Chương 1 Sơ lược lý thuyết tán xạ lượng tử Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn vé lý thuyết tan xa lượng tử. Cụ thể, công thức chỉ tiết về tiết diện tán xa đàn hồi sẽ được dẫn ra bằng kĩ thuật khai triển sóng riêng phần dé tính độ lệch pha. Thế tán xạ được giả định là thé đỗi xứng cau, do đó các phương trình tập trung chủ yếu vào trường xuyên tâm. Tan xạ lượng tử 1.
Phương trình sóng Ta sẽ xét một thí nghiệm tán xạ đơn giản: M6t chùm tia chứa các hạt mang cùng năng lượng, tán xa vào hạt bia. Các hạt ban ra sẽ được đo bằng các dau đò (detector) dùng để xác định góc lệch so với truc hướng đến. Thí nghiêm được mé tả như hình 1.1 bên dưới Ta thường biểu diễn các hạt tới dưới dang các hàm sóng. Do đó, nhiệm vụ của ta là giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Ow oy ih = (-v +1 ) wv.1) Tuy nhiên, nêu chùm tia được bat trong thời gian đủ lâu so với thời gian va cham của các hạt, ta có thể áp dụng tính chất của trạng thái đừng cho hàm sóng.
Tức là hàm sóng là một hàm độc lập (không phụ thuộc) thời gian. Hơn nữa, nếu chùm tia tới có năng lượng E xác định thi ta có thể tách hàm sóng của ta ra thành 2 phần như sau 9(r,t) _ -iE W(,£) = Ú(r)c”!" = e#"u(r)— (12) DO COS Thay vào phương trình (1.1) phía trên, ta được: th tE B —e LỚ ips y(n) = (-- v" sỈ: v) J0) e N 9® _. (13) Ta thay rằng phương trình trên không còn phụ thuộc vào biến thời gian ft nữa. Do đó, ta chỉ can giải quyết phương trình sóng Schrédinger độc lập thời gian (1.3) với các điều kiện biên có sẵn là ta sẽ giải quyết được bài toán tan xạ.
O day, E là năng lượng của dong hat tới. Để giải bài toán trên, ta có nhiều phương pháp như phương pháp khai triển sóng riêng phan, phương pháp hàm Green, gan đúng Born bac nhất. O đây, ta sẽ sử dung phương pháp khai triển sóng riêng phan, sẽ được nhắc đến ở phan sau. Sóng tấn xạ Các hạt tán xạ bên ngoài tam tương tác giữa 2 hạt sẽ được miêu tả bởi một sóng cầu có dạng eit /r, tấn xạ theo một góc Ø nào đó từ tâm của tương tác va cham.
Do đó, khi ta xét hàm sóng ở một khoảng cách r rat lớn so với tam lương tác a giữa 2 hat. Lúc này, hàm sóng sẽ bao gồm 2 thành phan, 1 phan là sóng tới là sóng phẳng có dang e '# và 1 thành phần là sóng tán xa là sóng cầu được nói đến bén trên. Ta có thể biểu diễn như sau: eikr wlr) Sr eTM + f(8,. Điền độ tán xa nay sẽ mang theo thông tin của thế hạt nhân và đo độ tán xạ của sóng tới theo 0 và ó.
Ỏ đây, để đơn giản bài toán, ta sẽ xét các hat có spin bằng 0. Do đó biên độ tán xạ ƒ sẽ không phụ thuộc vào ở, ta có thể viết lại ham sóng tán xạ ở khoảng cách r như sau u(r) = ef + f(0)—.5) Góc tán xa Ø là góc tạo bởi phương của hat tới & và phương của hat tán xạ k* như hình 1.2 bền dưới tt Phương song tới k Hình 1. Góc tan xạ Ø tạo bởi sóng Lới và sóng tán xạ. Tiết diện tán xạ lượng tử Nếu một hạt tán xạ được phát hiện bởi một đầu đò có tầm tác dụng là da, được đặt cách tâm tán xạ một khoảng r, lúc này, góc khối sẽ được tính theo biểu thức: do =.6) Lúc này, số hat dau dò thu được trên một đơn vị thời gian sé được tính theo biểu thức N, = %, da = S,r? dQ.7) Khi đó, tiết điện tan xa vi phan do /dQ sẽ được định nghĩa là số hạt tán xạ vào góc khối dQ tại một góc Ø, chia cho số hat tới.8) dQ 5; Lay vi phân toàn mién theo góc khối dQ, ta sé được tiết điện tan xa toan phan da a= [fs IQ — —— = fis (6)| “2z sin 6 dé.
