CHƯƠNG 1:DOI CHUYỂN DUGI TÁC DUNG CUA MOT NHIEU LOAN 2.1 NHIÊU LOAN PHU THUỘC THỜI GIAN: Trong phan này chúng ta chuyển sang nghiên cứu các nhiều loạn phụ thuộc tường minh vào thời gian. Nhiéu loạn này chủ yếu là | sóng điện từ trong khi có xảy ra tưởng tác với những nguyên tử hay phân tử, Trong phin này nói chung không thỂ nói về các lượng bổ chính cho trị riêng năng lượng vì khi Hamiltanien phụ thuộc tường minh vào thời gian (đó là toán tử bị nhiều loạnH =H, +VŸ,. nang lượng nói chung không bảo toàn và do đó không có các trường hợp dòng. Nhiệm vụ ở đây là tính gắn đúng các ham sóng của các trạng thái dừng của hệ không nhiều loan.
Bây giờ ta sẽ tim nghiêm gan đúng của phương trình nhiều loạn: iho.1) qua nghiệm của phương trình đối với hệ không nhiều loạn: ổ ˆ In) Jwi) n"—|w?.2) Mà nghiệm ở trạng thái dừng có đạng: lo.(t))=|ne * Nghiệm của phương trình (2.1) được tìm dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của toán tử H1,: |ụ(Ð) = Ya.3) Thay biểu thức (2.3) vào phương trình (2.2), ta được: TC X D , re t =¥2 , (4 )V ,, |n ye «t d (2.4) Nhân 2 vế phương trình (2.4) vé bên trái với hàm (mleTM*va lấy tích phân trên toàn miền biến thiên ta thu được: .„ đa,(t) “ “3 ave ik =- = >(mlVtjnk = a„(0 (2.5) aD Với: oL =. gọi là tần số dời chuyển lượng tử. Phương trình (2.5) là 1 hệ phương trình vị phân tương đương với phương trình (2. Ta không thể giải chính xác (2.5) mà chỉ có thể giải tần đúng.
ia rene 12 LUAN URN 22” NGATEP SUTH: NGUYEN ?t22đ EA Nếu toán tử nhiều loạnV, nhỏ và thời gian tác dung của toán tử không lớn lắm thì ta có thể xem trong khoảng thời gian đó các hệ số khai triển a„(U) biến đổi không nhiều lắm so với các giá trị ban đầu của chúng, Khi đó ta có thể giải (3.5) bằng phương pháp gắn đúng liên tiếp. Ta viết toán tử nhiều loạn dưới dạng: V=AW,, (2<<l) (2.6) Tim a,,(1) dưới dang chuỗi: a(t) =al'(t) + Adal) (ty + al (tps.7) Mang 2 biểu thức (3,6) va (2,7) vào phương trình (2.5) và đồng nhất những hệ xốcủa 2F trong 2 vế của phương trình, Ta nhận được: - Nếu p=0: jn dam () _ 9 (2.8) - Nếu p #0: Phương trình (2.8) có thể cho phép ta xác dinhal’'(t), cứ như thế lần lần ta có thé tính được các hệ sốa”'(t)nếu biếta'* (1).1 É i » 0: Phương trình (2.8) cho ta: all’'(t) = const Chon các diéu kiện ban đầu bằng cách sau: Ta chọn hàm sóng của trạng thái dừng thứ k, tức là chọn hàm song}, (t))là hàm sóng của bài toán không nhiều loạn. nghĩa là: ((t = 0) =|, (t)) Khi đó.3) ta suy ra: a (t=0)=5,.10) (2,10) thỏa mãn với mọi % nên khai triển (2.7) cho ta: a(t =0)=8,,$ a'{t=0)=0 nếu p > Ï (2. phương trình (2.
