Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "On the state estimation problem for some classes of dynamical systems and its application" (Vấn đề ước lượng trạng thái trong các hệ thống động lực học và ứng dụng) do nghiên cứu sinh Đào Thị Hải Yến thực hiện tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Đinh Công Hướng. Luận án thuộc chuyên ngành Giải tích toán học, mã số 9 46 01 02, được hoàn thành và bảo vệ năm 2023.

+-------------------------------------------------------------------------------+
| THÔNG TIN CHUNG VỀ LUẬN ÁN                                                    |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Tên đề tài (gốc)     | On the state estimation problem for some classes of    |
|                      | dynamical systems and its application                  |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Tên đề tài (dịch)    | Vấn đề ước lượng trạng thái trong các hệ thống động    |
|                      | lực học và ứng dụng                                    |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Nghiên cứu sinh      | Đào Thị Hải Yến                                        |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Người hướng dẫn      | PGS. Đinh Công Hướng (Assoc. Dinh Cong Huong)          |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Cơ sở đào tạo        | Trường Đại học Quy Nhơn (Quy Nhon University)          |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Cơ quan công tác     | Trường Đại học Phú Yên (Phu Yen University)            |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Chuyên ngành         | Giải tích toán học (Mathematical Analysis)             |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Mã số chuyên ngành   | 9 46 01 02                                             |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Hội đồng phản biện   | GS. Vũ Ngọc Phát, PGS. Nguyễn Đình Phú,                |
|                      | PGS. Phạm Quý Mười                                     |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Năm bảo vệ           | 2023                                                   |
+----------------------+--------------------------------------------------------+

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý như lưới điện, mạng cấp nước, mạng lưới truyền thông và các quá trình sinh học, y tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân. Cùng với sự phát triển của lý thuyết định tính hệ động lực, lý thuyết điều khiển đóng vai trò then chốt trong việc vận hành các hệ thống này. Để đáp ứng yêu cầu thực tiễn, các hệ thống điều khiển ngày càng mở rộng về quy mô và độ phức tạp, trong đó các thiết bị, cơ cấu chấp hành và phân hệ được liên kết với nhau qua các đường truyền tín hiệu. Quá trình thu nhận thông tin trạng thái thường xuyên gặp phải các hiện tượng:

  1. Thông tin bị trễ (delayed): Không nhận được thông tin tức thời mà chỉ nhận được thông tin tại các thời điểm quá khứ.
  2. Thông tin bị thiếu (missing): Không thu thập được toàn bộ trạng thái của hệ thống mà chỉ đo được một phần đầu ra.
  3. Thông tin bị mất đoạn (lost): Tín hiệu cung cấp gián đoạn theo thời gian.
  4. Thông tin bị nhiễu (interference): Tín hiệu nhận được không hoàn toàn chính xác.

Những hạn chế này dẫn đến nguy cơ sai hỏng, nhiễu loạn và làm giảm tính ổn định của hệ thống. Do việc vận hành và thiết kế bộ điều khiển đòi hỏi phải có thông tin trạng thái, bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái (state observer), bộ quan sát hàm (functional observer) và bộ quan sát khoảng (interval observer) cho các hàm của biến trạng thái nhằm tái tạo các trạng thái chưa biết từ tín hiệu vào/ra đo được là một nhiệm vụ trọng tâm. Mặc dù lý thuyết ước lượng trạng thái đã được nghiên cứu từ lâu, một số bài toán vẫn còn tồn tại khoảng trống lý thuyết:

  • Chưa có quy trình thiết kế bộ quan sát trực tiếp hiệu quả cho hệ Glucose-Insulin (GI) phi tuyến chứa thành phần trễ kép $x_1(t)x_2(t-\tau)$.
  • Thiếu phương pháp thiết kế bộ quan sát hàm để phát hiện sự cố cho các hệ liên kết có trễ và có tín hiệu vào chưa biết khi các điều kiện quan sát truyền thống không thỏa mãn.
  • Chưa có giải pháp thiết kế bộ quan sát khoảng hàm phân tán cho các hệ xung mạng quy mô lớn chịu tác động của bất định bị chặn.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu và đề xuất các phương pháp mới để thiết kế bộ quan sát trạng thái và bộ quan sát khoảng cho một số lớp hệ thống động lực, đồng thời tìm kiếm các ứng dụng cụ thể:

