Chương 1. Giới thiệu khắc phục những điều khó khăn nói trên của FEM. Ý tưởng của phương ph|p không lưới được ph|t triển dựa trên kỹ thuật xấp xỉ bình phương cực tiểu[1], nhưng ở phương ph|p không lưới sẽ không chia các phần tử như trong FEM m{ thay v{o đó c|c nút sẽ đại diện cho vùng được bao quanh. Một điểm thuận lợi của phương ph|p không lưới l{ việc thêm v{o hay xóa bớt c|c nút được thực hiện một c|ch dễ d{ng, linh hoạt, c|c vùng tập trung ứng suất ngay tại đỉnh vết nứt ta có thể dễ d{ng thêm v{o c|c điểm nút để đạt được độ chính x|c mong muốn.
Vì không phải tạo lưới nên việc tính to|n v{ mô phỏng sẽ giảm được khối lượng công việc đ|ng kể. Ngoài ra, phương ph|p không lưới có thể xấp xỉ sử dụng c|c h{m dạng bậc cao, nên tính hội tụ sẽ tốt hơn FEM. Một trong những phương ph|p không lưới được đ|nh gi| l{ cho kết quả tốt, chính x|c v{ đ|ng tin cậy l{ phương ph|p không lưới EFG. Vì vậy trong nghiên cứu n{y phương ph|p không lưới EFG l{ phương ph|p số sẽ được sử dụng để rời rạc hóa kết cấu.
Phương ph|p n{y lần đầu tiên được đưa ra bởi Belytschko và các cộng sự v{o năm 1994[1].2 Tình hình nghiên cứu đề tài Cùng với sự ph|t triển của lý thuyết dẻo, lý thuyết ph}n tích giới hạn được nghiên cứu v{ ph|t triển từ rất sớm. Lý thuyết ph}n tích giới hạn được x}y dựng dựa v{o hai định lý cận trên v{ cận dưới được công bố đầu tiên bởi Drucker, Prager, Greenberg (1952) cho vật liệu đ{n hồi – dẻo lý tưởng v{ Hill với quan điểm vật liệu cứng dẻo lý tưởng (rigid – perfectly plastic). Sau đó, Prager (1972) và Martin (1975) đ~ có những đóng góp tạo bước ngoặt cho sự ho{n thiện v{ ph|t triển của lý thuyết ph}n tích giới hạn. Những đóng góp quan trọng để giải quyết c|c b{i to|n ph}n tích giới hạn kết cấu có thể kể đến l{ c|c công bố của Hodge (1959, 1961, 1963), tiếp đó l{ c|c công bố của Học viên: Nguyễn Tấn Nhơn Trang 6 Luận văn Thạc sỹ Chương 1.
Giới thiệu Massonnet & Save (1967, 1972). Kể từ đó ph}n tích giới hạn có thêm nhiều sự quan t}m v{o sự ph|t triển cả về lý thuyết cũng như ứng dụng của nó v{o các vấn đề kỹ thuật, xem Chakrabarty (1988); Chen & Han (1988); Lubliner (1990); Kamenjarzh (1996); v{ gần đ}y bởi Jirasek & Bazant (2002). Để giải quyết b{i to|n ph}n tích giới hạn, có 2 c|ch tiếp cận kh|c nhau. C|ch thứ nhất là: tiến h{nh ph}n tích từng bước với sự gia tăng nhỏ của tải trọng v{ thực hiện theo phương ph|p lặp Newton- Raphson (Argyris (1967) )[28]; Marcal& King (1967); Zienkiewicz v{ cộng sự (1979)) hoặc sử dụng chương trình to|n học (mathemmatical programming – Maier, 1968)[29]; Cohn & Maier (1979)), việc ph}n tích từng bước cho phép ta biết được to{n bộ qu| trình ph|t triển của biến dạng dẻo, nhưng không có lợi về mặt tính to|n số do phải thực hiện qu| trình lặp nhiều lần.
