Luận văn nghiên cứu, thiết kế và phát triển điều khiển quỹ đạo cho robot 6 DOF - HCMUTE 2026

Luận văn nghiên cứu, thiết kế cơ khí và phát triển hệ thống điều khiển quỹ đạo cho robot 6 bậc tự do tại Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM năm 2026.

• Tác giả: Nguyễn Trần Quốc Bảo
• Người hướng dẫn: TS. Võ Lâm Chương
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Công nghệ kỹ thuật cơ điện tử
• Đề tài: Research, Design, and Development of Trajectory Control for a 6-DOF Robot
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2026
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng quan nghiên cứu robot 6 bậc tự do tại ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Nghiên cứu điều khiển robot 6 bậc tự do tại Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM tập trung giải quyết bài toán tự động hóa hiện đại. Đề tài thuộc chuyên ngành Công nghệ Kỹ thuật Cơ điện tử dưới sự hướng dẫn chuyên môn của Tiến sĩ Võ Lâm Chương. Tay máy 6 bậc tự do mô phỏng các chuyển động linh hoạt của cánh tay con người trong không gian ba chiều. Cấu trúc cơ khí gồm sáu khớp quay độc lập kết nối tiếp nhau qua các khâu cứng vững. Hệ thống này đáp ứng hoàn hảo các yêu cầu công việc khắt khe trong sản xuất công nghiệp. Khả năng định vị điểm tác động cuối trong không gian làm việc đạt độ linh hoạt cao. Nghiên cứu tập trung xây dựng mô hình toán học chuẩn xác cho cấu trúc tay máy. Bảng thông số Denavit–Hartenberg được thiết lập chi tiết để mô tả hình học động học. Các phép biến đổi ma trận thuần nhất giúp xác định vị trí tương đối giữa các hệ tọa độ. Việc làm chủ thuật toán điều khiển quỹ đạo giúp giảm phụ thuộc vào công nghệ nhập khẩu. Kết quả nghiên cứu tạo nền tảng vững chắc cho việc ứng dụng robot vào dây chuyền sản xuất thực tế tại Việt Nam.

1.1. Cấu trúc động học và bảng thông số Denavit Hartenberg

Mô hình động học cánh tay robot sử dụng phương pháp Denavit–Hartenberg tiêu chuẩn. Hệ tọa độ gắn liền với từng khớp từ gốc đến khâu tác động cuối. Các thông số kích thước hình học được đo đạc và chuẩn hóa chính xác. Cụ thể chiều dài và khoảng cách dịch chuyển gồm d1 bằng 335 milimét, a1 bằng 75 milimét, a2 bằng 270 milimét. Các đoạn tiếp theo có a3 bằng 90 milimét, d4 bằng 295 milimét và d6 bằng 80 milimét. Ma trận biến đổi thuần nhất biểu diễn mối quan hệ không gian giữa hai khâu kế tiếp. Tích của sáu ma trận thành phần cho ra ma trận chuyển đổi tổng thể. Ma trận này xác định tọa độ và hướng của điểm thao tác cuối. Cơ sở toán học chuẩn xác giúp loại bỏ sai số tích lũy khi robot vận hành liên tục.

1.2. Tầm quan trọng của việc nghiên cứu tại trường kỹ thuật

Nghiên cứu cơ điện tử tại Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM gắn liền thực tiễn công nghiệp. Dự án phát triển robot 6 bậc tự do thúc đẩy năng lực tự chủ công nghệ tự động hóa. Sinh viên áp dụng kiến thức lý thuyết điều khiển cao cấp vào thiết bị phần cứng cụ thể. Môi trường nghiên cứu tại khoa đào tạo quốc tế cung cấp đầy đủ trang thiết bị thực nghiệm. Sự kết hợp giữa mô phỏng phần mềm và kiểm nghiệm phần cứng bảo đảm tính khả thi của đề tài. Đội ngũ nghiên cứu làm chủ toàn bộ chu trình thiết kế từ cơ khí đến thuật toán điều khiển. Đề tài đóng góp tài liệu kỹ thuật có giá trị cho sinh viên các khóa sau. Kết quả tạo bước đệm chuyển giao công nghệ cho doanh nghiệp cơ khí trong nước.

