Ứng Dụng Đại Số Tuyến Tính Trong Kinh Tế: Luận Văn Thạc Sĩ

Khám phá ứng dụng của đại số tuyến tính trong kinh tế: phân tích mô hình, tối ưu hóa và dự báo. Tìm hiểu cách toán học hỗ trợ quyết định kinh doanh.

• Tác giả: Lê Thị Khánh Linh
• Người hướng dẫn: TS. Hoàng Nhật Quy
• Trường học: Đại học Sư Phạm
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Một Số Ứng Dụng Của Đại Số Tuyến Tính Trong Kinh Tế
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Đà Nẵng

Mục lục chi tiết

• DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
• 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Các phép toán trên ma trận
• 1.2. Các phép biến đổi trên ma trận
• 1.3. Tính các định thức cấp 1, 2, 3
• 1.4. Các tính chất cơ bản của định thức
• 2. HẠNG CỦA MA TRẬN
• 2.1. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
• 3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
• 3.1. Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo
• 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
• 4.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
• 4.2. Hệ phương trình Cramer
• 4.3. Giới thiệu phần mềm, cách download và cài đặt phần mềm
• 4.4. Cách sử dụng phần mềm R vào giải một số bài toán
• 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ
• 5.1. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG
• 5.1.1. Thị trường một loại hàng hóa
• 5.1.2. Thị trường hai loại hàng hóa
• 5.1.3. Thị trường nhiều loại hàng hóa
• 5.2. MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ
• 5.2.1. Mô hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng chưa tính thuế thu nhập
• 5.2.2. Mô hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng tính thuế thu nhập
• 5.3. MÔ HÌNH IS-LM
• 5.4. MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT CỦA LEONTIEF
• 5.4.1. Tên gọi và ý nghĩa
• 5.4.2. Công thức xác định tổng cầu đối với sản phẩm của các ngành sản xuất
• 5.5. MÔ HÌNH HỒI QUY
• 5.5.1. Mô hình hồi quy tuyến tính đơn
• 5.5.2. Mô hình hồi quy tuyến tính bội
• 5.5.3. Mô hình hồi quy phi tuyến tính
• 5.6. PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG HÀM HỒI QUY MẪU BA BIẾN
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Các định nghĩa
• 1.2. Các phép toán trên ma trận
• 1.3. Các phép biến đổi trên ma trận
• 1.4. Tính các định thức cấp 1, 2, 3
• 1.5. Các tính chất cơ bản của định thức
• 2. HẠNG CỦA MA TRẬN
• 2.1. Định thức con của ma trận
• 2.2. Hạng của ma trận
• 2.3. Các phương pháp tìm hạng của ma trận
• 3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
• 3.1. Định nghĩa
• 3.2. Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo

Tóm tắt

I. Tổng Quan Ứng Dụng Đại Số Tuyến Tính Trong Kinh Tế

Trong bối cảnh kỹ thuật và công nghệ phát triển mạnh mẽ, Toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là kinh tế. Việc sử dụng toán học để giải thích các hiện tượng kinh tế mang đến những hiểu biết sâu sắc và giải pháp tối ưu. Mô hình chung để giải quyết bài toán thực tế bao gồm: Bài toán thực tế → Mô hình toán → Lời giải → Quyết định. Trong bối cảnh đổi mới và hội nhập, việc sử dụng các công cụ khoa học, trong đó có Toán học, để phân tích quy luật vận động và phát triển của các hiện tượng kinh tế là vô cùng cần thiết. Mô hình toán kinh tế và đo lường kinh tế là hai công cụ quan trọng để phân tích hoạt động kinh tế. Đại số tuyến tính đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán này. Luận văn này nhằm vận dụng kiến thức đại số tuyến tính để mô hình hóa các vấn đề kinh tế, sử dụng phần mềm R để giải quyết mô hình và đưa ra giải pháp tối ưu. Mục tiêu là hệ thống hóa kiến thức cần thiết về đại số tuyến tính cho các nhà kinh tế, giúp họ làm quen với việc sử dụng toán học như một công cụ phân tích. Đề tài tập trung vào các ứng dụng cụ thể của đại số tuyến tính trong kinh tế, mang lại lợi ích thiết thực cho người nghiên cứu.

