-B-11) Trong (I-B-11) 4 sẽ đạt cực đại khi @=@,, khi đó trong công thức của xác suất đời chuyển Pi{t) A_ sé đóng vai trò quan trọng hơn 4,, đồng thời ta có hiện tượng cộng hưởng xảy ra.
Tương tự trong (1-B-10), A, sẽ đạt cực đại khi œ=-(œ, lúc nay A, sẽ đóng vai trò quan trọng hơn 4_ trong (I-B-6), (I-B-7). Gọi A_, A, lan lượt là các số hạng cộng hưởng. phản cộng hưởng. Luận văn tốt nghiệp Chương I Giả sử w=, hay: l@= @ | << || (I-B-12) và bỏ qua số hạng phản công hưởng 4, khi đó: P„(t.®)= Al anal vy 2 Kl (,@-a, ) (I-B-13) với: (I-B-14) 2.
Hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian. Theo (I-B-13) nếu ta cố định t thì Đ„(t@) sẽ chỉ là hàm biến đổi theo w. P„Át,0) sẽ cực đại khi w=, và bằng la|`z?/4?. Khi œ thay đổi ra xa œạ, P„(t, ©) sẽ giảm, nó giảm đến 0 khi |ø=œ,|=2/:.
Nếu |ø=ø,| tiếp tục tăng, P„(t@) sẽ dao động giữa Ova |⁄„|` /A*(ø=eo,)` (hình 1). Luận văn tốt nghiệp Chương I Pl) - 08 , oF 06 | aaahst 0 s1 | " KT Hình 1: sự biến thiên theo œ của xác suất dời chuyển p4) trong gần đúng bậc một, khi t cố định. Giá trị cực đại của xác suất này tỉ lệ thuận với Ở, còn độ rộng của nó thì tỉ lệ nghịch với t. Xét cực đại thứ cấp đẩu tiên của P„@@©), khỉ (a, -a)/ =3tf và Py(t.
Suy ra: Pz(t,0) = 5% = p’(t,w) = 5%p„ (t,o) Pylt, 0). Ta có thể chỉ xét Pi t,@) quanh @=, Độ rộng Aw có thể được xác định gắn đúng là khoảng cách ngấn nhất giữa hai điểm bằng 0 của P„{t@) quanh cực đại chính Pidt,@) khi œ=œ„; trên trục œ (hình 1). Ta có thể viết: Ao~ ax 4⁄ (I-B-15) Như vậy, t càng lớn thi Aw càng nhỏ, nó tương tự như hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian. Giả sử ta muốn đo hiệu năng lượng giữa hai mức E£, - £, =ho bằng cách tác động một nhiễu loạn có tấn số (œ vào hệ và điểu chỉnh sao cho hiện tượng cộng hưởng xảy ra.
Nếu nhiễu loạn tác động suốt thời gian t, độ bất định AE của £, - £, sẽ được xác định theo (I-B-15): 24 Luận văn tốt nghiệp Chương I AE = hÁ@~ Đây cũng chính là hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian, nó cho thấy rằng độ bất định tAE không thể nào bé hơn fh, mặt dù thời gian t ở đây không phải là thời gian đời chuyển riêng của hệ mà là thời gian của tác động của nhiễu loạn bên ngoài. Sự đúng đắn của nhiễu loạn khảo sát. Sự đúng đắn gần đúng cộng hưởng. Khi sử dụng giả thiết œ=œ ta đã bỏ qua A, so với A_.