  1. Xây dựng quy trình biến đổi trạng thái mới kết hợp phép biến đổi vi phôi trên đầu ra để thiết kế bộ quan sát trạng thái trễ bậc 3 cho mô hình Glucose-Insulin phi tuyến có trễ.
  2. Mở rộng phép biến đổi tọa độ cho hệ liên kết có trễ và tín hiệu vào chưa biết, từ đó thiết kế bộ quan sát hàm phân tán phục vụ bài toán phát hiện sự cố (fault detection).
  3. Thiết kế bộ quan sát khoảng hàm phân tán cho hệ xung mạng quy mô lớn có bất định bị chặn, cung cấp thuật toán giải các ma trận khuếch đại của bộ quan sát.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các lớp hệ thống động lực học bao gồm: hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ mô tả động thái Glucose-Insulin; hệ liên kết tuyến tính có trễ với các yếu tố bất định, nhiễu và tín hiệu lỗi; hệ xung mạng quy mô lớn (large-scale networked impulsive systems) có bất định bị chặn ở trạng thái và đầu ra.
  • Phạm vi nghiên cứu: Luận án tập trung vào không gian trạng thái thực $\mathbb{R}^n$, các hàm trễ thời gian hằng số, các hệ xung với khoảng thời gian lưu (dwell-time) nằm trong đoạn $[T_{\min}, T_{\max}]$, và các bộ quan sát dạng Luenberger, bộ quan sát hàm tuyến tính, bộ quan sát khoảng. Nghiên cứu được thực hiện và công bố trong giai đoạn 2022–2023 tại Trường Đại học Quy Nhơn.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án đã hệ thống hóa lịch sử phát triển của lý thuyết ước lượng trạng thái từ thập niên 1960 đến nay:

+-------------------------------------------------------------------------------+
| TIẾN TRÌNH NGHIÊN CỨU VỀ BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI THEO TÀI LIỆU CỦA LUẬN ÁN     |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Tác giả & Năm      | Đóng góp lý thuyết chính                                 |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Luenberger (1966,  | Đề xuất bộ quan sát toàn phần (full order) và bộ quan sát|
| 1971)              | hàm tuyến tính cho hệ tuyến tính không trễ:              |
|                    | $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t)$.              |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Fairman et al.     | Thiết kế bộ quan sát cấp giảm không trễ cho hệ trễ:      |
| (1986)             | $\dot{x}(t) = Ax(t) + A_d x(t-\tau) + Bu(t)$.            |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Darouach et al.    | Mở rộng bộ quan sát cho hệ có tín hiệu vào chưa biết     |
| (1994, 1999, 2001) | $D\omega(t)$, hệ trễ và bộ quan sát hàm tuyến tính trễ.   |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Hou et al. (2002)  | Sử dụng phép biến đổi toán tử đa thức trễ $T(d)$,        |
|                    | tuy nhiên điều kiện tồn tại biến đổi rất chặt.           |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Deng et al. (2004) | Thiết kế bộ quan sát hàm khi có nhiễu xuất hiện đồng thời|
|                    | ở cả phương trình trạng thái và đầu ra.                  |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Trinh et al.       | Coi thành phần trễ $A_d x(t-\tau)$ như tín hiệu vào chưa |
| (2010)             | biết $W\omega(t)$ để chuyển về hệ không trễ.             |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Nam et al. (2014)  | Mở rộng bộ quan sát hàm cho hệ trễ có thêm thành phần    |
|                    | tín hiệu vào chưa biết $H\omega(t)$.                     |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Huong et al.       | Đề xuất biến đổi tọa độ chuyển trễ trạng thái sang thông |
| (2014, 2015, 2016) | tin vào/ra; thiết kế bộ quan sát phát hiện lỗi khi cặp   |
|                    | $(A, C)$ không quan sát được.                            |
+--------------------+----------------------------------------------------------+
| Các công trình về  | Phát triển bộ quan sát khoảng xác định cận trên/dưới cho |
| Interval Observer  | hệ rời rạc có nhiễu, hệ liên kết cấp phân số có bất định |
| ([9], [29], [46])  | thông qua giải phương trình Sylvester.                   |
+--------------------+----------------------------------------------------------+

Vị trí và khoảng trống luận án giải quyết

  1. Đối với mô hình Glucose-Insulin phi tuyến có trễ: Các phương pháp hiện có trong tài liệu của Trinh et al. hoặc Darouach et al. không thể áp dụng trực tiếp do thành phần phi tuyến trễ $x_1(t)x_2(t-\tau)$, đồng thời cặp ma trận $(A, C)$ của hệ tuyến tính hóa không quan sát được hoặc tồn tại các cực cố định (fixed poles) rất gần 0 làm cho tốc độ hội tụ tiệm cận rất chậm. Luận án giải quyết vấn đề này bằng cách thiết kế bộ quan sát trạng thái trễ (delayed state observer).
  2. Đối với hệ liên kết có trễ và phát hiện sự cố: Phương pháp thiết kế bộ tạo phần dư (residual generator) dựa trên bộ quan sát hàm của Zheng et al. (2016, trích dẫn [78]) bị thất bại khi các điều kiện về hạng ma trận không được thỏa mãn. Luận án xây dựng cấu trúc biến đổi tọa độ tổng quát hơn dựa trên nhiều trạng thái trễ để mở rộng phạm vi áp dụng.
  3. Đối với hệ mạng xung: Hầu hết các bộ quan sát khoảng hiện hữu làm tăng gấp đôi số chiều của hệ thống, gây khó khăn cho hệ quy mô lớn. Luận án đề xuất bộ quan sát khoảng hàm phân tán (distributed functional interval observer) dạng xung để ước lượng trực tiếp hàm trạng thái, làm giảm số chiều tính toán.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án sử dụng các công cụ toán học giải tích và đại số tuyến tính:

