Chương 1 TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ 1.1 Trạng thái phi cổ điển Các trạng thái phi cổ điển là các trạng thái có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý chất rắn, quang học phi tuyến, quang học lượng tử và đặc biệt trong thông tin lượng tử [1]. Từ điểm xuất phát ban đầu [48] cho đến nay, rất nhiều trạng thái phi cổ điển khác nhau đã được đề xuất về mặt lý thuyết cũng như đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Trong số đó có thể kể đến ba lớp trạng thái mà ứng dụng của chúng đã được ghi nhận cũng như chứng minh có nhiều tiềm năng trong tương lai. Lớp trạng thái đầu tiên phải kể đến đó là trạng thái nén.
Ý tưởng về trạng thái nén được Stoler đưa ra vào năm 1970, đó là những trạng thái mà độ thăng giáng của một đại lượng nào đó có thể nhỏ hơn giá trị tương ứng của trạng thái bất định cực tiểu đối xứng [86], [87]. Mười lăm năm sau, trạng thái nén photon được quan sát lần đầu tiên trong phòng thí nghiệm bởi Slusher [83] và sau đó được khẳng định bởi Kimble [63], 11 Levenson và các cộng sự [68]. Các hiệu ứng nén được mở rộng theo nhiều kiểu khác nhau chẳng hạn như nén biên độ trực giao, nén số hạt pha. Trong nén biên độ trực giao lại có thể chia thành nén bậc thấp thông thường hoặc nén bậc cao theo kiểu Hillery [50] hay kiểu Hong-Mandel [56], nén đơn mode hay nén đa mode dưới dạng nén tổng [12], [51] và nén hiệu [13], [14], [51].
Hơn nữa, trạng thái nén không chỉ tồn tại với photon mà còn được phát triển với các chuẩn hạt khác như polariton [19], phonon [85], exciton [2], [5], [10], [11], biexiton [6], [91], [92], và thậm chí trong nguyên tử như nén spin [15]. Đặc biệt, khi phát triển lên cho trường hợp hai mode, trạng thái nén được chứng minh là trạng thái đan rối và đã được sử dụng trong các mô hình viễn tải lượng tử cho độ tin cậy tuyệt đối trong điều kiện lý tưởng [31]. Lớp trạng thái phi cổ điển tiếp theo là trạng thái kết hợp cặp [16], trạng thái kết hợp chẵn và lẻ [34]. Về sau chúng được phát triển thành các trạng thái kết hợp phi tuyến với rất nhiều hiệu ứng phi cổ điển hứa hẹn mang đến nhiều ứng dụng khác nhau.
Có thể kể tên một số trạng thái quan trọng thuộc lớp này là trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ [71], [78], trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt [1], [7], trạng thái cái quạt [1], [8] và trạng thái kết hợp bộ ba [9]. Nếu như trạng thái cái quạt có vai trò như một trạng thái nén đa hướng thì trạng thái kết hợp bộ ba lại là một trạng thái rối 3 mode và cũng là một nguồn rối quan trọng cho các ứng dụng trong lĩnh vực thông tin lượng tử và tính toán lượng tử. Lớp trạng thái phi cổ điển thứ ba cũng có tầm quan trọng không kém là các trạng thái được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử sinh photon lên một trạng thái quan tâm nào đó, được gọi là các trạng thái thêm photon. Trạng thái thêm photon được Agarwal và Tara đưa ra vào năm 1991 [17] và gần đây được Zavatta xác minh bằng thực nghiệm 12 [95].
