CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN NGUYEN TU HAI CHIEU SUY BIEN. EXCITON DON LOP TMD 1. Bài toán nguyên tử hai chiều suy biến Bài toán nguyên tử là một trong những van dé cơ bản và quan trọng của cơ học lượng tử. Với bồi cảnh vật liệu hai chiều đang được quan tâm nhiều ở thời điểm hiện tại, việc nghiên cứu bài toán nguyên tử hai chiều là cần thiết.
Một trong những bài toán nguyên tử thưởng được khảo sát phô biến là bài toán nguyên tử hydro, nguyên tử tựa hydro hoặc các cấu trúc tương tự như là exciton. Với kết quả của bài toán nguyên tử hydro và tựa hydro, ta có được cơ sở lý thuyết đề phân tích cấu trúc của tat cả nguyên tử khác [22]. Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro hai chiều không đặt trong trường ngoài là nghiệm của phương trình Schrodinger [22] ñW(x,y) = EW(+x, y), (11) với Hamiltonian 82 _ Po = 2m * rr) bao gồm động nang và thé nang tương tac giữa electron và hạt nhân (lỗ trong trong trường hợp exciton). Thế tương tác #(r) về cơ bản là thé tĩnh điện Coulomb, trong trường hợp này bài toán đã được giải chính xác giải tích.
Tuy nhiên trong các cau trúc khác như đơn lớp TMD, thé tương tác không còn thuần Coulomb nữa mà thay thé bang thé tương tác khác cho phù hợp với thực nghiệm và việc giải chính xác khá phức tạp. Khi đặt nguyên tử hydro trong từ trường ngoài B, Hamiltonian trở thành 2 eh e*B*(x? + y?) i= 2m * Mr) - (snc) dl 8me2 = A, + Azeeman + Aaiamag (1.2) trong đó H, là Hamiltonian của bài toán nguyên tứ hydro không có sự xuất hiện của trưởng ngoài. mạn = —(eR/2me)l B là tương tac giữa moment từ quỹ đạo của electron U với từ trường, Agiamag = e?B?(x? + y?)/8mc° là thành phan tỉ lệ với bình phương từ trường, đặc trưng cho tính thuận tử và nghịch từ của nguyên tử. Nếu ta chỉ xét trong giới han từ trường nhỏ, bỏ qua đóng góp của Agiamag: ta thu được kết quả của bài toán đã được biết đến chính là hiệu ứng Zeeman.
Tương tự, khi đặt nguyên tử hydro trong điện trưởng ngoài E, Hamiltonian được bô sung một lượng H,, = er.E do tương tác của nguyên tử với điện trường, đây chính là hiệu ứng Stark đã được nghiên cứu từ lâu. Dé giải bài toán nguyên tử hydro đặt trong điện, tử trường ngoài, ta có thể xem đóng góp của tương tác của nguyên tử với trường ngoài vào Hamiltonian là nhỏ, được xem là thành phân nhiều loạn và có thê sử dụng lý thuyết nhiễu loạn dé tính toán. Ở đây, thành phan phi nhiễu loạn là Hamiltonian của nguyên tử hydro, nghiệm năng lượng phi nhiễu loạn bị suy biến theo số lượng tử từ, số lượng tử quỹ đạo, vì thé theo truyền thông ta phải sử dụng lý thuyết nhiễu loạn có suy biến, vẫn dé này sẽ được thảo luận thêm ở phan 2. Kết quả nghiên cứu bài toán nguyên tử đặt trong trường ngoài có ý nghĩa quan trong, giúp tính toán cau trac nguyên tử; đôi với exciton trong trong tinh thẻ, pho phát xạ với hiệu ứng Zeeman, ta có thê nghiên cứu tạp chat và sai hỏng trong vật liệu bán dẫn.
Trong những nghiên cứu mới gan đây, với phô năng lượng exciton trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường, ta còn có thé xuất giá trị các thông số cau trúc của đơn lớp TMD [12, 15, 16] từ đó làm rõ một số hiệu ứng vật lý cũng như tìm hiệu thêm về các tính chất quang của vật liệu TMD. Tong quan exciton hai chiều trong don lớp TMD. Mô hình exciton Năm 1931, Yakov Frenkel là người dau tiên đưa ra khái niệm exciton khi mô tả sự lan truyền của trạng thai kích thích của các nguyên tử trong mạng tinh thé chất cách điện. Theo ông, trang thái kích thích này có thé lan truyền và di chuyền trong chat bán dan và chỉ mang theo năng lượng, còn điện tích thì không được lan truyền [23].
