Chương 1. 12 hệ giàu neutron hình thành nên sao neutron và siêu sao [45, 66], trong vật lý hạt nhân không bền, khi nghiên cứu những tính chất bức xạ và phân rã của hạt nhân nặng giàu neutron. Sự thành công của vật lý hạt nhân ở năng lượng thấp và trung bình đã cho phép người ta tin rằng các nucleon và meson là những bậc tự do phù hợp để mô tả chất hạt nhân. Đến nay, mô hình hạt nhân tương đối tính của Walecka [90, 92, 112] đã chứng tỏ là một lý thuyết thành công nhất trong nghiên cứu nhiều tính chất hạt nhân: như năng lượng liên kết, khối lượng của nucleon trong môi trường, phương trình trạng thái, chuyển pha khí-lỏng, v.
Bên cạnh sự thành công của mô hình Walecka, Giáo sư Tiến sỹ Khoa học Trần Hữu Phát và các cộng sự cũng đã thu được những kết quả tốt khi sử dụng mô hình bốn-nucleon [107, 108] với các số hạng tương tác tương tự như mô hình Nambu–Jona-Lasinio (NJL) chỉ có duy nhất một bậc tự do nucleon nghiên cứu các tính chất của chất hạt nhân. Trong môi trường hạt nhân, các nucleon tương tác trực tiếp với nhau tạo nên những trạng thái liên kết đóng vai trò như các meson. Các dạng ngưng tụ của chúng hN̄ N i, hN̄ γµ N i, và hN̄ γµ~τ N i cho đóng góp chủ yếu vào tính chất bão hòa của chất hạt nhân. Ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn, chúng đóng góp vào phương trình trạng thái, chuyển pha khí-lỏng và những tính chất khác.
Những lý do để sử dụng mô hình kiểu này là: Thứ nhất, những ứng dụng mô hình vào nghiên cứu cấu trúc hạt nhân gần đây đã chỉ ra rằng mô hình mô tả tốt các tính chất khối của hạt nhân. Thực tế, mô hình này mô tả tốt hoặc tốt hơn bất kỳ mô hình vi mô nào đang dùng hiện nay. Thứ hai, gần đúng trường trung bình rất phù hợp về mặt nhiệt động. Bây giờ, Chương 1.
13 sử dụng mô hình bốn-nucleon, ta xuất phát từ hàm mật độ Lagrangian £ = £NJL + µψ̄γ 0 ψ, Gs Gv Gr ~τ µ 2 £NJL = ψ̄(i∂ˆ − M )ψ + (ψ̄ψ)2 − (ψ̄γ µ ψ)2 − (ψ̄ γ ψ) ,(1.1) 2 2 2 2 trong đó: µ là thế hóa, µ = diag(µp , µn ), µp,n = µB ± µI /2; µB là thế hóa baryon, µI là thế hóa isospin; ψ là toán tử trường mô tả nucleon, M là khối lượng thuần của nucleon, Gs , Gv , và Gr là các hằng số liên kết, ~τ là các ma trận Pauli, γµ là các ma trận Dirac. Thực hiện boson hóa, ~τ σ = ψ̄ψ, ω µ = ψ̄γµ ψ, ~%µ = ψ̄ γµ ψ, (1.2) 2 hàm mật độ Lagrangian (1.1) có dạng mới ~τ £ = ψ̄(i∂ˆ − M + γ0 µ)ψ + Gs ψ̄σψ − Gv ψ̄γ µ ω µ ψ − Gr ψ̄γ µ .