Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "On the state estimation problem for some classes of dynamical systems and its application" (Nghiên cứu bài toán ước lượng trạng thái cho một số lớp hệ động lực và ứng dụng) do nghiên cứu sinh Đào Thị Hải Yến thực hiện tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Đinh Công Hướng. Luận án thuộc chuyên ngành Giải tích toán học (mã số: 9 46 01 02), được hoàn thành và bảo vệ năm 2023 với hội đồng đánh giá gồm GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát (Phản biện 1), PGS.TS. Nguyễn Đình Phu (Phản biện 2) và PGS.TS. Phạm Quý Mười (Phản biện 3).

Tác giả: Đào Thị Hải Yến
Đơn vị công tác: Trường Đại học Phú Yên
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Quy Nhơn (Khoa Toán và Thống kê)
Người hướng dẫn: PGS.TS. Đinh Công Hướng
Chuyên ngành: Giải tích toán học (Mã số: 9 46 01 02)
Năm hoàn thành: 2023

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Nhiều hệ thống vật lý và kỹ thuật trong thực tế như lưới điện, hệ thống cấp thoát nước, mạng truyền thông và các quá trình sinh học - y tế được mô tả thông qua các hệ phương trình vi phân. Trong các hệ thống điều khiển quy mô lớn, các thiết bị, bộ điều khiển và phân hệ thường liên kết với nhau qua các đường truyền dữ liệu. Do đó, thông tin trạng thái thu thập được thường xuyên gặp phải các hiện tượng:

  1. Trễ thời gian (delayed): Không nhận được thông tin tức thời mà chỉ nhận được thông tin trễ qua kênh truyền.
  2. Thiếu hụt (missing): Không đo lường được toàn bộ vector trạng thái mà chỉ thu thập được một phần tín hiệu đầu ra.
  3. Mất mát tín hiệu (lost): Dữ liệu được cung cấp ngắt quãng, không liên tục.
  4. Nhiễu và can nhiễu (interference/noise): Tín hiệu đo bị sai lệch do tác động của môi trường và sai số cảm biến.

Quá trình vận hành, giám sát và điều khiển hệ thống phụ thuộc trực tiếp vào vector trạng thái. Tuy nhiên, các cảm biến đầu ra thường không cung cấp đủ số lượng biến trạng thái cần thiết. Do đó, việc thiết kế các bộ quan sát trạng thái (state observers), bộ quan sát phiếm hàm (functional state observers) và bộ quan sát khoảng (interval observers) nhằm tái tạo các biến trạng thái chưa biết từ tín hiệu vào/ra là bài toán trung tâm trong lý thuyết điều khiển. Thông tin ước lượng này là cơ sở để thiết kế bộ điều khiển phản hồi, phát hiện lỗi (fault detection), ước lượng lỗi (fault estimation), nhận dạng hệ thống và xử lý tín hiệu.

Khoảng trống nghiên cứu chính mà tác giả xác định bao gồm:

  • Sự thiếu vắng quy trình thiết kế bộ quan sát trực tiếp cho mô hình Glucose-Insulin (GI) phi tuyến có chứa số hạng tích phi tuyến trễ thời gian $x_1(t)x_2(t-\tau)$.
  • Sự hạn chế của các phương pháp phát hiện lỗi hiện hành đối với hệ liên kết có trễ và đầu vào chưa biết khi các điều kiện đại số về hạng ma trận không được thỏa mãn.
  • Nhu cầu xây dựng bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho hệ mạng xung quy mô lớn có bất định bị chặn, trong đó các cận trên và cận dưới phải phản ánh được bản chất động lực xung.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu và đề xuất các phương pháp mới để thiết kế bộ quan sát trạng thái và bộ quan sát khoảng nhằm ước lượng vector trạng thái (hoặc phiếm hàm tuyến tính của vector trạng thái) cho một số lớp hệ động lực phức tạp, đồng thời ứng dụng vào bài toán y sinh và bài toán chẩn đoán lỗi.

Các nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể được phân định như sau:

  1. Thiết lập quy trình biến đổi trạng thái hai giai đoạn kết hợp phép vi phôi đầu ra để thiết kế bộ quan sát trễ cho hệ phi tuyến trễ Glucose-Insulin.
  2. Xây dựng phép biến đổi tọa độ mở rộng cho các hệ thống liên kết có trễ và có đầu vào chưa biết, từ đó thiết kế bộ quan sát phiếm hàm phân tán phục vụ phát hiện lỗi cơ cấu chấp hành mà không đòi hỏi cặp ma trận gốc $(A, C)$ phải quan sát được hoàn toàn.
  3. Thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho hệ mạng xung quy mô lớn có chứa bất định bị chặn ở cả trạng thái và đầu ra, thiết lập điều kiện tồn tại và thuật toán giải ma trận tham số dựa trên kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI).

