Chương 1 Giới thiệu chung về hình học 1.Tầm quan trọng của hình học trong toán học 1. Hình học thực tiễn Hình học có nguồn gốc là một khoa học thực tiễn liên quan đến khảo sát, đo đạc, diện tích và khối lượng. Bao gồm các công thức về độ dài,diện tích và thể tích, các phương pháp tính toán các khoảng cách và chiều cao. Sự phát triển của thiên văn học dẫn đến sự ra đời của lượng giác phẳng và lượng giác cầu, cùng với các kỹ thuật tính toán.
Hình học tiên đề Euclid là người đầu tiên đề xuất về hình học tiên đề, đó là thể hiện tính chất cơ bản hoặc hiển nhiên đúng của điểm, đường thẳng, và mặt phẳng, suy luận một cách chặt chẽ để rút ra các định lý khác bằng cách lý luận toán học. Tính năng đặc trưng của phương pháp tiếp cận của hình học Euclid là sự chặt chẽ của nó, và đã được biết đến như hình học tiên đề hoặc hình học tổng hợp. Vào đầu thế kỷ 19, việc khám phá hình học phi Euclid của Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai(1802– 1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) và những người khác dẫn đến một sự quan tâm trở lại trong phương pháp tiếp cận này, và trong thế kỷ 20, David Hilbert (1862– 1943) đã áp dụng lý luận tiên đề nhằm cung cấp một nền tảng hiện đại của hình học. Các số trong hình học Các số đã được giới thiệu trở lại trong hình học dưới hình thức hệ tọa độ của Descartes, người đã nhận ra rằng việc nghiên cứu các hình dạng hình học có thể được hỗ trợ bằng các diễn đạt đại số của chúng.
Hình học giải tích ứng dụng các phương pháp của đại số để giải quyết các bài toán hình học, bằng cách liên hệ các đường cong hình học với các phương trình đại số. Những ý tưởng này đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của vi phân và tích phân trong thế kỷ 17 và đã dẫn đến việc phát hiện ra nhiều đặc tính mới của đường cong phẳng. Hình học đại số hiện đại xem xét những câu hỏi tương tự như trên ở một mức độ trừu tượng cao hơn. Các yếu tố hình học 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Điểm Theo [6] trong hình học, điểm là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa, là cơ sở để xây dựng các khái niệm khác. Điểm được hiểu như là phần của không gian có kích thước mọi chiều bằng không. Một điểm cũng là một hình. Mỗi đường hình là tập hợp các điểm.
Ví dụ: Đường tròn là tập hợp các điểm có cùng bán kính và tâm,. Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì điểm đó chia đường thẳng ra làm 2 phần bằng nhau gọi là tia hay nửa đường thẳng. Hai điểm giới hạn đoạn thẳng là hai mút của hai đoạn thẳng. Nếu hai đoạn thẳng có chung một điểm, thì AM + MB = AB.
Đoạn thẳng Trong hình học, một đoạn thẳng là một phần của đường thẳng mà bị giới hạn bởi hai đầu mút, và là quỹ tích của tất cả những điểm nằm giữa hai đầu mút này trong quan hệ thẳng hàng. Các ví dụ về đoạn thẳng là: các cạnh của một tam giác hay một hình vuông. Tổng quát hơn, nếu cả hai đầu mút là hai đỉnh kề nhau của một đa giác, đoạn thẳng đó là một cạnh (của đa giác đang xét), nếu hai đầu mút không phải là hai đỉnh kề nhau thì đoạn thẳng đó là đường chéo của đa giác. Khi các đầu mút nằm trên cùng một đường như là đường tròn, thì đoạn thẳng đó được gọi là một dây cung (của đường đang xét).
Đoạn thẳng 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Đường Đường thẳng là một khái niệm nguyên thủy không định nghĩa, được sử dụng làm cơ sở để xây dựng các khái niệm toán học khác. Đường thẳng được hiểu như cái gì đó không có chiều rộng (không gian một chiều) có độ cong bằng không tại mọi điểm. Một đường thẳng được hiểu như là một đường dài (vô hạn), mỏng (vô cùng) và thẳng tuyệt đối.
Trong hình học Euclide, có một và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ khác nhau. Đường thẳng này tạo ra đoạn nối ngắn nhất giữa hai điểm đó. Hai hay ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng được gọi là cộng tuyến. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là song song tức không bao giờ gặp nhau, hoặc giao nhau tại một và chỉ một điểm.
Hai mặt phẳng giao nhau nhiều nhất là một đường thẳng. Đường thẳng trong mặt phẳng Đề các có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính và hàm tuyến tính. Đường thẳng trong mặt phẳng Khái niệm trực quan về đường thẳng có thể được hình thức hóa bằng nhiều cách. Nếu hình học được phát triển theo phương pháp tiên đề (như trong tác phẩm Các phần tử của Euclid hay trong tác phẩm sau này Cơ sở của hình học của David Hilbert), thì đường thẳng chẳng được định nghĩa gì cả, mà chỉ được đặc trưng bởi các tính chất của nó trong hệ tiên đề.