1.1. Vai Trò Của Mô Hình Toán Học Trong Kinh Tế Hiện Đại

Mô hình toán học giúp đơn giản hóa các vấn đề phức tạp của kinh tế bằng cách sử dụng các phương trình, bất đẳng thức và các công cụ toán học khác. Nhờ đó, các nhà kinh tế có thể phân tích, dự báo và đưa ra các quyết định chính xác hơn. Ví dụ, mô hình Input-Output sử dụng ma trận để phân tích mối quan hệ giữa các ngành kinh tế, giúp nhà hoạch định chính sách hiểu rõ tác động của một ngành đến toàn bộ nền kinh tế. Kinh tế lượng sử dụng các phương pháp thống kê và toán học để ước lượng các mối quan hệ kinh tế, từ đó đưa ra dự báo chính xác hơn về tăng trưởng GDP, lạm phát, và các chỉ số kinh tế khác. Theo tài liệu nghiên cứu của Đại học Đà Nẵng, việc sử dụng đại số tuyến tính để mô hình hóa giúp làm rõ các lợi ích và ứng dụng của nó trong kinh tế, tạo ra một sắc thái riêng, hiệu quả, cần thiết và hữu hiệu cho những ai đang nghiên cứu về toán học áp dụng vào kinh tế.

1.2. Giới Thiệu Đại Số Tuyến Tính Như Một Công Cụ Phân Tích Kinh Tế

Đại số tuyến tính cung cấp các công cụ như ma trận, vector, hệ phương trình tuyến tính, giúp giải quyết các bài toán tối ưu, phân tích dữ liệu và mô hình hóa các mối quan hệ kinh tế. Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để mô hình hóa các thị trường cân bằng, giúp xác định giá cân bằng và lượng cân bằng. Ma trận được sử dụng trong phân tích hồi quy tuyến tính, giúp ước lượng các mối quan hệ giữa các biến kinh tế. Các phép toán trên ma trận cho phép thực hiện các phân tích phức tạp, chẳng hạn như phân tích độ nhạy, để đánh giá tác động của các yếu tố khác nhau đến kết quả kinh tế. Đại số tuyến tính không chỉ cung cấp công cụ mà còn giúp người làm kinh tế hiểu rõ hơn bản chất của các vấn đề, từ đó đưa ra các quyết định sáng suốt hơn.

II. Thách Thức Mô Hình Hóa Kinh Tế Bằng Đại Số Tuyến Tính

Việc mô hình hóa các vấn đề kinh tế bằng đại số tuyến tính không phải lúc nào cũng dễ dàng. Một trong những thách thức lớn nhất là đơn giản hóa các hiện tượng phức tạp để có thể biểu diễn chúng bằng các phương trình tuyến tính. Các mô hình tuyến tính thường bỏ qua các yếu tố phi tuyến, có thể ảnh hưởng đáng kể đến kết quả. Ngoài ra, việc thu thập và xử lý dữ liệu kinh tế cũng là một thách thức lớn. Dữ liệu thường không đầy đủ, không chính xác hoặc không phù hợp với yêu cầu của mô hình. Việc lựa chọn các biến số phù hợp và xây dựng các giả định hợp lý cũng đòi hỏi kiến thức sâu rộng về kinh tế và toán học. Cuối cùng, việc giải các mô hình đại số tuyến tính phức tạp có thể tốn nhiều thời gian và công sức, đặc biệt khi số lượng biến và phương trình lớn. Tuy nhiên, sự phát triển của các phần mềm máy tính đã giúp giải quyết phần nào vấn đề này.