  • Lý thuyết ổn định Lyapunov: Ổn định tiệm cận, ổn định đều, ổn định mũ của hệ vi phân $\dot{x}(t) = f(t, x)$. Phương trình ma trận Lyapunov cho hệ tuyến tính dừng $\dot{x}(t) = Ax(t)$: $$A^T X + X A = -Y$$ với $Y > 0$, ma trận $A$ ổn định khi và chỉ khi tồn tại nghiệm đối xứng xác định dương $X > 0$. Tiêu chuẩn đại số Routh-Hurwitz dựa trên các định thức con định hướng $D_k$.
  • Lý thuyết hệ xung (Impulsive Systems): Khái niệm ổn định đầu vào - trạng thái cục bộ (LISS) và ổn định đầu vào - trạng thái (ISS) đối với hệ xung: $$\dot{x}(t) = Ax(t) + f(t), \quad t \in [t_i, t_{i+1})$$ $$x(t_{i+1}) = G x(\bar{t}{i+1}) + g(t{i+1})$$ với dãy thời điểm xung ${t_i}$ có khoảng cách lưu $\theta_i = t_{i+1} - t_i \in [T_{\min}, T_{\max}]$. Bất đẳng thức ma trận: $$G^T e^{A^T \theta} P e^{A\theta} G - P = -Q$$ bảo đảm tính ổn định ISS và giới hạn độ lợi tiệm cận.
  • Ma trận Metzler: Ma trận thực vuông $M$ có các phần tử ngoài đường chéo không âm ($m_{ij} \ge 0, \forall i \neq j$), bảo đảm tính không âm của nghiệm hệ vi phân tuyến tính khi điều kiện ban đầu và đầu vào không âm.
  • Các bổ đề ma trận:
    • Bổ đề 1.1: Bất đẳng thức tích vô hướng: $$2\langle Qy, x \rangle - \langle Sy, y \rangle \le \langle Q S^{-1} Q^T x, x \rangle, \quad \forall S = S^T > 0$$ $$\pm 2x^T y \le x^T N x + y^T N^{-1} y, \quad \forall N = N^T > 0$$
    • Bổ đề bù Schur (Schur Complement): Cho $Y = Y^T > 0, X = X^T$: $$\begin{bmatrix} X & Z^T \ Z & -Y \end{bmatrix} < 0 \iff X + Z^T Y^{-1} Z < 0$$

Phương pháp nghiên cứu

  1. Phương pháp biến đổi tọa độ trạng thái (State Transformation): Xây dựng các ma trận biến đổi đại số thay cho biến đổi toán tử đa thức, chuyển các số hạng trễ trạng thái sang véc-tơ đầu vào và đầu ra.
  2. Phương pháp biến đổi vi phôi (Diffeomorphism): Áp dụng hàm logarit trên biến đầu ra $\bar{y} = -\ln(y(t))$ để tuyến tính hóa thành phần phi tuyến tích giữa trạng thái tức thời và trạng thái trễ.
  3. Phương pháp đại số ma trận: Sử dụng ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose ($A^\dagger$), cơ sở trực giao của không gian hạt nhân (null space) để tìm nghiệm các phương trình đại số ma trận dạng Sylvester và Hurwitz.
  4. Phương pháp mô phỏng số: Thiết kế thuật toán, giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) bằng công cụ Matlab LMI Control Toolbox, vẽ đồ thị đáp ứng thời gian để kiểm chứng tính hội tụ của bộ quan sát.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Preliminaries

Chương 1 trình bày hệ thống kiến thức toán học nền tảng làm cơ sở cho toàn bộ luận án:

  • Tiêu chuẩn ổn định hệ thống động lực: Định nghĩa ổn định tiệm cận, ổn định mũ; tiêu chuẩn đại số Lyapunov; phương pháp Routh-Hurwitz; hàm Lyapunov xác định dương; tính chất nghiệm của hệ xung và điều kiện dwell-time để hệ xung đạt tính chất ISS.
  • Các bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái:
    1. Bộ quan sát toàn phần (Full order state observer): Bậc quan sát bằng bậc hệ thống ($n$), cấu trúc $\dot{\hat{x}}(t) = A\hat{x}(t) + Bu(t) + L(y(t) - C\hat{x}(t))$, phương trình động học sai số $\dot{e}(t) = (A - LC)e(t)$ đòi hỏi cặp $(A, C)$ phải quan sát được hoàn toàn.
    2. Bộ quan sát cấp giảm (Reduced order state observer): Bậc quan sát $n - p$, ước lượng thành phần trạng thái không đo trực tiếp $w_u(t)$ sau khi phân tách hệ thống qua biến đổi $x(t) = P w(t)$.
    3. Bộ quan sát hàm tuyến tính (Linear functional state observer): Bậc quan sát $q$ ($1 \le q \le n - p$), ước lượng trực tiếp hàm $z(t) = Fx(t)$. Luận án trình bày chi tiết Định lý 1.1 về điều kiện cần và đủ để bộ quan sát hàm tồn tại: ma trận $N$ là Hurwitz và thỏa mãn hệ phương trình ma trận Luenberger: $$N L - L A + J C = 0$$ $$D L + E C = F$$ $$H = L B$$ đồng thời giới thiệu kỹ thuật phân rã ma trận thông qua ma trận nghịch đảo Moore-Penrose $C^\dagger$ và cơ sở trực giao $C^\perp$.
    4. Bộ quan sát khoảng (Interval observer): Khái niệm ước lượng hai biên cận dưới $z^-(t)$ và cận trên $z^+(t)$ bao hàm trạng thái thực $z(t)$ dựa trên ma trận Metzler và điều kiện dương của sai số.
+-------------------------------------------------------------------------------+
| BẢNG SO SÁNH CÁC DẠNG BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI TRONG CHƯƠNG 1                   |
+----------------------+-----------+--------------------------------------------+
| Loại bộ quan sát     | Bậc (Order| Mục tiêu ước lượng                         |
+----------------------+-----------+--------------------------------------------+
| Toàn phần (Full)     | $n$       | Toàn bộ véc-tơ trạng thái $x(t) \in \mathbb|
|                      |           | {R}^n$                                     |
+----------------------+-----------+--------------------------------------------+
| Cấp giảm (Reduced)   | $n - p$   | Các thành phần trạng thái không đo được    |
|                      |           | $w_u(t)$                                   |
+----------------------+-----------+--------------------------------------------+
| Hàm tuyến tính       | $q \le n-p| Hàm tuyến tính của trạng thái              |
| (Functional)         |           | $z(t) = F x(t)$                            |
+----------------------+-----------+--------------------------------------------+
| Bộ quan sát khoảng   | $2n$ hoặc | Cận trên $x^+(t)$ và cận dưới $x^-(t)$ chứa|
| (Interval)           | $2q$      | trạng thái thực                            |
+----------------------+-----------+--------------------------------------------+

Chương 2: A new method for designing observers of a nonlinear time-delay Glucose-Insulin system

Chương 2 giải quyết bài toán ước lượng nồng độ insulin ở bệnh nhân đái tháo đường từ dữ liệu đo nồng độ đường huyết gián tiếp qua cảm biến amperometric.

Mô hình toán học Glucose-Insulin (GI) có hai trễ

Mô hình tổng quát được xét có dạng: $$\dot{x}(t) = f(x(t), x(t - \tau)) + B u(t) + g(y(t), y(t - \tau_g)), \quad t > 0$$ với véc-tơ trạng thái $x(t) = [x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t)]^T$:

  • $x_1(t)$: Nồng độ glucose trong máu (đầu ra đo được $y(t) = x_1(t)$).
  • $x_2(t)$: Nồng độ insulin trong máu.
  • $x_3(t)$: Khối lượng insulin trong khoang dưới da tiếp cận được.
  • $x_4(t)$: Khối lượng insulin trong khoang dưới da không tiếp cận được.
  • $u(t)$: Tốc độ truyền insulin dưới da (tín hiệu điều khiển).
  • $\tau$: Thời gian trễ tác dụng của insulin kích thích hấp thu glucose ở mô ngoại vi.
  • $\tau_g$: Thời gian trễ của tuyến tụy giải phóng insulin thứ cấp.

Quy trình biến đổi hai giai đoạn

  1. Chứng minh tính dương và biến đổi vi phôi: Luận án chứng minh nghiệm $x_1(t) > 0, \forall t \ge 0$. Từ đó, áp dụng phép biến đổi vi phôi trên đầu ra: $$\bar{y}(t) = -\ln(y(t)) = -\ln(x_1(t))$$ Chia hai vế phương trình vi phân thứ nhất cho $x_1(t)$, đưa hệ về dạng tương đương: $$\dot{\tilde{x}}(t) = A\tilde{x}(t) + A_d \tilde{x}(t - \tau) + B u(t) + \bar{\mu}(\bar{y}(t), \bar{y}(t - \tau_g))$$ trong đó thành phần phi tuyến $x_1(t)x_2(t-\tau)$ được chuyển thành tuyến tính đối với biến trạng thái mới.

