Chương 1 TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH GIẾNG LƯỢNG TỬ VÀ KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU 1. Tổng quan về cấu trúc thấp chiều Hệ bán dẫn thấp chiều bao gồm các lớp mỏng chất bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau được đặt xen kẽ nhau. Trong phòng thí nghiệm, hệ bán dẫn thấp chiều được tạo ra bằng kĩ thuật nu cấy tỉnh 'pitaxy. Trong các cấu trúc thấp chiều, chuyển đội của các điện tử bị giới hạn trong một hoặc nhiều chiều, tức là giới hạn chuyển động của điện tử theo ít nhất một hướng trong phạm vi bước sóng De Broglie của nó (cð nm).
Dựa trên số hướng không gian mà hạt mang điện có thể chuyển động tư do, người ta phân thành ba kiểu cơ bản của cấu trúc giam giữ lượng từ là giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử. Đồi với hệ giếng lượng tử các điện tử bị giam giữ theo một hướng và chuyển đồng tự do theo hai hướng còn lại. Với hệ dây lượng tử các điện tử bị giam giữ theo hai hướng và chuyển động tự do hướng còn lại và hệ chấm. lượng tử các điện tử bị giam giữ theo cả ba hướng Cấu trúc _ [ Sự giam giữ lượng tử | Số chiều tự do Khôi Không 3 Giống lượng tử 1 chiều 2 Day lượng tử 2 chiều 1 Chim huang tit 3 chiều 0 Bing 1.
: Tom tat ba kiểu cơ bản của cấu trúc giam giữ lượng tử u Cấu trúc điện tit hai chidu (giếng lượng tử) được tạo ra bằng cách đặt một lớp bán dẫn mồng phẳng kẹp giữa hai lớp bán dẫn khác có độ xông vùng cắm lớn hơn. Các điện tử bị giam giữ trong các lớp mỏng ở giữa, chúng chỉ chuyển động tự do theo hai chiều, còn chiều thứ ba bị lượng tử hóa mạnh. Tương tự, người ta có thể tạo nên cấu trúc một chiều. Các cấu trúc thấp chiều có nhiều tính chất mới lạ so với chu trúc khối.
Các tính chất của cầu trúc thấp chiều có thể điều chỉnh được bằng cách thay đổi hình dang va kích thước cña chúng, điều này dẫn đến bán dẫn thấp chiều có những ưu việt so với bán dẫn khối. Tổng quan về giếng lượng tử lồng lượng tử là cấu trúc trong đó một lốp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp bán dẫn khác. Sự khác biệt của các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn đó tạo nên một giếng lượng tử. Các hạt tải điên nằm trong mỗi lớp bán dẫn này không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán đẫn bên cạnh.
Do vậy, trong cấu trúc giéng lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bồi các hàng rào thế. Dặc điểm chung của hệ diện tử trong cấu trúc giếng, lượng tứ là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường chọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hướng z và tự do trong mặt phẳng (z, g) Xét về mặt hình thức, tắt cả các cầu trúc với hệ điện tử chuẩn hai chiều đều có thể xem như giếng thế một chiều V (z) theo phương mà chuyển động của các điện tử bị giới hạn (phương z). Sự khác biệt giữa các cầu trúc này là dạng của thế giam giữ V (z). Theo cơ học lượng tử, chuyển động của các diện tử trong giếng thế bị lượng tử hóa và năng 2 lượng của điện tử E„ được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào đó.
Năng, lượng E„ và hàm sóng +„ (z) phụ thuộc vào đạng của thế giam giữ V (z). ‘Ty vao dang thé năng của giếng mà ta có các loại giếng khác nhau như giếng thế vuông góc, giếng thế parabol và giếng thế tam giác |3]. Sau đây chúng ta sẽ di vao nghiên cứu cụ thé từng loại giếng thé 1,2,1. Giếng lượng tử vuông góc sâu vô hạn ét một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn có bề rong L, Dang giai tích của thế năng là 0 khi 0<z<L, ve)= (ua) % khi <0 va 2>L.
