Luận văn Đặng Mạnh Tuấn: Phân tích dao động tự do của tấm bằng LSFD

Phân tích dao động tấm bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Luận văn XD cung cấp cái nhìn sâu sắc về ứng dụng kỹ thuật này trong xây dựng.

• Tác giả: Đặng Mạnh Tuấn
• Người hướng dẫn: Nguyễn Trọng Phước
• Trường học: Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP. HCM
• Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp
• Đề tài: Phân tích dao động tự do của tấm sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên kỹ thuật bình phương cực tiểu
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: TP. HCM

Tóm tắt

I. Giới thiệu

Bài toán phân tích dao động tự do của kết cấu tấm là một lĩnh vực quan trọng trong kỹ thuật xây dựng. Sự dao động của các tấm trong công trình có thể gây ra nhiều vấn đề nghiêm trọng, từ sự không thoải mái cho người sử dụng đến nguy cơ hư hỏng kết cấu. Việc áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) kết hợp với kỹ thuật bình phương cực tiểu (LSFD) đã mở ra hướng đi mới trong việc phân tích các dạng tấm có hình dạng và điều kiện biên khác nhau. Mục tiêu của nghiên cứu này là phát triển một phương pháp hiệu quả để phân tích dao động của tấm, từ đó cung cấp những giải pháp thiết thực cho ngành xây dựng.

1.1. Tầm quan trọng của nghiên cứu

Nghiên cứu về dao động tự do của tấm không chỉ giúp cải thiện thiết kế kết cấu mà còn đảm bảo an toàn cho người sử dụng. Các tần số dao động riêng và dạng dao động của tấm có thể ảnh hưởng lớn đến hiệu suất và độ bền của công trình. Việc sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn cho phép mô hình hóa chính xác hơn các hiện tượng vật lý phức tạp, từ đó đưa ra các giải pháp tối ưu cho thiết kế kết cấu.

II. Cơ sở lý thuyết

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về phương pháp sai phân hữu hạn và kỹ thuật bình phương cực tiểu. Phương pháp sai phân hữu hạn là một trong những phương pháp số phổ biến nhất trong phân tích kết cấu, cho phép giải quyết các phương trình vi phân phức tạp bằng cách rời rạc hóa không gian và thời gian. Kỹ thuật bình phương cực tiểu được áp dụng để tối ưu hóa các kết quả tính toán, giúp cải thiện độ chính xác của mô hình. Sự kết hợp giữa hai phương pháp này tạo ra một công cụ mạnh mẽ cho việc phân tích dao động của tấm, đặc biệt là trong các bài toán có điều kiện biên phức tạp.

2.1. Phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) là một kỹ thuật số được sử dụng để giải các phương trình vi phân bằng cách thay thế các đạo hàm bằng các sai phân. Phương pháp này cho phép mô hình hóa các hiện tượng vật lý trong không gian và thời gian một cách chính xác. Việc áp dụng FDM trong phân tích dao động tự do của tấm giúp xác định các tần số và dạng dao động một cách hiệu quả, từ đó cung cấp thông tin quan trọng cho thiết kế kết cấu.

III. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu này sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn kết hợp với kỹ thuật bình phương cực tiểu để phân tích dao động tự do của tấm. Chương trình được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB, cho phép thực hiện các phép tính phức tạp và kiểm chứng kết quả với các nghiên cứu trước đó. Việc kiểm tra độ tin cậy của chương trình được thực hiện bằng cách so sánh với kết quả từ phần mềm SAP 2000 và các tác giả khác. Kết quả cho thấy phương pháp LSFD có độ chính xác cao và hiệu quả trong việc phân tích các dạng tấm khác nhau.

3.1. Xây dựng chương trình MATLAB

Chương trình MATLAB được xây dựng để thực hiện các phép tính liên quan đến dao động tự do của tấm. Chương trình này cho phép người dùng nhập các thông số như hình dạng tấm, điều kiện biên và các tham số khác để tính toán tần số và dạng dao động. Việc sử dụng MATLAB giúp tối ưu hóa quá trình tính toán và dễ dàng kiểm tra các kết quả đạt được.

