Giáo trình Phương pháp Phần tử Hữu hạn - Lần xuất bản thứ 4 của Daryl L. Logan

• Tác giả: Daryl L. Logan
• Trường học: University of Wisconsin–Platteville
• Chuyên ngành: Kỹ thuật
• Đề tài: Khóa học cơ bản về phương pháp phần tử hữu hạn
• Loại tài liệu: Sách giáo khoa
• Năm xuất bản: 2007
• Địa điểm: Toronto

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) là kỹ thuật số mạnh mẽ dùng để giải các bài toán kỹ thuật phức tạp. Phương pháp này chia cấu trúc thành các phần nhỏ liên kết gọi là phần tử hữu hạn. Mỗi phần tử được gán một hàm dịch chuyển mô tả dạng biến dạng dưới tải trọng. Các phần tử kết nối với nhau qua các nút chung trên biên. Từ các tính chất ứng suất và biến dạng của vật liệu, phương pháp xác định hành vi của mỗi nút dựa trên đặc tính của mọi phần tử trong hệ. Toàn bộ hệ phương trình biểu diễn hành vi mỗi nút tạo thành một loạt phương trình đại số, được biểu diễn tốt nhất dưới dạng ký hiệu ma trận. Cuốn sách của Daryl L. Logan trình bày phương pháp này từ cơ bản đến nâng cao. Người học tiếp cận từng bước: từ phần tử lò xo đơn giản, đến thanh, khung, ứng suất phẳng và bài toán ba chiều. Phương pháp kết hợp nguyên lý công ảo để phát triển các phương trình điều khiển tổng quát. FEM hoạt động hiệu quả cho cả hệ tĩnh và hệ động.

1.1. Lịch sử và vai trò của FEM trong kỹ thuật

Phương pháp phần tử hữu hạn phát triển từ giữa thế kỷ 20, ban đầu phục vụ phân tích kết cấu hàng không. Ngày nay, FEM trở thành công cụ không thể thiếu trong kỹ thuật dân dụng, cơ khí, hàng không và nhiều lĩnh vực khác. Sự phát triển của máy tính đóng vai trò then chốt. Máy tính cho phép xử lý hàng nghìn phương trình đồng thời. Điều này biến FEM từ lý thuyết trừu tượng thành công cụ thực tiễn. Phần mềm FEM hiện đại giúp kỹ sư mô phỏng sản phẩm trước khi chế tạo, tiết kiệm chi phí và thời gian đáng kể.

1.2. Các bước tổng quát của phương pháp FEM

Quy trình FEM tuân theo các bước có hệ thống. Bước đầu tiên là tiền xử lý: chia cấu trúc thành phần tử hữu hạn, gán tính chất vật liệu và điều kiện biên. Tiếp theo là xây dựng ma trận độ cứng cho từng phần tử. Ma trận này liên kết lực và dịch chuyển tại các nút. Sau đó, lắp ráp ma trận tổng từ các ma trận phần tử bằng phương pháp trực tiếp. Bước giải hệ phương trình tuyến tính cho ra dịch chuyển tại mọi nút. Cuối cùng, hậu xử lý tính toán ứng suất, biến dạng và các đại lượng cần thiết.

II. Phân tích ma trận độ cứng và bài toán phần tử

Ma trận độ cứng là khái niệm cốt lõi trong phương pháp dịch chuyển của FEM. Ma trận này biểu diễn mối quan hệ tuyến tính giữa lực tác dụng và dịch chuyển tại các nút của phần tử. Đối với phần tử lò xo đơn giản, ma trận độ cứng 2x2 được suy ra từ định luật Hooke. Lực tại mỗi đầu lò xo tỷ lệ với độ biến dạng. Ký hiệu ma trận giúp biểu diễn mối quan hệ này gọn gàng và dễ tính toán. Quá trình lắp ráp sử dụng nguyên lý chồng chập trực tiếp. Mỗi phần tử con đóng góp vào ma trận tổng của toàn bộ hệ. Phương trình cân bằng tổng có dạng [K]{d} = {F}, trong đó [K] là ma trận độ cứng tổng, {d} là vector dịch chuyển nút, {F} là vector lực nút. Việc hiểu rõ cấu trúc và ý nghĩa vật lý của ma trận độ cứng là nền tảng để giải quyết mọi bài toán FEM phức tạp hơn.