@ dab amp 9 1, z Hình LÍ: Sở đồ Lhế năng của giếng thể một chiều vuông góc sâu vô hạn Sơ đồ thế năng giếng thế được mô tả trên hình 1.1, Lúc này hạt hoàn toàn bị giam giữ trong giếng thế. Ngoài giếng thế, hạt không tồn tại vì V (2) se, hàm sóng #(z) = 0. Do đó, ta chỉ xét hạt trong giếng 13 thé (0 <x < L), Phitong trình Schrödinger cho trạng thái dùng có dạng `. (15) Sử dụng điều kiện liên tục cña các hàm sóng tại các điểm biên z = 0 và z= ta có (0) = Asin (0) + Bcos (0), 1 (L) = Asin (kL) + Bos (kL) (19) Suy ra B=0 sinkL và 4#0, , a) Do dé ta tim được kL = nz, véin = 1,2,3, Mặt khác ta lại có.
k2 = 2mE/HÊ nên ta thu được biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế là p= = a Ey, (18) “ QmL? v6i Ey = 7°h?/2mL? là năng lượng cia hat ting với n va duge goi la năng lượng ở trạng thái cơ bản. w Như vậy, hat ở trong giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng Eụ, 4Eụ, 9Eụ, 16ù,. Tà nói năng lượng #, của hạt trong giếng thế bị lượng tử hóa do chuyển động của hạt là chuyển động tự do nhưng bị giới hạn.2: Dé thi him sing cña hat trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu v0 han Hàm sóng (L5) được viết lại như sau 5 (2) = Asin (kz) = Asin (“E2) (19) Ap dung điều kiện chuẩn hóa ta có.2, Giếng lượng tử vuông góc sâu hữu hạn Dạng giải tích của thế năng là 0 (L4) ® ay ay Hình 1.3: So dé thé nang giếng lượng tử thế vuông góc sân hiữu hạn Sơ đồ giết thế được mảnh họa trên hình 1.3, Ta nhận thấy giếng thế trong trường hợp này giếng thế đối xứng. Khi năng lượng E > Vụ thì hạt tự do không bị liên kết, năng lượng E là liên tục.
Ngược lại, khi E < Vị hạt bị giam giữ trong giếng, năng lượng của hạt bị lượng tử hóa ứng với các trang thái liên kết. Phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng của hạt ở các miền sẽ khác nhau. 16 6 mtn II (V(z) =0) a fa) + (116) G miền HH (V (z) = V2) là. 10) Dat /2mcE oa ia, (1.18) với a = =2mP?(Vạ— E) là đại lượng thực; mẺ, mm lần lượt là khối lượng hiệu dụng điện tử tại hàng rào và giếng.
Với cách đặt trên, ta có thể viết lại các phương trình Schrodinger (1.17) như sau - Miền I: of (2) — a?dy (2) =0, - Miễn I: uf (z) — avy (2) = - Miền HI: 1§(z)— a2V3(z) (1.19) Nghiệm của phương trình trên có dạng ta (2) = Ae™, W2(2) = Boos (ke) + Csin (2), Us(2) = De, (120) Nghiệm ở miền (If) thuộc hai lớp nghiệm chẵn và nghiệm È vì giếng thế là đối xứng. - Dối với lớp nghiệm chẵn: Ứy = Beos (kz) - Đối đi lớp nghiệm lẽ: = Úy = Ởsin (k2) 7 Sử dụng điều kiện liên tục và đạo hàm của nó tai diém bien 2 = —L/2 ta có i (-L/2) = v1 (-L/2), (1.21) 9{ (—1/2) = dì (—E/2) Đối với lớp nghiệm chân Ae"? = Boos (kL/2) (kL/2) (12) Aae-#!/? = kBsin (kL/2) Từ hệ phương trình trên ta suy ra tan (4) ` đổi với lớp nghiệm chẵn. (133) 2} 7k Thao tác tương đối với lớp nghiệm lẽ ta thu được cot (*) Ê đối với lớp nghiệm lẽ.24) Thay k và œ vào hai phương trình (1.24) đồng thời đặt £? — mI7E,/ (2h), @ = mLVi/ (2h) ta duge €tan€ = VÍKỂ — €® đối với lớp nghiệm c (1.25) —€cot€ = (GB — ddi với lớp nghiệm lẻ (1.26) hay ees tang = we đối với lớp nghiệm chin, (1.27) era cot é = “wee đối với lớp nghiệm lẽ.28) Để xác định các giá trị năng lượng, ta phải tìm được giá trị của €. Giá trị của € là giao điểm của hai đồ thị ƒ(€) = tang va ƒ(€) = v//£—1 như hình 14.
