CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYET VE SỬ DỤNG MÔ HÌNH GARCH PHAN TÍCH ĐỘ DAO ĐỘNG CUA LỢI SUÁT CO PHIẾU Độ dao động (Volatility) của lợi suất tài sản tài chính đã trở thành một chủ dé có tam quan trọng đặc biệt đối với những ai quan tâm đến thị trường tài chính nói chung và thị trường chứng khoán nói riêng. Thuật ngữ này được hiểu một cách đơn giản như một thước đo độ rủi ro trên thị trường tài chính. Khi độ dao động cao có nghĩa là thị trường ân chứa nhiều rủi ro. Sự tồn tại của độ dao động không được dự báo sẽ dẫn đến các chứng khoán không được định giá một cách đúng đắn và thị trường tài chính sẽ không thực hiện tốt các chức năng của nó.
Một mô hình về độ dao động là thực sự cần thiết cho việc quản lí một danh mục đầu tư có chứa các quyền chọn, đánh giá đúng về độ dao động là chìa khoá quyết định cho việc xây dựng các chiến lược phòng ngừa rủi ro. Dự báo được độ dao động của lợi suất tài sản tài chính cũng như của thị trường tài chính nói chung và đối mặt với nó sẽ giúp cho việc quản lý một danh mục đầu tư đạt được hiệu quả. Có rất nhiều lí do khác dẫn đến việc chúng ta cần mô hình hoá và dự báo độ dao động. Chăng hạn, ta cần phân tích sự rủi ro của việc nắm giữ một tài sản tài chính.
Hoặc là chúng ta có thể thu được các khoảng tin cậy chính xác hơn hay các ước lượng hiệu quả hơn, nếu như ta mô hình hoá được phương sai của phần sai số, hiện tượng phương sai yêu tố ngẫu nhiên thay đổi được nghiên cứu và nắm bắt một cách đúng đắn. Tuy nhiên, một trong những ý nghĩa quan trọng nhất của việc mô hình hoá và dự báo độ dao động là giúp cho việc định giá các hợp đồng quyền chọn. Lý thuyết định giá quyền chọn hiện đại của Fisher Black và Myron R. Scholes đưa ra năm 1973 ghi nhận vai trò trung tâm của độ dao động trong việc định giá thoả đáng giá trị quyền chọn hay bat ky công cụ phái sinh nào có các đặc tính của quyền chọn.
Mặc dù độ dao động của lợi suất của tài sản cơ sở chỉ là một trong 5 tham số trong công thức định giá quyền chọn cơ bản của Black - Scholes nhưng nó có tầm quan trọng đặc biệt vì nó là đại lượng duy nhất không quan sát trực tiếp được. Giá chứng khoán, giá thực hiện, thời gian đáo hạn của quyền chọn và tỷ lệ lãi suất phi rủi ro đều có thé biết hoặc thu được nhờ quan sát trên thị trường. Ta có thé tính được dé dàng độ dao động trong các thời kỳ gần đây dựa trên số liệu Bùi Xuân Hiếu — Msv: 11181727 — Lớp Toán kinh tế 60 8 Chuyên đề tốt nghiệp — Chuyên ngành Toán kinh tế quá khứ nhưng giá trị được định giá vào ngày hôm nay của quyền chọn phụ thuộc vào độ dao động trong tương lai, trong toàn bộ thời gian còn lại cho đến thời điểm đáo hạn của quyền chọn. Như vậy dự báo về độ dao động có thé được xem là một van đề thiết yếu và sông còn của kinh doanh chứng khoán nói riêng và các hoạt động trên thị trường tài chính nói chung.