2.1. Suy diễn ma trận độ cứng cho phần tử lò xo

Phần tử lò xo là ví dụ đơn giản nhất để hiểu FEM. Lò xo tuyến tính có hằng số k, chịu lực kéo tại hai đầu. Hàm dịch chuyển được chọn là hàm tuyến tính: u = a1 + a2*x. Hàm này thỏa mãn điều kiện biên tại hai nút. Từ hàm dịch chuyển, suy ra hàm dạng (shape functions) N1 và N2. Các hàm dạng nội suy dịch chuyển bên trong phần tử. Áp dụng nguyên lý cân bằng lực tại mỗi nút, ta thu được ma trận độ cứng 2x2. Ma trận này đối xứng và có tổng các hàng bằng không.

2.2. Phương pháp lắp ráp ma trận tổng

Lắp ráp ma trận tổng là bước quan trọng trong FEM. Phương pháp chồng chập trực tiếp (Direct Stiffness Method) đặt ma trận độ cứng từng phần tử vào vị trí tương ứng trong ma trận tổng. Các phần tử chung nút sẽ cộng dồn hệ số tại vị trí hàng-cột của nút đó. Quá trình này đảm bảo điều kiện tương thích dịch chuyển tại giao diện. Điều kiện biên được áp dụng bằng cách loại bỏ các hàng và cột tương ứng với nút bị ràng buộc. Ma trận tổng thu được là ma trận稀sparse, đối xứng và dương xác định. Đặc tính này giúp tối ưu hóa thuật toán giải hệ phương trình.

III. Giải pháp áp dụng hàm dịch chuyển và nguyên lý công ảo

Việc chọn hàm dịch chuyển phù hợp quyết định độ chính xác của nghiệm FEM. Hàm đa thức là lựa chọn phổ biến nhất. Số hệ số trong hàm đa thức phải bằng tổng số bậc tự do của phần tử. Đối với bài toán một chiều, hàm tuyến tính là đủ cho phần tử đơn giản. Bài toán phức tạp hơn yêu cầu hàm bậc hai hoặc bậc ba. Nguyên lý công ảo cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc để thiết lập phương trình phần tử tổng quát. Nguyên lý này phát biểu rằng hệ ở trạng thái cân bằng khi công ảo của nội lực bằng công ảo của ngoại lực cho mọi trường dịch chuyển ảo. Phương pháp này áp dụng được cho thanh, dầm, khung phẳng, ứng suất phẳng và bài toán ba chiều. Ưu điểm lớn là tính tổng quát: cùng một khuôn khổ lý thuyết giải quyết nhiều loại bài toán khác nhau. Người học cần nắm vững cả khía cạnh toán học lẫn ý nghĩa vật lý.

3.1. Lựa chọn hàm dịch chuyển và hàm dạng

Hàm dịch chuyển mô tả trường dịch chuyển bên trong phần tử. Đa thức là lựa chọn phổ biến bậc nhất. Hàm tuyến tính u = a1 + a2*x phù hợp cho bài toán cơ bản. Hàm bậc hai và bậc ba cho kết quả chính xác hơn với ít phần tử hơn. Hàm dạng (shape functions) N1, N2 là tổ hợp tuyến tính của hàm dịch chuyển. Hàm dạng có tính chất quan trọng: bằng 1 tại nút tương ứng và bằng 0 tại các nút khác. Tổng các hàm dạng tại mọi điểm bằng 1. Tính chất này đảm bảo chuyển vị cứng (rigid body motion) được mô tả đúng.

3.2. Nguyên lý công ảo trong thiết lập phương trình FEM

Nguyên lý công ảo là công cụ mạnh mẽ để suy diễn phương trình phần tử. Nguyên lý phát biểu: tổng công ảo của mọi lực trong hệ cân bằng bằng không cho mọi dịch chuyển ảo khả dĩ. Công ảo của ngoại lực bằng tích phân biên của lực bề mặt nhân dịch chuyển ảo. Công ảo của nội lực bằng tích phân thể tích của ứng suất nhân biến dạng ảo. Thiết lập cân bằng hai vế cho ra phương trình phần tử dạng ma trận. Phương trình tổng quát có thể áp dụng cho thanh, dầm, ứng suất phẳng, đối xứng trục và bài toán thể rắn ba chiều.