2.1. Hạn Chế Của Mô Hình Tuyến Tính Trong Mô Tả Các Hiện Tượng Kinh Tế

Các mô hình tuyến tính thường giả định rằng các mối quan hệ giữa các biến là tuyến tính và không đổi theo thời gian. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều mối quan hệ kinh tế là phi tuyến và có thể thay đổi do các yếu tố bên ngoài như chính sách, công nghệ và tâm lý người tiêu dùng. Việc bỏ qua các yếu tố này có thể dẫn đến sai lệch trong dự báo và phân tích. Ví dụ, hàm cung và hàm cầu thường được mô hình hóa bằng các phương trình tuyến tính, nhưng trong thực tế, chúng có thể có dạng phức tạp hơn. Việc sử dụng mô hình tuyến tính có thể không phản ánh chính xác tác động của việc thay đổi giá đến lượng cung và lượng cầu. Bên cạnh đó, các mô hình tuyến tính thường bỏ qua các yếu tố trễ, tức là tác động của một biến số trong quá khứ đến các biến số khác ở hiện tại. Trong khi đó, nhiều hiện tượng kinh tế có tính trễ, chẳng hạn như tác động của chính sách tiền tệ đến lạm phát.

2.2. Khó Khăn Trong Thu Thập và Xử Lý Dữ Liệu Kinh Tế Để Phân Tích

Dữ liệu kinh tế thường được thu thập từ nhiều nguồn khác nhau, với các định nghĩa, phương pháp thu thập và độ tin cậy khác nhau. Việc tổng hợp và chuẩn hóa dữ liệu đòi hỏi kiến thức chuyên môn và sự cẩn trọng. Ngoài ra, dữ liệu kinh tế thường có tính thời gian, tức là các giá trị được thu thập theo thời gian. Việc xử lý dữ liệu thời gian đòi hỏi các phương pháp đặc biệt, chẳng hạn như phân tích chuỗi thời gian, để loại bỏ các yếu tố mùa vụ, xu hướng và nhiễu. Việc thiếu dữ liệu hoặc dữ liệu không chính xác có thể ảnh hưởng nghiêm trọng đến độ tin cậy của mô hình. Vì vậy, việc thu thập và xử lý dữ liệu là một bước quan trọng trong quá trình mô hình hóa kinh tế bằng đại số tuyến tính.

III. Phương Pháp Sử Dụng Ma Trận Giải Bài Toán Kinh Tế 50 60

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đại số tuyến tính trong kinh tế là sử dụng ma trận để giải các bài toán. Ma trận cho phép biểu diễn các hệ phương trình tuyến tính một cách ngắn gọn và hiệu quả. Các phép toán trên ma trận, như cộng, trừ, nhân và nghịch đảo, cho phép giải các hệ phương trình này một cách dễ dàng. Ví dụ, trong mô hình Input-Output, ma trận được sử dụng để biểu diễn mối quan hệ giữa các ngành kinh tế. Việc giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng cho phép xác định sản lượng cần thiết của mỗi ngành để đáp ứng nhu cầu cuối cùng. Tương tự, trong phân tích hồi quy tuyến tính, ma trận được sử dụng để ước lượng các tham số của mô hình. Việc giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng cho phép tìm ra các giá trị ước lượng tốt nhất cho các tham số này. Như ví dụ ở chương 1 trong tài liệu gốc, ma trận và định thức có vai trò quan trọng trong việc mô tả và giải quyết hệ phương trình kinh tế, giúp xác định các điểm cân bằng và lượng cân bằng trên thị trường.

3.1. Biểu Diễn Mô Hình Kinh Tế Bằng Ma Trận và Vector

Ma trận và vector là các công cụ cơ bản của đại số tuyến tính. Ma trận là một bảng số được sắp xếp theo hàng và cột, trong khi vector là một trường hợp đặc biệt của ma trận chỉ có một hàng hoặc một cột. Trong kinh tế, ma trận được sử dụng để biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến số, chẳng hạn như mối quan hệ giữa các ngành kinh tế trong mô hình Input-Output hoặc mối quan hệ giữa các biến độc lập và biến phụ thuộc trong phân tích hồi quy tuyến tính. Vector được sử dụng để biểu diễn các giá trị của các biến số, chẳng hạn như giá cả, lượng cung, lượng cầu, thu nhập, và chi tiêu. Việc sử dụng ma trận và vector giúp đơn giản hóa các mô hình kinh tế phức tạp và cho phép sử dụng các công cụ của đại số tuyến tính để phân tích chúng.

