MỞ ĐẦU VỞI c ơ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG 21 Các thành phần nằm trên đường chéo của tenxơ biến dạng diễn tả sự thay đổi chiều dài đơn vị theo phương X, y, z và được gọi là biến dạng dài. Còn các thành phần nằm ngoài đường chéo, Eyx chẳng hạn, diễn tả phân nửa sự thay đổi góc vuông trong mặt phăng (x,y). Hai thành phần còn lại, £zx và £zy cũng được định nghĩa tương tự. Các thành phần nằm ngoài đường chéo được gọi là biến dạng cắt (hay biến dạng trượt).
b) Quan hệ biến dạng chuyển vị (phương trình Cauchy) Từ (0.46) ta rút 'ra các quan hệ biến dạng chuyển vị trong hệ tọa độ vuông góc dưới dạng tường minh như sau: (0.49) c) Diều kiện tương thích của Saint-V enant Từ (0.48) ta suy ra rằng nếu biết ba thành phần chuyển vị ta có thể xác định sáu thành phần biến dạng một cách duy nhất. Tuy nhiên bài toán ngược chưa chắc đã có lời giải. Do vậy nhất thiết phải có các quan hệ giừa các thành phần biến dạng. Đó là sáu phương trình tương thích của Saint-Venant.
Trong hệ trục tọa độ Đề-các chúng có dạng 0 ^FX d £y _ d Yxy ^ r T 1 Dy2 r)x2 dxdy. dydz ỡxl ()y <)z Các hệ thức còn lại được suy ra từ các hệ thức trên bằng cách hoán vị vòng tròn các chỉ số. d) Biến dạng chính - b ấ t biến của tenxơ biển dạng Tương tự như trường hợp tenxơ ứng suât, các biến dạng chính được xác định từ điều kiện: (en -e) e12 £13 clet £<21 (e2 2 - e ) e23 = 0 (0.52) 22 CHƯƠNG MỞ DẦU trong đó Jle 2 & J 3 e lần lượt là các bất biến thứ nhất, thứ hai và thứ ba của tenxơ biến dạng và được định nghĩa bởi các đại lượng vô hướng.5 ^3c - ^ ^ i j k ^ p q r ^ i p ^ - j q ^ k r —£XE\yEZ YXy YyZYzx ~'^'(EXYyZ "t £y e)T enxơ cầu biến d ạ n g - Tenxơ độ lệch biến d ạ n g Tenxơ biến dạng nhỏ £jj có thể phân thành hai phần: tenxơ cầu biến dạng, £m ôij, và tenxơ độ lệch biến dạng, ejj.54) trong đó em là biến dạng trung bình: £m =|e** =|(e.55) Cuối cùng các thành phần của tenxơ độ lệch biến dạng là: 1 1. £v em 2 Y- En e l2 £ 13 V ” 1 1 eij = e21 e 22 e 23 — Y (0.56) 2 ĩyx 2 £ 31 e 32 e 33 “ £ ill 1 1 £x -e 2 ĩiX 2 ĩzy Các bất biến của tenxơ độ lệch biến dạng cho bởi: <^le = e ii = e l l + e 22+ £33 = 0 J 2e = - ị e tjej, = ~ [ e 2x +eị+ểị ex -Cy+e2 + 3(exexy + ) ĩ _A ^ 3e g eije jk eki 1 g (0.57) •bey e^ yx -bey ey-zb e ^ ^ ze^ ^ z x +e ^ ^ z ^e^ z y -bGe ' ^ x y ^ ey z ^ez x BÀI TẬP CHƯƠNG MỞ ĐẦU Bài tập giải sẵn về ứng suất '7 0 - 2' 0.
Tenxơ ứng suất tại một điểm cho bởi ma trận: ơ ịj = 0 5 0 -2 0 4 Xác định vectơ ứng suất trên mặt phẳng tại p có vectơ đơn vị là n (2/3, -2/3, + 1/3) NHẮC LẠIPHẦN TOÁN HỌC MỞ ĐẨU VỞI c ơ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG 23 Giải Từ (0.26) ta suy ra (viết dưới dạng ma trận) 14 2 3 3 4 Oị '7 0 - 2' 2/3 ' 10. Trạng thái ứng suất tại một điếm cho bởi ơịj = aơ ơ cơ bơ cơ ơ trong đó a, b, c là các hằng số, và ơ là một trị số ứng suất nào đó. Xác định các hằng sô' a, b, c sao cho ứng suất trên mặt bát diện ( 1 1 1 x n =n triệt tiêu. 7 3 '7 3 73 Giải 1 73 ỉ G ao bo a + ò = -1 ao o co do đó a + c = -1 bo co o ò+c=-l i Suy ra: a - b - c - - — 2 0.
