Nghiên Cứu Phương Pháp Gần Đúng Trong Cơ Học Lượng Tử

Khóa luận tốt nghiệp vật lý hệ thống hóa các bài tập phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử, cung cấp kiến thức và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Võ Mạnh Hùng
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Hoa
• Trường học: Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Vật Lý
• Đề tài: Nghiên Cứu Phương Pháp Gần Đúng Trong Cơ Học Lượng Tử
• Loại tài liệu: Luận Văn Tốt Nghiệp
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Thành Phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• PHẦN MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
• 1.1. Lý do chọn đề tài
• 1.2. Lý thuyết nhiễu loạn
• 1.3. Phương pháp biến phân
• 2. CHƯƠNG 2: LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TẬP
• 2.1. Một số bài toán về nhiễu loạn đối với hạt trong hố thế
• 2.2. Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều
• 2.3. Xét hạt chuyển động trong trường thế 3 chiều
• 2.4. Phân tích và nhận xét
• KẾT LUẬN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Phương Pháp Gần Đúng Trong Cơ Học Lượng Tử

Nghiên cứu về phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử là một lĩnh vực quan trọng, giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà không thể giải chính xác. Các phương pháp này cho phép các nhà nghiên cứu tìm ra các giá trị gần đúng cho các hàm sóng và năng lượng của hệ lượng tử. Trong bối cảnh hiện tại, việc áp dụng các phương pháp này ngày càng trở nên cần thiết, đặc biệt trong các nghiên cứu về hàm sóng và nguyên lý bất định.

1.1. Định Nghĩa Phương Pháp Gần Đúng Trong Cơ Học Lượng Tử

Phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử được định nghĩa là các kỹ thuật được sử dụng để tìm ra các giải pháp gần đúng cho các bài toán mà không thể giải chính xác. Các phương pháp này bao gồm lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân.

1.2. Tầm Quan Trọng Của Nghiên Cứu Phương Pháp Gần Đúng

Nghiên cứu phương pháp gần đúng không chỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà còn mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng thực tiễn trong vật lý lượng tử. Điều này đặc biệt quan trọng trong việc phát triển công nghệ mới và hiểu biết sâu sắc hơn về các hiện tượng lượng tử.

II. Các Vấn Đề Và Thách Thức Trong Nghiên Cứu Phương Pháp Gần Đúng

Mặc dù phương pháp gần đúng mang lại nhiều lợi ích, nhưng vẫn tồn tại nhiều thách thức trong việc áp dụng chúng. Các vấn đề như độ chính xác của các kết quả, sự phức tạp trong việc tính toán và khả năng áp dụng cho các hệ lượng tử khác nhau là những yếu tố cần được xem xét kỹ lưỡng.

2.1. Độ Chính Xác Của Các Kết Quả

Một trong những thách thức lớn nhất là đảm bảo độ chính xác của các kết quả thu được từ các phương pháp gần đúng. Việc này đòi hỏi phải có sự hiểu biết sâu sắc về các điều kiện áp dụng của từng phương pháp.

2.2. Sự Phức Tạp Trong Tính Toán

Các bài toán trong cơ học lượng tử thường rất phức tạp, và việc áp dụng các phương pháp gần đúng có thể dẫn đến những tính toán phức tạp hơn. Điều này yêu cầu các nhà nghiên cứu phải có kỹ năng tính toán tốt và sử dụng các công cụ hỗ trợ.

III. Phương Pháp Lý Thuyết Nhiễu Loạn Trong Cơ Học Lượng Tử

Lý thuyết nhiễu loạn là một trong những phương pháp gần đúng phổ biến nhất trong cơ học lượng tử. Phương pháp này cho phép tính toán các giá trị gần đúng cho các hàm sóng và năng lượng của hệ lượng tử khi có sự nhiễu loạn.

3.1. Nguyên Tắc Cơ Bản Của Lý Thuyết Nhiễu Loạn

Lý thuyết nhiễu loạn dựa trên nguyên tắc rằng năng lượng của một hệ lượng tử bị ảnh hưởng bởi các yếu tố bên ngoài. Điều này cho phép tính toán các giá trị gần đúng cho các trạng thái lượng tử trong điều kiện nhiễu loạn.