~%µ ψ 2 Gs 2 Gv 2 Gr 2 − σ + ω + ~% .3) 2 2 2 Dưới đây, ta sẽ tính thế nhiệt động, tái hiện tính chất bão hòa của chất hạt nhân, tính các đại lượng vật lý quan trọng mà thực nghiệm đã khống chế được là khối lượng của nucleon trong môi trường và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân ở mật độ bão hòa, lần lượt nghiên cứu phương trình trạng thái, cấu trúc pha của chất hạt nhân có tính đến đóng góp của bậc tự do isospin.1 Thế nhiệt động Trong gần đúng trường trung bình, ta thay các toán tử trường meson σ, ω, và % bởi các giá trị trung bình ở trạng thái cơ bản trong chất hạt Chương 1.3) hàm mật độ Lagrangian được viết lại LM F T = ψ̄{i∂ˆ − M ∗ + γ 0 µ∗ }ψ − U (u, ρB , ρI ), (1.8) 2 Nghiệm M ∗ của phương trình (1.6) là khối lượng nucleon hiệu dụng, yếu tố môi trường hạt nhân đã làm thay đổi khối lượng nucleon. Xuất phát từ (1.5) hàm phân bố chính tắc lớn của hệ được viết Z Z ψ̄(i∂ˆ − M ∗ + γ0 µ∗ )ψ − U (u, ρB , ρI ) .9) X Chuyển sang hình thức luận thời gian ảo, ta viết tích phân trong không thời gian bởi Z Z β Z = dτ d3 x X 0 tích phân theo trục "thời gian ảo" τ = it chạy từ 0 đến nghịch đảo của nhiệt độ β = 1/T và véc tơ bốn chiều trong không gian tọa độ được ký hiệu X ≡ (t, ~x) = (−iτ, ~x). 15 Đưa vào đây các biến đổi Fourier của trường 1 X −iKX 1 X i(ωn τ +~k~x) ψ(X) = √ e ψ(K) = √ e ψ(K), V K V K 1 X iKX ψ̄(X) = √ e ψ̄(K), V K với xung lượng bốn chiều K ≡ (k0 , ~k) = (−iωn , ~k), và K.X = k0 x0 − ~k~x = −(ωn τ + ~k~x), với ωn chính là các tần số Matsubara.
Từ tính chất phản tuần hoàn của toán tử trường ψ(0, ~x) = −ψ(β, ~x) ta có eiωn β = −1, do vậy, các tần số Matsubara viết cho các hạt fermion thỏa mãn ωn = (2n + 1)πT với n ∈ Z. Sử dụng biểu thức khai triển Fourier, ta có G−1 (K; u, ρB , ρI ) Z X ˆ ∗ ∗ ψ̄(i∂ − M + γ0 µ )ψ = − ψ̄(K) ψ(K) (1. Thay biểu thức (1.9), ta được G−1 (K; u, ρB , ρI ) Z − VT U (u,ρB ,ρI ) X Z = e Dψ̄Dψ exp − ψ̄(K) ψ(K) T K −1 V G (K; u, ρB , ρI ) = e− T U (u,ρB ,ρI ) det T Chương 1. 16 định thức được lấy trong toàn bộ không gian vị, không gian Dirac, không gian spin và không gian xung lượng.
Thế nhiệt động tại nhiệt độ T và thế hóa µ được viết T Ω(T, µ) = − ln Z. V Lấy định thức trong toàn bộ không gian Dirac, không gian vị và không gian spin và không gian xung lượng, ta được Z ∞ T − − Ω = U (u, ρB , ρI ) − 2 k 2 dk ln(1 + e−E− /T ) + ln(1 + e−E+ /T ) π 0 + + −E− /T −E+ /T + ln(1 + e ) + ln(1 + e ) , (1.11) với E∓± = Ek ∓ (µB − Gv ρB ) ± (µI − Gr ρI )/2, là phổ năng lượng của nucleon trong chất hạt nhân q Ek = ~k 2 + M ∗2 , là năng lượng của một nucleon. Như đã biết, µB là thế hóa baryon hay nói cách khác là thế hóa của các nucleon trong chất hạt nhân, từ thế nhiệt động Ω và thế hóa µB ta dễ dàng xác định được mật độ chất hạt nhân; µI là thế hóa isospin, nói lên bậc tự do isospin, phản ánh bất đối xứng trong chất hạt nhân. Như vậy, trong biểu thức của phổ năng lượng của nucleon trong chất hạt nhân đã có đầy đủ các thành phần vật lý mà ta quan tâm.