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu:
    • Hệ phi tuyến trễ mô tả động lực Glucose-Insulin (mô hình 4 biến trạng thái với 2 trễ thời gian $\tau$ và $\tau_g$).
    • Lớp hệ thống liên kết gồm $K$ phân hệ tuyến tính có trễ thời gian cục bộ, trễ liên kết, chịu tác động của nhiễu chưa biết và tín hiệu lỗi.
    • Lớp hệ mạng xung quy mô lớn (large-scale networks impulsive systems) có bất định bị chặn.
  • Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán phân tích định tính, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết ổn định hệ xung (ISS), phương pháp biến đổi tọa độ trạng thái và kỹ thuật tối ưu hóa LMI trong khuôn khổ chuyên ngành Giải tích toán học và Lý thuyết điều khiển.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước trong y văn

Luận án đã tổng thuật chi tiết tiến trình phát triển của lý thuyết ước lượng trạng thái từ thập niên 1960 đến nay:

Hướng nghiên cứu / Công trình Tác giả & Năm Nội dung và đóng góp chính Hạn chế hoặc phạm vi áp dụng
Bộ quan sát toàn phần tuyến tính Luenberger (1966) [60] Đề xuất bộ quan sát trạng thái toàn phần bậc $n$ cho hệ tuyến tính $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t)$. Đòi hỏi hệ thống phải quan sát được hoàn toàn; không xét trễ hay đầu vào chưa biết.
Bộ quan sát có đầu vào chưa biết Darouach và cs (1994) [12]; Deng và cs (2004) [16] Mở rộng cấu trúc bộ quan sát cho hệ có thành phần đầu vào chưa biết $D\omega(t)$ và nhiễu ngẫu nhiên. Chỉ áp dụng cho hệ không trễ thời gian.
Bộ quan sát giảm chiều cho hệ trễ Fairman và cs (1986) [22]; Darouach và cs (1999) [13] Thiết kế bộ quan sát bậc $n-p$ không trễ để ước lượng $n-p$ biến trạng thái chưa đo được cho hệ trễ. Xem thành phần trễ $A_d x(t-\tau)$ như một đầu vào đã biết hoặc triệt tiêu trực tiếp.
Khử số hạng trễ qua đầu vào chưa biết Trinh và cs (2010) [79] Đặt $A_d x(t-\tau) = W\omega(t)$ để chuyển bài toán ước lượng hệ trễ về hệ không trễ có đầu vào chưa biết. Điều kiện tồn tại nghiệm phụ thuộc chặt vào cấu trúc ma trận $W$.
Bộ quan sát phiếm hàm tuyến tính cho hệ trễ Darouach và cs (2001) [14]; Nam và cs (2014) [67] Thiết kế bộ quan sát bậc $r$ ước lượng trực tiếp tổ hợp tuyến tính $z(t) = Fx(t)$ cho hệ có trễ và nhiễu $H\omega(t)$. Áp dụng chủ yếu khi trễ chỉ xuất hiện đơn lẻ trong biến trạng thái.
Biến đổi tọa độ toán tử đa thức Hou và cs (2002) Sử dụng phép biến đổi $z(t) = T(d)x(t)$ với toán tử trễ $d$ để chuyển hệ về dạng chính tắc quan sát được. Điều kiện tồn tại phép biến đổi toán tử rất ngặt và khó thỏa mãn trong thực tế.
Biến đổi chuyển trễ sang kênh vào/ra Huong và cs (2015, 2016) [42], [43]; Huong và cs (2014) [48] Đề xuất phép biến đổi đưa trễ từ trạng thái sang đầu vào/đầu ra, cho phép ước lượng trạng thái trễ hoặc phát hiện lỗi khi $(A, C)$ không quan sát được. Chưa mở rộng đầy đủ cho hệ phi tuyến có tích trễ hoặc hệ liên kết đa chiều có đầu vào chưa biết.
Bộ quan sát khoảng Mazenc và cs; Efimov và cs [18], [28], [29], [63] Thiết kế bộ quan sát khoảng cung cấp cận trên và cận dưới $[x^-(t), x^+(t)]$ cho hệ có bất định; sử dụng phương trình Sylvester. Chiều của bộ quan sát khoảng thường gấp đôi chiều của hệ gốc; chưa phát triển cho hệ mạng xung phiếm hàm phân tán.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Từ việc phân tích các hạn chế của y văn, luận án định vị việc giải quyết ba bài toán cụ thể:

  1. Đối với mô hình Glucose-Insulin: Các phương pháp hiện hữu gặp bế tắc trước số hạng phi tuyến trễ $x_1(t)x_2(t-\tau)$ và sự xuất hiện của các cực cố định (fixed poles) nằm sát trục ảo làm tốc độ hội tụ rất chậm. Luận án lựa chọn giải quyết bài toán ước lượng trạng thái trễ thông qua phép vi phôi đầu ra và biến đổi tọa độ mới.
  2. Đối với hệ liên kết có trễ và phát hiện lỗi: Phương pháp thiết kế bộ phát hiện lỗi phân tán gần nhất (như Trinh và cs, 2020 [78]) đòi hỏi các điều kiện hạng ma trận khắt khe, dẫn đến việc không thể tìm được nghiệm trong một số trường hợp cụ thể. Luận án xây dựng cấu trúc biến đổi tổng quát mới để khắc phục điểm nghẽn này.
  3. Đối với hệ mạng xung quy mô lớn: Các công trình về bộ quan sát khoảng hầu hết tập trung vào việc ước lượng toàn bộ trạng thái cho hệ liên tục hoặc rời rạc thuần túy. Luận án giải quyết bài toán thiết kế bộ quan sát khoảng phân tán chỉ ước lượng phiếm hàm tuyến tính cho hệ mạng xung có bất định bị chặn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm cốt lõi

Luận án vận dụng hệ thống các lý thuyết toán học chuyên sâu thuộc chuyên ngành Giải tích toán học và Điều khiển học:

  • Lý thuyết ổn định Lyapunov: Sử dụng khái niệm ổn định tiệm cận, ổn định mũ của hệ phương trình vi phân $\dot{x}(t) = f(t, x)$. Đối với hệ tuyến tính dừng $\dot{x}(t) = Ax(t)$, tính ổn định tương đương với việc ma trận $A$ là ma trận Hurwitz (mọi giá trị riêng có phần thực âm), thỏa mãn tiêu chuẩn đại số Routh-Hurwitz hoặc tồn tại nghiệm đối xứng xác định dương $X > 0$ của phương trình ma trận Lyapunov: $$A^T X + XA = -Y \quad (Y > 0)$$
  • Lý thuyết ổn định hệ xung và ổn định đầu vào - trạng thái (ISS): Xét hệ thống có xung tại dãy thời điểm rời rạc ${t_i}$: $$\dot{x}(t) = Ax(t) + f(t), \quad t \in [t_i, t_{i+1})$$ $$x(t_{i+1}) = G x(t_{i+1}^-) + g(t_{i+1})$$ với khoảng thời gian dừng (dwell-time) $\theta_i = t_{i+1} - t_i \in [T_{min}, T_{max}]$. Đánh giá độ chặn của quỹ đạo trạng thái thông qua chuẩn logarit ma trận $\mu(A) = \max_j \lambda_j\left(\frac{A + A^T}{2}\right)$ và hàm mũ $\rho(A)$.
  • Ma trận Metzler và tính không âm: Ma trận vuông $M$ được gọi là ma trận Metzler nếu mọi phần tử ngoài đường chéo đều không âm ($m_{ij} \ge 0, \forall i \neq j$). Nghiệm của hệ thống vi phân tuyến tính có ma trận hệ số Metzler sẽ bảo toàn tính không âm ($x(t) \ge 0, \forall t \ge 0$) khi điều kiện ban đầu và đầu vào không âm.
  • Bổ đề ma trận bổ trợ:
    • Bổ đề bất đẳng thức đại số (Lemma 1.1): Cho ma trận đối xứng xác định dương $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ và ma trận $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$, bất đẳng thức sau được thỏa mãn với mọi $x, y \in \mathbb{R}^n$: $$2\langle Qy, x \rangle - \langle Sy, y \rangle \le \langle QS^{-1}Q^T x, x \rangle$$
    • Bổ đề bù Schur (Schur Complement - Lemma 1.2): Cho $Y = Y^T > 0$ và $X = X^T$, ma trận khối thỏa mãn: $$\begin{bmatrix} X & Z^T \ Z & -Y \end{bmatrix} < 0 \iff X + Z^T Y^{-1} Z < 0$$

Phương pháp nghiên cứu

Luận án kết hợp các phương pháp nghiên cứu giải tích định tính và giải thuật số:

  1. Phương pháp vi phôi trên đầu ra (Diffeomorphism on the output): Chứng minh tính dương ngặt của biến trạng thái nồng độ glucose $x_1(t) > 0, \forall t \ge 0$, từ đó áp dụng phép biến đổi logarit $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ để giải quyết tích phi tuyến trễ.
  2. Phương pháp biến đổi tọa độ trạng thái (State transformation technique): Xây dựng các ma trận chuyển cơ sở $M_i, N_i$ hoặc $T_i, T_i^{dii}, T_i^{li}$ để đưa hệ thống ban đầu về dạng chính tắc quan sát được, đẩy toàn bộ các số hạng trễ trạng thái sang kênh thông tin đầu vào và đầu ra.
  3. Phương pháp đại số ma trận và giả nghịch đảo Moore-Penrose: Sử dụng toán tử giả nghịch đảo $A^\dagger$ (hoặc $A^\ddagger$) và không gian trực giao để giải quyết các hệ phương trình ma trận đại số suy biến.
  4. Phương pháp quy hoạch bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI): Chuyển các điều kiện ổn định và điều kiện thiết kế bộ quan sát về hệ LMI, sử dụng công cụ LMI Control Toolbox trong môi trường phần mềm MATLAB để giải các ma trận khuếch đại và phân tích mô phỏng số.