II. Phân tích bài toán điều khiển quỹ đạo robot 6 bậc tự do thực tế

Điều khiển chuyển động tay máy 6 bậc tự do đối mặt nhiều thách thức kỹ thuật phức tạp. Hệ thống phi tuyến tính cao xuất hiện hiện tượng ghép kênh mạnh mẽ giữa các khớp nối. Sự thay đổi tải trọng và quán tính trong quá trình làm việc gây ra rung lắc cơ khí. Khi vận hành ở tốc độ cao, hiện tượng giật cục làm giảm độ chính xác định vị. Rung động kéo dài dẫn đến hao mòn cơ cấu truyền động và giảm tuổi thọ thiết bị. Bài toán động học ngược chứa nhiều nghiệm hoặc gặp điểm kỳ dị trong không gian làm việc. Tại điểm kỳ dị, ma trận Jacobian suy biến khiến vận tốc khớp tăng vọt bất thường. Động cơ có thể bị quá tải hoặc mất kiểm soát nếu thuật toán không xử lý kịp thời. Bên cạnh đó, sai số chế tạo và độ rơ hộp số tạo ra độ lệch quỹ đạo thực tế. Việc điều khiển thủ công hoặc dùng thuật toán đơn giản không thể bảo đảm độ mượt mà. Hệ thống đòi hỏi chiến lược quy hoạch quỹ đạo bài bản với quy luật vận tốc chặt chẽ.

2.1. Phân loại quỹ đạo điểm tới điểm và quỹ đạo liên tục

Kỹ thuật robot phân chia bài toán quỹ đạo thành hai nhóm chính. Nhóm thứ nhất là chuyển động điểm tới điểm không xét đường dẫn trung gian. Phương pháp này chỉ quan tâm trạng thái đầu và trạng thái đích của khâu thao tác. Ưu điểm là thời gian tính toán nhanh nhưng quỹ đạo thực tế khó kiểm soát hình dáng. Nhóm thứ hai là quỹ đạo liên tục yêu cầu khâu cuối bám sát đường cong chỉ định. Đường dẫn có thể là đường thẳng, cung tròn hoặc đường cong bậc cao spline. Quỹ đạo liên tục rất quan trọng trong hàn, sơn và gia công in 3D. Thuật toán phải liên tục tính toán động học nghịch tại từng bước thời gian rời rạc. Điều này đòi hỏi bộ xử lý có tốc độ tính toán cao và độ trễ cực thấp.

2.2. Vấn đề rung động và ứng suất cơ học trên khớp nối

Gia tốc thay đổi đột ngột tạo ra lực quán tính lớn tác động lên khung robot. Lực giật cục khiến bộ truyền bánh răng và dây đai bị mài mòn nhanh chóng. Ứng suất xoắn tập trung tại trục động cơ làm giảm độ bền mỏi kim loại. Dao động cơ học lan truyền gây rung lắc đầu công cụ khi robot dừng đột ngột. Sai số định vị tăng cao khiến sản phẩm gia công không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Động cơ bước hoặc servo tiêu hao năng lượng nhiều hơn khi phải dập tắt dao động. Tiếng ồn phát sinh trong nhà xưởng cũng ảnh hưởng xấu đến môi trường làm việc. Do đó giải pháp làm mượt quy luật gia tốc đóng vai trò then chốt trong điều khiển chuyển động.

III. Phương pháp quy hoạch quỹ đạo LSPB cho robot 6 bậc tự do tối ưu

Phương pháp quy hoạch quỹ đạo với biên dạng vận tốc hình thang LSPB mang lại hiệu quả vượt trội. Thuật toán chia hành trình chuyển động thành ba giai đoạn thời gian riêng biệt. Giai đoạn đầu robot tăng tốc với gia tốc không đổi từ vận tốc bằng không. Giai đoạn giữa tay máy chuyển động đều với vận tốc cực đại ổn định. Giai đoạn cuối robot giảm tốc đều để dừng chính xác tại tọa độ đích. Đồ thị vận tốc có dạng hình thang giúp loại bỏ hoàn toàn các bước nhảy gia tốc vô hạn. Khâu thao tác di chuyển theo đường thẳng trong không gian Descartes từ điểm xuất phát đến điểm kết thúc. Quá trình nội suy vị trí được tham số hóa theo hàm thời gian chuẩn tắc s(t). Tọa độ đầu công cụ biến thiên liên tục và trơn tru trong suốt khoảng thời gian thực thi. Thuật toán cho phép kiểm soát chặt chẽ giá trị gia tốc cực đại của từng khớp. Ứng suất động học tác động lên hộp giảm tốc giảm đáng kể so với phương pháp đa thức bậc ba. Toàn bộ thuật toán được cài đặt trực tiếp trên vi điều khiển nhúng để điều khiển thời gian thực.