Trạng thái vật lý mà ta quan sát được phải là trạng thái ứng với cực tiểu của thế nhiệt động. Khác đi trạng thái cơ bản của chất hạt nhân được Chương 1. 17 xác định bởi điều kiện cực tiểu ∂Ω = 0, (1.12) ∂u hay bởi phương trình khe 1 ∞ 2 M∗ − Z − u = 2 k dk (np + n+ + p ) + (nn + nn ) ≡ ρs , (1.13a) π 0 Ek trong đó n− − + + + − − + p = n− ; np = n+ ; nn = n+ ; nn = n− ; E ± /T −1 và n± ∓ = e ∓ + 1 chính là hàm phân bố Fermi. Áp suất của hệ được xác định bởi P = −Ωlấy tại cực tiểu.
Biểu thức của mật độ baryon và mật độ isospin được viết 1 ∞ 2 − Z ∂P − ρB = = 2 k dk (np − n+ + p ) + (nn − nn ) , (1.13c) ∂µI 2π 0 Biểu diễn theo mật độ baryon và mật độ isospin, biểu thức của áp suất được viết Z ∞ (M − M ∗ )2 Gv 2 Gr 2 T − k 2 dk ln(1+e−E− /T ) P = − + ρB + ρI + 2 2Gs 2 2 π 0 − + + +ln(1+e−E+ /T )+ln(1+e−E− /T )+ln(1+e−E+ /T ) .14) Mật độ năng lượng E nhận được từ áp suất P bằng phép biến đổi Legendre E = Ω + T ς + µB ρB + µI ρI (1.15) (M − M ∗ )2 Gv 2 Gr 2 1 ∞2 Z = + ρB + ρI + 2 k dk Ek (n− + − + p + np + nn + nn ), 2Gs 2 2 π 0 Chương 1. 18 với mật độ entropy được xác định bởi 1 ∞2 Z ς = − 2 k dk n− − − − + p ln np +(1−np ) ln(1−np )+np ln np + π 0 − − − − +(1−n+ + p ) ln(1−np )+nn ln nn +(1−nn ) ln(1−nn ) +n+ + + + n ln nn +(1−nn ) ln(1−nn ) .16) Các phương trình(1.15) chính là các phương trình trạng thái, chúng chi phối mọi quá trình chuyển pha của chất hạt nhân.2 Các tính chất bão hòa Trong giới hạn nhiệt độ không, các phương trình (1.15) chuyển về dạng đơn giản Z k ∗ Z k ∗ 1 Fp M Fn M ρs = 2 k 2 dk √ + k 2 dk √ , (1.17c) 6π 2 F p Fn (M − M ∗ )2 Gv 2 Gr 2 E = + ρB + ρ 2Gs 2 2 I 1 kF p 2 1 kF n 2 Z Z + 2 k dk Ek + 2 k dk Ek , (1.18) π 0 π 0 Sử dụng phương pháp của Walecka [108]-[112], ta xác định các tham số Gs và Gv ứng với chất hạt nhân đối xứng dựa trên ràng buộc của điều kiện bão hòa: cơ chế bão hòa yêu cầu ở mật độ thông thường ρB = ρ0 ' 0.17 fm−3 , năng lượng liên kết Ebin = −MN + E/ρB (1.1: Sự phụ thuộc của năng lượng liên kết trên một nucleon vào mật độ ở nhiệt độ T = 0. nằm ở giá trị cực tiểu (Ebin )ρ0 ' −15. với: MN = 939 MeV là khối lượng của nucleon trong chân không; E được cho bởi phương trình (1.
Từ ràng buộc trên, với sự trợ giúp của phần mềm tính toán MATHE- MATICA [118], tiến hành tính số, ta thu được Gs = 13.62 fm2 ; Gv /Gs = 0. Sử dụng các trị số nói trên của các tham số, tiến hành tính số, ta thu được khối lượng hiệu dụng của nucleon M ∗ /MN ' 0. 20 và hệ số không chịu nén của chất hạt nhân đối xứng ở mật độ bão hòa 2 E ∂ bin K0 = 9ρ20 ' 547.