Nội dung chính theo từng chương

Chapter 1: Preliminaries

Chương 1 hệ thống hóa toàn bộ cơ sở toán học và các bài toán thiết kế bộ quan sát kinh điển làm nền tảng cho các chương tiếp theo.

Chương 1: Preliminaries (Các kiến thức chuẩn bị)

Nội dung chi tiết của các phần trong Chương 1:

  • Thiết kế bộ quan sát toàn phần (Mục 1.2.1): Xét hệ tuyến tính $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t)$. Bộ quan sát Luenberger bậc $n$ có dạng $\dot{\hat{x}}(t) = A\hat{x}(t) + Bu(t) + L(y(t) - C\hat{x}(t))$. Động lực sai số $e(t) = x(t) - \hat{x}(t)$ thỏa mãn $\dot{e}(t) = (A - LC)e(t)$. Điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận khuếch đại $L$ sao cho $e(t) \to 0$ là cặp ma trận $(A, C)$ phải quan sát được hoàn toàn.
  • Thiết kế bộ quan sát giảm chiều (Mục 1.2.2): Tách vector trạng thái qua phép biến đổi $x(t) = P w(t) = P [w_p^T(t), w_u^T(t)]^T$, trong đó $w_p(t)$ gồm $p$ biến đo được trực tiếp từ đầu ra $y(t)$, $w_u(t)$ gồm $n-p$ biến chưa biết. Xây dựng bộ quan sát bậc $n-p$ để tái tạo $w_u(t)$, loại bỏ tính dư thừa của bộ quan sát toàn phần.
  • Thiết kế bộ quan sát phiếm hàm tuyến tính (Mục 1.2.3): Đặt bài toán ước lượng trực tiếp hàm trạng thái $z(t) = Fx(t) \in \mathbb{R}^r$ ($r \le n-p$) bằng bộ quan sát bậc $q$: $$\hat{z}(t) = D\omega(t) + Ey(t)$$ $$\dot{\omega}(t) = N\omega(t) + Jy(t) + Hu(t)$$ Định lý 1.1 thiết lập điều kiện cần và đủ để sai số hội tụ tiệm cận về 0 là $N$ là ma trận Hurwitz, $H = LB$, và tồn tại ma trận $L$ thỏa mãn hệ phương trình đại số: $$LA - NL = JC$$ $$F = D L + EC$$ Quy trình giải sử dụng ma trận phân rã $P = [C^\dagger, C^\perp]$ để tách và giải các khối ma trận thành phần $L_1, L_2, N, D, J, E$.
  • Khái niệm bộ quan sát khoảng (Mục 1.2.4): Định nghĩa cấu trúc cặp hệ động lực cung cấp đồng thời cận dưới $z^-(t)$ và cận trên $z^+(t)$ bao bọc quỹ đạo thực $z(t)$ với mọi thời điểm $t \ge 0$.

Chapter 2: A new method for designing observers of a nonlinear time-delay Glucose-Insulin system

Chương 2 trình bày phương pháp mới thiết kế bộ quan sát trạng thái cho mô hình Glucose-Insulin (GI) phi tuyến có trễ thời gian.

Mô hình toán học GI

Mô hình động lực GI tổng quát với hai trễ thời gian được mô tả bởi hệ phương trình vi phân: $$\dot{x}(t) = f(x(t), x(t-\tau)) + Bu(t) + g(y(t), y(t-\tau_g)), \quad t > 0$$ trong đó vector trạng thái $x(t) = [x_1(t), x_2(t), x_3(t), x_4(t)]^T$ gồm:

  • $x_1(t)$: Nồng độ glucose trong huyết tương (mg/dL).
  • $x_2(t)$: Nồng độ insulin trong huyết tương ($\mu$U/mL).
  • $x_3(t)$: Khối lượng insulin trong khoang dưới da tiếp cận được.
  • $x_4(t)$: Khối lượng insulin trong khoang dưới da không tiếp cận được.
  • $u(t)$: Tốc độ tiêm insulin dưới da (tín hiệu điều khiển vào).
  • $y(t) = x_1(t)$: Tín hiệu đầu ra đo được (nồng độ glucose).
  • $\tau > 0$: Trễ thời gian tác động của insulin kích thích hấp thu glucose ở mô ngoại vi.
  • $\tau_g > 0$: Trễ thời gian tuyến tụy tiết insulin thứ cấp đáp ứng với nồng độ glucose huyết tương.

Thành phần gây khó khăn chính trong mô hình là số hạng phi tuyến trễ $x_1(t)x_2(t-\tau)$ trong phương trình của $\dot{x}_1(t)$.

