CHƯƠNG 1 Thống kê mô tả 1. Trình bày tập dữ liệu. Bảng tần số. Bảng tần số tương đối.
Nhóm số liệu. Tổng kết tập số liệu. Trung bình mẫu. Trung vị mẫu.
Phương sai và độ lệch chuẩn. Phân vị mẫu. Tập số liệu cặp đôi. 9 Thống kê mô tả là một lĩnh vực của thống kê liên quan đến việc trình bày và tổng kết dữ liệu.
Trình bày tập dữ liệu Việc trình bày tập dữ liệu của một nghiên cứu nên được thể hiện một cách rõ ràng, ngắn gọn, sao cho người xem có thể nhanh chóng nắm bắt được các đặc trưng cơ bản nhất của dữ liệu. Bằng kinh nghiệm, người ta thấy rằng bảng biểu và đồ thị là các cách thức hữu hiệu cho việc trình bày tập dữ liệu, thường giúp phát hiện những đặc tính quan trọng như miền giá trị, độ tập trung, và tính đối xứng của tập dữ liệu. Mục này giới thiệu một số đồ thị và bảng biểu phổ biến cho việc trình bày tập dữ liệu. Bảng tần số Một tập dữ liệu mà chỉ có một số lượng tương đối nhỏ các giá trị phân biệt có thể được trình bày một cách thuận tiện trong một bảng tần số (frequency table).
Chẳng hạn, bảng sau đây là bảng tần số của tập hợp dữ liệu về lương của năm đầu tiên làm việc (đơn vị là nghìn dollar) của 42 sinh viên vừa mới tốt nghiệp kỹ sư điện tử.1 Trình bày tập dữ liệu 3 Lương khởi điểm Tần số 47 4 48 1 49 3 50 5 51 8 52 10 53 0 54 5 56 2 57 3 60 1 Bảng 1.1: Bảng tần số lương khởi điểm của 42 sinh viên vừa mới tốt nghiệp kỹ sư điện tử. Số liệu từ bảng tần số trên có thể được biểu diễn một cách hình học bằng biểu đồ cột (column chart) trong MS Excel: Hình 1.1: Biểu đồ tần số lương khởi điểm của 42 sinh viên vừa mới tốt nghiệp kỹ sư điện tử. Bảng tần số tương đối Xét một tập dữ liệu có kích thước n. Nếu f là tần số của một giá trị dữ liệu, f thì tỷ số được gọi là tần số tương đối (relative frequency) của giá trị đó.
n 4 Thống kê mô tả Như vậy, tần số tương đối của một giá trị dữ liệu là tỷ lệ dữ liệu có giá trị đó trong tập dữ liệu. Chẳng hạn, bảng sau đây là bảng tần số tương đối của từng loại ung thư trong 200 ca mắc ung thư mới: Loại ung thư Số lượng ca mắc mới Tần số tương đối Phổi 42 21% Vú 50 25% Đại tràng 32 16% Tuyến tiền liệt 55 27.5% Hắc tố da 9 4.5% Bàng quang 12 6% Bảng 1.2: Bảng tần số tương đối của từng loại ung thư trong 200 ca mắc ung thư mới. Thông thường, người ta hay sử dụng biểu đồ bánh (pie chart) trong MS Excel để biểu diễn hình học cho bảng tần số tương đối, như hình sau đây: Hình 1.2: Biểu đồ tần số tương đối của từng loại ung thư trong 200 ca mắc ung thư mới.2 Tổng kết tập số liệu 5 1. Nhóm số liệu Một cách hiệu quả để tổ chức tập số liệu cỡ vừa và nhỏ là vẽ biểu đồ kiểu thân và lá (stem and leaf).
Chẳng hạn, nếu tập số liệu chỉ toàn là số gồm hai chữ số, ta có thể đặt phần thân là chữ số hàng chục và đặt phần lá là chữ số hàng đơn vị. Ví dụ: thống kê về điểm thi học kỳ của một nhóm sinh viên, ta vẽ biểu đồ kiểu "thân và lá" như sau: 9 0, 1, 4 8 3, 5, 5, 7, 8 7 2, 4, 4, 5, 7, 7, 8 6 0, 2, 3, 4, 6, 6 5 2, 5, 5, 6, 8 4 3, 6 Bảng 1.3: Biểu đồ thân và lá điểm thi học kỳ của một nhóm sinh viên. Đối với một tập số liệu nào đó có số lượng giá trị khác nhau quá lớn, ta thường chia các giá trị này thành các lớp khoảng (class interval). Thông thường ta sẽ phân chia số liệu sao cho các lớp khoảng có độ dài bằng nhau.
Hai đầu mút của khoảng gọi là các biên của lớp (class boundaries). Ta quy ước là mỗi lớp khoảng chứa biên bên trái nhưng không chứa biên bên phải. Chẳng hạn, lớp khoảng [500, 600) chứa tất cả các giá trị lớn hơn hoặc bằng 500 và nhỏ hơn 600. Tổng kết tập số liệu Để có cảm giác với một tập số liệu lớn, ta cần một số khái niệm thống kê (statistic), trong đó một thống kê là một đại lượng số mà giá trị của nó được xác định bởi số liệu.
Trung bình mẫu Một thống kê thường dùng để biểu thị xu thế tập trung của một tập số liệu là trung bình mẫu, đó là giá trị trung bình cộng của tập số liệu. Xét tập số liệu x1 ,. Đại lượng x định bởi x1 + · · · + x n x= , (1.1) n 6 Thống kê mô tả được gọi là trung bình mẫu (sample mean). • Đôi khi ta cần xác định trung bình mẫu của một tập số liệu được cho trong bảng tần số, gồm k giá trị phân biệt v1 ,.