Còn c|ch thứ 2 giúp ta tìm được tải trọng giới hạn khi kết cấu đạt tới trạng th|i ph| hủy m{ không cần thực hiện c|c bước ph}n tích trung gian đó l{ “phương ph|p ph}n tích trực tiếp tải trọng giới hạn”. Phương ph|p n{y có tính thực dụng v{ quá trình tính toán cũng đơn giản hơn. Sự ph|t triển của phương ph|p x|c định trực tiếp tải trọng giới hạn l{ kết quả của c|c t|c giả Brion & Hodge (1967); Hodge & Belytschko (1968)[2]; Neal (1968); Maier (1970); Nguyễn Đăng Hưng (1976)[30]; Christiansen (1980); Casciaro & Cascini (1982), cùng một số t|c giả kh|c. Ứng dụng ph}n tích giới hạn cho tấm được thực hiện đầu tiên bởi Hodge & Belytschko (1968)[2], trong b{i b|o c|c t|c giả đ~ sử dụng phần tử hữu hạn để rời rạc tấm v{ dùng kỹ thuật SUMT (Sequential Unconstrainned Minimisation Technique) để tính kết quả cho b{i to|n tối ưu.
Một điều thú vị rằng kết quả của lời giải l{ rất tốt dù rằng thực tế hệ lưới sử dụng rất thô v{ chưa tương Học viên: Nguyễn Tấn Nhơn Trang 7 Luận văn Thạc sỹ Chương 1. Giới thiệu hợp (incompatible) với phần tử hữu hạn được dùng. Sau đó có c|c nghiên cứu về ph}n tích giới hạn tấm như sau: Lubliner (1990)[19] đưa ra một số kết quả ph}n tích giới hạn cận trên v{ cận dưới cho tấm hình vuông; Andersen & Christiansen (1998)[15] dùng phần tử kết hợp (Mixed element) v{ đưa về dạng cực tiểu hóa tổng của d~y số (minimizing a sum of norms) để tính tải giới hạn cho tấm hình vuông; Capsoni & Corradi (1999)[13] dùng phương ph|p phần tử hữu hạn để rời rạc hóa kết cấu v{ dùng thuật to|n lặp trực tiếp (direct iterative) để ph}n tích giới hạn cho tấm hình vuông v{ chữ nhật theo c|c lý thuyết Kirchoff v{ Mindlin với một số điều kiện biên kh|c nhau; tiếp dó Capsoni & Vicente da Silva (2009)[14] đ~ đưa ra lời giải cho các b{i to|n tấm hình tròn chịu tải tập trung v{ ph}n bố đều với biên ng{m v{ biên tựa đơn theo lý thuyết Mindlin. Và gần đ}y nhất là c|c nghiên cứu được công bố của Lê Văn Cảnh[9] [10] đ~ cho được c|i nhìn kh| đầy đủ ph}n tích giới hạn cho tấm, về phương ph|p không lưới EFG cũng như c|ch giải b{i to|n tối ưu sử dụng SOCP, sau đ}y giới thiệu 4 b{i b|o quan trọng: (i) Limit analysis of plates using the EFG method and second-order cone programming (2009).
Trong bài báo này t|c giả đ~ tiến h{nh tính to|n tải trọng giới hạn cho tấm theo lý thuyết Kirchoff, sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, c|c định lý cận trên được sử dụng để th{nh lập b{i to|n tối ưu, v{ b{i to|n tối ưu được chuẩn hóa về dạng tối ưu hình nón bậc hai để giải theo chương trình Mosek đ~ lập trình sẵn. Trong bài b|o n{y đ~ tiến h{nh ph}n tích giới hạn cho tấm với hệ lưới nút theo từng bước lặp sẽ được chia lại để thích ứng với những vùng cần thiết, c|c tấm được khảo s|t l{ chữ nhật v{ tấm L Học viên: Nguyễn Tấn Nhơn Trang 8 Luận văn Thạc sỹ Chương 1. Giới thiệu với 2 biên tựa, tấm tròn biên ng{m chịu lực tập trung ở t}m v{ tấm chữ nhật có lổ. Trong b{i b|o n{y, cả hai b{i to|n cận trên v{ cận dưới đều sử dụng tiêu chuẩn von Mises, bài toán cận trên sử dụng phần tử HCT (Hsieh – Clough – Tocher), b{i to|n cận dưới được sử dụng phần tử EM (enhanced Morley).