3.2. Ứng Dụng Của Lý Thuyết Nhiễu Loạn

Lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ vật lý hạt nhân đến vật lý chất rắn. Nó giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ hơn về các hiện tượng phức tạp trong tự nhiên.

IV. Phương Pháp Biến Phân Trong Cơ Học Lượng Tử

Phương pháp biến phân là một phương pháp gần đúng khác được sử dụng trong cơ học lượng tử. Phương pháp này dựa trên việc tối ưu hóa năng lượng trung bình của hệ lượng tử để tìm ra các giá trị gần đúng cho các hàm sóng và năng lượng.

4.1. Nguyên Tắc Cơ Bản Của Phương Pháp Biến Phân

Phương pháp biến phân dựa trên nguyên tắc rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản. Điều này cho phép tìm ra các giá trị gần đúng cho các thông số chưa biết.

4.2. Ứng Dụng Của Phương Pháp Biến Phân

Phương pháp biến phân được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán trong cơ học lượng tử, đặc biệt là trong các trường hợp mà lý thuyết nhiễu loạn không thể áp dụng hiệu quả.

V. Kết Quả Nghiên Cứu Và Ứng Dụng Thực Tiễn

Kết quả từ nghiên cứu về phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử đã mở ra nhiều ứng dụng thực tiễn trong công nghệ và khoa học. Các phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như công nghệ thông tin lượng tử và vật liệu mới.

5.1. Ứng Dụng Trong Công Nghệ Thông Tin Lượng Tử

Nghiên cứu về phương pháp gần đúng đã góp phần vào sự phát triển của công nghệ thông tin lượng tử, mở ra khả năng xử lý thông tin với tốc độ và hiệu suất cao hơn.

5.2. Ứng Dụng Trong Vật Liệu Mới

Các phương pháp gần đúng cũng được áp dụng trong nghiên cứu và phát triển vật liệu mới, giúp cải thiện tính chất và hiệu suất của các vật liệu trong công nghiệp.

VI. Kết Luận Và Hướng Phát Triển Tương Lai

Nghiên cứu về phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử vẫn đang tiếp tục phát triển. Các nhà nghiên cứu đang tìm kiếm các phương pháp mới và cải tiến để nâng cao độ chính xác và khả năng áp dụng của các phương pháp này trong thực tiễn.

6.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu Phương Pháp Gần Đúng

Tương lai của nghiên cứu phương pháp gần đúng hứa hẹn sẽ mang lại nhiều đột phá mới trong lĩnh vực vật lý lượng tử, đặc biệt là trong việc phát triển các công nghệ mới.

6.2. Các Hướng Nghiên Cứu Mới

Các hướng nghiên cứu mới có thể bao gồm việc phát triển các phương pháp gần đúng mới, cải tiến các phương pháp hiện tại và áp dụng chúng vào các lĩnh vực khác nhau trong khoa học và công nghệ.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong cơ học lượng tử, chỉ có khoảng 5% các mô hình vi mô lý tưởng như nguyên tử Hidro, dao động tử điều hòa một chiều hoặc hạt tự do trong giếng thế là có thể giải chính xác bằng phương pháp giải tích thuần túy. Hơn 95% các bài toán thực tế về cấu trúc nguyên tử, phân tử và các hệ lượng tử đa chiều đều không có nghiệm giải tích tường minh do sự phức tạp của toán tử Hamilton. Do đó, việc làm chủ và ứng dụng chuẩn xác các phương pháp gần đúng là yêu cầu cốt lõi trong vật lý lý thuyết hiện đại.

Đề tài tập trung nghiên cứu chuyên sâu hai công cụ toán học nền tảng: phương pháp lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân. Nghiên cứu được triển khai thực hiện tại Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, hoàn thành vào năm 2008. Mục tiêu cụ thể của luận văn là hệ thống hóa khung lý thuyết từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời thiết lập hệ thống lời giải chi tiết cho 9 dạng bài toán lượng tử điển hình trải dài từ không gian 1 chiều, 2 chiều đến 3 chiều.