Xác định các trị sô" của ứng suất chính và phương chính cho tenxơ (X X ứng suâ"t: ơ ịj = T X T TXT Giải Úng suât chính là nghiệm của phương trình: x-ơ X X x -ơ X = 0 hay ( X - ơ) [-2 Xơ + ơ2'] + 2 X2Ơ = (3 X - ơ) ơ2 = 0 X x -ơ Do đó ƠỊ = 3 X, (Tị ] = 0 , ƠJỊJ = 0 24 CHƯƠNG MỞ ĐẦU Với ứng suất chính ƠI = 3 X chẳng hạn, phương chính là nghiệm của hệ phương trình (X- ơ//7 )/tỊ3) + xra23) + m (3Sì =0 - 2n;3, +« 28’ +»ỉ8’ = 0 xn[3) + (x-ơ)raị3) +T+Ai33) =0 hay n [ 3ì - 2 /ỉí,3' + níj3’ =0 n (3)2 ■+•7^ ,(3)2 2 + /Ì3(3)2 = _ 1 , ( 3 ) >2 m j V + (/#’) * + « '> * = 1 (3)>2 _ Giải ra ta được: n[3>=« 23> V3 0. Tenxơ ứng suất tai một điểm p đốì với hệ trục OX1X2X3 có các trị số. 1 1 ' ơij = 1 0 2 1 2 0 Xác định các trị số ứng suất chính và các phương chính biếu diễn bởi hệ trục 0xj*j4 *3- Giải 3 -ơ 1 1 Úng suất chính ơ là nghiệm của phương trình 1 -ơ 2 = 0 1 2 -ơ hay triển khai, (ơ + 2) (ơ - 4) (ơ - 1) = 0 Các nghiệm của phương trình trên là: Ơ[1I = -2; ƠJJ = 1; ơ] = 4 Giả sử trục xỊ là phương chính của ơ|; và n |I) là các cosin chí phương của trục này.34) ta có: (3 -4 )n "’ +0,2 ' +n3=0 n\h - ế n ^ + 2 n ự ) = 0 và (n" ’)2 +(nự))2+ (ng/ ’)2 = 0 Giải ra ta được n[n= - 2 / Vô ; n(2--1 /Võ ; = - 1/ V Tương tự, trục *2 là phương chính của ƠỊJ và ĩiị là các cosin chỉ phương của trục này. Tenxơ ứng suât tại một điếm cho bởi ơjj = 0 -6 -1 2.
Xác định 0 -1 2 1 ứng suất tiếp cực đại tại điểm đó và chứng minh rằng nó tác dụng trên mặt phẳng phân giác góc hợp bởi mặt phăng có ứng suât cực đại và cực tiểu.32) độc giả có thể kiêm chứng dề dàng rằng các ứng suất chính là ƠI = 10, ơn = 5, ƠI1I = -15. ững suât tiếp cực đại là: ơs = 'ơ/ - ơ / / / 1 = 12,5 Các trục chính liên hệ với hệ trục ứng suât cực đại 0 x’ix’< 2x’3 bằng phép biến đối cho trong bảng dưới đây: tt/x, Hình 0.7 *î 4 ^3 A 1/72 0 1/72 4 0 1 0 A -772 0 1/72 Tenxơ ứng suất trong hệ trục phẩy cho bởi: 1/72 0 1/72 ' 10 0 0 1/72 0 -1 /7 2 [ơ’ijl = 0 1 0 0 5 0 0 1 0 - 1/72 0 1/72 0 0 -15 1/72 0 1/72 26 CHƯƠNG DẦU -2,5 0 -12. Xác định các trị sô' của độ lệch ứng suất chính èúa tenxư ứng suât "10 -6 0 " sau: ơjj = -6 10 0 0 0 1 Giải 00 CD o 1 CO Tenxơ độ lệch của ơjj là Sjj = - 6 0 0 0 -6 và các trị sô' chính của độ lệch ứng suất được suy ra từ phương trình: 3 - s -6 0 -6 3 -s 0 = (-6 - s)(s + 3)(s - 9 ) = 0 0 0 - 6 -s Do vậy Si = 9, SJỊ = - 3 , SJII = - 6. Ta có thể tìm lại kết quả này bằng cách tính ứng suất chính của ơjj và suy ra S(k).