Phương pháp khai triển sóng riêng phần và độ lệch pha 1. Hamiltonian cho chuyển động trong trường xuyên tâm Nếu thé tương tác là một thé xuyên tâm V = V(r), chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tương đối 7. Hamiltonian của một hạt chuyển động trong trường xuyên tâm có dang : h ñ=-z—A+Vf (1.10) Toán tử Laplace trong tọa độ cầu được biểu điễn như sau: 10,0 I1/ 1 Ø a 1 c & (mm S86 T sin? ie) om Phan trong ngoặc chính là một phan của toán tử bình phương moment đồng lượng quỹ dao LŸ 2 : & 0 08 am 38 + sin* 6 =): (1.12) 0¢* ax : | z i? = —fi2 — sin #—. Do đó, ta có thể viết lai Hamiltonian thành dang như sau: a ) +V( r ).
Phương trình Schrödinger cho tan xạ đàn hồi Đối với bai toán xa đàn hồi, Hamiltonian sẽ bao gồm động năng của hạt bia A, động năng của hat tới i và thé năng tương tác V(r) giữa 2 hat.14 Sử dung hệ toa độ khối tam, ta có thể viết lai Hamiltonian trên đưới đạng như sau: l 1 H = 2P ee ——p? +— +V(r), 7 (1.15) 5) với M là khối lượng khối tâm, m là khối lượng rút gọn của hệ, p, là xung lượng của khối tâm và ø là xung lượng của chuyển động tương đối giữa 2 hạt. Ta thay Hamiltonian có dạng tách biến, thành phan p?/(2A/) chi phụ thuộc vào vector tọa độ của khối tâm trong không gian. Thành phần (p°/(2m) + V(r)) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tương đối của 2 hat trong không gian. Ngoài ra, ở đây ta chỉ chú ý đến chuyển động tương đối giữa 2 hạt, nên ta chỉ khảo sát thành phan (pˆ/(2m) + V(r)).
Sử dụng Hamiltonian cho chuyển động trong trường xuyên tâm ở biểu thức (1.13), ta được Hamiltonian cho tan xa đàn hồi có dang: a 2m r+ w= _ 2m L 2Ør Or 2m) tứ) (1.06) ee | wf1id,d ?2 Phương trình Schrodinger có dạng: hi? (a52 w+ (V(r) - E]=ụ 0.17) 2m tÔr Or hề 1. Phương pháp khai triển sóng riêng phần Tóm tắt phương pháp Đối với phản ứng tán xạ, nến khoảng cách r của 2 hạt nhỏ hơn tam tương tác a của chúng thì hàm sóng sẽ bị ảnh hưởng bởi thế tương tác V(r), làm cho hàm sóng bị lệch di. Tuy nhiên, khi di ra ngoài tam tương tác (r > a), lúc này hàm sóng không còn chịu tác động của thé tương tác V(r) nữa, do đó hàm sóng lúc này sẽ là một hàm sóng phẳng có dang hình sin. Minh họa như hình bén đưới: Hình 1.
Minh họa hàm sóng tán xạ Ta sẽ đem hàm sóng này, so sánh với hàm sóng của sóng phẳng bình thường, ta sẽ thay hàm sóng bị lệch đi 1 pha ổ; nào đó. Và đô lệch pha này do thé tương tác V(r) gây ra. Dj Bab pita Hình 1. Độ lệch pha so với sóng phẳng Do đó.
khi ta khép hai hàm sóng này lại với nhau, ta sé tìm được độ lệch pha của hàm sóng do thế tương tác gây ra. Từ độ lệch pha nay, ta sẽ tìm được tiết điện tấn xạ của phản ứng. Các bước tính toán Ta tách hàm sóng thành 2 phan, một thành phan theo bán kính r, thành 9 phần còn lại theo góc Ø và ó như sau: >> U(r,Ø,ó) = ›» a Ri(r)Y¥in (0.18) ¡=0 với: a; là biên độ của các sóng thành phan. Ham cau Yj, chỉ phụ thuộc vào góc Ø do ta không xét đến thành phần góc ở.