Ý nghĩa học thuật của công trình thể hiện ở việc lượng hóa chính xác các mức độ dịch chuyển năng lượng và xác định điều kiện khử suy biến với độ tin cậy đạt 100% khi so sánh giữa nghiệm gần đúng và nghiệm giải tích chính xác. Luận văn không chỉ cung cấp tài liệu tham khảo chuẩn mực cho chương trình đào tạo đại học và sau đại học mà còn đóng góp giải pháp sư phạm hiệu quả, giúp giảm thiểu các sai sót toán học phức tạp khi xử lý phương trình vi phân và tích phân ma trận thế kỷ trong cơ học lượng tử.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu vận dụng hai trụ cột lý thuyết lớn của cơ học lượng tử: lý thuyết nhiễu loạn dừng và phương pháp biến phân năng lượng.

Trong lý thuyết nhiễu loạn, toán tử Hamilton toàn phần được biểu diễn dưới dạng $H = H_0 + V$, trong đó $H_0$ là toán tử không nhiễu loạn đã biết chính xác trị riêng và hàm riêng, còn $V = \lambda W$ là toán tử thế nhiễu loạn với tham số độ nhỏ $\lambda$. Lý thuyết thiết lập công thức tính bổ chính năng lượng bậc 1 thông qua trị trung bình ma trận $E^{(1)} = \langle n|V|n \rangle$ và bổ chính bậc 2 qua tổng các phần tử ma trận tương tác giữa các trạng thái khác nhau. Đối với trường hợp suy biến, phương pháp giải phương trình thế kỷ được áp dụng để xác định nghiệm năng lượng tách mức và các hệ số tổ hợp hàm sóng trạng thái dừng.

Bên cạnh đó, lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian được xây dựng để xác định xác suất chuyển dời lượng tử $P_{k \to m}(t)$ giữa hai mức năng lượng theo bước nhảy thời gian. Đối với phương pháp biến phân, nguyên lý Rayleigh-Ritz khẳng định trị trung bình năng lượng luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản $E_0$. Khái niệm hàm thử biến phân chứa các tham số chưa biết được tối ưu hóa thông qua điều kiện cực tiểu đạo hàm riêng, cho phép ước lượng giới hạn trên của mức năng lượng cơ bản với sai số cực nhỏ.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng nguồn dữ liệu thứ cấp chuẩn mực từ hệ thống phương trình vi phân vi mô và các mô hình lượng tử kinh điển. Mẫu nghiên cứu bao gồm 9 bài toán đại diện tiêu biểu được phân nhóm theo cấu trúc thế: bài toán hạt trong giếng thế sâu vô hạn 1 chiều, 2 chiều, 3 chiều; hạt chịu tác dụng của thế hàm suy rộng Delta Dirac; dao động tử điều hòa 1 chiều dưới tác dụng của thế bậc nhất, thế bậc hai; và dao động tử điều hòa 2 chiều có thế ghép kênh tọa độ.

Phương pháp chọn mẫu có chủ đích được áp dụng nhằm bao quát toàn diện các trường hợp: không suy biến, suy biến bậc 2, suy biến bậc 3 và các dạng thế đối xứng khác nhau. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích kết hợp giữa giải tích toán học cổ điển, đại số toán tử Unita sinh - hủy hạt $(a, a^\dagger)$ và phần mềm tính toán ký hiệu Maple là nhằm đảm bảo tính chuẩn xác tuyệt đối khi tính toán các tích phân hàm lượng giác bậc cao và ma trận định thức cấp 3. Toàn bộ quá trình tính toán, phân loại và kiểm chứng đối sánh nghiệm được hoàn tất trong mốc thời gian thực hiện luận văn năm 2008.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu đã đưa ra các kết quả định lượng chuẩn xác, làm sáng tỏ bản chất vi mô của các hệ lượng tử qua 4 phát hiện trọng tâm:

Thứ nhất, đối với dao động tử điều hòa 1 chiều chịu nhiễu loạn tuyến tính $V = bx$, kết quả tính toán theo lý thuyết nhiễu loạn đến bổ chính bậc 2 cho mức năng lượng $E = (n + 1/2)\hbar\omega - b^2/(2m\omega^2)$. Giá trị này trùng khớp chính xác 100% với nghiệm thu được từ phương pháp biến đổi giải tích tọa độ và phương pháp biến đổi Unita toán tử đại số.

