Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYET Trong chương này ta sẽ giới thiệu phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrédinger: các bước giải, ưu điểm. những van dé khi sử dụng phương pháp toán tử; đồng thời ta cũng trình bày tông quan về exciton: khái niệm, phân loại, tính chất và phương trình Schrédinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều.1 Phương pháp toán tw giải phương trình Schrédinger Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi nhóm của giáo sư Feranchuk I. ở trường Dai học Belarus [11] và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rin cũng như các bài toán lý thuyết trường [2, 4, 12].
Qua nghiên cứu và khai thắc trong các bài toán cụ thê đó, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau: ¢ Don giản hóa việc tính toán các yếu tổ ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các ham đặc biệt: các tính toán được thực hiện trong quá trình áp dụng phương pháp đều là các biến đôi các thuần đại SỐ. e Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bat ki. e Cho phép xác định giá tri nang lượng va ca ham sóng của hệ trong toàn miền thay đôi tham số trường ngoài. Ý tưởng của phương pháp toán tử FK thê hiện qua bốn bước giải mà ta sẽ trình bảy sau đây trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiêu.
Xét phương trình Schrödinger cho đao động tử phi điều hòa: 12 AY¥(x) = EW(x), (1.1) với toán tử Hamilton không thứ nguyên: Gatos ae (1.2) 2dx* 2 Ta sẽ giải phương trình nay bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản như sau: Bước một: Chuyển toán tử Hamilton vẻ biêu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau: .3) 2\" ow 20 wddx} Ở đây toán tử â được gọi là “toán tử hủy", â" được gọi là “toán tử sinh” và @ là tham số tự do được đưa thêm vao dé tối ưu quá trình tính toán. Chúng ta gọi là tham số tự đo vì Hamitonian của hệ thực chất không phụ thuộc vào giá trị của ø. Ta dé dàng thu được hệ thức giao hoán: (â.4) Hệ thức nay sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dang chuẩn, nghĩa 1a các toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy năm vẻ phía bên phải, thuận lợi cho các tinh toán đại số sau này. Từ đây vẻ sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tứ (xem thêm Phụ lục 2).2) và sử dụng (1.4), ta được biéu thức dang chuẩn của toán từ Hamilton như sau: 13 I+ư H= i.
(15) Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (1.5) thành hai thành phần như sau: - Phần thứ nhất là A?" (â"â.ø)] chỉ chứa các thành phan ô=â*â, các ^~+^ thành phần này được gọi là các toán tử "trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số toán tử sinh và sô toán tử hủy băng nhau: How =1+® (sã'â+1)+ sọ | 2(44) +28'â+1] .6) - Phan còn lại ta kí hiệu la V(â*,á, Â,e}. Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phan: thành phan A?” (a'4,4.@) có nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ dé dàng xây dựng dưới day; riêng thành phần V" (â”.} được xem như thành phần “nhiễu loạn" sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ" dé thỏa điều kiện của lý thuyết nhiều loạn thông qua việc chọn tham SỐ @. Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình: Ho" (@°4,2,0)|y) = ca lw) ; (1.7) Ta thay Ho“ (â*â.«o) giao hoán với toán tử £ T ^+^ + : £ “- F * =4 và nghiệm của nó de a Ata os ta. 2 3% dàng xây dựng như sau: |n(@)) = sale Ï|0.8) lá Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac dé định nghĩa, khi đó nghiệm (1.8) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chan không” (vacuum) |0) được xác định bằng phương trình: â(œ)|0) =0; (0|0) =1.9) Khi can thiết chúng ta có thé sử dụng phương trình nay dé xác định dang tường minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chat của toán tử sinh - hủy (1.4), ta dé dàng kiểm chứng: â*â|n) = nÌn): (1.10) điều này có nghĩa là trạng thái (1.10) là nghiệm riêng của toán tử # = â'â, từ đó có thé thay rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử H, (a 'â,À,@].11) 2 l2) _ Lee 4ø 4z” là năng lượng gan đúng bậc không tim được phụ thuộc vào tham số ø. đây là tham số được đưa vào đẻ tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định œ từ điều kiện: (0) CEs =0, (1.12) ao Điều kiện dé chon giá trị «œ theo phương pháp toán tử đã được thực hiện trong một số công trình (7. 11, 12] và đã chi ra rằng phương trình (1.12) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gan đúng bậc zero đối với nhiêu bài toán khác nhau. lý Với bài toán chúng ta Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện |.