D6 dao động của lợi suất 1. Độ dao động Kí hiệu: E(!1,)=E,,) trong đó J, là tập thông tin về chuỗi 1, tại thời điểm t, khi đó độ dao động của lợi suất 7, tai thời điểm t có thé được định nghĩa là Ø, = E_,((, — 4°) =Var_,(r) Pe- PtTl trong đó r; = với P: là giá của chứng khoán hoặc giá tri của chỉ sô tại PịT—+ thời điểm t, =E. Xét một cách tông quát độ dao động mô tả mức độ mà giá một chứng khoán hoặc chỉ số thay đôi trong khoảng thời gian cụ thể. Có một số đặc tính của độ dao động mà ta có thể thường gặp ở chuỗi lợi suất của các tài sản.
Các đặc tính này giữ vai trò quan trọng trong việc xây dựng các mô hình về độ dao động: + D6 dao động có thé cao ở những thời kỳ nhất định và thấp ở các thời kỳ khác. - D6 dao động biến đổi theo thời gian theo kiểu liên tục, nghĩa là thường ít gặp các bước nhảy. - _ Độ dao động không phân kỳ tới vô cùng, nó thường biến đôi trong những miền nhất định, nói cách khác độ dao động thường là quá trình dừng. - D6 dao động thường có phản ứng khác nhau với sự tăng mạnh và giảm mạnh của giá chứng khoán hay chỉ số.
Các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về giá chứng khoán từ những năm 1950 đã đưa ra khái niệm "thị trường hiệu quả" và mô hình "bước ngẫu nhiên". Mô hình bước ngẫu nhiên của giá chứng khoán là mô hình mô tả quá trình giá chứng khoán trong đó sự biến động (dịch chuyên) của giá chứng khoán là không dự báo được - hoàn toàn ngẫu nhiên. Chuỗi số liệu mà người ta quan tâm là chuỗi lợi suất của tai sản. Trong thị trường hiệu quả sự vận động của lợi suất tài sản có thé được mô ta bằng quá trình dưới đây: Bùi Xuân Hiếu — Msv: 11181727 — Lớp Toán kinh tế 60 9 Chuyên đề tốt nghiệp — Chuyên ngành Toán kinh tế Pt~ Pt-a Tạ — () Pe-1 trong đó P, là giá của chứng khoán tại thời điểm t.
Trong mô hình Black - Scholes với thời gian liên tục, giá chứng khoán tại thời điểm t sẽ là quá trình ngẫu nhiên thoả mãn: dS, pT HƠI + ode (2) t trong đó dz là một quá trình chuyển động Brown, p là lợi suất trung bình vàø là độ lệch chuẩn của lợi suất. Giá tri O° chính là độ dao động của quá trình lợi suất chứng khoán 1, Như vậy lợi nhuận gộp trong khoảng thời gian T có trung bình là uT và độ lệch chuẩn ø/T. Do đó, một yêu cầu đặt ra là cần phải ước lượng và dự báo độ dao động G dé sử dụng cho mô hình định giá quyền chọn Black- Scholes. Trong thực tế, các băng chứng thực nghiệm chỉ ra rằng động thái của lợi suất các tài sản được mô tả bằng các mô hình phức tạp hơn so với (2).
Một số điểm chung của các mô hình đó là: - Phân phối của lợi suất và phân bố của lợi nhuận có sự thay đổi theo thời gian. - Có sự tương quan chuỗi của e,. - Độ dao động o thay đồi theo thời gian, được mô tả bang nhiều mô hình như lớp mô hình ARCH, lớp mô hình GARCH và mô hình quá trình ngẫu nhiên phục hồi trung bình (độ dao động có xu hướng trở lại trạng thái trung bình trong dài hạn). Một số phương pháp wéc lượng độ dao động của lợi suất ¢ Sử dụng độ dao động trong qua khứ Phương pháp này tính toán độ dao động của lợi suất dựa vào thông tin về lợi suất trong quá khứ đã quan sát được của chuỗi số liệu.