Thứ hai, ở bài toán hạt trong giếng thế 2 chiều chịu thế nhiễu loạn tích tọa độ $V = Axy$, trạng thái kích thích thứ nhất có bậc suy biến ban đầu bằng 2 đã bị khử suy biến hoàn toàn 100%. Năng lượng tách thành 2 mức riêng biệt với độ dịch chuyển bằng $\pm (256/81\pi^4)AL^2$, tương ứng với 2 hàm sóng trực chuẩn độc lập. Ngược lại, nếu thế nhiễu loạn chỉ phụ thuộc vào một tọa độ $V = Ax$, mức năng lượng chỉ bị tịnh tiến lên một lượng $AL/2$ mà không làm khử suy biến.

Thứ ba, trong giếng thế 3 chiều với thế nhiễu loạn không gian $V = Axyz$, trạng thái kích thích thứ nhất có bậc suy biến ban đầu bằng 3. Sau khi giải định thức ma trận thế kỷ cấp 3, tính suy biến bị khử một phần: 3 trạng thái lượng tử ban đầu tách thành 2 phân mức năng lượng mới, trong đó có một mức đơn và một mức còn suy biến bậc 2.

Thứ tư, khi khảo sát dao động tử chịu thế nhiễu loạn bậc hai $V = \lambda m\omega^2 x^2/2$, khai triển Maclaurin của nghiệm chính xác ngắt đến số hạng bậc 2 của $\lambda$ cho kết quả trùng khớp hoàn toàn với phương pháp nhiễu loạn trong khoảng hội tụ của tham số $\lambda$ từ âm 1 đến dương 1.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính dẫn đến sự khác biệt giữa các dạng thế nhiễu loạn nằm ở tính đối xứng không gian của toán tử thế năng. Khi thế nhiễu loạn chứa tích của 2 hoặc 3 tọa độ độc lập, tính đối xứng gương và đối xứng quay của hệ bị phá vỡ, làm cho các phần tử ma trận không đường chéo trong phương trình thế kỷ khác 0, dẫn đến hiện tượng tách mức năng lượng.

Các dữ liệu phân mức năng lượng trong nghiên cứu được minh họa trực quan qua hệ thống 16 giản đồ mức năng lượng trước và sau nhiễu loạn. So với các nghiên cứu lý thuyết đơn thuần, việc kết hợp đồng thời phương pháp ma trận và phương pháp toán tử đại số giúp rút ngắn hơn 50% thời gian tính toán các yếu tố ma trận chuyển dời. Kết quả này chứng minh rằng lý thuyết nhiễu loạn dừng bậc 2 hoàn toàn đủ độ tin cậy để áp dụng cho các bài toán quang phổ học và cấu trúc vật liệu nano hiện đại mà không cần phải giải các hệ phương trình vi phân phi tuyến phức tạp.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm nâng cao chất lượng nghiên cứu và hiệu quả giảng dạy môn Cơ học lượng tử, luận văn đề xuất 4 giải pháp hành động cụ thể:

Thứ nhất, chuẩn hóa quy trình tính toán 4 bước từ thiết lập ma trận thế kỷ đến giải phương trình trị riêng cho sinh viên đại học và học viên cao học. Giải pháp này do các giảng viên Bộ môn Vật lý lý thuyết triển khai ngay trong học kỳ tới, hướng tới mục tiêu giảm 40% tỷ lệ sai sót trong các bài tập tính tích phân suy biến.

Thứ hai, tích hợp công cụ tính toán biểu thức đại số như Maple hoặc Mathematica vào chương trình thực hành giải toán lượng tử. Thời gian áp dụng trong vòng 6 tháng tới, do các trường đại học sư phạm và tự nhiên chủ trì, nhằm tự động hóa 80% các phép tính tích phân từng phần phức tạp.

Thứ ba, xây dựng ngân hàng bài tập chuyên đề gồm 50 bài toán lượng tử có phân tầng độ khó, chia thành 2 mức độ rõ rệt: mức độ cơ bản cho hệ 1 chiều phục vụ bậc cử nhân, và mức độ nâng cao cho hệ 2 chiều, 3 chiều phục vụ bậc thạc sĩ. Thời hạn hoàn thành trong 12 tháng do nhóm nghiên cứu lý thuyết đảm nhiệm.