Sau đó vào năm 1937, một mô hình exciton khác tồn tại trong chat bán dẫn được hai nhà khoa học là Nevill Francis Mott va Gregory Wannier đề xuất. Mô hình cau trúc đơn gián của exciton này có thé xem là gdm một lỗ wong mang điện tích đương và một electron tương tác với lỗ trống qua thé tương tác Coulomb như Hình 1, tương tự như nguyên tử hydro, Nam 1951, bằng chứng thực nghiệm dau tiên vẻ sự ton tại của trạng thai exciton được đưa ra [24]. Lúc nay, Gross lần đầu tiên phát hiện Cu20 cũng có quang phô tương tự với quang phô nguyên tử hydro (Hình 2), bao gồm các vạch hấp thụ hẹp. Đồng thời ông cùng các đồng nghiệp khi nghiên cứu exction đặt trong điện trường và từ trường, đã tìm ra một số tính chất khác thường của exciton, cũng như vai trỏ của exciton trong việc hình thành khả năng phát quang và quang dẫn của vật liệu.
ij | | | "s3 =Og 3 4 3+ 6 Hình 2. Phố bức xạ (khả kiến) của exciton trong tinh thé Cu›O [24] Đề phân loại exciton ta có the dựa vào tiêu chí vật liệu ma exciton được hình thành và bán kính tương tác giữa elcctron và 16 trông: - Frankel exciton (còn được gọt lả exciton có kích thước nhỏ hay exciton nhỏ, exciton phan tử) thường được hình thành trong các chat cách điện có hing số điện môi rất lớn, dẫn đến bán kính tương tác nhỏ, gan băng kích thước 6 sơ cap. Vì kích thước exciton nhỏ, tương tác giữa clectron và lỗ trồng lớn nên năng lượng exciton lớn (trung bình khoảng 1.5 eV) [25] - Mott — Wannier exciton (còn được gọi là exciton bán kính lớn hoặc exciton lớn) thưởng được hình thành trong các chất bán dẫn. Trong chất bán dẫn, bán kính exciton thường có độ lớn bằng nhiều lần hang số mạng tinh thé, vì thé năng lượng liên kết nhỏ hơn nguyên tử hydro nhiều lần (trung bình khoảng 0.
Bên cạnh đó còn có thé dựa vào tiêu chí là số lượng electron tương tac với số lượng lỗ trống, exciton có thé phân loại như: exciton trung hòa, exciton đương, exciton âm [26]. Trong giới hạn của luận văn tốt nghiệp, luận văn chỉ dé cập và kháo sát trường hop exciton trung hòa (kê từ đây gọi tắt là exciton) là trạng thái liên kết giữa một lỗ trồng có điện tích +le và một electron mang điện tích là - le. 2900002900020 ooo 0% ð 09 ô 0© 2©oo9206@opoø2ø ô.ô ) øf ô ô Ô oö 2/© o eởöooờo6ooøø `~. Mô hình Frenkel exciton (a) và Mott — Wannier exciton (b) [24] Trong khoảng thời gian gần day, exciton trong vật liệu TMD được nghiên cứu lý thuyết va khảo sát thực nghiệm một cách tích cực [7], với những đột phá mới vẻ kỹ thuật, người ta có the chế tạo thành công đơn lớn TMD.
Giống như các vật liệu hai chiều khác, đơn lớp TMD có nhiều đặc tính siêu việt hơn dang vật liệu khối của nó đẻ trở thành ứng viên cho nhiều ứng dụng quang điện tử đa dạng [6, 7]. Đơn lớp TMD có cau tạo là một mang oxide của lớp kim loại chuyên tiếp, với công thức cau tạo chung 1a MX2, trong đó M thuộc nhóm kim loại chuyên tiếp (Mo, W, Nb, Ti, Re, Pt) và X là nguyên tổ thuộc nhóm chalcogen (S, Se, Te) như Hình 4, Hình 5. Mỗi lớp vật liệu cau tạo từ nguyên tử kim loại chuyển tiếp M liên kết cộng hóa trị với hai nguyên tử chalcogen X theo hình lục giác (hình 5) thành một tam “X-M-X” va có độ dày thông thường vào cỡ 7A (hình ›2»MoWtc & s @ Mo Hình 4. Mô hình ba chiêu của đơn lớp MoS».