  2. Phép biến đổi trạng thái mới: Xác định tọa độ mới $z(t) = [z_1(t), \dots, z_n(t)]^T$ qua công thức: $$z_i(t) = M_i \tilde{x}(t) + N_i \tilde{x}(t - \tau)$$ với thuật toán đệ quy: $$M_1 = C, \quad N_1 = 0$$ $$M_{i+1} = M_i A + \alpha_i M_1$$ $$N_{i+1} = M_i A_d + N_i A - \beta_i M_1$$ Định lý 2.1 chứng minh rằng nếu thỏa mãn điều kiện $[N_i A_d]_R = 0$ ($i = 2, \dots, n$) và $M_n A_d + N_n A - \sum \gamma_j N_j = 0$, hệ thống được chuyển về dạng chính tắc quan sát được: $$\dot{z}(t) = \bar{A} z(t) + \bar{B} u(t) + \bar{B}_1 u(t - \tau) + \Gamma \bar{y}(t) + \Gamma_1 \bar{y}(t - \tau) + \Gamma_2 \bar{y}(t - 2\tau) + \dots$$ trong đó cặp ma trận $(\bar{A}, \bar{C})$ hoàn toàn quan sát được.

  3. Thuật toán giải tham số (Algorithm 2.1): Thiết lập các phương trình ma trận compact: $$\chi_n X_n = Y_n \iff \text{rank}\begin{bmatrix} X_n \ Y_n \end{bmatrix} = \text{rank}(X_n)$$ $$\zeta_n Z_n = T_n \iff \text{rank}\begin{bmatrix} Z_n \ T_n \end{bmatrix} = \text{rank}(Z_n)$$ Nghiệm được tính toán tường minh qua toán tử ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose: $\chi_n = Y_n X_n^\dagger$ và $\zeta_n = T_n Z_n^\dagger$.

Ứng dụng và kết quả mô phỏng

Áp dụng cho mô hình GI bậc 4 với hàm cần ước lượng bậc 3: $h(t) = [a_1 x_2(t-\tau), \dots]^T$. Bộ quan sát hàm có dạng: $$\dot{\omega}(t) = N \omega(t) + J \bar{y}(t) + H u(t) + \dots$$ $$\hat{h}(t) = \omega(t) + E \bar{y}(t)$$ với các giá trị riêng của ma trận $N$ được gán chọn trước (ví dụ $\lambda_1 = -0.08, \dots$). Kết quả mô phỏng xác nhận biến ước lượng $\hat{x}_2(t-3)$ bám sát giá trị thực của nồng độ insulin trễ $x_2(t-3)$ sau khoảng thời gian quá độ ngắn.

Chương 3: A new observer for interconnected time-delay systems and its applications to fault detection problem

Chương 3 nghiên cứu bài toán thiết kế bộ quan sát hàm phân tán để phát hiện sự cố chấp hành (actuator fault) trong các hệ thống liên kết có trễ và chịu tác động của tín hiệu vào chưa biết/nhiễu.

Mô hình hệ liên kết

Xét hệ thống gồm $K$ phân hệ liên kết: $$\dot{x}i(t) = A{ii} x_i(t) + A_{dii} x_i(t - \tau_{ii}) + \sum_{j=1, j \neq i}^K A_{ij} x_j(t - \tau_{ji}) + B_i u_i(t) + D_i d_i(t) + E_i f_i(t)$$ $$y_i(t) = C_i x_i(t)$$ với $x_i(t) \in \mathbb{R}^{n_i}$, $u_i(t) \in \mathbb{R}^{m_i}$, $y_i(t) \in \mathbb{R}^{p_i}$, $d_i(t) \in \mathbb{R}^{n_{id}}$ là nhiễu chưa biết và $f_i(t) \in \mathbb{R}^{n_{if}}$ là tín hiệu sự cố cần phát hiện.

Phân tích hạn chế của các phương pháp trước (Ví dụ dẫn dắt)

Luận án đưa ra ví dụ gồm 2 phân hệ bậc 3 ($n_1 = 3, p_1 = 1$) có trễ:

Subsystem 1:
A11 = [0.1, 0, 0; 0, -0.2, 0; 0, 0, -0.1], Ad11 = [0, 0.2, 0.1; 0.1, 0, 0; 0, 0, 0]
A12 = [0, 0, 0.1; 0.2, 0, 0; 0, 0, 0], B1 = [0; 0; 1], D1 = [1; 0; 0], E1 = [0; 1; 0]
C1  = [1, 0, 0]

Khi áp dụng thuật toán trong công trình của Zheng et al. (2016, [78]), tại Bước 2, điều kiện hạng ma trận: $$\text{rank}\begin{bmatrix} \bar{\Omega}_1 \ \Phi_1 \end{bmatrix} = 5 \neq 4 = \text{rank}(\bar{\Omega}_1)$$ dẫn đến việc không thể thiết kế được bộ tạo phần dư.