với điều kiện ban đầu al!\(1=0)=8,, : a„ ()=ô„ đối với t >0. Đây là nghiệm bậc không của chuỗi (2.2 Phép gắn đúng bậc nhất: Phương trình (2.9) được viết với p = I: Trang 13 LUAN URN 2/2 NGAIEP SUTH: UGUYEN NGOC BA 7 d=a = 2bne Oey ~'{m|W, | n) ©oui e'(m|W,, Jk) t (2.12) Giải phương trình (2,12) ta sé tim được nghiệm gan đúng bậc nhất: a'.13) the : Ở đây ta chon a‘!'(0) = Ovi ta chỉ quan tâm tới xác suất dời chuyển giữa 2 trang thái dừng khác nhau (m = k).3 : Í : hai: Pens trình (2.9) được viết với (p =2): 2= x = 2a, (t)e”'(m|W,,,|n} we lh “ oe ”! (m W, (n )Ï e* +" (a |W , |k )d t (2.14) Giải phương trình (2.14) ta được: nà ng lễ~ (one feo, le (2.15) omeki Và cứ theo quy trình này, ta đặt (2.9) rồi lấy tích phân ta sẽ tìm được aj''(0. và đặt al’ (ry. ab (t), a'(0 vào chuỗi (2.7) ta sẽ Gm được a„(U gan đúng tới bậc tùy ý, Tuy nhiên đối với nhiều bài toán của vật lý nguyên tử và vật lý hạt nhân chỉ cần gidi hạn Wi nghiệm gan đúng bậc nhất đối với nhiễu loạn bậc nhất, 2.2 XÁC SUẤT ĐỜI EN LUGNG TU: Dưới tác dung của nhiễu loạn hệ lượng tử có thé dời chuyển từ trạng thái dừng ban dau với năng lượng & đến những trang thái dừng khác.
Nhưng trong quá trình tác dụng của nhiều loạn (0 < t< +) tất cả các hệ số a„(t) nói chung có thể khác không. nên ta không thể nói là hệ só chuyển đến một trạng thái dừng xác định nào cả. Ta chỉ có thể nói là tại thời điểm t > 0 nào đó nếu tiến hành do năng lượng của hệ thì sẽ nhận được giá trị năng lượng tụ, với xúc suất bằng |a„(U |°. Nếu xác suất đó bằng không thì dời chuyển ø„ > £„ không thể thực hiện được.
Vậy la„(U |? đặc trưng cho xác suất dời chuyển lượng tử từ trang thái ban đầu e đến trạng thái cuối ø„„ trong khoảng thời gian từ O đến x, Ký hiệu xác suất dời chuyển từ trạng thái k > m là P,y. ta có: 1 rang 14 LUAN 1Á2t 2/7 NGRIEP 2122. NGUYEN ?!22đ EA Poult= la„(Ðψ (2. ta chỉ giới han trong phép gan đúng bậc nhất.
tức là: Puu(tÌ = at = pr@nMibeea (2.17) Trong phan này ta sẽ tính xác suất dời chuyển của | số quá trình tương ứng với những toán tử nhiều loạn có dạng sau: = .,=‡ ; 0 khi t<0t>+ bị V,-=Êec“+Fe"“x=V,+Ÿ-, Tức là sẻ tính xác suất dời chuyển dưới tác dụng của nhiều loạn không đổi và nhiều loạn biến đổi tuần hoàn, dun sắc theo quy luật hàm mũ. 221 Đời chuyển dưới tác dung của nhiễu loạn không đổi: Vì phần tử ma trận(m'W|k)không phụ thuộc vào thời gian nên tích phân (2.17) được tính một cách để dàng: t J(miwikje”'dt = (mjwik) 10) a Từ đó suy ra: P„u(t) = je (mỊWIk)Ỷ kc ie | = 2z (mIWIk)Ï a" -IYe"*" -1) Km] (6050 9 +isine. t~1) TT“ rl(m|W|k}Ï a_ AI ~ €OS@,, t) mln) an ( ạt) Vậy P„u(t) = „(mMII [mi> sine (2.18) (e,, “ey ) Nếu muốn tìm xác suất dời chuyển lượng tử từ trạng thái m đến tất cả trạng thái khác thì ta lấy tổng với mọi giá trị của k: P(t) = > P„(t) 1 rang 15 LUAN VAN 22” NGRIEP __ #122: NGUYEN 42đ GA sinc2Tức, t,}.19) được xử dung cho phổ năng lượng gián đoạn. ‘Trén thực tế hầu như trong tất ca các hệ lượng tử, các trạng thái cuối đều có phổ liên tục.