3.1. Thiết kế quy luật chuyển động với cấu hình vận tốc LSPB

Cấu hình LSPB kết hợp hài hòa giữa đoạn chuyển tiếp parabolic và đoạn vận tốc tuyến tính. Thời gian tăng tốc và thời gian giảm tốc được thiết lập đối xứng bằng nhau. Công thức xác định hàm vị trí s(t) phân chia rõ ràng theo các mốc thời gian cụ thể. Trong khoảng thời gian từ không đến tb, hàm s(t) biểu diễn bằng phương trình bậc hai. Khi thời gian nằm giữa tb và tf trừ tb, chuyển động đạt trạng thái vận tốc không đổi. Khoảng thời gian cuối cùng đưa hàm s(t) tiệm cận giá trị một với độ dốc giảm dần. Các thông số vận tốc cực đại và gia tốc cực đại được tính toán tự động dựa trên thời gian tổng tf. Thiết kế này bảo đảm khâu công tác luôn di chuyển êm dịu và chính xác.

3.2. Thực nghiệm quy hoạch quỹ đạo thẳng trong không gian

Thực nghiệm quy hoạch quỹ đạo đường thẳng kiểm chứng hiệu năng tính toán của giải pháp đề xuất. Bài toán thử nghiệm yêu cầu khâu thao tác di chuyển giữa hai điểm tọa độ cụ thể. Điểm bắt đầu có tọa độ x bằng 700, y bằng 100, z bằng 400 milimét. Điểm kết thúc có tọa độ x bằng 600, y bằng 0, z bằng 300 milimét. Tổng thời gian hành trình ấn định bằng 5 giây với thời gian tăng tốc bằng 1 giây. Dữ liệu thực nghiệm cho thấy đầu tác động bám sát đường thẳng với sai số dưới 1 milimét. Vận tốc và gia tốc các khớp biến thiên nhịp nhàng không xuất hiện đột biến. Robot hoạt động ổn định và dập tắt hoàn toàn hiện tượng rung lắc ở điểm dừng.

IV. Kết luận và triển vọng ứng dụng robot 6 bậc tự do trong thực tế

Đề tài nghiên cứu điều khiển robot 6 bậc tự do tại Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM đạt nhiều kết quả quan trọng. Mô hình động học thuận và nghịch được chứng minh chính xác thông qua cả lý thuyết và thực nghiệm. Thuật toán quy hoạch quỹ đạo LSPB giải quyết triệt để vấn đề rung lắc cơ cấu truyền động. Hệ thống vận hành trơn tru và đáp ứng các chỉ tiêu kỹ thuật khắt khe trong môi trường công nghiệp. Khả năng bám quỹ đạo đường thẳng và quỹ đạo không gian đạt độ tin cậy vượt trội. Công trình khẳng định năng lực nghiên cứu ứng dụng chuyên sâu của sinh viên ngành Cơ điện tử. Nền tảng điều khiển mở cho phép tích hợp thêm các công nghệ xử lý ảnh và cảm biến lực thông minh. Nhờ đó tay máy có thể tự động nhận dạng và phân loại sản phẩm trên băng chuyền. Nghiên cứu tạo tiền đề vững chắc cho việc nội địa hóa các dòng robot công nghiệp chất lượng cao. Khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhà máy thông minh giúp nâng cao năng suất và tối ưu chi phí đầu tư cho doanh nghiệp.

4.1. Ứng dụng trong dây chuyền sản xuất tự động hóa hiện đại

Robot 6 bậc tự do đáp ứng đa dạng yêu cầu thao tác trong dây chuyền sản xuất hiện đại. Trong quy trình hàn điểm hoặc hàn liên tục, tay máy duy trì mỏ hàn bám sát mối nối kim loại. Trong lĩnh vực sơn phủ bề mặt, quỹ đạo chuyển động đều bảo đảm lớp màng sơn phân bố đồng nhất. Robot cũng thực hiện hiệu quả nhiệm vụ lắp ráp linh kiện cơ khí chính xác và bốc xếp hàng hóa. Khả năng vận hành liên tục 24/7 giúp loại bỏ sai sót do yếu tố con người gây ra. Năng suất lao động tăng trưởng mạnh mẽ trong khi chi phí phế phẩm giảm rõ rệt. Tính linh hoạt cao giúp robot nhanh chóng thích ứng khi dây chuyền chuyển đổi mẫu mã sản phẩm.