Phép biến đổi trạng thái mới cho hệ liên kết

Để khắc phục hạn chế trên, luận án xây dựng phép biến đổi trạng thái mở rộng: $$\zeta_i(t) = T^i x_i(t) + T^{dii} x_i(t - \tau_{ii}) + \sum_{\ell=1, \ell \neq i}^K T^{\ell i} x_\ell(t - \tau_{\ell i})$$ với các ma trận hàng $T_\sigma^i, T_\sigma^{dii}, T_\sigma^{\ell i}$ ($\sigma = 1, \dots, n_{i\zeta}$) được tính đệ quy từ ma trận đầu ra $C_i$.

Định lý 3.1 thiết lập hệ 11 điều kiện triệt tiêu thành phần trạng thái chưa biết: $$[H_{ki}^1]U = 0, \quad [H{ki}^2]U = 0, \quad [H{ki}^3]U = 0, \quad [H{ki}^4]U = 0, \quad [H{ki}^5]U = 0$$ $$[H{ki}^6]U = 0, \quad [H{ki}^7]U = 0, \quad H{ki}^f = 0, \quad H_{ki}^d = 0, \quad H_{k\ell}^f = 0, \quad H_{k\ell}^d = 0$$ để chuyển phân hệ thứ $i$ về dạng chính tắc quan sát được: $$\dot{\zeta}i(t) = \bar{A}i \zeta_i(t) + \bar{B}i u_i(t) + \bar{B}i^1 u_i(t - \tau{ii}) + \sum \bar{B}{\ell i} u\ell(t - \tau{\ell i}) + \bar{D}_i d_i(t) + \bar{E}i f_i(t) + \sum \Gamma{\dots} y(\dots)$$ $$y_i(t) = \bar{C}_i \zeta_i(t)$$

Bộ tạo phần dư phát hiện sự cố (Fault Detection)

Dựa trên hệ tọa độ mới, bộ quan sát hàm được thiết kế để tạo tín hiệu phần dư cục bộ: $$r_i(t) = T_i \omega_i(t) + F_i y_i(t)$$

  • Khi không có sự cố ($f_i(t) = 0$): $r_i(t) \to 0$ khi $t \to \infty$.
  • Khi xuất hiện sự cố ($f_i(t) \neq 0$): $r_i(t)$ lệch khỏi giá trị 0, kích hoạt báo động sự cố tại đúng phân hệ thứ $i$ mà không bị ảnh hưởng bởi nhiễu $d_i(t)$ và trạng thái của các phân hệ khác.
  • Kết quả mô phỏng (Hình 3.1 và Hình 3.2 trong luận án) cho thấy bộ phát hiện lỗi bậc 3 phản ứng nhanh và chính xác khi có lỗi tại phân hệ 1 và phân hệ 2.

Chương 4: Distributed functional interval observer design for large-scale networks impulsive systems

Chương 4 mở rộng nghiên cứu sang bài toán thiết kế bộ quan sát khoảng hàm phân tán cho lớp hệ xung mạng quy mô lớn có chứa các thành phần bất định bị chặn.

Cấu trúc hệ thống và bộ quan sát khoảng

Xét hệ mạng xung với các bất định ở trạng thái và đầu ra:

  • Tín hiệu bất định thỏa mãn điều kiện bị chặn: $\underline{\Delta}_x \le \Delta_x(t) \le \bar{\Delta}_x$, $\underline{\Delta}_y \le \Delta_y(t) \le \bar{\Delta}_y$.
  • Hàm cần ước lượng của phân hệ thứ $i$ là hàm tuyến tính: $z_i(t) = L_i x_i(t)$.

Bộ quan sát khoảng hàm phân tán được xây dựng bởi hệ thống động lực có xung gồm hai biên:

  1. Biên dưới (Lower bound): $\dot{z}i^-(t) = N_i z_i^-(t) + \dots$ (tại các khoảng liên tục) và bước nhảy xung tại thời điểm $t{k+1}$.
  2. Biên trên (Upper bound): $\dot{z}_i^+(t) = N_i z_i^+(t) + \dots$ (tại các khoảng liên tục) và bước nhảy xung tương ứng.

Điều kiện tồn tại và giải thuật tính toán

  • Điều kiện ma trận Metzler: Ma trận hệ thống $N_i$ của bộ quan sát được thiết kế là ma trận Metzler để đảm bảo sai số $e_i^+(t) = z_i^+(t) - z_i(t) \ge 0$ và $e_i^-(t) = z_i(t) - z_i^-(t) \ge 0$ với mọi $t \ge 0$.
  • Ổn định hệ xung ISS: Sử dụng các điều kiện bất đẳng thức ma trận tuyến tính kết hợp với thời gian lưu $\theta \in [T_{\min}, T_{\max}]$ để bảo đảm tính ổn định và sự thu hẹp khoảng ước lượng.
  • Thuật toán giải ma trận: Đưa ra quy trình phân tích và giải tường minh các ma trận khuếch đại chưa biết của bộ quan sát khoảng.