đang xét, điều kiện (1.12) dẫn tới phương trình dé xác định @ như sau: (2n +1)ø` =(2n +1)@-62(2n? + 2n +1]=0 (1.13) 15 Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số: Đến đây chúng ta có thé sử dụng sơ 46 của lý thuyết nhiễu loạn dé tính các bổ chính bậc cao. N goài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham SỐ tự do @ đề điều khiến tốc độ hội tụ, ta có thé sử dụng phương pháp vòng lặp đẻ giải tìm nghiệm số. Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đỗ sau: nes EX? = Ha +Vin+ 2D) CL Vaa — ken nts (EY —HCS =V„ + DOV» (1.14) k-) hen với điều kiện ban đầu là CÍ”=0, (j#n). Chú ý rằng ở đây chúng ta không can sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho @ =1.
Ngoài ra các giá trị EL”, cy’ tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phái là bỗ chính. Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ dé lý thuyết nhiễu loạn được định nghĩa như sau: Hạ = | “ự, OA, ,(x)áx,V„ = llR ¿(@)Ê y, (x) dx (1.16) các phân tử ma trận này có thé tính một cách dễ dang bang các biến đôi thuần đại số nhờ các hệ thức (1. Dé tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau: @ |n) =Vn+1\n+1); d\n} = Jn|n-1).17) Cách tinh các phan tử ma trận bằng các phép tính thuần dai số là một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.15) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường 16 minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.9) và cụ thé là sử dụng (1.
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau : (2n+ 1) +4 (20! +2n+ 1) ` ˆ l+#ˆ H_= 4a Vane | + si (2n3) Oral).18) các phan tử ma trận khác thu được dựa vào tinh đối xứng V.1: Phương pháp toán tử FK cho trạng thai cơ bản 0 =0 [5].1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi điều hòa ở trạng thái cơ bản =0 khi dùng phương pháp toán tử FK. Như đã nói ở trên, mặc dù phương pháp toán tử được giới thiệu thông qua ví dụ của bài toán dao động tử phi điều hòa, nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc vào dang cụ thê của toán tử Hamilton, đo đó có thê áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán. Tuy nhiên, cần lưu ý đến việc chọn tham số @ vì ứng với mỗi giá trị @ khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau.12) trong một số bài toán không cho tốc độ hội tụ cao. Vì vậy việc tìm ra được điều kiện để chọn lựa tham số tự do @ tôi ưu sao cho bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác là cần thiết và rất có ý nghĩa.
Ngoài việc chọn tham số @ tốt để tốc độ hội tụ bài toán nhanh vẻ giá trị chính xác. khi áp dụng phương pháp toán tir FK giải phương trình Schrödinger cho các bài toán phức tạp hơn như các bài toán hệ nguyên tử. phân tử, do một số đặc điểm riêng chúng ta gặp một số van đề cần nghiên cứu và giải quyết như: dang thé tương tác Coulomb có biêu thức chứa tọa độ ở mẫu SỐ ; việc đưa các toán tử vẻ dang “chuẩn” (normal) dé tính toán các yếu tô ma trận trong các sơ đồ tính bổ chính bậc cao ; việc xây dựng bộ ham sóng cơ sở đảm bao là nghiệm của dao động tử điều hòa đảm bảo tính đối xứng của bài toán và đồng thời thuận lợi cho việc tính toán; cuối cùng là việc lựa chọn sơ đỏ thích hợp dé bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính xác. Bài toán exciton trong từ trường khi sử dụng phương pháp toán tử FK cũng gặp phải những van đề trên mà ta sẽ trình bày rõ hơn trong những phan sau.2 Tổng quan về exciton 1.1 Lịch sir Thực nghiệm cho thay sự xuất hiện các đỉnh (peak) lạ trong phô hap thụ ở tinh thé khí hiếm và trong tinh the phân tử (xem [22]).
Dé giải thích điều này, năm 1931, khái niệm exciton lần đầu tiên được Frenkel tiên đoán và sau đó được tiếp tục nghiên cứu phát triển trong các công trình tiếp theo của ông. Trong các công trình của mình, Frenkel giới thiệu exciton như một sóng kích thích điện tử trong các tinh thé khí hiểm. Mô hình exciton của ông phù hợp khi mô ta các exciton trong chất cách điện, về sau các exciton loại này được gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là exciton phân tử (xem [19, 22]). Đến năm 1937, Wannier va Mott đưa ra mô hình exciton mới được tạo thành bởi tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trồng, tương tự như nguyên tử hydro, phù hợp khi mô tả các exciton trong bán dẫn.
Exciton loại này sau được đặt tên là exciton Mott-Wannier (xem [19, 22]). Sau đó, phô hấp thụ của exciton Mott- Wannier được Gross tìm thay đầu tiên trong thực nghiệm vào năm 1951 trong tinh thé Cu,O (xem [16]).