3.2. Giải Hệ Phương Trình Tuyến Tính Để Tìm Điểm Cân Bằng

Hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính có chung các biến số. Trong kinh tế, hệ phương trình tuyến tính thường được sử dụng để mô hình hóa các thị trường cân bằng, trong đó lượng cung bằng lượng cầu. Việc giải hệ phương trình tuyến tính cho phép xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của thị trường. Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính, chẳng hạn như phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Jordan, và phương pháp Cramer. Phương pháp Gauss và Gauss-Jordan là các phương pháp khử dần, trong đó các phương trình được biến đổi để loại bỏ các biến số, cho đến khi thu được một hệ phương trình đơn giản hơn có thể giải được trực tiếp. Phương pháp Cramer sử dụng định thức để giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp này chỉ áp dụng cho các hệ phương trình Cramer, tức là các hệ có số phương trình bằng số biến số và định thức của ma trận hệ số khác không.

IV. Ứng Dụng Mô Hình Cân Bằng Thị Trường Với Đại Số Tuyến Tính

Đại số tuyến tính được ứng dụng rộng rãi trong việc xây dựng và giải các mô hình cân bằng thị trường. Trong mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa, hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để xác định giá cân bằng và lượng cân bằng. Trong mô hình cân bằng thị trường hai loại hàng hóa, hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của cả hai hàng hóa, đồng thời xem xét tác động qua lại giữa chúng. Trong mô hình cân bằng thị trường nhiều loại hàng hóa, hệ phương trình tuyến tính được sử dụng để xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của tất cả các hàng hóa, đồng thời xem xét tác động qua lại giữa chúng. Việc giải các hệ phương trình tuyến tính này cho phép các nhà kinh tế hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động của thị trường và đưa ra các dự báo chính xác hơn về giá cả và lượng giao dịch.

4.1. Xác Định Giá Và Lượng Cân Bằng Trong Thị Trường Hàng Hóa

Trong thị trường một loại hàng hóa, giá cân bằng và lượng cân bằng là các giá trị mà tại đó lượng cung bằng lượng cầu. Để xác định giá cân bằng và lượng cân bằng, ta cần giải hệ phương trình tuyến tính gồm hàm cung và hàm cầu. Hàm cung biểu diễn mối quan hệ giữa giá cả và lượng cung, trong khi hàm cầu biểu diễn mối quan hệ giữa giá cả và lượng cầu. Việc giải hệ phương trình tuyến tính này cho phép xác định giá cân bằng, tức là giá mà tại đó lượng cung bằng lượng cầu, và lượng cân bằng, tức là lượng hàng hóa được giao dịch tại giá cân bằng.

4.2. Phân Tích Tác Động Qua Lại Giữa Các Thị Trường Liên Quan

Trong thị trường nhiều loại hàng hóa, giá cả và lượng giao dịch của một hàng hóa có thể ảnh hưởng đến giá cả và lượng giao dịch của các hàng hóa khác. Ví dụ, giá dầu có thể ảnh hưởng đến giá xăng, giá vé máy bay, và giá hàng hóa vận chuyển. Để phân tích tác động qua lại giữa các thị trường liên quan, ta cần xây dựng một mô hình cân bằng thị trường nhiều loại hàng hóa. Mô hình này bao gồm hệ phương trình tuyến tính biểu diễn hàm cung và hàm cầu của tất cả các hàng hóa liên quan. Việc giải hệ phương trình tuyến tính này cho phép xác định giá cân bằng và lượng cân bằng của tất cả các hàng hóa, đồng thời xem xét tác động qua lại giữa chúng. Như chương 2 tài liệu gốc đã đề cập, đại số tuyến tính cung cấp các công cụ để phân tích các mô hình cân bằng thị trường, từ thị trường một loại hàng hóa đến thị trường nhiều loại hàng hóa, giúp xác định giá và lượng cân bằng một cách chính xác.