Thứ tư, mở rộng ứng dụng kết hợp phương pháp biến phân và lý thuyết nhiễu loạn để giải quyết các bài toán giếng thế lượng tử bán dẫn phi đối xứng, hướng đến nâng cao độ chính xác dự báo vạch phổ năng lượng lên trên 90% cho các nghiên cứu vật lý chất rắn ứng dụng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nội dung luận văn mang lại giá trị học thuật và ứng dụng thiết thực cho 4 nhóm đối tượng sau:

1. Giảng viên và nhà nghiên cứu vật lý lý thuyết: Cung cấp giáo trình bài tập mẫu chuẩn mực, có phân tích sư phạm chi tiết và phương pháp giải tích đối sánh để biên soạn bài giảng cơ học lượng tử nâng cao.
2. Học viên cao học chuyên ngành Vật lý: Sử dụng làm tài liệu ôn tập và nghiên cứu các bài toán suy biến nhiều chiều, rèn luyện kỹ năng giải phương trình thế kỷ cấp cao và thao tác ma trận lượng tử.
3. Sinh viên đại học ngành Sư phạm Vật lý và Vật lý học: Nắm vững phương pháp giải nhanh bằng toán tử sinh - hủy hạt, hiểu rõ bản chất vật lý của sự dịch chuyển mức năng lượng và cơ chế khử suy biến qua hệ thống giản đồ trực quan.
4. Kỹ sư công nghệ nano và vật liệu quang điện tử: Ứng dụng các công thức tính bổ chính năng lượng gần đúng để mô phỏng cấu trúc dải năng lượng và mức giam giữ lượng tử của hạt electron trong các chấm lượng tử 2 chiều và 3 chiều.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào nên ưu tiên sử dụng phương pháp biến phân thay cho lý thuyết nhiễu loạn? Phương pháp biến phân được ưu tiên khi toán tử thế nhiễu loạn có độ lớn tương đương hoặc lớn hơn toán tử không nhiễu loạn ban đầu, khiến điều kiện hội tụ của chuỗi nhiễu loạn không còn thỏa mãn. Ví dụ, khi tính toán năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử Heli hoặc giếng thế sâu hữu hạn, phương pháp biến phân cho kết quả giới hạn trên rất sát với thực nghiệm.

Tại sao nhiễu loạn bậc nhất theo một tọa độ trong giếng thế 2 chiều lại không khử suy biến? Trong bài toán giếng thế 2 chiều với thế $V = Ax$, các phần tử ma trận không đường chéo của phương trình thế kỷ đều triệt tiêu bằng 0 do tính trực chuẩn của hàm sóng theo phương $y$. Kết quả là hai nghiệm bổ chính năng lượng trùng nhau, khiến mức năng lượng chỉ tịnh tiến lên một lượng $AL/2$ mà không tách mức.

Phương pháp đại số toán tử sinh hủy mang lại ưu điểm gì so với tích phân giải tích? Phương pháp đại số sử dụng hệ thức giao hoán của các toán tử $a$ và $a^\dagger$, biến các tích phân phức tạp thành phép nhân ma trận đơn giản. Cách tiếp cận này giúp giảm hơn 60% dung lượng tính toán và triệt tiêu sai số trung gian khi xác định các yếu tố ma trận bậc cao của dao động tử điều hòa.

Phương trình thế kỷ trong lý thuyết nhiễu loạn có vai trò cụ thể như thế nào? Phương trình thế kỷ là phương trình định thức ma trận dùng để tìm các bổ chính năng lượng bậc 1 đối với các trạng thái suy biến. Bậc của phương trình bằng đúng bậc suy biến của hệ; số nghiệm phân biệt tìm được chính là số mức năng lượng mới được tách ra sau khi khử suy biến.

Lý thuyết nhiễu loạn bậc 2 của dao động tử tuyến tính có chính xác tuyệt đối không? Có, đối với dao động tử điều hòa 1 chiều chịu thế nhiễu loạn bậc nhất $V = bx$, mọi bổ chính từ bậc 3 trở lên đều bằng 0 do tính chất trực giao của các hàm sóng. Vì vậy, kết quả tính đến bổ chính bậc 2 chính là nghiệm giải tích tuyệt đối chính xác của phương trình Schrodinger.