Tuy nhiên kết quả mà ta tính được từ thông tin trong quá khứ có thé sai khác rất nhiều so với những gì sẽ xảy ra trong tương lai. Do đó mà người ta thường phải tìm kiếm các phương pháp khác nhau nhằm dự báo một cách tốt nhất cho độ dao động trong tương lai. ¢ Sử dụng lớp mô hình ARCH, GARCH Bùi Xuân Hiếu — Msv: 11181727 — Lớp Toán kinh tế 60 10 Chuyên đề tốt nghiệp — Chuyên ngành Toán kinh tế Đặc điểm của các họ mô hình này là chúng mô tả độ dao động của chuỗi số liệu dưới dạng mô hình phương sai có điều kiện thay đổi mặc dù phương sai không điều kiện vẫn là hằng số. Họ mô hình này xuất phát từ sự không đồng đều của phương sai yếu tố ngẫu nhiên và mô tả phương sai theo một quá trình phụ thuộc vào chính nó và yêu tô ngẫu nhiên trong các thời kỳ trước.
Họ mô hình này phù hợp cho việc mô tả độ dao động. Mô hình Garch ước lượng độ dao động của lợi suất 1. Mô hình Arch Engel (1982) đã đưa ra lý thuyết về lớp mô hình ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) sau đó được tổng quát hóa thành mô hình GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) bởi Bollerslev (1986) va Taylor (1986). Các mô hình nay được sử dụng một cach đặc biệt rộng rãi trong phân tích chuỗi thời gian về lợi suất tài chính.
Mô hình ARCH của Engel cung cấp cơ sở nền tảng cho việc mô hình hoá độ dao động Ø ;. Xuất phát từ sự mô tả chuỗi lợi suất như là một quá trình ARMA(p,q) =H, +U, Pp q Ht = Pot » Pitti + >. O;Ut—1 i=1 i=1 trong đó p va q là các số nguyên không âm. Các mô hình ARCH cho rằng u, là không có tương quan chuỗi nhưng phụ thuộc, và sự phụ thuộc của u, có thể được mô tả bằng một hàm bậc 2 của các giá trị trễ của nó.
Mô hình ARCH (m) có dạng như sau: — 2_—_ 2 2 u,=G£, Oo, =0,+0,u,+.+0, 02 „+ trong đó e, là chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối đồng nhất (iid) với trung bình bang 0 và phương sai bằng 1, a, >0, ø,>0 với ¡>0 và 3” a, <1. i=l Các hệ số @, phải thoả mãn một số điều kiện trên dé đảm bảo phương sai không điều kiện của u, là hữu hạn và dương. Mô hình ARCH cho rang những sự biến động lớn có thé dẫn đến những biến động lớn trong tương lai. Đây là một đặc điểm thường gặp trong các chuỗi thời gian tài chính và như vậy mô hình ARCH có thể giúp ta nắm bắt được thuộc tính này.
Bùi Xuân Hiếu — Msv: 11181727 — Lớp Toán kinh tế 60 11 Chuyên đề tốt nghiệp — Chuyên ngành Toán kinh tế Tuy nhiên, khi sử dụng mô hình ARCH người ta nhận thấy nó có một số điểm yêu như sau: - Mô hình giả thiết rằng các cú sốc âm và dương có tác động như nhau đến độ dao động bởi vì nó phụ thuộc vào bình phương của các sốc ở thời kỳ trước. Trong thực hành người ta thấy rằng giá cả của một tài sản tài chính phản ứng khác nhau đôi với cú sôc âm và cú sôc dương. - Các rang buộc đôi với mô hình ARCH là kha chặt. Chang hạn, đôi với mô hình ARCH(1), để momen bậc 4 là hữu hạn thì đj phải nằm trong khoảng [0.
3Ì Các ràng buộc này sẽ trở nên phức tạp hơn với các mô hình ARCH bậc cao. - Mô hình ARCH không cho chúng ta bat kỳ dấu hiệu nao dé biết về nguồn gốc sự biến động của chuỗi thời gian tài chính.