CHƯƠNG 1: LOGIC MỜ VÀ ĐẠI SỐ GIA TỬ 1. Những vấn đề cơ sở của lý thuyết tập mờ và logic mờ 1. Lý thuyết tập mờ Lý thuyết tập mờ lần đầu tiên được Lofti A.Zadeh, một giáo sư thuộc trường Đại học Caliornia, Berkley giới thiệu trong một công trình nghiên cứu vào năm 1965. Lý thuyết tập mờ bao gồm logic mờ, số học mờ, quy hoạch toán học mờ, hình học tôpô mờ, lý thuyết đồ thị mờ, và phân tích dữ liệu mờ, mặc dù thuật ngữ logic mờ thường được dùng chung cho tất cả.
Không giống như tập rõ mà ta biết trước đây, mỗi phần tử luôn xác định hoặc thuộc hoặc không thuộc nó, thì với tập mờ chỉ xác định một phần tử liệu thuộc vào nó là nhiều hay ít, tức mỗi một đối tượng chỉ là phần tử của tập mờ với một khả năng nhất định mà thôi. Trọng tâm của lý thuyết tập mờ là việc đề xuất khái niệm tập mờ (fuzzy sets). Về mặt toán học, một tập mờ A là một hàm số (gọi là hàm thuộc (membership function)) xác định trên khoảng giá trị số mà đối số x có thể chấp nhận (gọi là tập vũ trụ (universe of discourse)) X cho bởi: µA(x) : X→ [0.0] Trong đó, A là nhãn mờ của biến X, thường mang một ý nghĩa ngôn ngữ nào đó, mô tả định tính thuộc tính của đối tượng, chẳng hạn như cao, thấp, nóng, lạnh, sáng, tối. Một khái niệm cơ bản khác được đưa ra – biến ngôn ngữ (linguistic variables).
Biến ngôn ngữ là biến nhận các giá trị ngôn ngữ (linguistic terms) chẳng hạn như “già”, “trẻ” và “trung niên”, trong đó, mỗi giá trị ngôn ngữ thực chất là một tập mờ xác định bởi một hàm thuộc và khoảng giá trị số tương ứng, chẳng hạn giá trị ngôn ngữ “trung niên” là một tập mờ có hàm thuộc dạng hình tam giác cân xác định khoảng độ tuổi. Logic mờ cho phép các tập này có thể xếp phủ lên nhau (chẳng hạn, một người ở độ tuổi 50 có thể trực thuộc cả tập 5 mờ “trung niên” lẫn tập mờ “già”, với mức độ trực thuộc với mỗi tập là khác nhau). A được gọi là hàm thuộc, hàm liên thuộc hay hàm thành viên (membership function) Với x X thì A(x) được gọi là mức độ thuộc của x vào A. Như vậy ta có thể coi tập rõ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ, trong đó hàm thuộc chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1.
Ký hiệu tập mờ, ta có các dạng ký hiệu sau: Liệt kê phần tử: giả sử U={a,b,c,d} ta có thể xác định một tập mờ 0.2 0 A= a b c d A = ( x, A ( x)) | x U A ( x) A = x trong trường hợp U là không gian rời rạc x U A = A ( x) / x trong trường hợp U là không gian liên tục U Lưu ý: Các ký hiệu và không phải là các phép tính tổng hay tích phân, mà chỉ là ký hiệu biểu thị tập hợp mờ.1: Tập mờ A là tập “số gần 2” xác định bởi hàm thuộc A e ( x 2) ta có thể ký hiệu: A = ( x, ( x 2)2 ) | x U 2 hoặc A = ( x 2)2 / x 1. Định nghĩa logic mờ Biến ngôn ngữ đã được Zadeh đưa ra năm 1973 như sau: Một biến ngôn ngữ được xác định bởi bộ (x, T, U, M) trong đó: - X là tên biến. Ví dụ “nhiệt độ”, “tốc độ”, “độ ẩm”,… 6 - T là tập các từ là các giá trị ngôn ngữ tự nhiên mà x có thể nhận. Ví dụ x là “tốc độ” thì T có thể là {“chậm”, “trung bình”, “nhanh”} - U là miền các giá trị vật lý mà x có thể nhận.
Ví dụ x là “tốc độ” thì U có thể là {0km/h,1km/h, …150km/h} - M là luật ngữ nghĩa, ứng mỗi từ trong T với một tập mờ At trong U Như vậy, biến ngôn ngữ là biến nhận các giá trị ngôn ngữ (linguistic terms) mỗi giá trị ngôn ngữ thực chất là một tập mờ xác định bởi một hàm thuộc và khoảng giá trị số tương ứng và logic mờ cho phép các tập này có thể xếp phủ lên nhau Logic mờ được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo logic vị từ cổ điển. Logic mờ có thể được coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong thế giới thực cho các bài toán phức tạp. Trong logic rõ thì mệnh đề là một câu phát biểu đúng, sai. Trong logic mờ thì mỗi mệnh đề mờ là một câu phát biểu không nhất thiết là đúng hoặc sai.
Mệnh đề mờ được gán cho một giá trị trong khoảng từ 0 đến 1 để chỉ mức độ đúng (độ thuộc) của nó. Các phép toán trên tập mờ a. Phép bù của tập mờ Định nghĩa 1. Phép giao hai tập mờ Định nghĩa 1.
