Chương 1 giới thiệu và nhắc lại một số kiến thức, các ký hiệu, các không gian hàm được sử dụng trong luận án. Chương2 (Bài toán thứ nhất) giới thiệu bài toán Khôi phục hàm giải tích bằng các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Kết quả của chương này lấy từ bài báo [60] của chúng tôi. Nội dung của chương gồm hai phần chính: thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và đưa ra kết quả của sự chỉnh hóa.
Cho là một đĩa đơn vị trong mặt phăng phức. Chúng tôi sẽ khôi phục một ham /trong không gian Hardy H’(U) từ các giá tif (z)). VỚI "| (me N; 1<n<m) là một hệ thông điểm trong U. Như đã phân tích, day là một bài toán không chỉnh.
Ham f được xấp xi bởi các đa thức Lagrange bị chặt cụt. Cu thé, ta xét bài toán khôi phục hàm ƒ trong không gian H ?(U) sao cho (2 =") (meN;l<n<m) , (2.1) với Yen TM | là một tap các SỐ phức bị chặn.1) đã được đề cập trong nhiều công trình mà bạn đọc có thé tham khảo trong các tài liệu [20, 22, 39, 63]. Hàm ƒ chưa biết đã được xấp xi bởi các đa thức (đặc biệt là các đa thức Lagrange (xem [20, 63] ) và bởi các hàm hữu tỉ (xem [39, 57, 63] ). Như đã phân tích, tinh én định của các thuật toán xấp xỉ này đã không được đề cập trong các công trình ấy.
Một cách van tắt, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1) dua trên việc xấp xi (trong H ?(U )) ham f bởi các đa thức L„®(v)(z)= » 1, zk (0<OS 1; Va (pM? soos Mg? )) (2. Da thirc L,°( v) được gọi la một da thức Lagrange bi chặt cut. Ta chu y rang nếu @=1 thi Ln’ ( v) chính là đa thức Lagrange. Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới.
Trong [8, 28], đa thức bi chặt cụt Ly? (v) được dùng dé xấp xỉ hàm ƒ. Ở đây, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của Ly? ( v)với Ø nằm trong một khoảng mở. Cu thé chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng có một Ớp trong (0,7) Sao cho L,,°( v)—> ƒ trong H ? (U) với 0<0<6,, và kết quả sẽ không đúng nêu @ < Ø< 1. Chương 3 (Bài toán thứ hai) trình bày vấn đề chỉnh hóa một bài toán nhiệt ngược rời rạc bang các hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt.
Chương này là mở rộng của bài báo [41].1) Bài toán nhiệt ngược là tìm nhiệt độ ban đầu u(x,0) từ nhiệt độ cuối u(x,7). Dé cho đơn giản ta giả sử 7 =7. Đây là bài toán không chỉnh (xem [10]) và đã được nghiên cứu từ lâu. Bài toán đã được xem xét bởi nhiều tác giả với nhiều cách tiếp cận khác nhau.
Bài toán đã được xem xét kỹ lưỡng bởi phương pháp nửa nhóm kết hợp với phương pháp quasi — reversibility và phương pháp quasi — boundary value (xem [6, 3, 14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]). Dùng ham Green ta chuyên phương trình nhiệt tới phương trình sau Do đó ——= | u(2£,0)e S2 ac =u(2x,/). Với dang này ta có thé xem xét bài toán nhiệt ngược như bài toán tích chập Gauss ngược ( hoặc phép biến đổi Weierstrass) để tìm u(2x,0) từ ảnh u(2x,/) của nó. Nhiều công thức biến đổi ngược của phép biến đổi Gauss đã được cho trong [36, 48, 49].
Trong [49] , dùng lý thuyết reproducing kernel các tác giả đã đưa ra các công thức giải tích ngược tối ưu trong trường hợp cụ thé. Trong các tài liệu sau này thì các tác giả đã nghiên cứu trường hợp dit liệu trong L’ không chính xác và đưa ra một số ước lượng sai số cụ thể. Gần đây nhất, trong [36] các tác giả đã sử dụng không gian Paley - Wiener và xấp xi sine dé thiết lập một công thức giải tích ngược cho phép biến đỗi Gauss mà nó rất hiệu quả khi được thực hiện trên máy tính. Với [17,67] thì phép biến đổi ngược Weierstrass cho các hàm tong quát đã được nghiên cứu.
Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc.2) Do đó bài toán tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rac là cần thiết. Bài toán trong trường hợp này là không chỉnh. Vì vậy ta cần chỉnh hoá bài toán. Theo hiểu biết của chúng tôi thì các tài liệu về hướng này là rất hiểm.
chúng tôi dùng đa thức Legendre được dich chuyên (shifted Legendre) dé chỉnh hoá một đạng rời rạc của bải toán nhiệt ngược trên mặt phăng. Tuy nhiên giả thiết rằng > shale ; nhiệt độ u(x,y) có bậc e b2) ( lim a@(x,y)=+0) là qua nghiêm ngặt. Ở x,y—% chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn. Trong phan cudi chương, một số kết qua tinh số cũng được trình bày.
thỏa phương trình > =[ "" r§) £f(p,) &=meụ 0 với p; €(0,%), j = 1,2,3,. Bài toán này đã được trình bảy trong bài báo [34]. Trong chương này chúng tôi sẽ chuyển bài toán tới một bài toán nội suy hàm giải tích trong không gian Hardy của đĩa don vị và đưa ra một kết quả vẻ tính duy nhất. Sau đó dùng đa thức Laguerre và hệ số của đa thức Lagrange dé xap xi hàm #.