4.2. Hướng phát triển thuật toán và tích hợp thị giác máy tính

Hướng phát triển tiếp theo tập trung vào việc tích hợp camera thị giác máy tính hai chiều và ba chiều. Camera thu thập dữ liệu hình ảnh để định vị phôi gia công tự do trên mặt phẳng. Thuật toán tự động tái lập quỹ đạo chuyển động phù hợp với vị trí biến đổi của phôi. Bên cạnh đó, các thuật toán học máy và mạng nơ-ron giúp tối ưu hóa thời gian chu kỳ chuyển động. Cảm biến lực gắn ở khâu cuối hỗ trợ thực hiện các thao tác tiếp xúc mềm tinh xảo. Mô hình điều khiển thích nghi bù trừ sai số động học do nhiệt độ và độ ma sát khớp nối. Những nâng cấp này từng bước biến robot thành hệ thống cộng tác thông minh trong công nghiệp 4.0.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. Domestic and International Research In Vietnam, research on industrial robots, particularly 6-DOF robot arms, has been increasingly conducted in universities and technical research institutes.[3] Most domestic studies focus on: - Designing small-scale robot models for education and laboratory practice, - Solving forward and inverse kinematics problems, - Building simulation models to visualize robot motion. However, many of these works remain at the level of theoretical modeling and basic simulation. Advanced topics such as trajectory optimization, dynamic modeling, and high-precision trajectory tracking control are still limited.

Additionally, due to the high cost and closed architecture of commercial industrial robots, access to real hardware platforms for in-depth experimentation is often restricted. Figure 1- 1: 6-DOF educational robot model. Globally, 6-DOF industrial robots have been extensively studied and widely deployed in manufacturing systems. Leading robotics manufacturers such as ABB, KUKA, FANUC, YASKAWA, and DENSO have developed high-performance robot arms Semester 1 (2025 – 2026) Page 14 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD.

Võ Lâm Chương capable of operating with high speed, precision, and reliability in complex industrial environments. International research trends concentrate on: - Advanced kinematic and dynamic modeling to improve motion accuracy, - Optimal trajectory planning under constraints such as torque limits, energy efficiency, and obstacle avoidance, - Intelligent control methods, including adaptive control, robust control, and AI- based motion planning, - Integration of robots into smart manufacturing systems and Industry 4. These studies have significantly enhanced robot performance in terms of accuracy, stability, and flexibility, forming the technological foundation of modern industrial robotics. Figure 1- 2: 6-DOF industrial robot arms from major manufacturers.

Semester 1 (2025 – 2026) Page 15 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD. Võ Lâm Chương Figure 1- 3: Industrial robot applications. Scientific and Practical Significance Scientific Significance: The thesis contributes to the systematization of kinematic analysis and trajectory planning methods for the 6-DOF robot arm, clarifying the relationship between joint variables and the motion of the end-effector. The research findings serve as a valuable reference for future studies in the field of robotics and automation.

Practical Significance: In practical terms, the project can be applied to education and training within the Mechatronics Engineering sector, assisting students in approaching real-world problems related to industrial robots. Furthermore, the simulation results and research methodologies presented in this thesis provide a foundation for the design and development of robotic systems for future manufacturing and research applications. Semester 1 (2025 – 2026) Page 16 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD. Võ Lâm Chương CHAPTER 2: THEORETICAL BACKGROUND 2.

Forward Kinematics of the Robot The purpose of calculating the forward kinematics of a robot is to determine the position of the end-effector of the manipulator. The steps for calculating the forward kinematics of the manipulator are as follows: Step 1: Determine the number of joints and the number of links. Step 2: Determine the parameters for the Denavit–Hartenberg (DH) table. Figure 2- 1: Denavit–Hartenberg Link–Joint Modeling First, the four fundamental parameters between the rotation axes of joint i and joint i+1 are defined as follows: - �� : The distance between the axes ��−1 and �� measured along the �� axis.