V. Hướng Dẫn Sử Dụng Phần Mềm R Giải Bài Toán Kinh Tế

Phần mềm R là một công cụ mạnh mẽ để giải các bài toán kinh tế bằng đại số tuyến tính. R cung cấp nhiều hàm và gói để thực hiện các phép toán trên ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, và phân tích dữ liệu. Để sử dụng R, bạn cần cài đặt phần mềm và làm quen với cú pháp của ngôn ngữ R. Sau khi cài đặt, bạn có thể sử dụng các hàm như matrix() để tạo ma trận, solve() để giải hệ phương trình tuyến tính, và lm() để thực hiện phân tích hồi quy tuyến tính. R cũng cung cấp nhiều gói bổ sung, chẳng hạn như matlib, để mở rộng khả năng của phần mềm. Việc sử dụng R giúp tiết kiệm thời gian và công sức trong việc giải các bài toán kinh tế phức tạp. Bên cạnh đó, R còn cung cấp khả năng trực quan hóa dữ liệu, giúp bạn hiểu rõ hơn về các kết quả phân tích.

5.1. Cài Đặt Và Sử Dụng Các Thư Viện Đại Số Tuyến Tính Trong R

Để sử dụng đại số tuyến tính trong R, bạn cần cài đặt và sử dụng các thư viện phù hợp. Một trong những thư viện quan trọng nhất là matlib, cung cấp nhiều hàm để thực hiện các phép toán trên ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính. Để cài đặt thư viện matlib, bạn có thể sử dụng lệnh install.packages("matlib"). Sau khi cài đặt, bạn cần tải thư viện vào bộ nhớ bằng lệnh library(matlib). Sau khi tải thư viện, bạn có thể sử dụng các hàm của thư viện, chẳng hạn như Solve() để giải hệ phương trình tuyến tính.

5.2. Các Bước Giải Bài Toán Cân Bằng Thị Trường Với R

Để giải bài toán cân bằng thị trường bằng R, bạn có thể thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm cung và hàm cầu của các hàng hóa liên quan. Bước 2: Biểu diễn hệ phương trình tuyến tính tương ứng bằng ma trận. Bước 3: Sử dụng hàm Solve() để giải hệ phương trình tuyến tính. Bước 4: Phân tích kết quả và đưa ra kết luận. Ví dụ, để giải bài toán cân bằng thị trường hai loại hàng hóa, bạn có thể sử dụng các lệnh sau: A <- matrix(c(7, -1, -1, 5), nrow = 2) để tạo ma trận hệ số, B <- matrix(c(20, 14), nrow = 2) để tạo ma trận số hạng tự do, và Solve(A, B, verbose = FALSE, fractions = TRUE) để giải hệ phương trình tuyến tính.

VI. Kết Luận Tương Lai Ứng Dụng Đại Số Tuyến Tính Kinh Tế

Đại số tuyến tính là một công cụ mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế. Việc ứng dụng đại số tuyến tính trong kinh tế không ngừng phát triển, với sự ra đời của các mô hình và phương pháp mới. Trong tương lai, đại số tuyến tính sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong việc giúp các nhà kinh tế hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động của nền kinh tế và đưa ra các quyết định sáng suốt hơn. Cần khuyến khích các nhà nghiên cứu và sinh viên kinh tế học tập và ứng dụng đại số tuyến tính để nâng cao năng lực phân tích và giải quyết vấn đề.