IV. Kết luận và ứng dụng thực tiễn của phương pháp FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn đã cách mạng hóa phân tích kỹ thuật. Từ nguyên lý cơ bản của phần tử lò xo, FEM mở rộng sang giải quyết bài toán kết trúc phức tạp nhất. Cuốn sách của Logan trình bày lộ trình học tập logic: từ đơn giản đến phức tạp, từ lý thuyết đến ứng dụng. Các ứng dụng thực tiễn của FEM rất đa dạng. Trong kỹ thuật xây dựng, FEM phân tích ứng suất cầu, tòa nhà và đập nước. Trong cơ khí, phương pháp tối ưu hóa thiết kế máy, phân tích mỏi và nhiệt. Trong hàng không, FEM mô phỏng khí động học và kết cấu thân máy bay. Ưu điểm nổi bật bao gồm: khả năng xử lý hình học phức tạp, vật liệu không đồng nhất và điều kiện tải trọng đa dạng. Phương pháp cũng dễ dàng tích hợp với phần mềm CAD/CAM. Tuy nhiên, người sử dụng cần hiểu rõ giới hạn của mô hình số. Kết quả FEM chỉ chính xác khi lưới phần tử đủ mịn và hàm dịch chuyển phù hợp. Kiểm chứng nghiệm là bước không thể bỏ qua.

4.1. Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp FEM

Ưu điểm hàng đầu của FEM là tính linh hoạt cao. Phương pháp xử lý được hình học phức tạp và vật liệu phi tuyến tính. FEM áp dụng cho nhiều loại bài toán: tĩnh, động, nhiệt, dòng chảy. Phần mềm FEM hiện đại có giao diện thân thiện, tích hợp với CAD. Nhược điểm cần lưu ý: kết quả phụ thuộc vào chất lượng lưới phần tử. Lưới thô cho kết quả kém chính xác. Lưới quá mịn tốn thời gian tính toán. Sai sót trong gán vật liệu hoặc điều kiện biên dẫn đến nghiệm sai hoàn toàn. Người dùng cần có kiến thức nền tảng vững để đánh giá kết quả.

4.2. Hướng phát triển và phần mềm FEM phổ biến

FEM tiếp tục phát triển mạnh mẽ trong thời đại số. Các hướng nghiên cứu mới bao gồm FEM thích ứng, phương pháp phần tử vô hạn và tích hợp trí tuệ nhân tạo. Phần mềm FEM phổ biến gồm ANSYS, Abaqus, NASTRAN và ALGOR. Mỗi phần mềm có thế mạnh riêng cho từng lĩnh vực ứng dụng. Tương lai của FEM hướng tới mô phỏng thời gian thực và tối ưu hóa tự động. Sự kết hợp FEM với học máy mở ra khả năng dự đoán hành vi vật liệu mới. Đây là lĩnh vực hấp dẫn cho nghiên cứu và ứng dụng công nghiệp.