Kết quả mô phỏng

Luận án trình bày hai ví dụ số học và mô phỏng trên đồ thị (Hình 4.1 đến Hình 4.5):

  • Đồ thị đáp ứng trạng thái $x_{11}(t), x_{12}(t), x_{13}(t), x_{21}(t), x_{22}(t), x_{23}(t)$ thể hiện tính dao động và tác động của xung tại các thời điểm $t_k$.
  • Đồ thị các hàm trạng thái $z_1(t) = x_{13}(t)$, $z_2(t) = x_{23}(t)$ và $z_i(t) = x_{i1}(t)$ được bao bọc chặt chẽ giữa hai đường biên cận dưới $z_i^-(t)$ và cận trên $z_i^+(t)$, khẳng định tính đúng đắn của giải thuật đề xuất.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các kết quả khoa học cụ thể sau:

+-------------------------------------------------------------------------------+
| TỔNG HỢP CÁC ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN                                         |
+---------+-----------------------------------+---------------------------------+
| Chương  | Đóng góp lý thuyết                | Đóng góp thực tiễn / Ứng dụng   |
+---------+-----------------------------------+---------------------------------+
| Chương 2| Xây dựng quy trình biến đổi tọa độ| Ước lượng nồng độ insulin gián  |
|         | kết hợp vi phôi $\bar{y} = -\ln(y)| tiếp từ cảm biến đường huyết    |
|         | chuyển hệ GI phi tuyến có trễ kép | cho bệnh nhân đái tháo đường mà |
|         | về dạng chính tắc quan sát được.  | không cần lấy máu liên tục.     |
+---------+-----------------------------------+---------------------------------+
| Chương 3| Phát triển phép biến đổi tọa độ đa| Thiết kế bộ tạo phần dư phân tán|
|         | trễ cho hệ liên kết; thiết lập hệ | phát hiện và cô lập sự cố cơ cấu|
|         | điều kiện đại số ma trận giải quyết| chấp hành, khắc phục bế tắc khi |
|         | trường hợp cặp (A, C) không quan  | các phương pháp trước không thỏa|
|         | sát được.                         | mãn điều kiện hạng.             |
+---------+-----------------------------------+---------------------------------+
| Chương 4| Thiết lập lý thuyết thiết kế bộ   | Giảm số chiều tính toán cho hệ  |
|         | quan sát khoảng hàm phân tán cho  | mạng quy mô lớn; xác định biên  |
|         | hệ xung mạng có bất định bị chặn, | an toàn của trạng thái trong môi|
|         | bảo đảm ổn định ISS theo dwell-   | trường có nhiễu và xung động.   |
|         | time.                             |                                 |
+---------+-----------------------------------+---------------------------------+

Công bố khoa học liên quan

Các kết quả trong luận án được đúc kết từ 3 công trình khoa học công bố trên các tạp chí và kỷ yếu hội nghị chuyên ngành (các bài báo [52], [53], [83] trong danh mục trích dẫn của tác giả) và đã được báo cáo tại:

  1. Hội nghị toàn quốc lần thứ 20 về "Tối ưu hóa và Tính toán khoa học" (Ba Vì, Hà Nội, 21–23/04/2022).
  2. Hội thảo khoa học tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn.
  3. Hội nghị Toán học miền Trung và Tây Nguyên lần thứ 4 (Trường Đại học Huế, 08/2022).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ vào nội dung được trình bày trong luận án, các điểm hạn chế và hướng phát triển bao gồm:

Hạn chế

  • Trong phương pháp biến đổi tọa độ cho hệ phi tuyến có trễ (Chương 2), một số trường hợp không thu được bộ quan sát trạng thái tức thời (instantaneous state observer) mà chỉ thu được bộ quan sát trạng thái trễ (delayed state observer) hoặc bộ quan sát hỗn hợp giữa tức thời và trễ.
  • Phép biến đổi trạng thái đòi hỏi các điều kiện nghiêm ngặt về hạng ma trận đại số; nếu các điều kiện triệt tiêu thành phần trạng thái chưa biết không thỏa mãn, quy trình biến đổi không thực hiện được.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Nghiên cứu mở rộng phương pháp để xây dựng bộ quan sát trạng thái tức thời cho các lớp hệ phi tuyến có trễ phức tạp hơn.
  • Phát triển các bộ quan sát hàm và bộ quan sát khoảng cho các hệ thống động lực có thời gian trễ biến thiên theo thời gian (time-varying delay), trễ ngẫu nhiên hoặc hệ thống có bậc phân số (fractional-order systems).

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu cho các đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học, giảng viên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng và Lý thuyết điều khiển: Tham khảo phương pháp sử dụng vi phôi kết hợp biến đổi trạng thái đại số để giải quyết bài toán phi tuyến trễ, kỹ thuật giải hệ phương trình ma trận Luenberger/Sylvester và phương pháp ổn định hệ xung theo dwell-time.
  • Kỹ sư và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Kỹ thuật Y sinh (Biomedical Engineering): Tham khảo mô hình toán học và giải thuật ước lượng nồng độ insulin phục vụ thiết kế hệ thống tụy nhân tạo (Artificial Pancreas) tự động điều tiết liều lượng tiêm.
  • Kỹ sư điều khiển tự động và hệ thống mạng: Ứng dụng giải thuật phát hiện lỗi cục bộ và bộ quan sát khoảng phân tán cho các hệ thống công nghiệp quy mô lớn (lưới điện thông minh, hệ thống xử lý nước, mạng lưới truyền thông).