Kỹ thuật thêm photon là một trong những kỹ thuật tạo trạng thái rất quan trọng để có thể tạo ra một trạng thái mong muốn bất kỳ [61]. Hơn nữa, các trạng thái thêm photon là những trạng thái thể hiện nhiều hiệu ứng phi cổ điển khác nhau cho dù trạng thái gốc ban đầu trước khi được thêm photon có thể là trạng thái cổ điển như trạng thái kết hợp [17]. Điều đó gợi cho ta nghĩ đến việc thêm photon vào trạng thái phi cổ điển, chẳng hạn như nén hai mode, có thể gia tăng các hiệu ứng phi cổ điển của chúng trong đó có cả hiệu ứng đan rối. Nếu đúng như những gì mong đợi thì lớp trạng thái này sẽ có tầm quan trọng trong việc cải tiến chất lượng của các quá trình viễn tải lượng tử bởi nó có thể làm tăng độ rối của nguồn rối được thêm photon.
Đây là mối quan tâm chính của chúng tôi trong nghiên cứu này và sẽ được trình bày cụ thể trong các chương sau của luận án. Ở đây, trong khuôn khổ của phần tổng quan, chúng tôi trình bày sơ lược một số trạng thái phi cổ điển liên quan trực tiếp đến trạng thái của chúng tôi như trạng thái nén và trạng thái kết hợp thêm photon. Nhưng trước hết, để có cái nhìn tổng quan về khái niệm trạng thái phi cổ điển, chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về trạng thái kết hợp như là ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển Trạng thái kết hợp, ký hiệu |αi, được Glauber [48] và Sudarshan [88] đưa ra vào năm 1963 để mô tả các tính chất của chùm sáng laser. Đó là trạng thái riêng của toán tử hủy photon â|αi = α|αi, (1.1) trong đó α là một số phức, α = |α|eiϕa , được gọi là tham số dịch chuyển với biên độ |α| biến thiên từ 0 đến ∞ và pha ϕa nằm trong khoảng từ 0 13 đến 2π [rad].
Trong hệ cơ sở Fock, trạng thái kết hợp có dạng [46] ∞ 1 2 X αn |αi = exp − |α| √ |ni, (1.2) 2 n=0 n! trong đó n là số nguyên không âm. Về phương diện toán học, trạng thái kết hợp được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển [46] D̂(α) = exp(α↠− α∗ â) (1.3) lên trạng thái chân không như sau: |αi = D̂(α)|0i.4) Trạng thái kết hợp mặc dầu là trạng thái cổ điển nhưng các tính chất của nó đều nằm ở giới hạn cuối cùng còn có thể được chấp nhận theo quan điểm cổ điển. Do đó ánh sáng kết hợp được xem là ranh giới giữa ánh sáng cổ điển và phi cổ điển. Điều kiện cần và đủ ứng với ranh giới này dựa trên đặc điểm của hàm Glauber-Sudarshan P (α) [49], [88].5) R thỏa mãn điều kiện P (α)d2 α = 1.
Như vậy hàm P (α) có tính chất tương tự như hàm phân bố xác suất. Tuy nhiên, P (α) lại có thể nhận giá trị âm hoặc có tính kỳ dị mạnh hơn tính kỳ dị của hàm Delta nên nhìn chung không thể được hiểu như một hàm phân bố cổ điển và vì vậy P (α) được gọi là hàm phân bố giả xác suất. Trạng thái mà hàm P (α) của nó có tính chất như một hàm phân bố thống kê thông thường được gọi là trạng thái cổ điển. Trái lại, trạng thái có hàm P (α) âm hoặc kỳ dị cao được định nghĩa là trạng thái phi cổ điển.