Trích đoạn nội dung tài liệu

net A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition www. Logan University of Wisconsin–Platteville Australia Brazil Canada Mexico Singapore Spain United Kingdom United States www.net A First Course in the Finite Element Method, Fourth Edition by Daryl L. Logan Associate Vice-President Copy Editor: Interior Design: and Editorial Director: Harlan James RPK Editorial Services Evelyn Veitch Proofreader: Cover Design: Publisher: Erin Wagner Andrew Adams Chris Carson Indexer: Compositor: Developmental Editors: RPK Editorial Services International Typesetting Kamilah Reid Burrell/ and Composition Hilda Gowans Production Manager: Renate McCloy Printer: Permissions Coordinator: R. Donnelley Vicki Gould Creative Director: Angela Cluer Cover Images: www.net Production Services: Courtesy of ALGOR, Inc. RPK Editorial Services COPYRIGHT # 2007 by Nelson, ALL RIGHTS RESERVED. No part North America a division of Thomson Canada of this work covered by the copyright Nelson Limited. herein may be reproduced, 1120 Birchmount Road transcribed, or used in any form or Toronto, Ontario M1K 5G4 Printed and bound in the by any means—graphic, electronic, Canada United States or mechanical, including 1 2 3 4 07 06 Asia photocopying, recording, taping, Thomson Learning Web distribution, or information For more information contact 5 Shenton Way #01-01 storage and retrieval systems— UIC Building Nelson, 1120 Birchmount Road, without the written permission of Toronto, Ontario, Canada, Singapore 068808 the publisher. Or you can visit our Australia/New Zealand Internet site at For permission to use material Thomson Learning http://www.com from this text or product, submit 102 Dodds Street a request online at Southbank, Victoria Library of Congress Control Number: www.com Australia 3006 2006904397 Every effort has been made to Europe/Middle East/Africa ISBN: 0-534-55298-6 trace ownership of all copyright Thomson Learning material and to secure permission High Holborn House from copyright holders. In the 50/51 Bedford Row event of any question arising as to London WC1R 4LR the use of any material, we will be United Kingdom pleased to make the necessary Latin America corrections in future printings. Thomson Learning Seneca, 53 Colonia Polanco 11569 Mexico D. Mexico Spain Paraninfo Calle/Magallanes, 25 28015 Madrid, Spain www.net Contents www.net 1 Introduction 1 Prologue 1 1.2 Introduction to Matrix Notation 4 1.3 Role of the Computer 6 1.4 General Steps of the Finite Element Method 7 1.5 Applications of the Finite Element Method 15 1.6 Advantages of the Finite Element Method 19 1.7 Computer Programs for the Finite Element Method 23 References 24 Problems 27 2 Introduction to the Stiffness (Displacement) Method 28 Introduction 28 2.1 Definition of the Sti¤ness Matrix 28 2.2 Derivation of the Sti¤ness Matrix for a Spring Element 29 2.3 Example of a Spring Assemblage 34 2.4 Assembling the Total Sti¤ness Matrix by Superposition (Direct Sti¤ness Method) 37 2.6 Potential Energy Approach to Derive Spring Element Equations 52 iii www.net iv d Contents References 60 Problems 61 3 Development of Truss Equations 65 Introduction 65 3.1 Derivation of the Sti¤ness Matrix for a Bar Element in Local Coordinates 66 3.2 Selecting Approximation Functions for Displacements 72 3.3 Transformation of Vectors in Two Dimensions 75 3.4 Global Sti¤ness Matrix 78 3.5 Computation of Stress for a Bar in the x-y Plane 82 www.6 Solution of a Plane Truss 84 3.7 Transformation Matrix and Sti¤ness Matrix for a Bar in Three-Dimensional Space 92 3.8 Use of Symmetry in Structure 100 3.9 Inclined, or Skewed, Supports 103 3.10 Potential Energy Approach to Derive Bar Element Equations 109 3.11 Comparison of Finite Element Solution to Exact Solution for Bar 120 3.12 Galerkin’s Residual Method and Its Use to Derive the One-Dimensional Bar Element Equations 124 3.13 Other Residual Methods and Their Application to a One-Dimensional Bar Problem 127 References 132 Problems 132 4 Development of Beam Equations 151 Introduction 151 4.1 Beam Sti¤ness 152 4.2 Example of Assemblage of Beam Sti¤ness Matrices 161 4.3 Examples of Beam Analysis Using the Direct Sti¤ness Method 163 4.5 Comparison of the Finite Element Solution to the Exact Solution for a Beam 188 4.6 Beam Element with Nodal Hinge 194 4.7 Potential Energy Approach to Derive Beam Element Equations 199 www.8 Galerkin’s Method for Deriving Beam Element Equations 201 References 203 Problems 