Chúng tôi sẽ đưa ra hai kết quả chỉnh hóa trong các trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị nhiễu. Mặc dù phép biến đôi Laplace ngược đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu [4. 7, 8, 12, 52, 53, 65], nhưng các tai liệu tập trung vào bài toán với dit liệu rời rac là hiểm thay. Vì £ /(p) là giải tích nên nếu £ /(p} được biết trên một tập con đếm được của wc {Re p > ø} và tập con đó có một điểm tụ thì £ ƒ(p) được xác định trên toàn bộ tập {Re p > a}.
Một cach tông quát thì một tập hợp dữ liệu rời rạc đếm được là đủ cho việc xây dựng một hàm xấp xi của f. Đó la một bài toán moment. Trong [38], các tác giả nêu một số định lý vẻ tính ôn định của phép biến đổi Laplace ngược. Với việc xây dựng một nghiệm xắp xi của bài toán, ta lưu ý rằng day các hàm số ẹ”? là độc lập tuyến tính và hơn nữa không gian vector sinh ra từ day hàm đó là trù mật trong L”(0,}.
Phương pháp chặt cụt khai triển trong [8] (mục 2.1) đã sử dụng tổ hợp tuyến tính của các ham nảy và chúng tôi đề nghị độc giả tham khảo tài liệu này dé biết thêm chỉ tiết. Với [18, 29], nhóm chúng tôi chuyển bài toán ban dau thành một bài toán moment đi tìm ham f trong L’(0,/) và sau đó dùng đa thức Muntz dé xây dựng một xấp xi cho f. Tuy nhiên trong thực tế, việc tính toán các đa thức Muntz không dé. Do đó chúng tôi đã sử dụng một cách khai trién khác theo các đa thức Laguerre dé chính hoá bai toán.
Điều này làm dé dang cho việc tính toán vì các đa thức Laguerre là các hàm thông dụng mà các phần mém tính toán đều có. Chương 5 (Bài toán thứ tư) trình bảy sự chỉnh hóa một bai toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình Parabolic. Một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình parabolic là tìm một hàm ø thỏa u, + Âu = ƒ từ đữ liệu Cauchy của nó được cho trên một phan biên ngoài 7” c 62, với £2 là một miền của R", A là một toán tử elliptic vả uv là một hàm được định nghĩa trên OQ = 2x(0,T). Bài toán còn được gọi là bài toán Cauchy non-analytic cho các phương trình parabolic.
Một phiên bản khác của bai toán có tên là bai toán parabolic với dữ liệu bên trong, hàm u được khôi phục từ nhiệt độ được cho trên một tập con các điểm trong của 2. Bài toán được mô hình hoá từ việc tim sự phân bố nhiệt độ của vật thé #2 có một phan (hay toàn bộ) biên ngoài ê2 là không thé đo đạc được. Nếu nguồn nhiệt / triệt tiêu thì ta nói bài toán là thudn nhát. Như ta đã biết bai toán là không chỉnh.
Tác gia đã đưa ra điều kiện can và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bai toán. các tác giả đã dùng phương pháp quasi-reversibility đề chỉnh hoá một bài toán thuần nhất. Tuy nhiên họ không đưa ra sự ước lượng sai số và việc chọn tường minh thứ nguyên chỉnh hóa. các tác giả xem xét bài toán thuần nhất trong trường hợp 2 = (0,} với u(x,0)=0.
Họ dùng phép biến đổi Fourier dé đưa ra một công thức tường minh về nghiệm của bài toán, từ đó ta có thé dùng phương pháp mollification (xem [23]) dé chỉnh hóa bài toán. Gan đây (xem [65]), các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hoá Fourier để chỉnh hóa bài toán trong một phần tư mặt phăng. Trong thực hành, dữ liệu được đo chi trên một tập điểm rời rac của thời gian it j }. Do đó bài toán khôi phục nhiệt độ u(x,t) từ dit liệu rời rac là có ý nghĩa.
Trong chương này chúng tôi sẽ xem xét bài toán không thuần nhất về việc tìm nhiệt độ u(x,1) được định nghĩa trên Qx(0,7)=(0, )x(0,2) từ phân bố nhiệt ø{0,r,} đã cho tại x=0 va một tập đếm được các thời điềm +; khác nhau. Dữ liệu ban đầu u(x,0) trong a: , * , as g% xà ^ 2: , ` £ ` a: bai toán của chúng tôi là chưa biết, nên bai toán được xem như là sự ket hợp của bai toán Cauchy theo biến không gian va bai toán nhiệt ngược. Vì nhiệt độ sẽ được xác định nếu tìm được u(x,0) nên chúng tôi tập trung vào bài toán khôi phục dir liệu ban đầu ø(x}= u(x. Bài toán là không chỉnh.
Chúng tôi dùng phương pháp hàm Green đề chuyên hệ thống trên thành bai toán moment dang phương trình tích phân. Sau đó dùng đa thức Laguerre, chúng tôi đưa bài toán moment về bài toán tìm một hàm giải tích được định nghĩa trên đĩa đơn vị của mặt phăng phức. Sau đó phương pháp dùng hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt sẽ được áp dụng. Các kết quả trên của luận án đã được công bố trong [34, 41, 60, 61, 62].
CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI 1. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa Chúng ta xét phương trình Ax=y (1.0) với A là một toán tử liên tục (không nhất thiết là tuyến tinh) từ một không gian Banach X vào một không gian Banach Y va xe X được tìm từ y đã cho. Bài toán chỉnh và không chỉnh Chúng ta nói phương trình (1.