BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG ----------------------------- NGUYỄN TIẾN MẠNH NGHIÊN CỨU NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA DẦM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. HÀ HUY CƢƠNG Hải Phòng, 2017 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Mạnh 2 LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với GS.TSKH Hà Huy Cương vì những ý tưởng khoa học độc đáo, những chỉ bảo sâu sắc về phương pháp nguyên lý cực trị Gauss và những chia sẻ về kiến thức cơ học, toán học uyên bác của Giáo sư. Giáo sư đã tận tình giúp đỡ và cho nhiều chỉ dẫn khoa học có giá trị cũng như thường xuyên động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các chuyên gia trong và ngoài trường Đại học Dân lập Hải phòng đã tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các cán bộ, giáo viên của Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học và Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Mạnh 3 MỞ ĐẦU Để đáp ứng nhu cầu sử dụng hết sức đa dạng của người dân, các giải pháp kết cấu cho nhà cao tầng đã được các kỹ sư thiết kế sử dụng. Trong những công trình đó kết cấu chính thường được sử dụng là khung cứng thuần túy hoặc khung kết hợp với lõi và vách cứng. Với số lượng phần tử rất lớn dẫn đến số ẩn của bài toán rất lớn, do đó việc tìm một phương pháp phù hợp để nghiên cứu nội lực và chuyển vị của các bài toán cơ học kết cấu nói chung, có tầm quan trọng đặc biệt, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm. Cho đến nay, các phương pháp xây dựng bài toán cơ học kết cấu bao gồm: Phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải về cơ bản gồm: Phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, liên hợp; Các phương pháp số gồm: Phương pháp sai phân, Phương pháp biến phân, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân và phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn nói trên để xây dựng và giải bài toán dầm đơn chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều. Mục đích nghiên cứu của đề tài “Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn” 4 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp xây dựng và các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. Trình bày Phương pháp phần tử hữu hạn 3. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầm, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU Trong chương này trình bày các phương pháp truyền thống để xây dựng các bài toán cơ học nói chung; giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Phƣơng pháp xây dựng bài toán cơ học Bốn phương pháp chung để xây dựng bài toán cơ học kết cấu được trình bày dưới đây. Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa. Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân bằng phân tố Phương trình vi phân cân bằng được xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố được tách ra khỏi kết cấu. Trong sức bền vật liệu khi nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau: - Trục dầm không bị biến dạng nên không có ứng suất. - Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli). - Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dầm Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp σx và các ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σz bằng không. Hai giả thiết thứ ba và thứ nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyển vị thẳng đứng y(x) và nó được gọi là đường độ võng hay đường đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều dài trục dầm không thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của dầm là nhỏ so với chiều cao dầm, ymax / h 1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trượt do ứng suất tiếp gây ra không được xét trong tính độ võng của dầm như trình bày dưới đây. Gỉả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ h/l 1/5. Chuyển vị ngang u của điểm nằm ở độ cao z so với trục dầm bằng dy u h/2 Z TTH dx -h/2 Biến dạng và ứng suất xác định như sau Hình 1. Phân tố dầm 6 d2y d2y x z 2 ; xx Ez 2 dx dx Momen tác dụng lên trục dầm: h/2 d2y Ebh3 d 2 y M Ebz 2 2 dz h / 2 dx 12 dx 2 hay M EJ (1.7) Ebh3 d2y trong đó: EJ , 2 12 dx EJ được gọi là độ cứng uốn của dầm; là độ cong của đường đàn hồi và sẽ được gọi là biến dạng uốn; b là chiều rộng dầm. Để đơn giản trình bày, ở đây chỉ dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật. Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trượt do các ứng suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp σzx trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q tác dụng h/2 lên trục dầm: Q zx dz h / 2 Biểu thức của ứng suất tiếp σzx trong tích phân trên sẽ trình bày sau. Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm. Xét phân tố dx của trục dầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q, hình 1. Chiều dương của M, Q và q trên hình vẽ tương ứng với chiều dương của độ võng hướng xuống dưới. Q q(x) M + dM M o2 1 2 Q + dQ dx Hình 1. Xét cân bằng phân tố Lấy tổng momen đối với điểm O2, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có dM Q 0 (1.8) dx 7 Lấy tổng hình chiếu các lực lên trục thẳng đứng: dQ q 0 (1.9) dx Phương trình (1.8) là phương trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt, phương trình (1.9) là phương trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q. Đó là hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) của phương pháp cân bằng phân tố. Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x rồi cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d 2M q0 (1.10) dx 2 Thay M xác định theo (1.10) nhận được phương trình vi phân xác định đường đàn hồi của thanh d4y EJ q (1.11) dx 4 Phương trình (1.11) được giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh. Các điều kiện biên thường dùng như sau a) Liên kết khớp tại x=0: d2y Chuyển vị bằng không, y x 0 0 , momen uốn M 0 , suy ra 0 dx 2 x 0 b) Liên kết ngàm tại x=0: dy Chuyển vị bằng không, y x0 0 , góc xoay bằng không, 0 dx x 0 c) không có gối tựa tại x=0: d2y d3y Momen uốn M 0 , suy ra 0 ; lực cắt Q=0, suy ra 0 dx 2 x 0 dx 3 x 0 Các điều kiện tại x=l cũng lấy tương tự như trên. Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp σzx trên chiều dày h của dầm. Trước tiên viết phương trình cân bằng ứng suất trên trục x như sau 8 xz xx d3y xx xz 0 hay Ez 3 x z z x dx Ez 2 d 3 y Tích phân phương trình trên theo z: xz C x 2 dx 3 Hàm C x xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt dưới Eh 2 d 3 y C x h dầm, z . Ta có: 2 8 dx 3 Ứng suất tiếp phân bố trên mặt cắt dầm có dạng xz E d3y 3 4 z 2 h 2 8 dx Đó là hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn nhất tại trục dầm (z=0) có giá trị bằng Eh 2 d 3 y xz z 0 8 dx3 Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phần trái của dầm Ebh3 d 3 y Q 12 dx 3 Eh 2 d 3 y Ứng suất tiếp trung bình trên chiều cao dầm bằng: tb xz 12 dx 3 Tỉ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình α=1.