⇒ �� lies on the �� axis and represents the distance from ��−1 to ��. - �� : The angle required to rotate the axis ��−1 about the �� axis so that it becomes parallel to the axis ��. ⇒ �� is the rotation angle about the �� axis from ��−1 to ��. Semester 1 (2025 – 2026) Page 17 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD.

Võ Lâm Chương - �� : The distance between the axes ��−1 and �� measured along the ��−1 axis. This distance is also referred to as the link offset. ⇒ �� lies on the ��−1 axis and represents the distance from ��−1 to ��. - �� : The angle required to rotate the axis ��−1 about the ��−1 axis so that it becomes parallel to the axis �� .⇒ �� is the rotation angle about the ��−1 axis from ��−1 to ��.

Joint Variables: - If joint i is a revolute joint, then �� is the joint variable. - If joint i is a prismatic joint, then �� is the joint variable. Step 3: Coordinate Frame Assignment The coordinate origin attached to link i (referred to as frame i) is located at the intersection between the common normal (�� ) and the axis of joint i+1. - If the two joint axes intersect, the coordinate origin is chosen at their intersection point.

- If the two joint axes are parallel, the coordinate origin is selected at an arbitrary point on the axis of joint i+1. The �� axis of frame i is aligned with the axis of joint i+1. The �� axis of frame i is aligned with the common normal, pointing from joint i toward joint i+1. In the case where the two joint axes intersect, the direction of the �� axis coincides with the direction of the cross product z�−1 × z� , which is perpendicular to the plane containing z�−1 and z�.

Step 4: Transformation Modeling The coordinate frames i and i–1 of two consecutive links are related by a homogeneous transformation, applied in the following sequence: 1. Rotate about the ��−1 axis by an angle �� so that the ��−1 axis aligns with the direction of the �� axis. Semester 1 (2025 – 2026) Page 18 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD. Võ Lâm Chương 2.

Translate along the ��−1 axis by a distance �� so that the origin of the new coordinate frame coincides with the foot of the common normal between axes i–1 and i. Translate along the �� axis by a distance ��. Rotate about the �� axis by an angle �� so that the ��−1 axis aligns with the �� axis. The above transformations are performed with respect to the current coordinate frame; therefore, the overall (composite) transformation is determined by the following expression: [4] � − 1�� = �� −1 ,�� × �� −1 ,�� × ��� ,�� × ��� ,�� (2.6) 0 0 1 �� 0 0 0 1 Step 5: Determine the Forward Kinematics Equations of the Manipulator �11 �12 �13 �� � �22 �23 �� �� = 21 (2.7) �31 �32 �33 �� 0 0 0 1 Semester 1 (2025 – 2026) Page 19 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD.

Võ Lâm Chương The coordinate frames of the robot are assigned as follows: Figure 2- 2: Coordinates Frames of the Robot We selected the Denavit–Hartenberg (DH) method to perform the forward kinematics analysis of the robot. The manufacturer-provided dimensional parameters are presented below. Table 2- 1: Table of parameters for calculating robot kinematics Parameter Value (mm) d1 335 a1 75 a2 270 a3 90 d4 295 d6 80 After assigning the coordinate frames to the robot and defining the geometric dimensions, the Denavit–Hartenberg (DH) parameter table is obtained as follows: Table 2- 2: D-H table of robot Frame �� �� �� �� No 0 →1 a1 − 90� d1 �1 1 →2 a2 0 0 �2 − 90� 2 →3 a3 − 90� 0 �3 3 →4 0 − 90� d4 �4 Semester 1 (2025 – 2026) Page 20 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD. Võ Lâm Chương 4 →5 0 90� 0 �5 5 →6 0 0 d6 �6 To compute the kinematics of the robot, the parameters from the DH table are used and substituted into the homogeneous transformation matrix formula.