IV. Kết quả và thảo luận

Kết quả phân tích cho thấy phương pháp LSFD có khả năng mô hình hóa chính xác các dạng dao động của tấm. Các tần số dao động riêng được xác định cho nhiều hình dạng tấm khác nhau, cho thấy sự phù hợp của phương pháp với các bài toán thực tế. So sánh với các phương pháp khác như FEM cho thấy LSFD có thể đạt được độ chính xác tương đương trong thời gian tính toán ngắn hơn. Điều này mở ra khả năng ứng dụng rộng rãi của phương pháp trong ngành xây dựng.

4.1. So sánh với các phương pháp khác

Kết quả từ phương pháp LSFD được so sánh với các kết quả từ phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phần mềm SAP 2000. Sự tương đồng trong các tần số dao động riêng cho thấy tính khả thi của phương pháp LSFD trong việc phân tích dao động của tấm. Điều này chứng tỏ rằng LSFD không chỉ là một phương pháp mới mà còn có thể cạnh tranh với các phương pháp truyền thống trong lĩnh vực phân tích kết cấu.

V. Kết luận

Nghiên cứu đã chứng minh rằng phương pháp sai phân hữu hạn kết hợp với kỹ thuật bình phương cực tiểu là một công cụ hiệu quả trong việc phân tích dao động tự do của tấm. Kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn cao trong ngành xây dựng. Việc phát triển và hoàn thiện phương pháp này sẽ mở ra nhiều cơ hội mới cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực động lực học kết cấu.

5.1. Hướng phát triển tương lai

Trong tương lai, nghiên cứu có thể mở rộng để áp dụng phương pháp LSFD cho các loại kết cấu phức tạp hơn, bao gồm các tấm có hình dạng không đều và các điều kiện biên phức tạp. Việc tích hợp công nghệ mới và các phương pháp số tiên tiến sẽ giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả của phương pháp, từ đó đáp ứng tốt hơn nhu cầu thực tiễn trong ngành xây dựng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1 tập trung giải thích lý do chọn đề tài này, mục tiêu của luận văn cũng như cấu trúc của luận văn. Chương 2 thiết lập phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động, các phương pháp tính toán tần số dao động riêng đồng thời giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu ở trong và ngoài nước có liên quan đến luận văn. Cơ sở lý thuyết của phương pháp sai phân hữu hạn kết hợp kỹ thuật bình phương cực tiểu để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng của tấm dao động sẽ được nêu chi tiết trong chương 3. Phần đầu chương 4 trình bày một vài ví dụ số khảo sát sự hội tụ, so sánh với các nghiên cứu trước để chứng minh sự chính xác của phương pháp và chương trình tính trong luận văn này.

Phần tiếp theo của chương 4 trình bày về những khảo sát đối với phân tích dao động tự do của các loại tấm có hình dạng khác nhau. Chương 5 trình bày những kết luận chung và hướng phát triển của đề tài. Các chương trình tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB R2012a và các tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài được trình bày ở phần cuối luận văn. Tổng quan Trang 6 CHƯƠNG 2 TỔNG QUAN 2.1 Giới thiệu Chương này trình bày sơ lược về lịch sử nghiên cứu và phát triển liên quan đến bài toán ứng xử và đặc tính của kết cấu tấm được một số nhà khoa học trên thế giới và trong nước có đề cập thông qua các tài liệu tham khảo.

Đầu tiên, phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động sẽ được thiết lập. Sau đó, phần trình bày các phương pháp tính toán tần số dao động riêng được thể hiện ở phần tiếp theo của chương. Lý thuyết về phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống và kỹ thuật bình phương cực tiểu cũng được trình bày để làm nền tảng cơ sở lý thuyết cho phương pháp không lưới LSFD trong chương 3.2 Phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động Xét một tấm mỏng đẳng hướng chịu tải trọng phân bố q(x,y), phương trình chuyển động đối với tấm dao động được thiết lập theo nguyên lý Hamilton [3]. Động năng T của tấm dao động được xác định như sau 1 = ℎ ̇ (2.1) 2 Trong đó R là diện tích tiết diện ngang của tấm, là dung trọng của vật liệu tấm và h là bề dày tấm.