6.1. Tầm Quan Trọng Của Đại Số Tuyến Tính Trong Nghiên Cứu Kinh Tế

Đại số tuyến tính cung cấp các công cụ cần thiết để xây dựng và giải các mô hình kinh tế, phân tích dữ liệu, và đưa ra dự báo. Các mô hình kinh tế sử dụng đại số tuyến tính giúp các nhà kinh tế hiểu rõ hơn về các mối quan hệ giữa các biến số và tác động của các chính sách kinh tế. Việc phân tích dữ liệu bằng đại số tuyến tính giúp các nhà kinh tế tìm ra các xu hướng và quy luật trong dữ liệu, từ đó đưa ra các dự báo chính xác hơn. Đại số tuyến tính là một nền tảng quan trọng cho nhiều lĩnh vực kinh tế, chẳng hạn như kinh tế lượng, kinh tế vĩ mô, và kinh tế tài chính.

6.2. Đề Xuất Phát Triển Các Nghiên Cứu Ứng Dụng Đại Số Tuyến Tính

Cần khuyến khích các nghiên cứu ứng dụng đại số tuyến tính trong các lĩnh vực kinh tế khác nhau, chẳng hạn như phân tích chuỗi cung ứng, quản lý rủi ro, và marketing. Các nghiên cứu này có thể giúp các doanh nghiệp và tổ chức hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động của thị trường và đưa ra các quyết định kinh doanh hiệu quả hơn. Cần phát triển các công cụ và phần mềm mới để hỗ trợ việc ứng dụng đại số tuyến tính trong kinh tế. Cần tăng cường đào tạo về đại số tuyến tính cho các nhà nghiên cứu và sinh viên kinh tế để nâng cao năng lực phân tích và giải quyết vấn đề.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu * Một hoán vị của tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử của tập hợp đó theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử là n! = n. * Xét tập hợp gồm n số tự nhiên đầu {1, 2, 3,. Mỗi hoán vị của tập hợp n số tự nhiên đầu này được biểu diễn dưới dạng: α1 , α2 ,.

12 với αi , i = 1, n, là số tự nhiên đứng ở vị trí thứ i trong hoán vị đó (αi 6= αj khi i 6= j ). Trong hoán vị α1 , α2 , ., αn , nếu i < j mà αi > αj thì ta nói hai số αi , αj tạo thành một nghịch thế. Tổng số nghịch thế có trong hoán vị là số chẵn thì hoán vị đó được gọi là hoán vị chẵn. Tổng số nghịch thế có trong hoán vị là số lẻ thì hoán vị đó được gọi là hoán vị lẻ.

Để xác định số nghịch thế của một hoán vị, ta tính từ trái sang phải xem mỗi số có bao nhiêu số nhỏ hơn đứng sau nó. * Trong một hoán vị, ta chỉ đổi chỗ hai số thì hoán vị thay đổi tính chẵn lẻ, tức là hoán vị chẵn biến thành hoán vị lẻ hoặc ngược lại. * Nếu tập hợp n số tự nhiên đầu với n ≥ 2 thì trong tổng số n! hoán vị của tập hợp đó có một nửa là hoán vị chẵn, một nửa là hoán vị lẻ. n * Xét ma trận α α.

1 2 n Nếu đổi chỗ các dòng của ma trận sao cho đưa ma trận về dạng:   β1 β2. n thì hai hoán vị α1 , α2 , ., βn có cùng tính chẵn lẻ. * Xét ma trận vuông cấp n:   a11 a12. ann Chọn một bộ gồm n phần tử của ma trận A mà các phần tử đó thuộc các dòng khác nhau và các cột khác nhau.

- Để chọn, trước tiên ta lấy một hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu, gọi là hoán vị chỉ số cột: α1 , α2 ,. - Sau đó ta chọn n phần tử của ma trận A theo quy tắc "trên dòng i lấy phần tử ở cột αi , i = 1, n". 13 Như vậy ta sẽ có lần lượt các phần tử a1α1 , a2α2 , ., anαn tạo thành bộ gồm n phần tử của ma trận A như mong muốn. Vậy, ta có n! cách chọn các bộ gồm n phần tử của ma trận A mà các phần tử đó thuộc các dòng khác nhau và các cột khác nhau.