Vì vậy ta phải so sánh modul của 4, và 4 để khảo sát tính đúng đắn khi bỏ qua như vậy. Dạng của |4 (@}“ được cho bởi hình |.(@]' có thể thu được bằng cách lấy đối xứng |4 (@]” tương ứng qua trục tung =0. Nếu khoáng cách giữa hai cực đại của hai đường cong tương ứng rất lớn so với Aw, thi trong lân cận của @=W, modul của 4, có thể bỏ qua so với 4_. Vi thế điểu kiện của gần đúng cộng hưởng là: 2|;| >> A@ (I-B-16) Sử dung (I-B-15) ta được: ‘>> “a = = (1-B-17) Vì vậy kết quả của (I-B-13) chỉ đúng khi thời gian t tác động của nhiễu loạn hình sin lên hệ phải rất lớn so với ~.
Ý nghĩa vật lí của điều kiện này là: trong suốt khoảng thời gian (0. t}, nhiễu loạn gây ra rất nhiều dao động hình sin trong hệ, ngược lại, nếu t nhỏ hơn +, nhiễu loạn sẽ không có thời gian để dao động và khi đó nó sẽ tương ứng với một nhiễu loạn tuyến tính với thời gian hoặc một nhiễu loạn không đổi. Đối với một nhiễu loạn không đổi (khi (=0), điều kiện (I-B-17) có thể không bao giờ thỏa. Tuy nhiên cũng không khó khăn lắm để tính toán Aw trong trường hợp này.
Chúng ta đã thu được xác suất dời chuyển cho nhiễu loạn không đổi ở (I-B-8), khi 25 Luận văn tốt nghiệ Chương I này ha: số hạng 4, và A_ bằng nhau, nó cho thấy rằng khi (I-B-17) không được thỏa thì số hing phản cộng hưởng 4, không được bỏ qua. Sự biến thiên của xác suất Pit) tương ứng với năng lượng hw, (trong đó t cố định) được biểu diễn ở hình 2. Nhiễu loan này sẽ đạt cực đại khi (=0, nghĩa là cộng hưởng :ảy ra khi œ=0. khi nay Pit) sẽ có dạng tương tự như hình | nhưng cường độ của nó tăng gấp bốn lin (bởi vì có sự tham gia của số hạng phản cộng hưởng giao thoa vớ: số hạng cộng hưởng).
Hình 2: sự biến thiên của xác suất đời chuyển cộng hưởng theo Ww, dưới tác dung của một nhiễu loạn không đổi, khi t không đổi. P, (¿) đạt cực đại khi @=Wp, dang đường cong của P,(r) tương tự như hình |, nhưng cường độ của nó thi gấp bốn lần. Giới hạn trong phép gần đúng cấp một. Trong phan chú ý của §II-A ta đã bàn về tính đúng đắn của khai triển cấp một theo A, nếu nhưt trở nên quá lớn để b,(t) không còn khác ít sao với b,(0), thì các kết quả trong khai triển cấp một không dùng được nữa.
Do đó ta phải đặt diéu kiện cho t để có thể ứng dụng được các kết quả trên. Trong biểu thức (1-B-13), khi có cộng hưởng ta có: V ? Pi (t,a@= oO. )= | Al t (I-B-18) Luận văn tốt nghiệp Chương I Hàm này sẽ tiến điến vô cùng khi 1 =>, điểu này là vô lí vì xác suất không bao giờ lớn hơn Ì. Như vậy để cho gin đúng cấp một vẫn đúng trong trường hợp cộng hưởng.
xác suất (I-B-18) phải nhỏ so với |, nghĩa là: (<< — (I-B-19) Trường hợp t không thỏa (I-B-19) đã được khảo sắt trong §A-HH bằng phương pháp gần đúng thế ki. Xác suất đời chuyển sang phổ liên tục. Giả sử hạt dời chuyển từ trạng thái |y(r)) có năng lượng E, sang một miễn liên tục các trạng thái cuối. Giả sử trạng thái cuối được đặt trưng bởi xung lượng p cho trước, trong đó xung lượng và năng lượng có mối liên hệ: 2 P -Á HN 2m -B- (I-B-20) va: ⁄ > Œ1Z)= (sar ie (I-B-21) es < | i r là hàm xung lượng trong biểu dién toa độ.