chương 1, chúng tôi trình bày tổng quan về chất điện môi tô pô và lý thuyết trường trung bình động. Chương này gồm 2 phần. Phần I, chúng tôi trình bày về điện môi tô pô, tập trung vào đối tượng nghiên cứu chính của luận án là chất điện môi tô pô hai chiều. Sau nội dung giới thiệu về trạng thái điện môi, trạng thái Hall lượng tử, bất biến tô pô và các trạng thái biên và tương ứng khối biên, chúng tôi trình bày hai mô hình được sử dụng trong luận án là mô hình Haldane và mô hình Kane – Mele.
Phần II, chúng tôi trình bày một cách ngắn gọn những kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết trường trung bình động, phương pháp nghiên cứu chủ yếu các nội dung nghiên cứu đặt ra trong luận án. Chương này đề cập đến lý thuyết trường 17 trung bình tĩnh, nó cho kết quả tốt khi áp dụng cho mô hình Ising khi số chiều vô cùng lớn. Sau đó, trên cơ sở mở rộng lý thuyết trường trung bình tĩnh, chúng tôi xây dựng lý thuyết trường trung bình động. Ở chương 2, chúng tôi trình bày hiệu ứng tương quan điện tử trong chất điện môi tô pô Chern.
Trước tiên, chúng tôi đề xuất mô hình Haldane - Falicov - Kimball và việc áp dụng lý thuyết trường trung bình động để khảo sát sự chuyển pha do tương quan điện tử trong mô hình này. Sau đó, chúng tôi trình bày kết quả tính số cho trường hợp lấp đầy một nửa, tương ứng hai loại nghiệm không tầm thường mô tả chuyển pha Mott, trật tự điện tích. Chương 3 đề cập đến điện môi tô pô từ tính trong mô hình trao đổi kép với liên kết spin – quỹ đạo. Chúng tôi, nghiên cứu về điều kiện tồn tại và tính chất các pha điện môi từ tính có tính chất tô pô không tầm thường.
Trong chương này, chúng tôi đề xuất mô hình trao đổi kép và liên kết spin – quỹ đạo và ứng dụng lý thuyết trường trung bình động cho mô hình. Kết quả tính số cho điện môi phản sắt từ cho trường hợp lấp đầy một nửa và điện môi tô pô sắt từ khi lấp đầy một phần từ hoặc ba phần từ. Nội dung của chương 4 là pha điện môi tô pô trong mạng tinh thể Lieb sắt từ và gồm 2 phần. Phần thứ nhất xây dựng lý thuyết trường trung bình động cho mạng tinh thể có cấu trúc dải năng lượng phẳng.
Phần này mô tả về mô hình Hubbard cho siêu mạng perovskite và nghiệm lý thuyết trường trung bình động. Phần thứ hai trình bày về trạng thái điện môi tô pô trong mạng tinh thể Lieb khi có liên kết spin – quỹ đạo và từ trường. Ứng dựng lý thuyết đã xây dựng trong phần I, để đơn giản chúng tôi chỉ xét tương quan điện tử trong mạng Lieb như từ trường ngoài tác động hiệu dụng lên điện tử và coi từ trường ngoài là thông số đầu vào. Cuối cùng là kết quả tính số mô tả cấu trúc dải năng lượng với các thông số khác nhau.
Quy ước Trong luận án này chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự nhiên với các hằng số cơ bản 𝑐 = ℏ = 𝑘𝐵 = 1 [72,73]. Tuy vậy, ở một số chỗ, như ở độ dẫn Hall, chúng tôi vẫn sử dụng hệ đơn vị quốc tế, với đơn vị cho độ dẫn Hall 𝑒 2 ⁄ℎ = 1⁄𝑅𝐾 (𝑅𝐾 = 25812,807 được gọi là hằng số von Klitzing) thể hiện đơn vị của lượng tử hóa độ dẫn Hall. CHẤT ĐIỆN MÔI TÔ PÔ VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan ngắn gọn về đối tượng nghiên cứu của luận án là chất điện môi tô pô và phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án là lý thuyết trường trung bình động. Chất điện môi tô pô Trong phần I, chúng tôi trình bày tổng quan về chất điện môi tô pô, chủ yếu chất điện môi tô pô hai chiều, vì đối tượng nghiên cứu của luận án là chất điện môi tô pô hai chiều.