- T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0 x, y 1. - T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x u, y v. - T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0 x,y, z 1. Cho T là một T-Chuẩn.
Phép giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ (ký hiệu (ATB)) trên với hàm thuộc cho bởi biểu thức: (ATB)(x) = T(A(x), B(x)), với mỗi x Ví dụ 1.y theo các đồ thị hình 1.1 sau đây: Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A và B Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = min(x,y) Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = x.1: Giao của hai tập mờ 8 c. Phép hợp hai tập mờ Định nghĩa 1. S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0 x , y 1. S không giảm: S(x,y)= S(u,v), với mọi x u, y v.
S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0 x, y, z1. Cho S là một T - đối chuẩn. Phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ ( kí hiệu ASB)) trên với hàm thuộc cho bởi biểu thức: (ASB)(x) = S(A(x),B(x)), với mỗi x Ví dụ 1.y theo các đồ thị hình 1.2 sau đây: Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A, B Hình b: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = max(x,y) Hình c: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = x + y – x.2: Phép hợp của hai tập mờ 9 d. Luật De Morgan Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là phép phủ định mạnh.
Khi đó bộ ba(T, S,n) là bộ ba De Morgan nếu: n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y)) Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, chúng ta có một số cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan trong bảng 1.1: Các cặp T - chuẩn và T - đối chuẩn STT T(x,y) S(x,y) 1 Min(x,y) Max(x,y) 2 x.y 3 Max(x + y -1, 0) Min(x + y,1) min( x, y )if(x+y)>1 max( x, y)if(x+y)<1 4 min 0 ( x, y) Max1 ( x, y) 0 0 Else Else 5 min( x, y) max (x,y)=1 max( x, y ) min( x, y ) 0 z ( x, y ) Max1( x, y ) 0 0 Else Else 6 x. Phép kéo theo 10 Cho (T, S, n) là một bộ ba De Morgan với n là phép phủ định, phép kéo theo lS(x,y) hay xy được xác định trên khoảng [0,1]2 được định nghĩa bằng biểu thức sau đây: lS(x,y) = S(T(x,y),n(x)) Bảng dưới đây sẽ liệt kê một số phép kéo theo mờ hay được sử dụng nhất.2: Một số phép kéo theo mờ thông dụng Stt Tên Biểu thức xác định 1 Early Zadeh xy = max(1-x,min(x,y)) 2 Lukasiewicz xy = min(1,1- x+y) 3 Mandani xy = min(x,y) 4 Larsen xy = x.y 5 Standard Strict 1 if x y xy = 0 other 6 Godel 1 if x y xy = 0 other 7 Gaines 1 if x y xy = 0 other 8 Kleene – Dienes xy = max(1 –x,y) 9 Kleene – Dienes –Lukasiwicz xy = 1- x + y 10 Yager xy = yx 1. Chuỗi thời gian mờ Theo Lý thuyết tập mờ đã trình bày ở trên, giả sử U là không gian nền xác định một tập hợp các đối tượng cần nghiên cứu. Nếu A là một tập con rõ của U thì ta có thể xác định chính xác một hàm đặc trưng: 0 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑛ằ𝑚 𝑛𝑔𝑜à𝑖 𝐴 μ𝐴 (𝑥) = { 1 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑛ằ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐴 11 Nhưng với một tập mờ B trong không gian nền U thì phần tử x không xác định chính xác được.
Khi đó ta có định nghĩa: Tập A là mờ trên không gian nền U nếu A được xác định bởi hàm: µA : U → [0.1] µA được gọi là hàm thuộc (Membership function). Còn với bất kì một phần tử u nào của A thì hàm µA (u) được gọi là độ thuộc của u vào tập mờ A. Giả sử Y(t) là chuỗi thời gian (t = 0, 1, 2,.là tập nền. Tập mờ A trên không gian nền U được viết như sau: A = {( µA (u1) / u1, µA (u2) / u2,.,n} µA (ui) là độ thuộc của ui vào tập A.
Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ.) là một tập con của R1. Khi đó ta gọi F(t) là chuỗi thời gian mờ xác định trên tập nền Y(t).8: Tại các thời điểm t và t-1 có tồn tại một mối quan hệ mờ giữa F(t) và F(t-1) sao cho F(t) = F(t-1) * R(t-1, t) trong đó * là kí hiệu của một toán tử xác định trên tập mờ. R(t-1, t) là mối quan hệ mờ. Ta cũng có thể kí hiệu mối quan hệ mờ giữa F(t) và F(t-1) bằng kí hiệu F(t- 1) → F(t).
Nếu đặt F(t-1) = Ai và F(t) = Aj thì ta kí hiệu mối quan hệ logic mờ giữa chúng như sau: Ai → Aj.9: Nhóm các mối quan hệ mờ. Các mối quan hệ logic có thể gộp lại thành một nhóm nếu trong kí hiệu trên, cùng một vế trái sẽ có nhiều mối quan hệ tại vế phải.10: Giả sử F(t) suy ra từ F(t-1) và F(t) = F(t-1) * R(t-1, t) cho mọi t. Nếu R(t-1, t) không phụ thuộc vào t thì F(t) được gọi là chuỗi thời gian mờ dừng, còn ngược lại ta có chuỗi thời gian mờ không dừng. 12 Quá trình dự báo cho chuỗi thời gian mờ cũng dựa trên các bước của phương pháp lập luận xấp xỉ mờ.