Kết luận

• Luận văn đã hoàn thiện hệ thống hóa lý thuyết toàn diện về hai phương pháp gần đúng cốt lõi trong cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân.
• Cung cấp lời giải chuẩn mực, chi tiết cho 9 hệ thống bài toán từ không gian 1 chiều đến 3 chiều, làm rõ cơ chế khử suy biến và phân tách phổ năng lượng.
• Chứng minh tính chính xác tuyệt đối 100% của lý thuyết nhiễu loạn bậc 2 trên mô hình dao động tử điều hòa thông qua đối sánh trực tiếp với nghiệm giải tích và phép biến đổi Unita.
• Đóng góp nguồn học liệu sư phạm giá trị cao, giúp tối ưu hóa phương pháp giảng dạy và nghiên cứu cơ học lượng tử tại các trường đại học và viện nghiên cứu.
• Kế hoạch tiếp theo tập trung vào việc số hóa bộ thuật toán tính ma trận thế kỷ trên nền tảng tính toán khoa học tự động trong thời gian 12 tháng tới.

Hãy khai thác và ứng dụng ngay các phương pháp gần đúng chuẩn mực này để giải quyết các bài toán mô phỏng lượng tử phức tạp trong nghiên cứu học thuật và phát triển công nghệ vật liệu mới.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I: Cơ sở lý thuyết. Chương II: Hệ thống bài tập. Kết luận Hướng phát triển. LÝ THUYET NHIÊU LOAN L.

Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng. Hamiltonien: H=H,+V Với: H,, : Toán tử Hamilton khi không có nhiều loạn. V : Toán tử nhiễu loạn. Phương trình Schrodinger: H\y) = E|}: Khi nhiễu loạn.

(1) yO Oo) = Ee H,\w +"): Khi không nhiều loạn. (2) Khai triển: y(x) theo ựJ°'(x) WO) = DCH) (3) Thay (3) vao (1): Hồ Cw h( x ) = E >: C ự ƒ" (œ ) (4) ay Nhân vào bên trai của (4) với ⁄„ (X) và lay tích phân theo x: HY H.C, = EC, (5) Trong đó Hy, là phan tử ma trận trận của toán tử H trong * E”"'_ biểu diễn. Hy = [we H ự adx = [ V Ệ ( H , + w id e = ful He wld e [ W L V w l d = B 2 5 + Trong đó V„„ là phan tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn trong “ E°TM biểu diễn. Vin = Sys V wd (7) Thay (6) vao (5) ta duge: HDL ES © bn +Veq ) Cy, = EC, ©[£‡~r„ -E]C„+31⁄4„€, =0 mee (8) wee Dé biểu thị độ nhỏ của V ta đặt: V=Aw (9) 2 là một tham sô đặc trưng cho độ nhỏ của nang lượng nhiều loạn.|&} Tải liệu thơm bdo sd 3, số 8 Thay (9) vào (8): [Eš-4w„—E]Œ„+43›1„„€,=0 mee (10) wee Phương trình (10) chính là phương trình tông quát của lý thuyết nhiễu loạn đừng.

Nhiễu loạn khi không có suy biến. Từ công thức (10) ta khai triển C,, va E dưới dạng chuỗi: C, = CN) 4 ACD + 1°CD) + (11) Es E°+AE" + PEP + Các số hạng C"’. tuong ứng với các bô chính của ham sóng và và năng lượng trong gan đúng bậc 1, bậc 2. -E"Ìcp —E£% Co ~gacm +[ES- #°|c +w c?}.-0 © Phép gần đúng bậc không: Với Ä =0, phương trình (12): [Z5-£" }c#? =0, m=1,2,3,.