Quy trình biến đổi trạng thái hai giai đoạn

  1. Giai đoạn 1 (Vi phôi đầu ra): Luận án chứng minh rằng với điều kiện ban đầu dương $\phi_1(0) > 0$, nồng độ glucose thỏa mãn $x_1(t) > 0, \forall t \ge 0$. Do đó, phép biến đổi vi phôi $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ được xác định hoàn toàn. Bằng cách chia phương trình thứ nhất cho $x_1(t)$, hệ thống được đưa về dạng tương đương: $$\dot{\tilde{x}}(t) = A\tilde{x}(t) + A_d \tilde{x}(t-\tau) + Bu(t) + \bar{\mu}(\bar{y}(t), \bar{y}(t-\tau_g))$$
  2. Giai đoạn 2 (Biến đổi tọa độ tuyến tính hóa): Đề xuất phép đổi biến tọa độ $z(t) = [z_1(t), \dots, z_n(t)]^T$: $$z_i(t) = M_i \tilde{x}(t) + N_i \tilde{x}(t-\tau)$$ với thuật toán đệ quy xác định các hàng ma trận $M_i, N_i$: $$M_1 = C, \quad N_1 = 0$$ $$M_{i+1} = M_i A - \alpha_i M_1, \quad i = 1, \dots, n-1$$ $$N_{i+1} = M_i A_d + N_i A - \beta_i M_1, \quad i = 1, \dots, n-1$$

Định lý 2.1: Nếu tồn tại các vô hướng $\alpha_i, \beta_i, \gamma_j$ sao cho $[N_i A_d]R = 0$ ($i = 2, \dots, n$) và $[M_n A_d + N_n A - \sum{j=2}^n \gamma_j N_j]_R = 0$, phép biến đổi sẽ chuyển hệ phi tuyến trễ về dạng chính tắc quan sát được: $$\dot{z}(t) = \bar{A}z(t) + \bar{B}u(t) + \bar{B}_1 u(t-\tau) + \Gamma \bar{y}(t) + \Gamma_1 \bar{y}(t-\tau) + \Gamma_2 \bar{y}(t-2\tau) + \dots$$ trong đó cặp ma trận $(\bar{A}, \bar{C})$ có cấu trúc quan sát được hoàn toàn và mọi số hạng trễ đã được chuyển vào kênh thông tin vào/ra.

Thiết kế bộ quan sát trễ và kết quả mô phỏng

Từ dạng chính tắc quan sát được, luận án thiết kế bộ quan sát phiếm hàm bậc 3 để ước lượng hàm trạng thái trễ $h(t) = [x_2(t-\tau), x_3(t-\tau), x_4(t-\tau)]^T$: $$\hat{h}(t) = \omega(t) + E\bar{y}(t)$$ $$\dot{\omega}(t) = N\omega(t) + J\bar{y}(t) + Hu(t) + \dots$$

Trong phần mô phỏng số, tác giả thiết lập tham số $a_1 = 3.0$, thời gian trễ $\tau = 3$ phút, gán giá trị riêng ổn định $\lambda_1 = -0.08$. Sử dụng LMI Toolbox trong MATLAB, ma trận khuếch đại $L$ được tính toán thành công. Kết quả mô phỏng trên Hình 2.1 và Hình 2.2 cho thấy đường ước lượng $\hat{x}_2(t-3)$ bám sát chính xác quỹ đạo của trạng thái trễ thực tế $x_2(t-3)$.

Chapter 3: A new observer for interconnected time-delay systems and its applications to fault detection problem

Chương 3 mở rộng lý thuyết sang lớp hệ thống liên kết chịu tác động của trễ thời gian, nhiễu không xác định và lỗi cơ cấu chấp hành.

Mô hình hệ thống liên kết

Xét hệ thống gồm $K$ phân hệ liên kết được mô tả bởi: $$\dot{x}i(t) = A{ii}x_i(t) + A_{dii}x_i(t-\tau_{ii}) + \sum_{j=1, j \neq i}^K A_{ij}x_j(t-\tau_{ji}) + B_i u_i(t) + D_i d_i(t) + E_i f_i(t)$$ $$y_i(t) = C_i x_i(t), \quad i = 1, \dots, K$$ trong đó $x_i(t) \in \mathbb{R}^{n_i}$, $u_i(t) \in \mathbb{R}^{m_i}$, $y_i(t) \in \mathbb{R}^{p_i}$, $d_i(t)$ là nhiễu không xác định, và $f_i(t)$ là tín hiệu lỗi bất thường cần phát hiện.