Có thể minh họa cho định nghĩa này bằng cách xem xét hàm P (α) của trạng thái 14 nhiệt (tiêu biểu cho trạng thái cổ điển), trạng thái kết hợp (ranh giới giữa trạng thái cổ điển và phi cổ điển) và trạng thái số hạt (đại diện cho trạng thái phi cổ điển). Trạng thái nhiệt có hàm P (α) dạng Gauss P (α) = (1/πn̄) exp(−|α|2 n̄) [82], trong đó n̄ là số hạt trung bình. Đây là một hàm phân bố cổ điển tiêu biểu, trong khi đó, với trạng thái kết hợp |α0 i, hàm P (α) là hàm Delta δ (2) (α − α0 ). Dễ dàng suy ra từ tính chất của hàm Delta rằng đây là giới hạn cuối cùng của một hàm phân bố cổ điển, và vì vậy, một hàm được xem là kỳ dị cao nếu tính kỳ dị của nó mạnh hơn tính kỳ dị của hàm Delta, chẳng hạn hàm P (α) của trạng thái số hạt |ni [82] 2 e|α| ∂ 2n P (α) = n ∗n δ (2) (α).6) n! ∂α ∂α Bên cạnh hàm Glauber-Sudarshan P (α), trạng thái phi cổ điển đôi khi cũng được xác định trên cơ sở của hàm Wigner [22] 2 W (α) = Tr[D̂† (α)ρ̂D̂(α)(−1)n̂ ].7) π Mặc dầu không có tính kỳ dị như hàm P (α) nhưng hàm Wigner vẫn có thể nhận những giá trị âm nên hàm Wigner cũng là một hàm phân bố giả xác suất.
Nói cách khác, tính âm của hàm Wigner cũng có thể được dùng để xác nhận một trạng thái nào đó là phi cổ điển với lưu ý đây chỉ là tiêu chuẩn đủ. Cụ thể, một trạng thái có hàm phân bố Wigner âm thì chắc chắn đó là trạng thái phi cổ điển. Tuy nhiên, điều ngược lại không phải bao giờ cũng đúng, nghĩa là một trạng thái phi cổ điển không nhất thiết phải có hàm Wigner âm. Đó là vì có những trạng thái mà hàm P (α) có thể nhận giá trị âm - tức là trạng thái phi cổ điển - nhưng lại sở hữu hàm Wigner luôn không âm, chẳng hạn trạng thái nén [46].
Ngoài tiêu chí dựa trên hàm P (α) như vừa đề cập ở trên, ta cũng có thể nhận biết các trạng thái cổ điển qua việc xem xét các tính chất 15 cụ thể của nó. Theo cách này thì một trạng thái được gọi là phi cổ điển khi nó thể hiện một hoặc nhiều tính chất phi cổ điển chẳng hạn như tính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm, tính chất nén,. Các tính chất phi cổ điển là những tính chất không thể suy ra từ quan điểm cổ điển và được đề xuất dựa trên giới hạn mà trạng thái kết hợp đạt được. Khi xem xét tính thống kê photon, trạng thái kết hợp được chứng minh tuân theo phân bố Poisson, nghĩa là trung bình của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp sẽ bằng phương sai của nó.
Nếu xem đây là ranh giới thì nó sẽ chia các trạng thái thành hai nhóm, một nhóm tuân theo thống kê super-Poisson với phương sai của toán tử số hạt lớn hơn trung bình của nó và nhóm còn lại tuân theo thống kê sub-Poisson với tính chất hoàn toàn ngược lại. Như vậy nếu đặt tham số hn̂2 i − hn̂i2 Q= , (1.8) hn̂i trong đó n̂ là toán tử số hạt, thì trạng thái tuân theo thống kê super- Poisson sẽ có Q > 1 và ngược lại cho trường hợp sub-Poisson. Những trạng thái mang tính thống kê sub-Poisson, nghĩa là có tham số Q < 1, sở hữu hàm P (α) âm nên chúng là các trạng thái phi cổ điển. Vì vậy, hiệu ứng sub-Poisson là một trong những tính chất phi cổ điển được dùng để nhận biết các trạng thái phi cổ điển.
Ta cũng có thể phân biệt trạng thái phi cổ điển với cổ điển qua đặc điểm của hàm tương quan bậc hai được định nghĩa [46] hÊ (−) (t)Ê (−) (t + τ )Ê (+) (t + τ )Ê (+) (t)i g (2) (τ ) = , (1.