204 5 Frame and Grid Equations 214 Introduction 214 5.1 Two-Dimensional Arbitrarily Oriented Beam Element 214 5.2 Rigid Plane Frame Examples 218 5.3 Inclined or Skewed Supports—Frame Element 237 5.5 Beam Element Arbitrarily Oriented in Space 255 www.6 Concept of Substructure Analysis 269 References 275 Problems 275 6 Development of the Plane Stress and Plane Strain Stiffness Equations 304 Introduction 304 6.1 Basic Concepts of Plane Stress and Plane Strain 305 6.2 Derivation of the Constant-Strain Triangular Element Sti¤ness Matrix and Equations 310 6.3 Treatment of Body and Surface Forces 324 6.4 Explicit Expression for the Constant-Strain Triangle Sti¤ness Matrix 329 6.5 Finite Element Solution of a Plane Stress Problem 331 References 342 Problems 343 7 Practical Considerations in Modeling; Interpreting Results; and Examples of Plane Stress/Strain Analysis 350 Introduction 350 7.1 Finite Element Modeling 350 7.2 Equilibrium and Compatibility of Finite Element Results 363 www.net vi d Contents 7.3 Convergence of Solution 367 7.4 Interpretation of Stresses 368 7.6 Flowchart for the Solution of Plane Stress/Strain Problems 374 7.7 Computer Program Assisted Step-by-Step Solution, Other Models, and Results for Plane Stress/Strain Problems 374 References 381 Problems 382 8 Development of the Linear-Strain Triangle Equations 398 Introduction 398 www.1 Derivation of the Linear-Strain Triangular Element Sti¤ness Matrix and Equations 398 8.2 Example LST Sti¤ness Determination 403 8.3 Comparison of Elements 406 References 409 Problems 409 9 Axisymmetric Elements 412 Introduction 412 9.1 Derivation of the Sti¤ness Matrix 412 9.2 Solution of an Axisymmetric Pressure Vessel 422 9.3 Applications of Axisymmetric Elements 428 References 433 Problems 434 10 Isoparametric Formulation 443 Introduction 443 10.1 Isoparametric Formulation of the Bar Element Sti¤ness Matrix 444 10.2 Rectangular Plane Stress Element 449 10.3 Isoparametric Formulation of the Plane Element Sti¤ness Matrix 452 10.4 Gaussian and Newton-Cotes Quadrature (Numerical Integration) 463 10.5 Evaluation of the Sti¤ness Matrix and Stress Matrix by Gaussian Quadrature 469 www.net Contents d vii 10.6 Higher-Order Shape Functions 475 References 484 Problems 484 11 Three-Dimensional Stress Analysis 490 Introduction 490 11.1 Three-Dimensional Stress and Strain 490 11.3 Isoparametric Formulation 501 References 508 Problems 509 www.net 12 Plate Bending Element 514 Introduction 514 12.1 Basic Concepts of Plate Bending 514 12.2 Derivation of a Plate Bending Element Sti¤ness Matrix and Equations 519 12.3 Some Plate Element Numerical Comparisons 523 12.4 Computer Solution for a Plate Bending Problem 524 References 528 Problems 529 13 Heat Transfer and Mass Transport 534 Introduction 534 13.1 Derivation of the Basic Di¤erential Equation 535 13.2 Heat Transfer with Convection 538 13.3 Typical Units; Thermal Conductivities, K; and Heat-Transfer Coe‰cients, h 539 13.4 One-Dimensional Finite Element Formulation Using a Variational Method 540 13.5 Two-Dimensional Finite Element Formulation 555 13.6 Line or Point Sources 564 13.7 Three-Dimensional Heat Transfer Finite Element Formulation 566 13.8 One-Dimensional Heat Transfer with Mass Transport 569 www.net viii d Contents 13.9 Finite Element Formulation of Heat Transfer with Mass Transport by Galerkin’s Method 569 13.10 Flowchart and Examples of a Heat-Transfer Program 574 References 577 Problems 577 14 Fluid Flow 593 Introduction 593 14.1 Derivation of the Basic Di¤erential Equations 594 14.2 One-Dimensional Finite Element Formulation 598 14.3 Two-Dimensional Finite Element Formulation 606 www.4 Flowchart and Example of a Fluid-Flow Program 611 References 612 Problems 613 15 Thermal Stress 617 Introduction 617 15.1 Formulation of the Thermal Stress Problem and Examples 617 Reference 640 Problems 641 16 Structural Dynamics and Time-Dependent Heat Transfer 647 Introduction 647 16.1 Dynamics of a Spring-Mass System 647 16.2 Direct Derivation of the Bar Element Equations 649 16.3 Numerical Integration in Time 653 16.4 Natural Frequencies of a One-Dimensional Bar 665 16.5 Time-Dependent One-Dimensional Bar Analysis 669 16.6 Beam Element Mass Matrices and Natural Frequencies 674 16.7 Truss, Plane Frame, Plane Stress/Strain, Axisymmetric, and Solid Element Mass Matrices 681 16.8 Time-Dependent Heat Transfer 686 www.net Contents d ix 16.9 Computer Program Example Solutions for Structural Dynamics 693 References 702 Problems 