Phép biến đổi trạng thái phân tán mở rộng

Luận án đề xuất vector biến đổi trạng thái mới cho phân hệ thứ $i$ với số chiều $n_{i\zeta} = n_i + 2p_i - 1$: $$\zeta_i(t) = T_i x_i(t) + T_i^{dii} x_i(t-\tau_{ii}) + \sum_{l=1, l \neq i}^K T_i^{li} x_l(t-\tau_{li})$$

Định lý 3.1: Thiết lập các điều kiện tồn tại đại số thông qua việc triệt tiêu các khối ma trận thành phần chưa đo được: $$[H_{ki}^1]U = 0, \quad [H{ki}^2]U = 0, \quad [H{ki}^3]U = 0, \quad [H{ki}^4]U = 0, \quad [H{ki}^5]U = 0, \quad [H{ki}^6]U = 0, \quad [H{ki}^7]_U = 0$$ $$[H_k^{if}]_U = 0, \quad [H_k^{id}]_U = 0, \quad [H_k^{lf}]_U = 0, \quad [H_k^{ld}]_U = 0$$ Khi các điều kiện trên thỏa mãn, phân hệ thứ $i$ được chuyển đổi chính xác về dạng chính tắc quan sát được $(\bar{A}_i, \bar{C}_i)$ với các liên kết trễ giữa các phân hệ được chuyển thành các hàm của đầu ra đo được $y_j(t-\tau)$.

Thiết kế bộ sinh phần dư phát hiện lỗi và ví dụ so sánh

Bộ sinh phần dư phân tán (residual generator) cho phân hệ thứ $i$ được thiết lập dưới dạng: $$r_i(t) = T_i \omega_i(t) + F_i y_i(t)$$ trong đó vector trạng thái bộ quan sát $\omega_i(t)$ được thiết kế sao cho khi không có lỗi ($f_i(t) = 0$), $r_i(t)$ tiệm cận về 0 bất chấp sự hiện diện của nhiễu $d_i(t)$; khi xuất hiện lỗi ($f_i(t) \neq 0$), $r_i(t)$ lệch khỏi 0 và kích hoạt cảnh báo lỗi.

Phân tích phản ví dụ so sánh: Luận án đưa ra một hệ thống 2 phân hệ liên kết cụ thể và chỉ ra rằng phương pháp của Trinh và cs (2020) [78] hoàn toàn không thực hiện được do điều kiện hạng ở Bước 2 bị vi phạm: $$\operatorname{rank}\begin{bmatrix} \bar{\Omega}_1 \ \Phi_1 \end{bmatrix} = 5 \neq 4 = \operatorname{rank}(\bar{\Omega}_1)$$ Ngược lại, phương pháp biến đổi tọa độ mới của luận án giải quyết trọn vẹn ví dụ này. Kết quả mô phỏng trên Hình 3.1 và Hình 3.2 khẳng định phần dư $r_1(t)$ và $r_2(t)$ kích hoạt cảnh báo lỗi chính xác tại từng phân hệ tương ứng.

Chapter 4: Distributed functional interval observer design for large-scale networks impulsive systems

Chương 4 nghiên cứu bài toán thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm phân tán cho hệ mạng xung quy mô lớn có bất định bị chặn.

Cấu trúc hệ mạng xung có bất định

Xét mạng lưới gồm nhiều phân hệ chịu tác động của xung tại các thời điểm rời rạc $t_k$: $$\dot{x}i(t) = A_i x_i(t) + \Delta A_i(t)x_i(t) + \sum{j \in \mathcal{N}i} A{ij} x_j(t) + B_i u_i(t) + D_i w_i(t), \quad t \in [t_k, t_{k+1})$$ $$x_i(t_{k+1}) = G_i x_i(t_{k+1}^-) + g_i(t_{k+1})$$ $$y_i(t) = C_i x_i(t) + \Delta C_i(t)x_i(t) + v_i(t)$$ với các thành phần bất định $\Delta A_i, \Delta C_i$, nhiễu trạng thái $w_i(t)$ và nhiễu đo $v_i(t)$ đều bị chặn bởi các cận trên và cận dưới đã biết.

Thiết kế bộ quan sát khoảng phiếm hàm

Mục tiêu là thiết kế bộ quan sát khoảng để ước lượng phiếm hàm tuyến tính $z_i(t) = F_i x_i(t)$ sao cho: $$z_i^-(t) \le z_i(t) \le z_i^+(t), \quad \forall t \ge 0$$ Cấu trúc bộ quan sát được đề xuất gồm hai hệ động lực xung tương ứng cho cận dưới $z_i^-(t)$ và cận trên $z_i^+(t)$. Luận án xây dựng các điều kiện tồn tại dựa trên:

  1. Tính chất ma trận Metzler để bảo toàn tính dương của sai số biên trên $e_i^+(t) = z_i^+(t) - z_i(t) \ge 0$ và sai số biên dưới $e_i^-(t) = z_i(t) - z_i^-(t) \ge 0$.
  2. Ổn định đầu vào - trạng thái (ISS) cho hệ động lực xung với khoảng thời gian dừng $[T_{min}, T_{max}]$.
  3. Giải hệ phương trình ma trận Sylvester kết hợp kỹ thuật LMI để tìm các ma trận tham số chưa biết của bộ quan sát.