, vk có các tần số tương ứng là f 1 ,. Trong trường hợp này, trung bình mẫu được tính bởi v1 · f 1 + · · · + v k · f k x= .2) n • Bằng cách viết lại công thức trên bởi f1 f x= · v1 + · · · + k · v k , (1.3) n n ta thấy rằng trung bình mẫu chính là trung bình có trọng số (weighted average) của các giá trị phân biệt, trong đó trọng số của giá trị vi chính là tần số tương đối của giá trị đó. Trung vị mẫu Một thống kê khác dùng để biểu thị xu thế trung tâm của một tập số liệu là trung vị mẫu, đó là giá trị nằm ở vị trí chính giữa khi số liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Xét tập số liệu x1 ≤ x2 ≤.
• Nếu n là số lẻ, thì trung vị mẫu (sample median) là giá trị ở vị trí thứ n+1. 2 • Nếu n là số chẵn, thì trung vị mẫu là trung bình cộng của hai giá trị ở n n vị trí thứ và + 1. Trung vị mẫu là giá trị chia tập số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thành hai phần có số lượng bằng nhau. Chính xác hơn, ta có ít nhất 50% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị mẫu, và có ít nhất 50% số liệu lớn hơn hoặc bằng trung vị mẫu.2 Tổng kết tập số liệu 7 1.
Mode mẫu Một thống kê khác dùng để biểu thị xu hướng tập trung của một tập dữ liệu đó là mode mẫu, đó là giá trị có tần số lớn nhất. Xét tập dữ liệu x1 ,. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mode mẫu (sample mode). Phương sai và độ lệch chuẩn Các thống kê như trung bình mẫu, trung vị mẫu và mode mẫu đều có ý nghĩa mô tả xu hướng tập trung của tập số liệu.
Bây giờ ta quan tâm đến một thống kê cho phép mô tả mức độ phân tán của tập số liệu. Một thống kê có thể được sử dụng cho mục đích này là trung bình cộng của các bình phương khoảng cách giữa các giá trị số liệu với trung bình mẫu. Thống kê này được gọi là phương sai mẫu, vì lý do kỹ thuật, ta chia tổng bình phương các độ lệch cho n − 1, thay vì chia cho n, với n là kích thước của tập số liệu. Xét tập số liệu x1 ,.
Đại lượng s2 định bởi ( x1 − x )2 + · · · + ( x n − x )2 s2 = , (1.4) n−1 được gọi là phương sai mẫu (sample variance). Cho hai tập số liệu sau: A: 3, 4, 6, 7, 10. Trung bình mẫu của tập số liệu A là x A = 6, và phương sai mẫu của A là s2A = 7. Trung bình mẫu của tập số liệu B cũng là x B = 6, và phương sai mẫu của B là s2B = 360.
Như vậy, mặc dù cả hai tập số liệu đều có trung bình bằng nhau, nhưng mức độ phân tán số liệu trong B lớn hơn nhiều so với A. Xét tập số liệu x1 ,. Đại lượng s định bởi s ( x1 − x )2 + · · · + ( x n − x )2 s= , (1.5) n−1 được gọi là độ lệch chuẩn mẫu (sample standard deviation). 8 Thống kê mô tả 1.
Phân vị mẫu Định nghĩa 1. Cho trước 0 ≤ p ≤ 1. Phân vị mẫu 100p (sample per- centile) là giá trị số liệu thỏa mãn cả hai điều kiện sau: (a) Có ít nhất 100p% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó; (b) Có ít nhất 100(1 − p)% số liệu lớn hơn hoặc bằng nó. Nếu có hai giá trị số liệu thỏa mãn điều kiện trên, thì phân vị mẫu 100p là trung bình cộng của hai giá trị đó.
Phân vị mẫu 50 là trung vị mẫu. Nếu một tập số liệu có kích thước n = 24 và các giá trị số liệu đã được xếp theo thứ tự tăng dần, thì phân vị mẫu 75 theo định nghĩa là giá trị số liệu sao cho có ít nhất 75% số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó (ít nhất 18 số liệu), và có ít nhất 25% số liệu lớn hơn hoặc bằng nó (ít nhất 6 số liệu). Rõ ràng là có hai số liệu ở vị trí thứ 18 và 19 là thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Do đó, phân vị mẫu 75 là trung bình cộng của hai số liệu ở vị trí thứ 18 và 19.
Phân vị mẫu 25 được gọi là tứ phân vị thứ nhất (first quartile); phân vị mẫu 50 được gọi là trung vị hoặc tứ phân vị thứ hai (second quartile); phân vị mẫu 75 được gọi là tứ phân vị thứ ba (third quartile) 1. Biểu đồ hộp Người ta thường sử dụng biểu đồ hộp (box chart) để tổng kết một tập số liệu bởi các tứ phân vị Q1 , Q2 , Q3 và min, max. Thông thường người ta dựa vào các tứ phân vị Q1 , Q2 , Q3 của biểu đồ hộp để phát hiện ra những số liệu bất thường (outliers), đó là những số liệu nằm ngoài đoạn [O1 , O2 ], trong đó: O1 = Q1 − 1.5 · IQR, với IQR là khoảng trải giữa (interquartile range) được tính bởi IQR = Q3 − Q1 .3 Tập số liệu cặp đôi 9 Hình 1.3: Minh họa biểu đồ hộp. Tập số liệu cặp đôi Ta cũng thường gặp những tập số liệu chứa các cặp giá trị có liên quan với nhau.