Câu hỏi thường gặp

1. Phép biến đổi vi phôi $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ trong Chương 2 có vai trò gì và điều kiện nào bảo đảm phép biến đổi này khả thi?

Phép biến đổi vi phôi $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ được sử dụng để tuyến tính hóa và cô lập số hạng phi tuyến trễ kép $x_1(t)x_2(t-\tau)$ trong phương trình vi phân thứ nhất của mô hình Glucose-Insulin, chuyển thành phần này thành tích chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào/ra. Điều kiện bắt buộc để hàm logarit tồn tại là nồng độ glucose trong máu phải luôn dương ($y(t) = x_1(t) > 0, \forall t \ge 0$). Luận án đã chứng minh bằng giải tích toán học rằng với điều kiện ban đầu dương $\phi_1(0) > 0$, nghiệm $x_1(t)$ luôn duy trì giá trị dương với mọi thời gian $t \ge 0$.

2. Vì sao phương pháp của Zheng et al. (2016) thất bại trong ví dụ của Chương 3 và luận án đã khắc phục bằng cách nào?

Phương pháp của Zheng et al. (2016, [78]) thất bại do vi phạm điều kiện hạng ma trận tại Bước 2 của thuật toán thiết kế ($\text{rank} = 5 \neq 4 = \text{rank}(\bar{\Omega}1)$), dẫn đến việc không tồn tại ma trận $L_1$ để xây dựng bộ tạo phần dư. Luận án khắc phục bằng cách xây dựng phép biến đổi trạng thái tổng quát hơn, tích hợp đa trễ từ các phân hệ lân cận ($\sum T^{\ell i} x\ell(t - \tau_{\ell i})$) và thiết lập hệ 11 điều kiện triệt tiêu thành phần chưa biết, chuyển phân hệ về dạng chính tắc quan sát được mà không phụ thuộc vào điều kiện hạng cũ.

3. "Delayed state observer" (Bộ quan sát trạng thái trễ) là gì và tại sao lại được đề xuất trong Chương 2?

Delayed state observer là bộ quan sát ước lượng phiên bản trễ của véc-tơ trạng thái (cụ thể là $\hat{x}_2(t-\tau)$) thay vì ước lượng trạng thái tức thời $x_2(t)$. Dạng bộ quan sát này được đề xuất vì trong mô hình Glucose-Insulin, cặp ma trận $(A, C)$ của hệ thống tuyến tính hóa không quan sát được hoàn toàn và tồn tại các điểm cực cố định ổn định rất gần trục ảo (gần 0), khiến cho bộ quan sát tiệm cận tức thời thông thường có tốc độ hội tụ rất chậm hoặc không thể thiết kế được.

4. Bộ quan sát khoảng hàm phân tán trong Chương 4 có ưu điểm gì so với bộ quan sát khoảng trạng thái truyền thống?

Bộ quan sát khoảng truyền thống thường ước lượng toàn bộ véc-tơ trạng thái $x(t) \in \mathbb{R}^n$, do đó cần hai hệ động lực cận trên và cận dưới với tổng số chiều là $2n$ (gấp đôi số chiều hệ gốc). Trong các hệ mạng quy mô lớn, điều này làm tăng đáng kể khối lượng tính toán. Bộ quan sát khoảng hàm phân tán của luận án chỉ ước lượng trực tiếp hàm tuyến tính cần quan tâm $z_i(t) = L_i x_i(t) \in \mathbb{R}^{q_i}$ ($q_i \le n_i$), giúp giảm số chiều của bộ quan sát, đồng thời cấu trúc hai biên dạng xung thích ứng trực tiếp với đặc tính gián đoạn của hệ xung.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Đào Thị Hải Yến đã giải quyết có hệ thống bài toán ước lượng trạng thái cho ba lớp hệ thống động lực phức tạp: hệ phi tuyến có trễ Glucose-Insulin, hệ liên kết có trễ chịu nhiễu/lỗi và hệ xung mạng quy mô lớn có bất định. Thông qua việc đề xuất các phép biến đổi vi phôi và biến đổi tọa độ trạng thái mới, luận án đã thiết lập các điều kiện tồn tại tường minh và giải thuật tính toán ma trận cho các bộ quan sát trạng thái trễ, bộ quan sát hàm phân tán phát hiện sự cố và bộ quan sát khoảng hàm. Các kết quả lý thuyết được chứng minh chặt chẽ bằng công cụ giải tích toán học, đại số tuyến tính và được kiểm chứng hiệu quả thông qua mô phỏng số học.