Thế năng toàn phần của tấm được tính bởi phương trình Chương 2. Tổng quan Trang 7 = (∇ ) + 2(1 − ) − ∙ − 2 (2.2) Theo nguyên lý Hamilton, biến phân của năng lượng là ( − )=0 (2.3) Thay các phương trình (2.4) Thay thế vận tốc bằng đạo hàm của chuyển vị, phương trình (2.5) Theo định lí Green ℎ ∙ = ℎ ∙ − được biến đổi thành Chương 2. Tổng quan Trang 8 0− ℎ (2.6) Sử dụng điều kiện trên, ta có thể viết lại phương trình (2.7) Ta không lấy tích phân đường trong phương trình (2.7) bởi vì các thành phần động học trong động năng của hệ không tham gia vào tích phân đường. Do đó, phương trình (2.8) rút ra được phương trình vi phân chuyển động của tấm là ∇ + ℎ ̈ = (2.9) với = là độ cứng trụ của tấm ( ) Trường hợp tấm dao động tự do, = 0, phương trình chuyển động đối với dao động của tấm có dạng ∇ + ℎ =0 (2.10) Trong đó: là chuyển vị ngang của tấm Chương 2.

Tổng quan Trang 9 là dung trọng của vật liệu tấm h là bề dày tấm D là độ cứng trụ của tấm là hệ số poisson E là module đàn hồi Young ∇ là toán tử song điều hòa có dạng ∇ = ∇ (∇ ) với ∇ là toán tử Laplacian ∇ = +2 + Trên đây đã thiết lập phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động. Đây là phương trình vi phân bậc 4 đối với chuyển vị ngang của tấm.3 Các phương pháp tính toán tần số dao động riêng Nhìn chung có hai nhóm phương pháp chính để giải bài toán dao động tự do của kết cấu tấm:  Nhóm phương pháp giải tích (phương pháp chính xác) Phương pháp này sẽ cho nghiệm chính xác của tần số riêng và các dạng dao động của tấm dựa trên nền tảng lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff. Kirchhoff là người đầu tiên đưa ra lời giải dao động riêng của tấm hình chữ nhật tựa trên bốn cạnh biên và tấm tròn ngàm trên đường biên vào năm 1850. Sau đó từ 1955 đến 1965 lần lượt các nhà khoa học như W.

Iguchi… đã tìm ra được lời giải chính xác của dao động riêng của tấm đơn hình chữ nhật với các điều kiện biên khác nhau như: tấm bốn biên ngàm, tấm ba biên ngàm một biên tựa, tấm ba biên tựa một biên ngàm… A. Kaczkowski đã đưa ra lời giải chính xác cho dao động riêng của tấm tam giác vuông cân và tam giác đều có các biên tựa hay biên ngàm. Kurata là Chương 2. Tổng quan Trang 10 các tác giả đầu tiên sử dụng phương pháp chính xác để giải bài toán dao động riêng của tấm chữ nhật liên tục nhiều nhịp.

Tấm có sườn là mô hình phù hợp với thực tế, vì vậy bài toán dao động riêng của loại tấm này đã được nhiều tác giả quan tâm vào thời kỳ này. Người đầu tiên giải bằng phương pháp gần đúng là Locksin, kế đến là Philipov và Nowachi giải bằng phương pháp chính xác cho tấm chữ nhật. Sau đó Ripertz tìm ra lời giải cho tấm tam giác bằng phương pháp chính xác [29,41].  Nhóm phương pháp gần đúng Lời giải chính xác đối với bài toán dao động riêng của tấm là rất quý giá vì nó là tiêu chuẩn để đo lường và đánh giá độ chính xác của các phương pháp gần đúng.

Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt thì việc tìm ra nghiệm chính xác của bài toán là rất khó khăn và bế tắc. Vì vậy các phương pháp gần đúng ra đời như: Phương pháp Rayleigh, phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin, phương pháp sai phân hữu hạn (FDMs) và phương pháp phần tử hữu hạn (FEMs), ngoài ra còn có các phương pháp thể tích hữu hạn (FVMs) và phương pháp phần tử biên (BEMs). Phương pháp Rayleigh do J. S Rayleigh tìm ra vào năm 1877 và phương pháp Ritz do W.

