CHƯƠNG 1: CO SỞ LÝ LUẬN VA TONG QUAN NGHIÊN CỨU 1. Một số khái niệm cơ bản liên quan tới trái phiếu 1.1 Kỳ vọng về lạm phát Theo lý thuyết của kỳ vọng hợp lý, mọi người hình thành một kỳ vọng về tương lai những gì sẽ xảy ra với lạm phát. Và rồi, họ chắc chắn rằng họ đưa ra hoặc yêu cầu một lãi suất danh nghĩa. Điều này có thê biểu diễn dưới dạng công thức: in =i, + El[inflation] trong đó: in: là lãi suất danh nghĩa được dé xuất ir: là lãi suất thực tế E[inflation] : là kì vọng lạm phát 1.2 Lãi suất phi rủi ro, rủi ro, danh nghĩa Lãi suất phi rủi ro (risk-free interest rate) ở trên thị trường thường được lay theo lãi suất tín phiếu (treasury bill).
Kí hiệu là rr Phần bù rủi ro (risk premium) của một trái phiếu gồm: phần bù rủi ro vỡ nợ, phần bù rủi ro thanh khoản, phần bù rủi ro kỳ hạn. Kí hiệu là rp Lãi suất phi rủi ro danh nghĩa (nominal risk-free interest rate) = rr + E[inflation] Lãi suất rủi ro thực (real risky interest rate) = rfp + Tp Lãi suất rui ro danh nghĩa = rr + rp + E[inflation] 1.3 Tài khoản ngân hang và lãi suất ngắn han (short rate) Tai khoản ngân hàng (tài khoản thị trường tiền tệ) đại diện cho khoản đầu tư phi rủi ro, mà lợi nhuận gộp liên tục ở mức lãi suất phi rủi ro liên tục B(t) là tài khoản ngân hàng vào thời điểm t > 0.1) Trong đó, 7; là một hàm số dương của thời gian.2) Dinh nghia trén cho biét rang đầu tư một don vi tiền tai thời điểm 0 sinh ra tai thời điểm t giá trị trong (1.2), và 7; là lãi suất tức thời mà tài khoản ngân hàng tích lũy. Lãi suất 11182470 - Phạm Đức Kiên Chuyên dé tốt nghiệp chuyên nghành Toán Kinh tế tức thời này thường được gọi là lãi suất giao ngay tức thời, hoặc ngắn gọn là lãi suất ngắn hạn. Trên thực tế, ta có một khai triển bậc nhất trong AtB( + At) = B(t)(1 + r(t)At) (1.3) Có nghĩa là, trong bat kỳ khoảng thời gian nhỏ tùy ý nào trong nửa khoảng [t,t + At) B(t + At) — B(t) = r(t)At B(t) Sau đó, rõ rang là tài khoản ngân hàng tăng lên tai mỗi thời điểm tức thời t với tốc độ rữ) Gia sử đơn giản rang quá trình lãi suat r và B là xác định.
Ta biét răng nêu gửi A đơn vị tiền tệ vào tài khoản ngân hàng tai thoi điểm 0, tại thời điểm £ > 0, ta thu được A x B(t) don vị tiền tệ. Tương tự, tại thời điểm T > tta có AX B(T) đơn vị. Nếu chúng ta muốn có chính xác một đơn vị tiền tệ tại thời điểm T, tức là, nếu chúng ta muốn AB(T) =1 thì ban đầu chúng ta phải đầu tư số tiền A = 1/B(T) được biết vì quá trình là xác định. Do đó, giá trị tại thời điểm t của số tiền A đầu tư vào thời điểm ban đầu là: AB(t) = anB Do đó, chúng ta thay rang giá tri của một don vi tiền tệ có thé thanh toán tại thời điểm T, như ở thời điểm £, là B(t)/B(T) 1.4 Nhân tố chiết khấu (ngẫu nhiên) D(t,T) giữa hai thời điểm t và T là giá trị tại thời điểm £ “tương đương” với một đơn vị tiền tệ phải trả tại thời điểm 7 được cho bởi DŒ,T) = na = exp (— J) reds) (1.4) T Ban chat xác suất của r(t) rat quan trọng vì nó anh hưởng đến ban chất của tài sản và số tài khoản ngân hàng B.