Có nhiều bài tổng quan về chất điện môi tô pô nói chung, trong đó có viết về chất điện môi tô pô hai chiều. Trong phần này chúng tôi chỉ trình bày những khía cạnh về chất điện môi tô pô hai chiều có quan hệ gần gũi nhất với nội dung nghiên cứu của luận án. Các khía cạnh khác về chất điện môi tô pô có thể tham khảo trong các bài tổng quan và sách chuyên khảo khác [1-5]. Trạng thái điện môi Trạng thái điện môi là một trong các trạng thái cơ bản nhất của vật chất.
Chất điện môi đơn giản nhất là điện môi nguyên tử, với liên kết điện tử và nguyên tử trong một lớp vỏ kín. Một vật liệu như vậy trơ về mặt điện bởi vì cần phải có một năng lượng đủ lớn để đánh bật điện tử ra khỏi lớp vỏ kín. Liên kết mạnh giữa các nguyên tử trong tinh thể dẫn đến liên kết đồng hóa trị. Một trong những thành công của cơ học lượng tử thế kỉ 20 là việc phát triển lý thuyết dải năng lượng trong chất rắn.
Lý thuyết này sử dụng đối xứng tịnh tiến của tinh thể để phân loại các trạng thái điện tử theo động lượng tinh thể xác định trong vùng Brillouin tuần hoàn. Các trạng thái Bloch được xác định trong ô cơ sở là các trạng thái riêng của Hamiltonian Bloch trong không gian động lượng. Các trị riêng của Hamiltonian Bloch xác định dải năng lượng và tạo ra cấu trúc điện tử của chất rắn. Trong chất điện môi, tồn tại một khe năng lượng ngăn cách các trạng thái của dải hóa trị bị lấp đầy và dải dẫn còn trống.
Chúng ta có thể tưởng tượng thay đổi Hamiltonian nội suy liên tục giữa hai dải năng lượng, dải dẫn và dải hóa trị, mà không làm mất khe năng lượng. Một quá trình như vậy xác định một tương đương tô pô giữa các trạng thái điện môi khác nhau. Phải chăng như vậy tất cả các trạng thái điện tử có khe năng lượng đều tương đương nhau về mặt tô pô, và như vậy tương đương với chân không? Câu trả lời là không, mà ví dụ điển hình là trạng thái Hall lượng tử [1]. Trạng thái Hall lượng tử Trạng thái Hall lượng tử quan sát thấy khi các điện tử bị giam giữ trong một không gian hai chiều được đặt trong một từ trường mạnh.
Trong cơ học cổ điển, điện tử trong một từ trường ngoài sẽ chuyển động theo các quỹ đạo tròn vuông góc với từ trường. Trong cơ học lượng tử, các quỹ đạo tròn của điện tử với tần số cyclotron 𝜔𝑐 = 𝑒𝐵⁄𝑚∗ 𝑐 với m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử trong chất bán dẫn, được lượng tử hóa dẫn đến các mức năng lượng Landau [74]: 1 𝜀𝑚 = 𝜔𝑐 (𝑚 + ), (1.1) 2 với m là một số nguyên dương. Các trạng thái của vật chất. (a) – (c) Trạng thái cách điện.
(a) Một điện môi nguyên tử. (b) Một cấu trúc dải điện môi mô hình đơn giản. (d) – (f) Trạng thái Hall lượng tử. (d) Chuyển động cyclotron của các electron.
(e) Các mức Landau, được xem như một cấu trúc dải. (c) và (f) Hai bề mặt khác nhau về g. Nếu n mức Landau được lấp đầy và các mức còn lại bị bỏ trống thì có một khe năng lượng ngăn cách các trạng thái bị lấp đầy và các trạng thái bỏ trống, tương tự như một chất điện môi. Nhưng không giống như trong chất điện môi, một điện trường trong mặt phẳng của hệ làm cho quỹ đạo điện tử trôi đi dẫn đến một dòng điện Hall được tạo ra có đặc trưng bởi độ dẫn Hall được lượng tử hóa: 𝑛𝑒 2 𝜎𝑥𝑦 = .2) Thực nghiệm đo độ dẫn Hall xy chính xác tới một phần của 109.
Độ chính xác này là biểu hiện của bản chất tô pô của độ dẫn Hall xy. Bất biến tô pô Bản chất tô pô của độ dẫn Hall được Thouless, Kohmoto, Nightingale, và den Nijs giải thích [8]. Cách dẫn sau được Kohmoto trình bày trong tài liệu [9]. Phương trình Schrodinger cho hệ điện tử không tương tác hai chiều trong từ trường đều được viết như sau: 1 𝐻𝛹 = [ (𝐩 + 𝑒𝐀)2 + 𝑈(𝑥, 𝑦)] 𝛹 = 𝐸𝛹, 2𝑚 (1.3) trong đó 𝐩 = −i𝛁 là moment động lượng và A là thế Gauge trong mặt phẳng x − y, m là khối lượng của điện tử, và e là điện tích của các điện tử.