702 Appendix A Matrix Algebra 708 Introduction 708 A.1 Definition of a Matrix 708 A.3 Cofactor or Adjoint Method to Determine the Inverse of a Matrix 716 A.4 Inverse of a Matrix by Row Reduction 718 www.net References 720 Problems 720 Appendix B Methods for Solution of Simultaneous Linear Equations 722 Introduction 722 B.1 General Form of the Equations 722 B.2 Uniqueness, Nonuniqueness, and Nonexistence of Solution 723 B.3 Methods for Solving Linear Algebraic Equations 724 B.4 Banded-Symmetric Matrices, Bandwidth, Skyline, and Wavefront Methods 735 References 741 Problems 742 Appendix C Equations from Elasticity Theory 744 Introduction 744 C.1 Di¤erential Equations of Equilibrium 744 C.2 Strain/Displacement and Compatibility Equations 746 C.3 Stress/Strain Relationships 748 Reference 751 www.net x d Contents Appendix D Equivalent Nodal Forces 752 Problems 752 Appendix E Principle of Virtual Work 755 References 758 Appendix F Properties of Structural Steel and Aluminum Shapes 759 www.net Answers to Selected Problems 773 Index 799 www.net Preface www.net The purpose of this fourth edition is again to provide a simple, basic approach to the finite element method that can be understood by both undergraduate and graduate students without the usual prerequisites (such as structural analysis) required by most available texts in this area. The book is written primarily as a basic learning tool for the undergraduate student in civil and mechanical engineering whose main interest is in stress analysis and heat transfer. However, the concepts are presented in su‰ciently simple form so that the book serves as a valuable learning aid for students with other backgrounds, as well as for practicing engineers. The text is geared toward those who want to apply the finite element method to solve practical physical problems. General principles are presented for each topic, followed by traditional applica- tions of these principles, which are in turn followed by computer applications where relevant. This approach is taken to illustrate concepts used for computer analysis of large-scale problems. The book proceeds from basic to advanced topics and can be suitably used in a two-course sequence. Topics include basic treatments of (1) simple springs and bars, leading to two- and three-dimensional truss analysis; (2) beam bending, leading to plane frame and grid analysis and space frame analysis; (3) elementary plane stress/strain elements, leading to more advanced plane stress/strain elements; (4) axisymmetric stress; (5) isoparametric formulation of the finite element method; (6) three-dimensional stress; (7) plate bending; (8) heat transfer and fluid mass transport; (9) basic fluid mechanics; (10) thermal stress; and (11) time-dependent stress and heat transfer. Additional features include how to handle inclined or skewed supports, beam element with nodal hinge, beam element arbitrarily located in space, and the concept of substructure analysis.net xii d Preface The direct approach, the principle of minimum potential energy, and Galerkin’s residual method are introduced at various stages, as required, to develop the equations needed for analysis. Appendices provide material on the following topics: (A) basic matrix algebra used throughout the text, (B) solution methods for simultaneous equations, (C) basic theory of elasticity, (D) equivalent nodal forces, (E) the principle of virtual work, and (F) properties of structural steel and aluminum shapes. More than 90 examples appear throughout the text. These examples are solved ‘‘longhand’’ to illustrate the concepts. More than 450 end-of-chapter problems are provided to reinforce concepts. Answers to many problems are included in the back of the book. Those end-of-chapter problems to be solved using a computer program are marked with a computer symbol. New features of this edition include additional information on modeling, inter- preting results, and comparing finite element solutions with analytical solutions. In addition, general descriptions of and detailed examples to illustrate specific methods www.net of weighted residuals (collocation, least squares, subdomain, and Galerkin’s method) are included. The Timoshenko beam sti¤ness matrix has been added to the text, along with an example comparing the solution of the Timoshenko beam results with the classic Euler-Bernoulli beam sti¤ness matrix results. Also, the h and p convergence methods and shear locking are described.