Trong nhiều phương pháp định giá, đặc biệt là khi áp dụng công thức Black&Scholes trong thị trường vốn cô phần hoặc ngoại hồi (FX), r được giả định là một hàm xác định của thời gian, do đó cả tài khoản ngân hàng (1.2) và các hệ số chiết khẩu (1.4) tại bat kỳ thời điểm nào trong tương lai đều là hàm xác định của thời gian. 11182470 - Phạm Đức Kiên Chuyên dé tốt nghiệp chuyên nghành Toán Kinh tế Tuy nhiên, khi xử lý các sản phẩm lãi suất, thay đối đáng quan tâm rõ ràng là của lãi suất. Do đó, cần phải loại bắt đầu mô hình hóa diễn biến của r trong thời gian thông qua một quá trình ngẫu nhiên. Do đó, tài khoản ngân hàng (1.2) và các nhân tố chiết khấu (1.4) cũng sẽ là các quá trình ngẫu nhiên.5 Lãi suất âm Lãi suất danh nghĩa, thường mang dấu dương, nhưng không phải luôn luôn vậy.
Dựa vào lợi tức nắm giữ tiền mặt (ở đây lợi tức là 0%), những người cho vay (người gửi tiết kiệm) sẽ không cho vay vì khi đó chắc chắn sẽ nhận một khoản lỗ, và một ngân hàng đưa ra mức lãi suất âm sẽ rất khó chấp nhận mức lãi suất này, và khi đó họ sẽ nắm giữ tiền mặt. Tuy nhiên, theo những gì đã xảy ra, thực tế, lãi suất ngân hàng trung ương có thê âm; tháng 7 năm 2009 Riksbank ở Thụy Điền đã trở thành ngân hàng trung ương đầu tiên áp dụng lãi suất âm trên dự trữ dư thừa, bằng cách hạ lãi suất tiền gửi của tại ngân hàng tới mức âm 0,25%. Trong cuộc khủng hoảng nợ công châu Âu, các trái phiếu chính phủ của một số nước (Áo, Đức, Phần Lan, Đan Mạch và Hà Lan) được bán với lãi suất âm. Lãi suất âm đã từng được đề xuất, đặc biệt cuối thế kỷ 19 bởi Silvio Gesell.
Một mức lợi suất âm có thể diễn tả (theo Gesell) như một mức "thuế nắm giữ tiền mặt". Để ngăn việc người dân nắm giữ tiền mặt (và khi đó lợi tức thu được là 0%), ông đã đưa ra đề nghị phát hành tiền trong một thời gian giới hạn, rồi sau đó nó phải được đổi dé lay giấy bạc mới. Việc cố gắng nắm giữ tiền khi đó sẽ hết hạn và trở nên vô giá trị. Bởi vậy, lãi suất âm vẫn là một vấn đề gây tranh cãi.
Trái phiếu Zero Coupon và lãi suất giao ngay 1.1 Trái phiếu Zero Coupon Một trái phiếu zero-coupon kỳ hạn 7 là một hợp đồng bảo đảm rằng người nắm giữ nó nhận được một đơn vị tiền tệ tai thời điểm T, không có thanh toán trung gian. Giá tri tại thời điểm t < T được ký hiệu là P(£,T). Khi t = T, P(t,T) = 1 với mọi T. Giả sử chúng ta đứng ở thời điểm t, trái phiếu zero-coupon cho kỳ hạn T là một hợp đồng xác định giá trị hiện tại (PV) của một don vi tiền tệ được thanh toán tại thời điểm T (thời gian đáo hạn của hợp đồng).
10 11182470 - Phạm Đức Kiên Chuyên dé tốt nghiệp chuyên nghành Toán Kinh tế Nếu lãi suất r là xác định, thì D cũng xác định và nhất thiết D(, 7) = P(t,T) cho mỗi cặp giá trị (£,T). Tuy nhiên, nếu lãi suất là ngẫu nhiên, D(t, 7) là đại lượng ngẫu nhiên tại thời điểm £ phụ thuộc vào sự phát triển trong tương lai của lãi suất r giữa £ và T. Thay vào đó, giá trái phiếu không lãi suất (z-bond) P(t,T), là giá trị £ tại thời điểm của một hợp đồng có hoàn vốn tại thời điểm T, phải được biết đến (xác định) tại thời điểm t. Thời gian đáo hạn T — £ là khoảng thời gian (tính bang năm) từ thời điểm hiện tại t đến thời điểm đáo hạn T > £ 1.2 Phân số năm, quy ước đếm ngày Kí hiệu t(t, T) cho chênh lệch thời gian T — t (năm).