"Bất kỳ thứ gì thỏa mãn các tiên đề của đường thẳng thì nó chính là đường thẳng. Trong khi Euclide đã từng định nghĩa đường thẳng là cái gì đấy "có chiều dài mà không có bề dày", thực ra ông chưa bao giờ dùng định nghĩa mơ hồ này ở các chứng minh phía sau trong tác phẩm của mình. Trong không gian Euclide Rn (và cũng như trong mọi không gian vector khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang xét và có dạng 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với a và b là hai vector cho trước trong Rn, đồng thời b phải khác 0. Vector b xác định hướng của đường thẳng, và a là một điểm nằm trên đường thẳng.
Chọn các vector a và b khác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một đường thẳng. Trong không gian hai chiều, chẳng hạn trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là hai đường thẳng song song hoặc phải cắt nhau tại một điểm. Tuy nhiên, trong không gian nhiều hơn hai chiều, hai đường thẳng có thể không song song nhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau. Trong R2, mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính có dạng với a, b và c là các hệ số thực cố định trong đó a và b không đồng thời bằng 0 (xem phần phương trình tuyến tính để có thêm các dạng khác).
Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều là độ dốc, giao điểm của nó với trục x, giao điểm của nó với trục y. Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ về trục số thực như là một nguyên mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực. Thế nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cả số siêu thực và kể cả đường thẳng dài trong lý thuyết topo để làm nguyên mẫu cho đường thẳng. Tính chất "thẳng" của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép đường thẳng cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, mà về sau có thể được tổng quát hóa thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi.
Phương trình đường thẳng có dạng y=ax+b trong đó a là hệ số góc. Hoặc tổng quát hơn là phương trình ax+by+c=0. Trong hình học Ơclít, nếu cho một đường thẳng l và hai điểm A và B, một tia, hay nửa đường thẳng, có gốc A và đi qua Blà tập hợp các điểm C trên đường thẳng l sao cho A và B đều thuộc tập hợp này và A không nằm giữa C và B. Điều này có nghĩa là, trong hình học, một tia phát xuất từ một điểm rồi đi mãi về một hướng.
Tia Trong quang học, nhất là trong quang hình, đường lan truyền của ánh sáng hoặc các bức xạ điện từ khác, trong môi trường đồng nhất, là một đường thẳng và được gọi là tia sáng hay quang tuyến. Tia này vuông góc với mặt sóng trong lý thuyết quang sóng. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Đường cong Trong toán học, đường cong nói tổng quát là một đối tượng tương tự như đường thẳng nhưng không đòi hỏi nó phải thẳng.
Điều này nói lên là đường thẳng là một trường hợp đặc biệt của đường cong, hay đường cong có độ cong bằng 0. Các đường cong hai chiều (đường cong phẳng) hoặc đường cong ba chiều trong không gian Euclid là những đối tượng được quan tâm nghiên cứu nhiều. Đường parabol, ví dụ về đường cong đơn giản. Nhiều bộ môn toán học đã được gán cho các ý nghĩa khác nhau phụ thuộc vào lĩnh vực nghiên cứu, do vậy ý nghĩa chính xác phụ thuộc vào bối cảnh đề cập tới chúng.
Tuy thế, các ý nghĩa này là những ví dụ cụ thể của một định nghĩa tổng quát hơn. Chẳng hạn, đường cong là một không gian tô pô mà ánh xạ đồng phôi cục bộ vào một đường thẳng. Trong ngôn ngữ thường ngày, điều này có nghĩa là đường cong là tập hợp các điểm mà tại lân cận đủ nhỏ của mỗi điểm trên nó sẽ nhìn giống như một đường thẳng khi bỏ qua những biến dạng nhỏ. Ví dụ về đường cong như đường parabol bên cạnh.
Một số đường cong đặc biệt đã được nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Các khái niệm liên hệ gần gũi với đường cong đó là "đồ thị của hàm số" (chẳng hạn "đường cong Phillips") và "đồ thị hai chiều hoặc đồ thị ba chiều không có nút thắt". Mặt phẳng Mặt phẳng là một khái niệm cơ bản trong toán học (được thừa nhận không định nghĩa), là một tập hợp tất cả các điểm trong không gian ba chiều mà tọa độ Descartes x, y, z của chúng thoả mãn một phương trình có dạng: trong đó a, b, c, d là các hằng số sao cho a, b, c không đồng thời bằng 0, còn vectơ vuông góc là ai, bj, ck. Mặt phẳng được hình dung chỉ có chiều dọc và chiều ngang mà không có chiều dày.
Tập các vùng 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Giới thiệu tam giác Tam giác hay hình tam giác là một loại hình cơ bản trong hình học: hình hai chiều phẳng có ba đỉnh là ba điểm không thẳng hàng và ba cạnh là ba đoạn thẳng. Tam giác là đa giác có số cạnh ít nhất. Tam giác luôn luôn là đa giác đơn, lồi.