Kết quả mô phỏng số trên hai ví dụ (minh họa qua các Hình 4.1 đến 4.5) xác nhận rằng các cận $z_i^-(t)$ và $z_i^+(t)$ tạo thành dải bao bọc chặt chẽ và hội tụ ổn định xung quanh tín hiệu trạng thái thực $z_i(t)$.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp mới về mặt khoa học lý thuyết và giải pháp kỹ thuật:

Các đóng góp mới của luận án

Tổng hợp đóng góp theo từng bài toán

Lớp hệ thống nghiên cứu Đóng góp mới về mặt lý thuyết Giải pháp / Thuật toán đề xuất Hiệu quả kỹ thuật đạt được
Hệ phi tuyến trễ Glucose-Insulin Khắc phục trở ngại của số hạng tích phi tuyến trễ $x_1(t)x_2(t-\tau)$ và hiện tượng cực cố định gần trục ảo. Kết hợp vi phôi đầu ra $\bar{y} = -\ln(y)$ với phép đổi biến $z_i(t) = M_i\tilde{x}(t) + N_i\tilde{x}(t-\tau)$; giải qua giả nghịch đảo Moore-Penrose. Thiết kế thành công bộ quan sát trễ bậc 3 ước lượng chính xác nồng độ insulin $x_2(t-\tau)$ từ dữ liệu glucose đo được.
Hệ thống liên kết có trễ và nhiễu Mở rộng cấu trúc biến đổi tọa độ phân tán, giải quyết bài toán phát hiện lỗi mà không đòi hỏi cặp $(A_i, C_i)$ quan sát được. Thiết lập Định lý 3.1 với hệ điều kiện đại số triệt tiêu $[H_{ki}^j]_U = 0$; xây dựng bộ sinh phần dư $r_i(t) = T_i\omega_i(t) + F_i y_i(t)$. Tách biệt hoàn toàn ảnh hưởng của nhiễu $d_i(t)$, phát hiện chính xác lỗi cơ cấu chấp hành tại phân hệ; giải quyết trường hợp phương pháp cũ bị tắc.
Hệ mạng xung quy mô lớn có bất định Xây dựng lý thuyết quan sát khoảng phiếm hàm cho hệ xung, giảm chiều bộ quan sát so với quan sát toàn phần. Tích hợp điều kiện ma trận Metzler, tiêu chuẩn ổn định ISS trên khoảng dừng $[T_{min}, T_{max}]$ và giải LMI. Cung cấp dải bao bọc $[z_i^-(t), z_i^+(t)]$ tin cậy cho hàm trạng thái $F_i x_i(t)$ dưới tác động của bất định và nhiễu bị chặn.

Giá trị ứng dụng thực tiễn

  1. Trong y sinh học: Cung cấp công cụ toán học hỗ trợ ước lượng gián tiếp nồng độ insulin trong máu từ các cảm biến đo glucose tự động liên tục, góp phần hỗ trợ thiết kế thuật toán cho hệ thống bơm insulin tự động trong điều trị đái tháo đường.
  2. Trong kỹ thuật điều khiển mạng: Cung cấp giải pháp giám sát an toàn và chẩn đoán sự cố cho các hệ thống công nghiệp phân tán quy mô lớn như lưới điện thông minh, mạng cấp thoát nước và mạng truyền thông số.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên các nội dung được trình bày trong luận án, các điểm hạn chế và định hướng phát triển bao gồm:

  • Hạn chế:
    • Trong phương pháp biến đổi tọa độ ở Chương 2, đối với một số trường hợp tham số cụ thể, bộ quan sát thu được chỉ là bộ quan sát trạng thái trễ (delayed state observer) hoặc bộ quan sát hỗn hợp trễ - tức thời, chưa thể tái tạo trực tiếp trạng thái tức thời $x(t)$ tại thời điểm hiện tại.
    • Các điều kiện tồn tại phép biến đổi trạng thái ở Chương 3 đòi hỏi một số hệ phương trình đại số ma trận phải có nghiệm, điều này phụ thuộc vào cấu trúc liên kết cụ thể của các ma trận hệ thống.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng phương pháp cho các lớp hệ phi tuyến trễ có cấu trúc phức tạp hơn và trễ biến thiên theo thời gian $\tau(t)$ hoặc trễ phân bố.
    • Phát triển bộ ước lượng đồng thời trạng thái tức thời và nhận dạng trực tiếp biên độ lỗi phục vụ bài toán điều khiển dung lỗi (fault-tolerant control).