Do đó để tính xác xuất đời chuyển toàn phan từ trạng thái đầu m đến tất củ các trạng thái cuối k ta cần lấy tích phân (2.19) theo tất ca các aes? ou Fy* (E„—e, ) P(t) = aniwiny J — : d(e,, - e,} (2.21) ter Ot i) khi a =0 pn ñ (2.23) Như vậy xác suất dời chuyển Ui lệ với thời gian tác dung của nhiều loạn t, Do đó ta có thể định Lên xác suất dời chuyển trong | đơn vị thời gian: P(r)= “2 - “ (m|WIkjŸ (2.32 Đời chuyển dưới tác dụng của nhiễu loạn tuần hoàn: Trường hợp quan trong khi xét nhiều loạn phụ thuộc thời gian là nhiều loạn tuần hoàn, toán tử nhiều loạn được viết dưới dạng: V,.25) Đối vời xác suất đời chuyển sang các trạng thái của phổ liên tục, xảy ra dưới ảnh hưởng của nhiều loạn tuần hoàn ta được kết quả khác loại với kết quả của phan 1. Giả xử tại thời điểm đấu t = 0, hệ ở trang thái dừng thứ m của phổ gián đoạn, Ta giả thiết rằng tan xố @ của nhiều loạn tuần hoàn thỏa mãn điều kiện: he) > Byun - Ba (2,26) Với By. là giá trị năng lượng mà từ đó bất đầu có phd liên tục, Các trạng thai với những giá trị năng lượng gắn ké với năng lượng ¢,, + Ae, nghĩa Tee ney 16 LUAN VAN 707 NGRIEP SUTH: NGUYEN NGOC 84 là những trang thái có @¿¡ = @ nhỏ, sé dong vai tO cơ bán, Chính vì thể khi xét xác suất dời chuyện sang trạng thái liên tục dưới tác dung của nhiều loan tuần hoàn, ta chỉ cần xét số hạng đều tiên trong (2.25) là đủ (với tần số oy - © xấp xi bằng không), Dat số hang này vào (2.13) ta được (chỉ giới hạn trong gin đúng bắc 1): a„„(t)“ 2 J miFikje'"* “dt enn wit Ï tị Now =o) al!’ (t) = -(m|Fk)“— Từ đấy ta tim được hình phương modul của a’! (1); -6) Lủ 3 ly : 4sã n|\ fe —”® 2 t FT) ) Chú ý tới (2. ta được: f X ye Ty :_ -Í9„ —0 act =7;Í(m|F|k xố = — - ) Do đó: : 2 2 .28) Ti đó xác suất chuyển dời trong | đơn vị thời gian trong khoảng tan số đ(£„ - &) là: ~ 3 * AP, (x) - ri |(m|FIk)ÏÌð(e„ -e, - Aw de, - e,) (2,29) Công thức (2.29) chỉ khác không đối với những chuyển dời sang các trạng thái có năng lương e„ = £, +ho.
Nếu các mức năng lượng của phổ liên tục không suy biến thì toàn “khoảng” của các trạng thái d(z„ - &) quy vẻ | trạng thái với năng lướng 6 = 6, +ho. và xác suất chuyền đời sang trang thái này là: = 2m : P.30) 1 Trang 17 LUAN VAN 707 NGRIEP. SUTH: NGUYEN 122đ 8A CHƯƠNG Ut DAO ĐỘNG TU DIEU HOA 3. GAN DUNG LA DIEU HOA: 3.1 Đao động tử điều hòa trong vat lý: Ví dụ cổ điển nhất của dao động tử diéu hòa | chiếu là dao động của mot hạt khối lưỡng m di chuyển doe theo | trục Ox, xung quanh vị trí cân bằng có định ma ta có thể chọn ham gốc tọa độ.
Hạt này chịu tác dung của | thế năng có dạng: bare’ (x)= kx (3,1) Rất nhiều hệ vật lý có thể xem như những dao động tử điều hòa trong phép gan đúng bậc nhất, Chang han, trường hợp của những nguyên tử hay những ion của | tỉnh thể có thể dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó, Những dao động của những nguyên tử của phân tử 2 nguyên tử tạo thành | ví dụ của dao động tử điều hòa | chiều. Daw dong tử điều hòa đóng | vai trò quan trọng trong su mô tả của | tập hyp các ion nằm trong cùng | trạng thái lượng tử, Mat khác ta chứng minh rằng trường điện từ là dang tương đương với | tập hợp nhữngdao động tử điều hòa độc lập. Đây là cơ sở của lý thuyết lượng tử của trường, Vì vậy mẫu dav động tử điều hòa rất quan trọng trong cơ học lượng tử. *,Những dao động nhỏ: Một cách tống quát ta xét | thế năng U(x) biểu diễn | cực tiểu tại | điểm mà ta sử dụng làm gốc tọa đô.