C|c b{i to|n tấm hình chữ L và tấm chữ nhật được khảo s|t đ~ cho kết quả tốt. Trong b{i b|o n{y c|c tiêu chuẩn von Mises v{ Nielsen được sử dụng, trường moment được xấp xỉ bằng phương ph|p bình phương cực tiểu, c|c định lý cận dưới được sử dụng để th{nh lập b{i to|n tối ưu, phương ph|p không lưới EFG v{ thuật to|n tối ưu hình nón bậc hai cũng được sử dụng. C|c ví dụ số được thực hiện cho tấm hình vuông chịu tải ph}n bố với 4 biên ng{m v{ 4 biên tựa bằng phương ph|p cận dưới đ~ cho kết quả tốt v{ cùng hội tụ về gi| trị được cho bởi lời giải cận trên. Ở Việt Nam cũng có một số công bố về ph}n tích giới hạn được kể đến như: t|c giả Nguyễn Đăng Hưng, Yan Ai-Min, Bùi Công Th{nh trong nghiên cứu “On the Limit and Shakedown Analysis of Plastified and Cracked Structures” Proceedings of The First Vietnam-Japan Symposium in Advances in Applied Electromagnetics and Mechanics HoChiMinh City, Vietnam, January 19- 21,1998; Nguyen An Danh, Bui Cong Thanh, Nguyen Dang Hung, “A recursive approach for limit analysis of frame”, Proceedings of the Sixth National Conference on Solid Mechanics, Hanoi, 11/1999; Le Van Canh, Nguyen Xuan Học viên: Nguyễn Tấn Nhơn Trang 9 Luận văn Thạc sỹ Chương 1.
Giới thiệu Hung, Nguyen Dang Hung. Dual limit analysis of plate bending. Collection of papers from Prof. Nguyen-Dang Hung’s former students, Vietnam National University, Ho Chi Minh City Publishing house, 476 - 494, 2006.
Trong c|c nghiên cứu đ~ được công bố vừa nói trên cho ta thấy việc phân tích giới hạn cho tấm theo lý thuyết Mindlin l{ chưa đầy đủ v{ chưa ho{n chỉnh, cụ thể như sau: Thứ nhất là các kết quả được công bố bởi Capsoni & Corradi (1999), chưa thực sự giải quyết cho b{i to|n tấm Mindlin m{ chỉ sử dụng lý thuyết Mindlin để giải quyết một v{i trường hợp cho tấm mỏng (với hệ số chiều d{y 2a/t=100); Thứ hai l{ c|c nghiên cứu ở trên chưa được thực hiện cho b{i to|n với nhiều điều kiện biên thông dụng khác nhau; Thứ ba trong c|c kết quả được công bố gần đ}y của Lê Văn Cảnh (2009) chỉ mới phân tích giới hạn cho tấm Kircchoff. Vì vậy việc ph|t triển c|c nghiên cứu |p dụng phương ph|p không lưới EFG tính tải giới hạn cho tấm Mindlin cũng như xem xét sự ảnh hưởng của chiều d{y tấm đến gi| trị tải trọng giới hạn l{ cần thiết. Nội dung của luận văn n{y được kế thừa, ph|t triển dựa trên những nghiên cứu v{ công bố của Lê Văn Cảnh.3 Mục tiêu và nhiệm vụ của Luận văn Mục tiêu của đề t{i n{y l{ tính toán gi| trị tải trọng giới hạn cho b{i to|n tấm. Trong đó mô hình vật liệu được sử dụng l{ mô hình vật liệu cứng dẻo lý tưởng (rigid – perfectly plastic), tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, phương pháp số để rời rạc kết cấu l{ phương ph|p không lưới EFG, lý thuyết tấm Mindlin được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa c|c biến chuyển vị, bài toán tối ưu sẽ được th{nh lập dựa v{o c|c định lý giới hạn cận trên và được đưa Học viên: Nguyễn Tấn Nhơn Trang 10 Luận văn Thạc sỹ Chương 1.
Giới thiệu về dạng tối ưu hình nón bậc hai (second order cone programming) để giải theo chương trình Mosek có sẳn. Để đạt được mục tiêu trên, trong Luận văn n{y tiến h{nh những công việc theo quy trình sau: Viết công thức rời rạc của b{i to|n ph}n tích giới hạn cận trên cho tấm Mindlin dùng phương ph|p số EFG. Chuẩn hóa b{i to|n tối ưu ở trên sang dạng tối ưu hình nón bậc hai. Viết lập trình bằng Matlab để tính tải trọng giới hạn cho các bài toán tấm hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn, hình chữ L với một số điều kiện biên khác nhau.
So s|nh kết quả số của phương ph|p EFG với kết quả của phương ph|p số kh|c (FEM) để kiểm tra, minh chứng tính chính x|c v{ đ|ng tin cậy của phương ph|p. So s|nh kết quả lời giải khi cùng sử dụng phương ph|p số EFG ph}n tích giới hạn cho tấm theo 2 lý thuyết Kirchoff v{ Mindlin để đ|nh gi| mức độ phù hợp cũng như phạm vi sử dụng của 2 lý thuyết.
