Chương I: Cơ sở lý thuyết. Chương II: Hệ thống bài tập. Kết luận Hướng phát triển. LÝ THUYET NHIÊU LOAN L.
Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng. Hamiltonien: H=H,+V Với: H,, : Toán tử Hamilton khi không có nhiều loạn. V : Toán tử nhiễu loạn. Phương trình Schrodinger: H\y) = E|}: Khi nhiễu loạn.
(1) yO Oo) = Ee H,\w +"): Khi không nhiều loạn. (2) Khai triển: y(x) theo ựJ°'(x) WO) = DCH) (3) Thay (3) vao (1): Hồ Cw h( x ) = E >: C ự ƒ" (œ ) (4) ay Nhân vào bên trai của (4) với ⁄„ (X) và lay tích phân theo x: HY H.C, = EC, (5) Trong đó Hy, là phan tử ma trận trận của toán tử H trong * E”"'_ biểu diễn. Hy = [we H ự adx = [ V Ệ ( H , + w id e = ful He wld e [ W L V w l d = B 2 5 + Trong đó V„„ là phan tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn trong “ E°TM biểu diễn. Vin = Sys V wd (7) Thay (6) vao (5) ta duge: HDL ES © bn +Veq ) Cy, = EC, ©[£‡~r„ -E]C„+31⁄4„€, =0 mee (8) wee Dé biểu thị độ nhỏ của V ta đặt: V=Aw (9) 2 là một tham sô đặc trưng cho độ nhỏ của nang lượng nhiều loạn.|&} Tải liệu thơm bdo sd 3, số 8 Thay (9) vào (8): [Eš-4w„—E]Œ„+43›1„„€,=0 mee (10) wee Phương trình (10) chính là phương trình tông quát của lý thuyết nhiễu loạn đừng.
Nhiễu loạn khi không có suy biến. Từ công thức (10) ta khai triển C,, va E dưới dạng chuỗi: C, = CN) 4 ACD + 1°CD) + (11) Es E°+AE" + PEP + Các số hạng C"’. tuong ứng với các bô chính của ham sóng và và năng lượng trong gan đúng bậc 1, bậc 2. -E"Ìcp —E£% Co ~gacm +[ES- #°|c +w c?}.-0 © Phép gần đúng bậc không: Với Ä =0, phương trình (12): [Z5-£" }c#? =0, m=1,2,3,.
=> E°=E*, Cc =, (13) Ta quan tam đến mức nang lượng Z? va hàm song y; E°=E/, C® =1 (14) Nghiệm (14) được gọi là nghiệm gan đúng bậc không. (không nhiễu loan) © Phép gần đúng bậc nhất: Thay (13) vào (12) và bỏ qua các số hạng có chứa bậc cao hơn 2°: [W„.— E7” ]á„ +[E—E"]CŒ?+ Vw, Pye =0 (15) Lay phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bô chính bậc nhất cho năng lượng: We — El! =0 e Bl! =w¿ =(k|V|k): (16) Lay phương trình thứ m + & trong các phương trình (15) ta sẽ tim được số hạng bô chính bậc nhat đôi với ham sóng. [Z¿~E* ]cz'+w„ =0 Từ đây ta tìm được bồ chính bậc nhất cho hàm sóng: eo = Wa (17) E° ~ Ey ¢ Phép gần đúng bậc 2: Thay (16) và (17) vào phương trình (12) và bỏ qua các số hang chứa bậc 4` trở lên: * bến Lay phương trình thứ m = k trong (18): a 4 wDSP o aoe ove Ta tìm được bỏ chính bậc 2 cho năng lượng: ED = pat pia 0 (19) Lay phương trình m +k trong (18) và thé giá trị của EB!” vào: bèn Bây giờ ta gop số hạng **“=_ vào trong tổng, khi đó: 40} 0) £ —E_ _ (21) Ww, w Ww, ; Ww. EP'- Eo + » W oo E “em — 0 3wVw D « wae t ^ awk azh Phuong trinh (20) tro thanh: Wg wos mm +[E -E'|c + Wn _—- = 0 " 14 2, (22) Từ đây suy ra CÍ": ( (2 w \W [Ez--E* Jer.
Nụ mẹ BE =) Vin ® Eo é - > 1 ’ avk By EYED DEE (EF) (2) 1 f ú © 1 oC! = wet Từ day ta tim được số hạng bô chính bậc hai cho ham sóng: " Tœ8m) Le | -£)-E) CO)= Tats sẻ 71? mtknstk (23) Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thé tính được bô chính bậc ba và các bậc cao hơn. Nhiễu loạn khi có suy biến. Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với một mức năng lượng có nhiều trạng thái. Phương trình (3) được đặt lại: vix= PCW) Phương trình (8) được viết lại: [ee =F», of ~ E|Cue + ay,mp ne"on (24) Trong đó: Vg a = [ư$ Vy dx (25) Là phan tử ma trận của năng lượng nhiều loạn.
Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k.5 ff (26) C„=0 (nek) Thay (22) vào (20) và lay phương trình thứ m = k.+f,„„ =0 Yh ỨC? +(E + Vy, — E) CO +.4( Ee +V%:É‹ -B)C£'=0 ` Hệ phương trình này có nghiệm không tam thường khi: =0 (29) Vey naan (E +V,,-E) Day là một phương trình dai số bậc k đối với E. Người ta thường gọi là phương trình thé ki. giải phương trình này ta tim ra các nghiệm: E = Bạ, E,,, E,;,. Với các giá trị của E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm được các nghiệm C, Nhan xét.
Khi có nhiễu loạn thì mức năng lượng suy biển E! được tách thành f{ mức sat nhau. Suy biến bị khử hoàn toàn. Nếu có các nghiệm trong (29) trùng nhau thì suy biến bị khử mat một phản. Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới hạn xét đến nghiệm gan đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm song.
Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Toán tử Halmiton: H=H›s+lf(x,t) Với: Ho: Toán tử Hamilton khi không nhiều loạn. W(x,0): Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: ¡h _- = [Ho +If(x,t )jựŒ ) (30) Khi không nhiễu loạn: ¡h `.
=H °œ® (31) Nghiệm riêng của (31) có dang: Wx =," (Xe g 6% ⁄‡”(x.f) = we Nghiệm của (31) là sự tô hợp của các nghiệm riêng: tí v(x = LG COY (x, = Levee 5 (32) Ta tim nghiệm của (31) dưới dang: ự(x,9)= YC, Owed) (33) Tìm C,(t): Thay (33) vào (30): %. ˆ 0v hệ C09, eae dải. (t)Huw'”(x, n+ QC, mm. _ ~ P ” Goi là sự chuyên dời lượng tử.
Phép gần đúng bậc không: Gia sử khi t= 0, M(x.)=0: khi đó phương trình (37) trở thành: dc: () ¡h =0> C°(t)=const đt “Ke Chon hàm sóng ở trang thai dừng thứ k y{"'().e ** “là ham sóng của bải toán không nhiều loạn. Do đó: yl) oy XG Owns YCOW OD =C (0) = 8. = Ẳ mái m=k (39) Phép gần đúng bậc nhất: Đặt nghiệm (39) vào phương trình (36): dCŒ?°() = ` — ¡h dC?Œ) ” =w et dt » awl Cụ di mt ¡h HƑ ee 3 <> Cf(r)= j m|If(x,t)|n)e°“'đr +C2(0) (40) Vi các hệ số C„(0) không phụ thuộc thời gian và luôn bằng ở,, nên C’ =0 Nghiệm gần đúng bậc nhất: Cỳ!Œ)= [(mÌM(x,t)|n)e “hát ¢ Phép gần đúng bậc 2: Nghiệm gan đúng chính xác đến bậc 1: C. Và cứ theo quy trình này, ta có thẻ tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc ' bồn.
Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chi cần quan tâm đến nghiệm gan đúng bậc nhất.5: Xác suất chuyền dời lượng tử. Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không can quan tam dén năng lượng va trang thái ở mức m= k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất đời chuyên dời giữa 2 trạng thái. Kí hiệu xác suất đời chuyên từ a thái & > m là Pay: 2 P„(z)=|C?œ)= NỈ (m|IW (x. PHƯƠNG PHÁP BIEN PHAN.
Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bai toán cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp biến phân. Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử. Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “ham tht” chứa một sỐ thông số chưa biết nào đó. Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta xác định được các thông SỐ.
Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử |ự} theo các vector riêng |y,) của toán tt Halmitonian // : |ự})=3;C.ư, (43) Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dang: ( vI r l e ) (u )- w|w) — S|cÏ X I : 5 , ; (44) Goi Ep là năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có: (4) a H e >4= DIC, È 0 (45) Nếu chon vector trạng thai |y} là một ham của các thông số chưa biết nào đó 4,,4,,., sao cho trùng với vector trạng thai cơ bản của hệ.) Và thực hiện cực tiêu hóa năng lượng trung bình: OH 6A, Cho phép xác định được các thông số 2,. Bang cách đó ta sé tinh được giá trị của năng lượng: c- W W( À i x à s : - ) |H | W G o r h o r ) ) WA, Begs) |W Ags Aogs)) Gan với giá trị năng lượng trạng thái cơ ban Ep của hệ. Chương II. LOI GIẢI VA PHAN TÍCH CÁC BÀI TAP 1I.
MOT SO BÀI TOÁN VE NHIEU LOAN DOI VỚI HẠT TRONG HO THE Bai 1. Hạt ở trong giếng thé sâu vô hạn có bề rộng a. Hãy tinh các bồ chính bậc 1 và bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn. V(x) =V, cos? ““ a Lời giải.
Áp dụng kết quả của bài toán hạt trong hồ thế sâu vô hạn có bề rộng a: Hàm sóng: y, = lộn a a (1.1) Năng lượng: E, = eee » n= 1,2,3,. Hàm thé nang * Bồ chính bậc I: ` {n mì ¬ lan 2 (a=|2x~a|)ẻc (5+ = Wot.2) * Bồ chính bậc 2: AE _y Keen (2) ` ‘ek |Y|n)| -E " 4 2#n(I+(-U']+2(È + rf) sin in ~ eros TM cos ự Vp| 4⁄|——————————2ˆ-—+——ˆ—*2 (1.3) #(kˆ=m}ˆ @) 12 8m a È` -M [+ CD ”” J+ (4° +n Jsi n 2 sin + 24m cox ST cos AE =———»| 4 —4 s2 2. ˆ = a-b<x<a Ve, b<) -b * Bồ chính bậc 1: AE" =(n| Vn)=—2 yo sin etal a 2b+— sin ra (1.5) we ay a zn a * Bồ chính bậc 2: AE = yy ein ø a te EF —c|#l#InŸ ¿ © é tá at (ky n)= 2h sink) sing a? a _2K, a(t sin a cos MEA" a sin HỒ a Vy WR a (1.6) a a(n’ —k*) , {[»(-<n"" sin BOE ascai k(- lý” ain mba. kb | AE =8mV _ — —: = = | (1.
V(x) =V,cos* — a Vo X * Bồ chính bậc 1: Hình 3. Hàm thé năng AE* =(n|V pn) =| a sin? cos" a LẠ Su a 2 3 9 (1.8) * Bồ chính bậc 2: @) si kỊt|m\[Ï |») AE = {o) (0) .