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu cho các đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Giải tích toán học, Toán ứng dụng, Tự động hóa và Lý thuyết điều khiển: Tham khảo phương pháp tiếp cận giải tích định tính, kỹ thuật biến đổi tọa độ vi phân và kỹ năng giải các bài toán quan sát trạng thái phức tạp.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu:
    • Tham khảo quy trình tuyến tính hóa từng phần qua vi phôi đầu ra kết hợp phép biến đổi tọa độ ở Chương 2.
    • Tham khảo kỹ thuật xây dựng bộ sinh phần dư phát hiện lỗi phân tán giải quyết bài toán suy biến hạng ma trận ở Chương 3.
    • Tham khảo kỹ thuật phân tích ổn định hệ xung kết hợp ma trận Metzler và LMI ở Chương 1 và Chương 4.
  • Kỹ sư phát triển hệ thống điều khiển y sinh và mạng công nghiệp: Vận dụng các thuật toán ước lượng trạng thái và phát hiện lỗi vào các bài toán giám sát thực nghiệm.

Câu hỏi thường gặp

1. Phép biến đổi vi phôi trên đầu ra ở Chương 2 được thiết lập dựa trên cơ sở toán học nào?

Phép biến đổi vi phôi $\bar{y}(t) = -\ln(y(t))$ được thiết lập dựa trên việc chứng minh tính dương nghiệm $x_1(t) > 0, \forall t \ge 0$ của mô hình Glucose-Insulin khi điều kiện ban đầu dương. Tính chất này đảm bảo hàm logarit luôn xác định, cho phép chuyển đổi số hạng tích phi tuyến trễ $x_1(t)x_2(t-\tau)$ thành dạng tuyến tính hóa từng phần gắn liền với các kênh thông tin đầu vào và đầu ra.

2. Tại sao phương pháp phát hiện lỗi ở Chương 3 giải quyết được ví dụ mà phương pháp của Trinh và cs (2020) [78] thất bại?

Trong ví dụ ở Chương 3, phương pháp của Trinh và cs (2020) [78] đòi hỏi điều kiện đại số $\operatorname{rank}\begin{bmatrix} \bar{\Omega}_1 \ \Phi_1 \end{bmatrix} = \operatorname{rank}(\bar{\Omega}1)$, tuy nhiên phép tính ma trận thực tế cho thấy $5 \neq 4$, dẫn đến việc không thể xác định được ma trận khuếch đại bộ quan sát. Phương pháp của luận án sử dụng cấu trúc vector biến đổi trạng thái mở rộng chứa nhiều trạng thái trễ liên kết, triệt tiêu thành công các ma trận thành phần chưa biết $[H{ki}^j]_U = 0$ và đưa phân hệ về dạng quan sát được hoàn toàn.

3. Cấu trúc bộ quan sát khoảng ở Chương 4 có điểm gì khác biệt so với các bộ quan sát khoảng truyền thống trong y văn?

Bộ quan sát khoảng truyền thống thường ước lượng toàn bộ vector trạng thái $x(t) \in \mathbb{R}^n$, làm tăng gấp đôi số chiều của bộ quan sát ($2n$). Bộ quan sát khoảng ở Chương 4 chỉ ước lượng phiếm hàm tuyến tính $z_i(t) = F_i x_i(t)$ nên giảm được số chiều tính toán. Đồng thời, cấu trúc hai cận trên và cận dưới là các hệ động lực xung, phù hợp với các hệ thống có tác động xung tại các thời điểm rời rạc.

4. Các kết quả nghiên cứu chính của luận án đã được công bố và báo cáo tại những diễn đàn khoa học nào?

Các kết quả của luận án được công bố trong các bài báo khoa học chuyên ngành (các công trình [52, 53, 83] trong danh mục tài liệu tham khảo của luận án) và được báo cáo tại:

  • Hội thảo Tối ưu hóa và Tính toán Khoa học lần thứ 20 (Workshop on Optimization and Scientific Computing) tại Ba Vì, Hà Nội (21–23/04/2022).
  • Hội nghị Toán học miền Trung và Tây Nguyên lần thứ 4 tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế (tháng 8/2022).
  • Các buổi seminar chuyên môn tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Đào Thị Hải Yến đã giải quyết bài toán thiết kế bộ quan sát trạng thái, bộ quan sát phiếm hàm phát hiện lỗi và bộ quan sát khoảng phân tán cho ba lớp hệ động lực phức tạp gồm hệ phi tuyến trễ Glucose-Insulin, hệ liên kết có trễ với đầu vào chưa biết và hệ mạng xung quy mô lớn có bất định. Các phương pháp biến đổi tọa độ và giải thuật ma trận đề xuất đã khắc phục được các hạn chế về số hạng phi tuyến trễ cũng như sự vi phạm điều kiện quan sát được trong các công trình trước đây. Toàn bộ các kết quả lý thuyết được chứng minh chặt chẽ về mặt giải tích toán học và được kiểm chứng tính đúng đắn thông qua các thuật toán giải LMI và mô phỏng số.