* Mỗi hoán vị α1 , α2 , ., αn cho ta một bộ gồm n phần tử của ma trận A là a1α1 , a2α2 ,. Gọi h là tổng số nghịch thế của hoán vị α1 , α2 , .anαn Khi đó, có n! tích T như trên với một ma trận vuông A cấp n. Định nghĩa Định thức của một ma trận vuông A cấp n là tổng của n! tích T. Định thức cấp n là định thức của một ma trận vuông cấp n.

* Mỗi tích T được gọi là một thành phần của định thức. * Định thức của ma trận A được ký hiệu là |A| hoặc det(A). Nếu không gọi tên ma trận thì định thức cấp n được viết là: a11 a12. ann * Mỗi định thức là một số xác định phân biệt với ma trận là một bảng số.

Tính các định thức cấp 1, 2, 3 a. Định thức cấp 1 Ma trận vuông cấp 1 có 1 phần tử duy nhất a. Vậy định thức của ma trận cấp 1 là: |a| = det([a]) = a. Như vậy, định thức cấp 1 chính bằng phần tử duy nhất của ma trận đó.

Ví dụ: Ma trận A = [9] có detA = 9. Định thức cấp 2   a11 a12 Giả sử ma trận vuông cấp 2 là A = a a. Theo định nghĩa định 21 22 thức, ta sẽ xây dựng như sau: Các hoán vị của tập hợp {1, 2} là: - Hoán vị 1, 2 có 0 nghịch thế (h = 0) nên thành phần tương ứng là: T1 = (−1)0. - Hoán vị 2, 1 có 1 nghịch thế (h = 1) nên thành phần tương ứng là: T2 = (−1)1.

Vậy định thức của ma trận cấp 2 là: |A| = det(A) = T1 + T2 = a11. Như vậy, định thức cấp 2 tính bằng cách lấy tích hai phần tử thuộc đường chéo chính trừ cho tích hai phần tử thuộc đường chéo phụ của ma trận đó.   1 −4 Ví dụ: Ma trận B = 3 7 có định thức là: detB = 1. Định thức cấp 3 a11 a12 a13 " # Giả sử ma trận vuông cấp 3 là A = a21 a22 a23.

Theo định nghĩa a31 a32 a33 định thức, ta sẽ xây dựng như sau: Các hoán vị của tập hợp {1, 2, 3} là: - Hoán vị 1, 2, 3 có 0 nghịch thế (h = 0) nên thành phần tương ứng là: T1 = (−1)0. - Hoán vị 1, 3, 2 có 1 nghịch thế (h = 1) nên thành phần tương ứng là: T2 = (−1)1. - Hoán vị 2, 1, 3 có 1 nghịch thế (h = 1) nên thành phần tương ứng là: T3 = (−1)1. 15 - Hoán vị 2, 3, 1 có 2 nghịch thế (h = 2) nên thành phần tương ứng là: T4 = (−1)2.

- Hoán vị 3, 1, 2 có 2 nghịch thế (h = 2) nên thành phần tương ứng là: T5 = (−1)2. - Hoán vị 3, 2, 1 có 3 nghịch thế (h = 3) nên thành phần tương ứng là: T6 = (−1)3. Vậy định thức của ma trận cấp 3 là: |A| = det(A) = T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 = a11. Như vậy, định thức cấp 3 tính bằng cách áp dụng quy tắc đường chéo như sau: * Tổng của 3 thành phần A1 , A2 , A3 với A1 là tích 3 phần tử trên đường chéo chính, A2 và A3 lần lượt là tích hai phần tử trên đường song song với đường chéo chính và phần tử đối diện so với đường chéo chính.