Xét giếng có bề rộng a = 0,45 nm, do sâu giếng Vũ 13,5 eV, giá trị tính được §y = 8,47 18 Hình L4: Nghiệm đồ thị cho giếng lượng tử thế vuông gúc sâu hữu hạn ứng với £ khác nhan Tit db thị L4 ta xác định các giá trị £ tương ứng với các mức đầu tiên như sau &ị = 1,40 =vn = 1= Bị =0,46 6V: (129) , 80 + n= 1+ Ey = 1,85 €V: (1.31) Từ suy luận ta rút ra được biểu thức tổng quát G= TT hoặc Vi 6ny =a" 2H? (1.32) Nhận thấy, khi Vj > 00 thi & > se, cả hàm tan£ và — cot€ đều tiến tới võ cùng, hàm /& — @/€ sé cat ham tan€ va — coL£ tại các điểm. tiệm cận € = nz/3. 2 cot£ — s => E= ne, n Kết hợp cả hai điều kiện ta được €=nz, n= 1,23.35) 19 Mat khic € = m1?B,/ (2h?) nén tit (1.35) ta có biểu thức năng lượng, đối với giếng thế vô hạn whe mm” (1.36) Tiếp tục sử dụng điều kiện liên tục tại biên của các hàm sóng tại các điểm z = =E/2 và z = L/2 để tìm các điểm A, B, Ơ, D. Đối với lớp nghiệm chân th (—L/2) = ve (—L/2), (1.
Suy ra A= Beos(-kL/2) cos (—kL/2) == Beos(kL/2), Bos (kL/2) (1.39) Ấp dụng điều kiện chuẩn hóa [vote (140) hay -t/a Lp ts J {0iđz + ƒ Suede+ | vjusde (141) /2 ta cho các hàm sóng trên toàn miền z ta sẽ tìm được hệ số chuẩn hóa B. Tiền hành tương tự đối với lớp nghiệm lẻ, ta cũng thu được hệ số chuẩn hóa C 30 whe) M — ¬ ee Hình Lõ: Sơ đồ ba mức năng lượng và hầm sông của hạt trong giếng lượng tử thế vuönggóc sâu hữu hạn. Giếng lượng tử parabol Xét chuyển động trong giẾng lượng tử parabol, với thế năng dạng parabol đối xứng, V(2) pint (142) Dang thé này mô tả một dao động tử điều hòa. Hạt cổ điển khối lượng, n trong trường thế năng cho bởi (142) thực hiện dao động điều hòa, 3ocoset, Sơ đỏ thế năng của giếng thế được mô tả trên hình 16, "Trong cơ học lượng tử, ta phải giải phương trình Schrödinger không, phụ thuộc thời gian có dạng +2 (2-4 )ve=o 048) "Ta chuyển phương trình thành một phương trình cho các biến không thứ nguyên bằng cách đặt (14) v@ Hình L.0 Sø đồ thế năng cũa giếng lượng tử parabol Khi đó phương trình (1.
(145) (140) Nghiệm của phương trình này là vse Pee? (147) Do điều kiện giới nội của hàm séng nén ta chi chon e~€/?.
