đặt vấn đề để HS tự khám phá lại tất cả các tri thức của môn học hay không?” thì Lecne cho rằng: “Một tổ chức dạy học trong đó HS phải khám phá lại tất cả những điều mà loài người biết được trước đây và được quy định trong chương trình học, là một điều ít nhất cũng là kỳ quái” và “Chỉ có một số tri thức và phương thức hoạt động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng của dạy học nêu vấn đề.” (dẫn theo [60, tr. Với bài viết “Tri thức và tư duy” [2, tr. Crugliac đã xem xét sự tìm tòi trí tuệ về mặt tổ chức và cấu trúc, vạch ra các dạng của tình huống có vấn đề, giới thiệu cách giải quyết vấn đề qua các ví dụ. Theo tác giả, dạy học nêu vấn đề là hình thức tổ chức sự tìm tòi trí tuệ khi thu nhận tri thức bằng cách giải quyết vấn đề và để điều khiển sự tìm tòi trí tuệ giáo viên cần vận dụng nhiều phương pháp dạy học.
Bruner trong “Fucus in Inquiry”, Alberta, Canada, (2004), đã đề xuất hai quy trình dạy học phát hiện dựa theo thuyết kiến tạo như sau: 7 - Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo năm bước (quy trình 5E). Quy trình này là một mẫu hướng dẫn, gồm các bước: tạo sự chú ý (Engage); khảo sát (Explore); giải thích (Explain); phát biểu (Elaborate); đánh giá (Evaluation). - Quy trình dạy học theo thuyết kiến tạo sáu bước: lên kế hoạch; thu thập thông tin; tiến hành; sáng tạo; chia sẻ; đánh giá (dẫn theo [1, tr. Ở trong nước Hoạt động phát hiện trong dạy học đã và đang giành được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Nguyễn Cảnh Toàn đã có những nghiên cứu sâu sắc về vấn đề sử dụng triết học duy vật biện chứng để tìm tòi, phát hiện quy luật Toán học [112], [113], [114]. Phạm Văn Hoàn và các cộng sự trong [39] đã tìm những biện pháp để tổ chức một cách khoa học hoạt động giảng dạy của thầy và hoạt động học tập của trò đảm bảo nâng cao hiệu suất lao động, tiết kiệm sức lực. Hiện nay, khi bàn về hoạt động dạy học, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới các thuật ngữ: tìm tòi, phát hiện, khám phá,… Bùi Văn Nghị trong [75, tr. 162] đã phân biệt khám phá và phát hiện.
30], Đào Tam đã quan niệm: “Hoạt động phát hiện trong dạy học toán ở trường phổ thông là hoạt động trí tuệ của HS được điều chỉnh bởi nền tảng tri thức đã tích lũy thông qua các hoạt động khảo sát, tương tác với các tình huống để phát hiện tri thức mới” và “Trong hoạt động phát hiện một khái niệm, một định lý, một mệnh đề nào đó cần sử dụng các phương pháp tìm đoán, các hoạt động đặc biệt hóa, khái quát hóa, chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác”. Nguyễn Hữu Châu [8] cho rằng “phát hiện” và “giải quyết” là các khâu đan quyện với nhau trong suốt quá trình giải quyết vấn đề, khi nói tới giải quyết vấn đề là đã có phát hiện vấn đề. Trần Vui [123] đã quan tâm đến việc dạy HS tìm kiếm các quy luật Toán học xuất phát từ tình huống thực tiễn. Nguyễn Bá Kim [60], Nguyễn Phú Lộc [66] đã thể hiện sự quan tâm về vấn đề giúp HS phát hiện quy luật Toán học khi đề xuất quy trình dạy học định lý theo con đường có khâu nêu giả thuyết.
Nguyễn Anh Tuấn [118, tr. 11] đã quan niệm: “Phát hiện là hoạt động của HS nhằm nhận ra trong tình huống - bài toán những yếu tố toán học cùng các mối quan hệ giữa chúng; tìm thấy hướng giải quyết bài toán - vấn đề”. Dưới góc độ xem phát hiện và giải quyết vấn đề là một năng lực cần bồi dưỡng cho HS, trong [118] tác giả đã quan tâm nghiên cứu cách thức bồi dưỡng năng lực này cho HS trung học cơ sở trong dạy học khái niệm toán học; Từ Đức Thảo [106] đã tìm cách bồi dưỡng năng lực này cho HS Trung học phổ thông trong dạy học hình học. Gần đây, vấn đề tổ chức dạy học theo hướng tự phát hiện được đề cập trong các công trình [1], [38], [45], [51] nhưng chỉ nghiên cứu ở chương trình tiểu học.
Trong [14] và [83], các tác giả đã quan tâm tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến cách thức hướng dẫn HS dự đoán, phát hiện quy luật Toán học trong dạy Toán ở 8 trường Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong [14], tác giả tập trung vào việc giúp HS dự đoán nhờ tương tự và quy nạp từ một số trường hợp riêng; trong [83] tác giả xem xét việc phát hiện quy luật toán học chủ yếu thông qua các biểu diễn toán. Trong [34], đã nghiên cứu cách thức rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS trong dạy học đại số và giải tích. Trong [35], đã khai thác và tập luyện cho HS các hoạt động nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học đại số và giải tích ở bậc Trung học phổ thông.