* Đặt dấu − trước tổng của ba thành phần A4 , A5 , A6 với A4 là tích 3 phần tử trên đường chéo phụ, A5 và A6 lần lượt là tích hai phần tử trên đường song song với đường chéo phụ và phần tử đối diện so với đường chéo phụ. 0 2 −1 " # Ví dụ: Ma trận C = 4 1 5 có định thức là: 1 2 −1 detC = [0. Các tính chất cơ bản của định thức 1. Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó.

Nếu tất cả các phần tử của một dòng (cột) nào đó của ma trận bằng 0 thì định thức của nó bằng 0. Đổi chỗ hai dòng (cột) thì định thức của ma trận đó đổi dấu. Như 16 vậy, nếu ma trận có hai dòng (cột) giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Nhân một dòng (cột) của ma trận với một số α (tức là nhân mỗi phần tử của dòng (cột) với một số α) thì ta được một ma trận mới có định thức bằng định thức của ma trận ban đầu nhân với số α.

Nói cách khác, thừa số chung của các phần tử trong cùng một dòng (cột) có thể đưa ra ngoài dấu định thức. Như vậy, ma trận có hai dòng tỉ lệ thì có định thức bằng 0. Với d = i1 b + ci1 bi2 + ci2. bin ; d2 = ci1 ci2.

ann an1 an2. Với d = ai1 ai2. 0 d = ai1 + kaj1 ai2 + kaj2. ain + kajn , ta có: d = d0.

HẠNG CỦA MA TRẬN 1. Định thức con của ma trận: * Trong ma trận A cấp m × n, ta chọn s dòng bất kỳ và s cột bất kỳ. Giữ lại các dòng và cột đã chọn đó ta được một ma trận vuông cấp s. Định thức của ma trận vuông cấp s này được gọi là định thức con cấp s của ma trận A.

* Định thức con cấp s của ma trận A được tạo thành từ các dòng có 17 chỉ số i1 < i2 <. < is và các cột có chỉ số j1 < j2 <. < js được kí hiệu là Dij11ij22. s * Một ma trận cấp m × n có Cm .Cns định thức con cấp s.

Ví dụ: Cho ma trận: 1 2 −5 3 " # A = 4 −1 5 6. −3 0 9 7 Ta có: Ma trận A có 12 định thức cấp 1 là các phần tử của nó.C42 = 18 định thức cấp 2 là: 12 1 2 34 5 6 D12 = 4 −1 = −9; .C43 = 4 định thức cấp 3 là: 1 2 −5 2 −5 3 123 234 D123 = 4 −1 5 = −96;. Hạng của ma trận: * Hạng của một ma trận là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của ma trận đó. * Hạng của ma trận A được kí hiệu là rankA hay r(A).

Ví dụ: Ma trận A được cho ở trên có hạng r(A) = 3. Chú ý: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận. Các phương pháp tìm hạng của ma trận a. Phương pháp định thức bao quanh: Nếu ma trận A có một định thức con D 6= 0 cấp r và mọi định thức con cấp r + 1 bao quanh D (nếu có) đều bằng 0 thì hạng của ma trận A bằng r.

Ma trận A có định thức con D cấp r, bổ sung vào D một dòng và một cột của A ta được định thức mới D cấp r + 1. Khi đó, D là định thức bao 18 quanh của D. Vậy, ta có thể tính hạng của một ma trận theo phương pháp như sau: Từ một định thức con D 6= 0 cấp s, ta tính các định thức con D cấp s + 1 bao quanh D (nếu có). Có 2 trường hợp xảy ra: + Không có D nào hoặc tất cả các định thức con D cấp s + 1 bao quanh D đều bằng 0.

Kết luận hạng của ma trận là s. + Có một định thức con D cấp s + 1 mà D 6= 0. Ta chuyển sang xét các định thức con cấp s + 2 bao quanh D. Lặp lại quá trình này sau một số bước hữu hạng ta sẽ xác định được hạng của ma trận.

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận:   3 2 1 0 −1 0 1 2 −2 1  A = 0 1 3 4 −1. 3 2 0 −6 1 Lời giải: Ta có: 12 3 2 D12 = 0 1 = 3 6= 0.