Khoảng cách giữa hai lớp là 6.5 A [27] (a) (b) Ww ;®c$5 Se ° Hình 5. Minh họa hình chụp (a) từ trên và (b) mặt bên cua đơn lớp WSe2 [28] Do sự ảnh hưởng bởi sự suy giảm số chiều của vật liệu TMD, thế tương tác giữa electron và lỗ trồng không còn là thuần thé Coulomb nữa, điều này đã được khảo sát bằng lý thuyết và có thực nghiệm đã kiểm chứng. Trong những năm gan đây, cả lý thuyết và thực nghiệm đều đồng ý rang the tương tác Keldysh đã được nghiên cứu trước đây cho màng mỏng [13] là phù hợp dé mô ta tương tác của điện tử và lỗ trồng trong trưởng hợp này. Thể Keldysh có dạng: e? d*q — exp(i@-?) Veetdysh (r) = 8gura J (2m)? ` q(1 + 2rmazpq) __ = |0, (Ƒ) =f ()|.
(13) trong đó Hy và Yo là các hàm Struve và Bessel loại hai, zạ là chiều dài chắn và phụ thuộc vào tính phân cực của vật liệu đơn lớp theo công thức rp = 27fữạo. Trong trường hợp đơn lớp TMD được kẹp giữa hai lớp điện môi có hang số điện môi lần lượt là £; #‡+ và £;, như vậy hằng số điện môi trung bình của môi trường xung quanh là k = = Đông thời ta data = —, đã là độ dài bán kính Bohr hiệu dung, khi đó thế tương tác Keldysh có đạng nay 2 A 1. Bài toán exciton hai chiều trong đơn lớp TMD đặt trong từ trường có sự ảnh hưởng của nhiệt độ. Trong khóa luận này, xét một exction trong don lớp TMD hai chiều chuyền động trong mặt phang Oxy, bj chan bởi thể tương tác Keldysh và đặt trong một từ trường vuông góc với mặt phăng theo phương Oz, Phương trình Schrédinger tương ứng của bài toán đã được thiết lập trong phụ lục A với các phép biến đôi rút gọn sau đó chuyển sang hệ tọa độ khối tâm như sau _ Bp? 1-ơeB M —3ue*B? Ê? e?B? a.ĂÄ=Ø°e'P Ay =o †1+z2u† uM 8 ? +, cứ) + + Bu R“+ = 4M r.5) trong đó M = mỹ + mj là khôi lượng tông, # = mim} /(m + mj) là khôi lượng rút gọn và ø = m3 /m}, là tỉ lệ khối lượng; p và Ï; là toán tử động lượng và moment động lượng của chuyển động tương đổi giữa electron và lỗ trống; P là toán tử động lượng của khối tâm.
Tương tự như cách tách chuyển động của khối tâm exciton của bài báo {29} và trình bày lại trong phụ lục A, ta cũng thu được phương trình Schrödinger cho chuyển động tương đối như sau: r2 +Ÿ_ 0) + msl) — rÌ WxG)=0 (14) thé tương tác giữa electron và lỗ trong f„_„(r) chính là thé Keldysh đã trình bày ở trên. Dong thời trong Hamiltonian xuất hiện số hạng e Ủ„c(r) = — we xK).r (17) liên quan đến hiệu ứng Stark chuyển động. Bài báo [29] cũng đã trình bày cách khai triển số hạng này với mỗi liên hệ |K| = y⁄2MkạT: không làm mắt tính tông quát, xét trường hợp K theo phương Oy va như vậy vector x K có phương theo trục Ox: 2k T Ens = — 77 eBx.8) Số hạng f„s phụ thuộc vào từ trường và chi tồn tại với nhiệt độ T > 0.