Đối với ơ jj đã cho, độc giả có thế’ tìm thấy ƠI = 16, ƠII = 4 , ƠIII = 1 và do đó Sj = 16 - 7 = 9, SỊỊ = 4 —7 = — 3 , Sm = 1 —7 = —6. Bài tập đề nghị về ứng sụất 0. Các ứng suất chính tại điểm plà ƠI = 12, định vectơ ứng suất và thành phần ứng suất pháp trên mặt phăng bát diện tại p. Phân tích tenxơ ứng suât ơ jj = -10 0 ■ 30 thành các thành 0 30 - 2 7 phần tenxơ cầu và tenxơ độ lệch ứng suất.
Xác định ứng suât lệch chính. Trả lời: Sị = 3, SỊỊ = 8 , S ị ị ị = —39 NHẮC LẠIPHẦN TOÁN HỌC MỞ ĐẤU VỚI c ơ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG 27 0. Chứng minh rằng bất biến thứ hai của tenxơ độ lệch ứng suất Ơ2s liên hệ với ứng suất tiếp bát diện bằng phương trình» ơbd = 0. Trong một môi trường, tenxơ ứng suất cho bởi Xị X2 ( 1 - x|)X j 0 ơij = (l-x f)X j (xị - 3x2 )/3 0 0 0 Xác định (a) lực thể tích để thỏa điều kiện cân bằng (b) các trị số ứng suất chính tại p ( a,o, 2 Vã ), (c) ứng suất tiếp cực đại tại suất lệch chính tại p.
Bài tập giải sẩn về biến dạng 5 -1 -p 0. Tại một điểm tenxơ biến dạng cho bởi £jj = - 1 4 0 và theo -1 0 4 6 0 0 biến dạng chính cho bởi £*j = 0 4 0. Tính các bất biến của biến dạng 0 0 3/ ứng với mỗi tenxơ và chứng tỏ rằng chúng tương đương. Giải ì, = 5 + 4 + 4 = 13, I,* = 6 + 4 + 3 = 13; II, = 19 + 19 + 16 = 54, IIe* = 24 + 18 + 12 = 54; III, = 5(16) - 4 - 4 = 72, III,* = (6X4X3) = 72 Học viên sẽ tự kiểm tra kết quả tính toán.
Các thành phần chuyển vị tuyến tính tại một điểm cho bởi Uj = 4xj - X2 +3x3, u2 X- 1 + 7x 2, «3 = - + 4x2 + Xác biến dạng chính £(n) và biến dạng lệch chính e<n) cho biến dạng này. Giải 00 4 0 0) 0 Ỷ fij = 0 7 2 hay trong hệ trục chính: £jj = 0 4 0 v0 2 4 j V 0 0 3/ 28 CHƯƠNG MỞ ĐẤU \ í-1 0 0 Ta cũng có £kk/3 = 5 và do đó ejj = 0 2 2 và trong trục chính 0 2 -1 3 0 0 eij = 0 - 1 0 • Lưu ý rằng e(m) = £(m) - ekk/3. 0 0 2 Bài tập đề nghị về biến dạng 1 -3 72 0. Tenxơ biến dạng tại một điểm cho bởi £jj = -3 1 -7 2.
Xác 72 -7 2 4 V J định biến dạng dài theo phương V = ¿1/2 - ¿ 2/2 +C3/>/2 và biến dạng cắt giữa V và p = -e i /2 + ¿2/2 + ¿3/72 £ = 6, Y =0 0. Xác định dạng của tenxơ biến dạng trong hệ trục chính £jj cùa tenxơ biên dạng trong bài 0.