=> E°=E*, Cc =, (13) Ta quan tam đến mức nang lượng Z? va hàm song y; E°=E/, C® =1 (14) Nghiệm (14) được gọi là nghiệm gan đúng bậc không. (không nhiễu loan) © Phép gần đúng bậc nhất: Thay (13) vào (12) và bỏ qua các số hạng có chứa bậc cao hơn 2°: [W„.— E7” ]á„ +[E—E"]CŒ?+ Vw, Pye =0 (15) Lay phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bô chính bậc nhất cho năng lượng: We — El! =0 e Bl! =w¿ =(k|V|k): (16) Lay phương trình thứ m + & trong các phương trình (15) ta sẽ tim được số hạng bô chính bậc nhat đôi với ham sóng. [Z¿~E* ]cz'+w„ =0 Từ đây ta tìm được bồ chính bậc nhất cho hàm sóng: eo = Wa (17) E° ~ Ey ¢ Phép gần đúng bậc 2: Thay (16) và (17) vào phương trình (12) và bỏ qua các số hang chứa bậc 4` trở lên: * bến Lay phương trình thứ m = k trong (18): a 4 wDSP o aoe ove Ta tìm được bỏ chính bậc 2 cho năng lượng: ED = pat pia 0 (19) Lay phương trình m +k trong (18) và thé giá trị của EB!” vào: bèn Bây giờ ta gop số hạng **“=_ vào trong tổng, khi đó: 40} 0) £ —E_ _ (21) Ww, w Ww, ; Ww. EP'- Eo + » W oo E “em — 0 3wVw D « wae t ^ awk azh Phuong trinh (20) tro thanh: Wg wos mm +[E -E'|c + Wn _—- = 0 " 14 2, (22) Từ đây suy ra CÍ": ( (2 w \W [Ez--E* Jer.

Nụ mẹ BE =) Vin ® Eo é - > 1 ’ avk By EYED DEE (EF) (2) 1 f ú © 1 oC! = wet Từ day ta tim được số hạng bô chính bậc hai cho ham sóng: " Tœ8m) Le | -£)-E) CO)= Tats sẻ 71? mtknstk (23) Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thé tính được bô chính bậc ba và các bậc cao hơn. Nhiễu loạn khi có suy biến. Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với một mức năng lượng có nhiều trạng thái. Phương trình (3) được đặt lại: vix= PCW) Phương trình (8) được viết lại: [ee =F», of ~ E|Cue + ay,mp ne"on (24) Trong đó: Vg a = [ư$ Vy dx (25) Là phan tử ma trận của năng lượng nhiều loạn.

Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k.5 ff (26) C„=0 (nek) Thay (22) vào (20) và lay phương trình thứ m = k.+f,„„ =0 Yh ỨC? +(E + Vy, — E) CO +.4( Ee +V%:É‹ -B)C£'=0 ` Hệ phương trình này có nghiệm không tam thường khi: =0 (29) Vey naan (E +V,,-E) Day là một phương trình dai số bậc k đối với E. Người ta thường gọi là phương trình thé ki. giải phương trình này ta tim ra các nghiệm: E = Bạ, E,,, E,;,. Với các giá trị của E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm được các nghiệm C, Nhan xét.

Khi có nhiễu loạn thì mức năng lượng suy biển E! được tách thành f{ mức sat nhau. Suy biến bị khử hoàn toàn. Nếu có các nghiệm trong (29) trùng nhau thì suy biến bị khử mat một phản. Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới hạn xét đến nghiệm gan đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm song.

Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Toán tử Halmiton: H=H›s+lf(x,t) Với: Ho: Toán tử Hamilton khi không nhiều loạn. W(x,0): Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: ¡h _- = [Ho +If(x,t )jựŒ ) (30) Khi không nhiễu loạn: ¡h `.

=H °œ® (31) Nghiệm riêng của (31) có dang: Wx =," (Xe g 6% ⁄‡”(x.f) = we Nghiệm của (31) là sự tô hợp của các nghiệm riêng: tí v(x = LG COY (x, = Levee 5 (32) Ta tim nghiệm của (31) dưới dang: ự(x,9)= YC, Owed) (33) Tìm C,(t): Thay (33) vào (30): %. ˆ 0v hệ C09, eae dải. (t)Huw'”(x, n+ QC, mm. _ ~ P ” Goi là sự chuyên dời lượng tử.