Ritz tìm ra vào năm 1908 là những phương pháp rất hiệu quả và đơn giản để tìm ra tần số cơ bản tương đối nhanh mà không cần chú ý tới các tần số cao hơn trong những trường hợp phức tạp như dao động của tấm có sườn, tấm sàn ô cờ… Phương pháp Rayleigh dựa trên cơ sở nguyên lý bảo toàn cơ năng của hệ dao động để suy ra công thức tính tần số cơ bản của tấm. Phương pháp này có nhược điểm là dạng thực dao động phải được giả định chính xác. Phương pháp Ritz khắc phục được nhược điểm trên, nhưng vấn đề cơ bản lúc này là hàm chuyển vị w(x,y) phải thích hợp và thoả mãn các điều kiện biên hình học [41]. Phương pháp Galerkin cũng tương tự như phương pháp Ritz ở chỗ ta chọn hàm chuyển vị w(x,y) phải thoả mãn các điều kiện biên hình học và động học rồi sử dụng tính chất trực giao của các hàm chuyển vị, rồi từ đó nhận được phương trình tần số [7,41].

Tổng quan Trang 11 Phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp thay cho việc giải phương trình vi phân bằng cách giải hệ phương trình đại số, để có được kết quả chính xác hơn ta cần phải chia lưới ra càng nhỏ tức là số mắt lưới dày hơn [7,41]. Jagadeesan (1978) đã phân tích dao động tự do của tấm có 2 cạnh đối diện tựa đơn bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Gera đưa ra moment uốn chính xác của tấm chữ nhật đàn hồi, mỏng bằng công thức sai phân hữu hạn đã hiệu chỉnh. Phương trình song điều hòa được thay thế bởi quan hệ moment uốn-biến dạng và phương trình cân bằng moment.

Tấm chữ nhật đẳng hướng cũng như trực hướng chịu các loại tải trọng và điều kiện biên khác nhau đã được phân tích. Cũng trong thời điểm này, T. Orkisz (1980) đã áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn với các lưới có hình dạng bất kỳ trong miền. Họ đã trình bày một chương trình máy tính có tên gọi FIDAM code để giải các bài toán elip 2 chiều tuyến tính và phi tuyến, các bài toán parabol 3 chiều.

Rất nhiều bài toán đặc trưng trong cơ học ứng dụng và vật lý như: xoắn của thanh, bài toán đàn hồi phẳng, độ võng của tấm và màng, dòng chảy của chất lỏng hay sự phân bố nhiệt độ…đã được giải bằng chương trình FIDAM [1]. Tấm Mindlin chịu tải trọng động dựa trên lý thuyết tấm Mindlin có xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt và quán tính xoay đã được A. Krauthammer (1989) phân tích bằng tiếp cận sai phân hữu hạn. Trong khi Karim S.

Haddad đã phân tích dao động tự do của tấm composite bằng phương pháp sai phân hữu hạn (2004). Họ đã nghiên cứu sự ảnh hưởng của biến dạng cắt và quán tính xoay đến tần số riêng của tấm composite trong 4 trường hợp: bỏ qua cả biến dạng cắt và quán tính xoay, chỉ xét quán tính xoay, chỉ có biến dạng cắt và có cả hai. Lời giải đạt được đối với tấm nhiều lớp Laminate đối xứng và tấm angle-ply [31]. Mới đây nhất năm 2011, C.

Ferreira [33] đã sử dụng kỹ thuật sai phân hữu hạn kết hợp với hàm cơ bản để phân tích tấm composite hình vuông và hình chữ L. Hệ thống hàm cơ bản là một phương tiện rất chính xác Chương 2. Tổng quan Trang 12 để giải bài toán nội suy và giải phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong khi việc sử dụng kỹ thuật sai phân hữu hạn giúp cải thiện các ma trận ổn định hơn.

Tuy nhiên, kỹ thuật sai phân hữu hạn lại bị giới hạn bởi việc sử dụng hệ thống lưới. Đối với các nút phân bố bất kỳ, sự kết hợp giữa kỹ thuật sai phân hữu hạn và các hàm cơ bản là một lựa chọn tối ưu. Roque và các cộng sự đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của tấm và kết hợp kỹ thuật sai phân hữu hạn với hàm cơ bản để tiên đoán ứng xử tĩnh của tấm composite mỏng và dày [33]. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là phương pháp số tương đối phổ biến hiện nay, bởi vì nó có một số ưu điểm: thuận tiện cho việc lập trình, dễ đạt được độ chính xác cao bằng cách chia nhỏ lưới phần tử, giải được các bài toán về nội lực cũng như dao động của tấm vỏ với nhiều hình dáng khác nhau (hình chữ nhật, hình tròn, hình tam giác, tứ giác…) [28].