Chúng ta xét trong trường hợp thế U(x, y) là thế tuần hoàn trong cả hai hướng x và y, tức là, U(x + a, y) = U(x, y + b) = U(x, y), trong đó a, b là các hằng số mạng. Áp dụng định lý Bloch cho không gian mạng đảo (vùng Brillouin mạng đảo) phương trình (1.3) viết lại thành [75]: ̂ (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 )𝑢𝑘𝛼 ,𝑘 = 𝐸 𝛼 𝑢𝑘𝛼 ,𝑘 , H 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 (1.4) với 1 ̂ (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) = H (−𝑖𝛁 + 𝐤 + 𝑒𝐀)2 + 𝑈(𝑥, 𝑦), 2𝑚 trong đó k là động lượng có hai thành phần 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦. Chú ý rằng trị riêng 𝐸 𝛼 phụ thuộc vào k, và α là chỉ số dải năng lượng, 𝑢𝑘𝛼𝑥,𝑘𝑦 là hàm sóng Bloch. Từ lý thuyết phản hồi tuyến tính, độ dẫn Hall được biểu diễn dưới dạng [74]: 𝑒 2ℏ (𝑣𝑦 )𝛼𝛽 (𝑣𝑥 )𝛽𝛼 − (𝑣𝑥 )𝛼𝛽 (𝑣𝑦 )𝛽𝛼 𝜎𝑥𝑦 = ∑ , 2 𝛼 (𝐸 𝛼 − 𝐸𝛽 )2 𝐸 <𝐸𝐹 <𝐸 𝛽 (1.5) trong đó EF là năng lượng Fermi và tổng lấy trên tất cả những trạng thái bên trên và bên dưới mức năng lượng Fermi.
Chỉ số α và β là chỉ số dải năng lượng.5) được viết cho chất điện môi khi mức năng lượng Fermi nằm giữa khe năng 21 lượng, và do vậy phân cách các mức năng lượng nằm dưới và nằm trên mức năng lượng Fermi một cách rõ ràng. Hay nói cách khác mẫu số trong công thức (1.5) không bị triệt tiêu và không tạo ra phân kỳ. Yếu tố ma trận của toán tử vận tốc 𝐯 = (−𝑖𝛁 + 𝑒𝐀) liên hệ với Hamiltionian phụ thuộc vào k (1.5) được viết thành 𝑒2 1 𝜕𝑢𝛼 𝜕𝑢𝛼 𝜕𝑢𝛼 𝜕𝑢𝛼 𝜎𝑥𝑦 = ∑ (⟨ |𝛽⟩ ⟨𝛽| ⟩−⟨ |𝛽⟩ ⟨𝛽| ⟩) .8) Từ đây, chúng ta có: 𝑒2 1 𝜕𝑢𝑘𝛼∗𝑥𝑘𝑦 𝜕𝑢𝑘𝛼𝑥𝑘𝑦 𝜕𝑢𝑘𝛼∗𝑥 𝑘𝑦 𝜕𝑢𝑘𝛼𝑥𝑘𝑦 𝛼 2 2 𝜎𝑥𝑦 = ∫𝑑 𝑘∫𝑑 𝑟( − ), ℎ 2𝜋𝑖 𝜕𝑘𝑦 𝜕𝑘𝑥 𝜕𝑘𝑥 𝜕𝑘𝑦 (1.9) trong đó 𝜎𝑥𝑦 𝛼 là sự đóng góp cho độ dẫn Hall từ dải năng lượng lấp đầy hoàn toàn α. Chúng ta xác định một trường vector trong vùng Brillouin như sau: ̂ 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) = ⟨𝑢𝑘 𝑘 |∇𝑘 |𝑢𝑘 𝑘 ⟩ = ∫ 𝑑 2 𝑟 𝑢𝑘∗ 𝑘 𝑘 𝑢𝑘 𝑘 , 𝐀( 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 1 2 1 2 (1.10) trong đó ∇𝑘 là toán tử vector mà có các thành phần 𝜕⁄𝜕𝑘𝑥 và 𝜕⁄𝜕𝑘𝑦 .