Phép gần đúng bậc không: Gia sử khi t= 0, M(x.)=0: khi đó phương trình (37) trở thành: dc: () ¡h =0> C°(t)=const đt “Ke Chon hàm sóng ở trang thai dừng thứ k y{"'().e ** “là ham sóng của bải toán không nhiều loạn. Do đó: yl) oy XG Owns YCOW OD =C (0) = 8. = Ẳ mái m=k (39) Phép gần đúng bậc nhất: Đặt nghiệm (39) vào phương trình (36): dCŒ?°() = ` — ¡h dC?Œ) ” =w et dt » awl Cụ di mt ¡h HƑ ee 3 <> Cf(r)= j m|If(x,t)|n)e°“'đr +C2(0) (40) Vi các hệ số C„(0) không phụ thuộc thời gian và luôn bằng ở,, nên C’ =0 Nghiệm gần đúng bậc nhất: Cỳ!Œ)= [(mÌM(x,t)|n)e “hát ¢ Phép gần đúng bậc 2: Nghiệm gan đúng chính xác đến bậc 1: C. Và cứ theo quy trình này, ta có thẻ tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc ' bồn.

Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chi cần quan tâm đến nghiệm gan đúng bậc nhất.5: Xác suất chuyền dời lượng tử. Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không can quan tam dén năng lượng va trang thái ở mức m= k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất đời chuyên dời giữa 2 trạng thái. Kí hiệu xác suất đời chuyên từ a thái & > m là Pay: 2 P„(z)=|C?œ)= NỈ (m|IW (x. PHƯƠNG PHÁP BIEN PHAN.

Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bai toán cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp biến phân. Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử. Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “ham tht” chứa một sỐ thông số chưa biết nào đó. Sau đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta xác định được các thông SỐ.

Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử |ự} theo các vector riêng |y,) của toán tt Halmitonian // : |ự})=3;C.ư, (43) Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dang: ( vI r l e ) (u )- w|w) — S|cÏ X I : 5 , ; (44) Goi Ep là năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có: (4) a H e >4= DIC, È 0 (45) Nếu chon vector trạng thai |y} là một ham của các thông số chưa biết nào đó 4,,4,,., sao cho trùng với vector trạng thai cơ bản của hệ.) Và thực hiện cực tiêu hóa năng lượng trung bình: OH 6A, Cho phép xác định được các thông số 2,. Bang cách đó ta sé tinh được giá trị của năng lượng: c- W W( À i x à s : - ) |H | W G o r h o r ) ) WA, Begs) |W Ags Aogs)) Gan với giá trị năng lượng trạng thái cơ ban Ep của hệ. Chương II. LOI GIẢI VA PHAN TÍCH CÁC BÀI TAP 1I.

MOT SO BÀI TOÁN VE NHIEU LOAN DOI VỚI HẠT TRONG HO THE Bai 1. Hạt ở trong giếng thé sâu vô hạn có bề rộng a. Hãy tinh các bồ chính bậc 1 và bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn. V(x) =V, cos? ““ a Lời giải.

Áp dụng kết quả của bài toán hạt trong hồ thế sâu vô hạn có bề rộng a: Hàm sóng: y, = lộn a a (1.1) Năng lượng: E, = eee » n= 1,2,3,. Hàm thé nang * Bồ chính bậc I: ` {n mì ¬ lan 2 (a=|2x~a|)ẻc (5+ = Wot.2) * Bồ chính bậc 2: AE _y Keen (2) ` ‘ek |Y|n)| -E " 4 2#n(I+(-U']+2(È + rf) sin in ~ eros TM cos ự Vp| 4⁄|——————————2ˆ-—+——ˆ—*2 (1.3) #(kˆ=m}ˆ @) 12 8m a È` -M [+ CD ”” J+ (4° +n Jsi n 2 sin + 24m cox ST cos AE =———»| 4 —4 s2 2. ˆ = a-b<x<a Ve, b<) -b * Bồ chính bậc 1: AE" =(n| Vn)=—2 yo sin etal a 2b+— sin ra (1.5) we ay a zn a * Bồ chính bậc 2: AE = yy ein ø a te EF —c|#l#InŸ ¿ © é tá at (ky n)= 2h sink) sing a? a _2K, a(t sin a cos MEA" a sin HỒ a Vy WR a (1.6) a a(n’ —k*) , {[»(-<n"" sin BOE ascai k(- lý” ain mba. kb | AE =8mV _ — —: = = | (1.

V(x) =V,cos* — a Vo X * Bồ chính bậc 1: Hình 3. Hàm thé năng AE* =(n|V pn) =| a sin? cos" a LẠ Su a 2 3 9 (1.8) * Bồ chính bậc 2: @) si kỊt|m\[Ï |») AE = {o) (0) .