[4] Transformation matrix from frame {0} to frame {1}: ��� �1 0 −��� �1 �1 ∗ ��� �1 ��� �1 0 ��� �1 �1 ∗ ��� �1 �10 = (2.8) 0 −1 0 �1 0 0 0 1 Transformation matrix from frame {1} to frame {2}: ��� �2 − 90 −��� �2 − 90 0 �2 ∗ ��� �2 − 90 �21 = ��� �2 − 90 ��� �2 − 90 0 �2 ∗ ��� �2 − 90 (2.9) 0 0 1 0 0 0 0 1 Transformation matrix from frame {2} to frame {3}: ��� �3 0 −��� �3 �3 ∗ ��� �3 ��� �3 0 ��� �3 �3 ∗ ��� �3 �32 = (2.10) 0 −1 0 0 0 0 0 1 Transformation matrix from frame {3} to frame {4}: ��� �4 0 −��� �4 0 ��� �4 0 ��� �4 0 �43 = (2.11) 0 −1 0 �4 0 0 0 1 Transformation matrix from frame {4} to frame {5}: ��� �5 0 ��� �5 0 ��� �5 0 −��� �5 0 �54 = (2.12) 0 1 0 0 0 0 0 1 Transformation matrix from frame {5} to frame {6}: ��� �6 0 −��� �6 0 ��� �6 0 ��� �6 0 �65 = (2.13) 0 0 1 �6 0 0 0 1 The homogeneous transformation matrix between the end-effector frame and the base coordinate frame is obtained as follows: Semester 1 (2025 – 2026) Page 21 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD. Võ Lâm Chương �60 = �10 .15) �31 �32 �33 �� 0 0 0 1 To perform the matrix multiplication, MATLAB software is used to support the computation. The obtained results are as follows: Robot orientation equation: �11 �12 �13 �60 = �21 �22 �23 (2.16) �31 �32 �33 �11 = �6 (�5 �1 �4 − �23 �1 �5 + �1 �2 �4 �5 �3 + �1 �3 �4 �5 �2 ) − �6 (�1 �2 �3 �4 − �4 �1 + �1 �3 �2 �4 ) �12 =− �6 (�1 �2 �3 �4 − �4 �1 + �1 �3 �2 �4 ) − �6 (�5 �1 �4 − �23 �1 �5 + �1 �2 �4 �5 �3 + �1 �3 �4 �5 �2 ) �13 = �5 (�1 �4 + �1 �2 �4 �3 + �1 �3 �4 �2 ) + �23 �1 �5 �21 =− �6 (�1 �4 + �2 �1 �3 �4 + �3 �1 �2 �4 ) − �6 (�23 �1 �5 + �1 �5 �4 − �2 �4 �5 �1 �3 − �3 �4 �5 �1 �2 ) �22 = �6 (�23 �1 �5 + �1 �5 �4 − �2 �4 �5 �1 �3 − �3 �4 �5 �1 �2 ) − �6 (�1 �4 + �2 �1 �3 �4 + �3 �1 �2 �4 ) �23 = �5 (�2 �4 �1 �3 − �1 �4 + �3 �4 �1 �2 ) + �23 �5 �1 �31 = �6 (�23 �5 + �23 �4 �5 ) − �23 �4 �6 �32 =− �6 (�23 �5 + �23 �4 �5 ) − �23 �6 �4 �33 = �23 �4 �5 − �23 �5 Position equation of the end-effector: �� �60 = �� (2.17) �� �� = �1 ∗ �1 + �2 �1 �2 + �4 �1 �2 �3 + �3 �1 �2 �3 + �3 �1 �3 �2 − �4 �1 �2 �3 + �6 �1 �4 �5 + �6 �1 �2 �3 �5 − �6 �1 �5 �2 �3 + �6 �1 �5 �4 �3 �5 + �6 �1 �3 �4 �2 �5 �� = �1 �1 + �2 �1 �2 + �4 �2 �3 �1 + �3 �2 �1 �3 + �3 �3 �1 �2 − �6 �1 �4 �5 − �4 �1 �2 �3 + �6 �2 �3 �5 �1 − �6 �5 �1 �2 �3 + �6 �2 �4 �1 �3 �5 + �6 �3 �4 �1 �2 �5 �� = �1 + �2 �2 + �3 �2 �3 − �4 �2 �3 − �4 �3 �2 − �3 �2 �3 − �6 �2 �5 �3 − �6 �3 �5 �2 + �6 �2 �3 �4 �5 − �6 �4 �2 �3 �5 Semester 1 (2025 – 2026) Page 22 Graduation Thesis (Mechatronics Engineering) Supervisor: PhD. Võ Lâm Chương 2.

Inverse Kinematics of the Robot The inverse kinematics problem is the process of determining all possible sets of joint angle values of a robot when the position and orientation of the end-effector are known in advance.