Lựa chon cụ thể được thực hiện để đo thời gian giữa hai ngày phản ánh điều được gọi là quy ước đếm ngày. Mỗi khi chúng ta cần biết PV của một khoản thanh toán cho thời gian trong tương lai, thì giá trái phiếu z-bond cho thời điểm tương lai đó là đại lượng cơ bản dé xử lý. Giá trái phiếu z-bond là đại lượng cơ bản trong lý thuyết lãi suất và tất cả các lãi suất có thể được xác định theo kì hạn của giá trái phiếu z-bond. Do đó, chúng thường được sử dụng như các đại lượng cơ bản mà từ đó có thể thu được tất cả các lãi suất và ngược lại, giá trái phiếu z-bond có thé được xác định theo bat kỳ họ lãi suất xác định nào.
Tuy nhiên, lưu ý rằng lãi suất là mức thường được niêm yết trên thị trường tài chính (liên ngân hàng), trong khi trái phiếu không phiếu z-bond là công cụ trên lý thuyết, do đó, không thể quan sát trực tiếp trên thị trường. Trong quá trình chuyền từ giá trái phiếu z-bond sang lãi suất, và ngược lại, ta cần biết hai đặc điểm cơ bản của chính tỷ giá: Lãi suất gộp và quy ước tính theo ngày được nhắc đến ở phía trên.3 Lãi suất kép giao ngay compound liên tục Lãi suất giao ngay gộp liên tục phổ biến tại thời điểm £ đối với kì hạn T được ký hiệu là R(,T) và, là lãi suatcé định tại đó khoản dau tư P(,T) đơn vị tiền tệ tại thời điểm £ tích lũy liên tục dé mang lai mot luong don vi tiền tệ tại thời điểm đáo hạn T. Theo công thức: (1.5) 11 11182470 - Pham Duc Kién Chuyên dé tốt nghiệp chuyên nghành Toán Kinh tế Do đó, lãi suất gộp liên tục là một lãi suất cố định phù hợp với giá trái phiếu z-bond trong đó: eRŒGT*Œ)P(t,T) = 1 (1.6) Từ đó chúng ta có giá trái phiếu cộng gdp liên tục theo lãi suất R P(t, T) = e-R@T)t@T) (1.7) Phan năm liên quan đến lãi kép liên tục thường là r(£,T) = T — t, chênh lệch thời gian tính bang năm. Một giải pháp thay thé cho lãi kép liên tục là ghép lãi kép đơn giản, áp dụng khi tích lũy xảy ra tỷ lệ thuận với thời gian đầu tư.4 Lãi suất đơn giao ngay Lãi suất đơn giao ngay tại thời điểm t cho kỳ hạn T được ký hiệu bằng L(t,T) là lãi suất có định mà một khoản đầu tư phải tạo ra thực hiện dé sinh ra một lượng bằng một đơn vị tiền tệ khi đáo hạn, bắt đầu từ đơn vị tiền tệ P(t, T) tai thời điểm £, khi cộng dồn theo thời gian đầu tư.
Trong công thức: 1-P(t,T) L(t, T) := t(t,T) P(t,T) (1.8) dẫn tới việc giá trái phiếu có thé được biểu thị theo L như sau: P(t, T)(1 + LŒ,T)rŒ,T)) = 1 (1.5 Lãi suất kép giao ngay compound hang năm Lãi suất giao ngay kép hang năm phé biến tại thời điểm t với kỳ hạn 7 được ký hiệu là Y(t,T) và là lãi suất có định mà tại đó khoản đầu tư phải tạo ra 1 đơn vị tiền tệ khi đáo hạn, bắt đầu với P(t, 7) đơn vị tiền tệ tại thời điểm £, khi tái đầu tư số tiền thu được mỗi năm một lân. Theo công thức: 1 Tương tự với (1.