Như vậy, có thể thấy, mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực và phát triển năng lực trong dạy học, tuy nhiên vấn đề bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học toán còn có phần tản mạn, chưa thể hiện tính hệ thống. Trong luận án này, chúng tôi sẽ làm sáng tỏ các biểu hiện của HS có năng lực phát hiện quy luật toán học, đồng thời làm sáng tỏ cơ sở phương pháp luận để thấy được vai trò của các hoạt động cần thiết để phát hiện quy luật toán học. Từ đó, đề xuất các biện pháp tổ chức hoạt động học tập hướng vào việc gợi nhu cầu nhận thức cho người học; đặc biệt tập luyện cho HS các hoạt động quan sát, dự đoán, hình thành và kiểm định các giả thuyết toán học - đây là những hoạt động nền tảng để bồi dưỡng năng lực phát hiện quy luật toán học cho HS. Quy luật và quy luật Toán học 1.
Quy luật Trong đời sống hàng ngày, có nhiều tình huống khiến con người dần dần nhận thức được “tính có trật tự” và mối liên hệ có tính lặp lại ẩn sau các hiện tượng muôn hình muôn vẻ, từ đó hình thành nên khái niệm quy luật. Với tư cách là phạm trù của lý luận nhận thức, khái niệm quy luật là sản phẩm của tư duy khoa học, phản ánh sự liên hệ của các sự vật và tính chỉnh thể của chúng. Với tư cách là cái tồn tại ngay trong hiện thực, quy luật là mối liên hệ khách quan, bản chất, tất yếu, phổ biến và lặp lại giữa các mặt, các yếu tố, các thuộc tính bên trong mỗi sự vật, hiện tượng hoặc giữa các sự vật, hiện tượng với nhau. Với tư cách là một khoa học về mối liên hệ phổ biến của sự phát triển, phép biện chứng duy vật nghiên cứu những quy luật chung nhất, tác động trong toàn bộ các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy.
Theo [127], định nghĩa sau về quy luật đã được chấp nhận rộng rãi: “Các quy luật chỉ ra những mối liên hệ giữa các biến, trong đó các biến là những khái niệm có thể mang những giá trị khác nhau. Nếu a thì b, theo đó, a đại diện cho một hay nhiều biến độc lập và b đại diện cho biến phụ thuộc. Về hình thức, đây là một phát biểu về quy luật. Nếu mối quan hệ giữa a và b là không đổi, quy luật ở đây là tuyệt 9 đối.
Nếu mối quan hệ giữa a và b lặp đi lặp lại nhiều lần, dù không phải là bất biến thì quy luật đó được phát biểu như sau: Nếu a thì b với xác suất x. Một quy luật không chỉ đơn thuần dựa vào mối quan hệ giữa các biến đã được tìm thấy, mà còn phụ thuộc vào việc quan hệ đó có lặp đi lặp lại hay không”. Theo đó, các tác giả cho rằng, quy luật xác định những mối tương quan có thể thay đổi hoặc không thay đổi, mỗi thuật ngữ miêu tả trong từng quy luật liên quan chặt chẽ với những quy trình quan sát hoặc thí nghiệm, và các quy luật chỉ được thiết lập khi chúng vượt qua được những kiểm chứng bằng quan sát hoặc thí nghiệm. Nói về cách quy luật được phát hiện, các tác giả cho rằng: “Các giả thuyết có thể được suy ra từ lý thuyết.
Nếu các giả thuyết đó được xác nhận, chúng được gọi là quy luật. Các giả thuyết cũng có thể đạt được bằng cách suy luận. Một lần nữa, nếu được xác nhận, chúng sẽ trở thành quy luật”. Tuy nhiên, theo chúng tôi, nhiều khi sự xác nhận này không phải nhờ quan sát hoặc thí nghiệm, mà lại bằng lập luận, chứng minh.
Đó là trường hợp đối với lĩnh vực các quy luật Toán học sẽ được đề cập ngay dưới đây. Quy luật Toán học Theo quan điểm phương pháp luận nghiên cứu khoa học, mỗi khoa học có đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu riêng. Sản phẩm của hoạt động nghiên cứu một ngành khoa học là khám phá ra quy luật vận động của thế giới khách quan có liên quan đến đối tượng nghiên cứu của ngành khoa học đó. Khoa học toán học có đối tượng là những cái vốn có trong thực tiễn, có trước những người khám phá ra nó, tồn tại khách quan và không phụ thuộc vào cảm giác con người.
Ăngghen cho rằng: “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (theo [134]). Thông qua hoạt động khám phá các đối tượng, chứng minh các tính chất toán học, con người đã làm cho Toán học ngày càng phát triển. Trong quá trình hình thành và phát triển, mỗi ngành khoa học luôn tuân theo những quy luật chung của triết học và lôgic học, đồng thời còn có những quy luật riêng được quy định do tính đặc thù của ngành khoa học đó. Đối với toán học cũng vậy.
Trong Toán học, tồn tại những mối liên hệ bản chất, ổn định, tất yếu, lặp đi lặp lại giữa các phương diện, các yếu tố, các thuộc tính bên trong của các đối tượng và quan hệ toán học. Ta sẽ gọi chúng là các quy luật toán học.