Và số lượng tử từ m bằng 0. Do đây là thế đối xứng cầu, nên ta sẽ luôn tìm được trị riêng của hàm cau Yio có giá trị là /. Lúc nay, hàm bán kính ?#?,(r) phải thỏa mãn phương trình vi phân sau: a ( d,0 1+1) — 2m "an ) R(r) + (V(r) — E) R(r) =0.20) Lúc này, biểu thức (1.19) sẽ được rút gọn thành: đều; (r) E(l+1) Im.21) Khi ta xét các giá trị r nằm ngoài tầm tương tác của 2 hạt ( r > œ%). lúc này thé tương tác của hạt sẽ có giá trị bằng 0 (V (r) = 0) va L(I + 1) /r? — 0.
Rút gọn lại, ta được phương trình vi phân bậc 2 như sau: đều; (r} dư? + ku (r) = 0.22) 10 Giải phương trình trên, ta được các nghiêm như sau: tr (r) = A;sin (ir - st] + Bicos (i = 2t) = C;sin G — stn + i) " Cc [cứ — c8 2tr] - (1.23) trong đó, các hệ số Ay, By, Cy hay C7 được xác đình bằng các diéu kiên biên. Số hang ổ; được gọi là độ lệch pha (phase shift) của trường hợp tán xạ bởi thế tương tác hạt nhân so với khai triển sóng phẳng của hàm Bessel. Ở đây, ta thêm vào kết quả một pha lz/2 để khai triển có dang thuận lợi cho ta sử dung ở phan sau. Bây giờ ta sẽ xét khai triển Bessel của sóng phẳng như sau: of =O VÍ4m(31 + 1)È2(Rr)Yio (8).24) i=0 Khi ở khoảng cách r rat lớn r => 90, ham cau Bessel sẽ có dang: sin G - si) ; 1 alkr) = ——p Lúc này, ta có thể viết lại khai triển Bessel của sóng phẳng ở miễn tiêm cận v6 cùng như sau: 11 ek? = ? 4m(21 + 1) sin G _ si") Yio (6) _ + ws.
c—tê)| Vi(g6 Đụth" L„—i(r—3tx} lo on —- 4 2 4 Ũ fo. O biểu thức cuối, ta cho e”*/* = i! để cho khai triển có dang thuận Idi cho ta sử dung ở phan sau. Sự khác biệt giữa biểu thức (1.25) là do độ lệch pha (phase shift), thể hiện rõ nhất ở khai triển dưới dang ham sin. Ta thấy trong biểu thức ham +6;(r).
ham sin bị lệch đi một góc ở; so với khai triển Bessel của sóng phẳng ở tiêm can vô cùng. Hiện tượng trên xảy ra do thể tương tác V(r) đã làm cho hàm sóng ở biểu thức (1.23) bị lệch đi một pha 4; so với hàm sóng phẳng của một hat tự do trong biểu thức (1. Tiết diện tán xạ đàn hồi Thay kết quả tính được ở biéu thức (1.23) vào biểu thức (1.18), ta được khai triển của hàm sóng tiệm cận võ cùng có dạng: = 1 1 (r,8) = » ayYio (Ø) = sin G — =Ì1 + ) : (1.26) = r 2 với 2 tham số a; ở (1.23) được gộp lai thành aj. Biểu thức trên, cùng với biển thức (1.5) chi là các cách khai triển khác nhau của cùng 1 hàm sóng tan xa u(r) ở tiệm cận vô cùng.
Do đó, ta có 12 thể viết lại thành: tkr oo e** + £(0,0)- == › a¡Yio (8) ~sin G - PS + i) - 1L.