Chương 1 BIỂU DIỄN CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC 81. ĐIỂM Lấy một mặt phẳng hình chiếu nằm ngang 710, gọi là mặt phảng chuẩn. Mặt phẳng này có độ cao bàng 0 tương đương với độ cao của mặt thuỷ chuẩn của quả đất. Trong khỏng gian, lấy một điểm A ở phía trên rt0 và cách 7IHba đơn vị (xem hình la).
Khoang cách của điếm đến mặt phẳng chuẩn 7tu ta gọi là độ cao cua điểm. Nếu điếm ở phía trên 7T„. thì độ cao của điểm là độ cao dương; thuộc 7ĩ0độ cao bàng 0 ; ở phía dưới 7T,, độ cao âm. Chiếu song sone thắng góc điếm A lên 7I„ ta được một hình chiếu của điểm A kèm theo con số chi độ cao của nó (xem hình Ib).
Hình chiếu A, được gọi là hình chiếu C'ó số của điếm A. Nó hoàn toàn thoá mãn điều kiện đú cúa biiri vẽ. b diễn lá hình không gian và hình chiếu có số của điểm A có độ cao (+3) : điếm B có độ cao hằng (0) và điểm c cổ độ cao (-4). 5 b) •Ag •Bo ẵC_4 0 1 2 cì •3 •0 •-4 0 1 2 t ỉ ình 1 Trong Ihực tố đê cho đơn giản mỗi điểm có thể được biểu diễn bằng vị trí hình chiếu của điểm trên mặt phẳng chuẩn, bên cạnh có ghi con số chỉ độ cao cúa nó (xem hình lc).
Trong hình chiếu có số. ở phía dưới mỗi bản vẽ người ỉa thường cho một thước tý lộ đê tiện sử dụng (xem hình Ib, c), Thước tý lệ này cho ta tv ]ệ chung cúa bán vẽ. Đặc biệt trong xây dựng thuý lợi, các kích thước theo hai chicu nằm ngang cua công trình thường quá lớn so với chiều cao nên có thể dùng 2 tỷ lệ khác nhau: Thường chọn: Tỷ lệ trên mật bằng từ 1 : 20 -ỉ- 1 : 1.000 Tỷ lệ theo chiều cao từ: 1 : 2 -ỉ- 1 : 200 (xem thêm các tài liệu (5), (12) và (13) đã thõng báo ỏ mục TLTK). Khi đó phải có ghi chú trên bản vẽ.
Biểu diễn Hình chiếu có số cua đường thẳng được xác định bàng một trong hai cách sau: a. Hình chiếu có số của 2 điếm thuộc đường thẳng đó (xem đường thẳng AB tiên hình 2a). Hình chiếu có số của một điểm thuộc đường thẳng và phương của đường thẳng đó. Phương của đường thẳng được diễn tả bằng mũi tên trên có ghi góc nghicng cúa đường thẳng hoặc độ dốc i cúa đường thẳng so với mặt phẳng chuẩn (xem hình 2b, c).
Chiểu mũi tên chỉ hướng dốc xuồng từ điểm có độ cao lón đến điếm có độ cao nhó. 6 b) a) c) Hình 2 Ta đã biết: i = ta n g a = — L Trong đó: Ah - Hiệu số độ cao của 2 điểm đã cho. A L - Độ dài hình chiếu có số của đoạn thẳng (xem hình 3). Nếu ta chọn Ah = 1 thì độ dài hình chiếu có sỏ' tương ứng của đoạn thẳng sẽ được gọi là khoáng của dườiìg thắng (ký hiệu L)._ J _ Hình 3 1 ~~ L Suy ra: L= - i Be Vậy: khoảng của đường thẳng là một đại lượng bằng giá trị nghịch đảo của độ dốc của đường thẳng đó.
Chia độ một đường thẳng Chia dộ một đường thẳng là tìm trên đường thẳng đã cho các điểm chia liên tiếp có độ cao là số nguyên. ] 7 dụ: Chia độ đường thẳng A3 4; Bf) (xem hình 4). Hình 4 Trước hết ta tính Ah = hịị - h x = 6 - 3,4 = 2,6. từ đầu mút A, ta vẽ mộl nửa đường (háng phụ xiên bất kv và đặt liên tiếp 26 đoạn nhỏ bằng nhau trên nửa đường tháng ấv.
Nối đầu mút 6' với điểm Bfl. Cuối cùng từ các điểm 4 '. 5 ’ ưên nửa đường (háng phụ ké các đường thẳng song song với đường Iháng 6 ’. Br, ta được các điểm chia cần lìm 4 và 5 trẽn hình chiếu có số cúa đườntí.4 K (Có ihể sử dụng Ihẽm mặt phản« hình chiếu phụ đê uiái hài toán này.
Bạn dọc tự giái quyết). Vị trí tương đôi của 2 đường tháng a. H ai ííườns’ Ihấ/ỈÍỊ cỗ í nhau Trong hình chiếu cỏ sô 2 đường thẳng cất nhau nếu tại giao điểm 2 hình chiếu của chúng ihoá mãn điéu kiện sau: Giao điếm thuộc hình chiếu của mỗi đường thảng đều có một độ cao như nhau. Hình 5a diẻn lá 2 đườnẹ tháng A2 B7 và C4 Df, cắt nhau lại điếm có độ cao là.
ỉ la i cỉưùiììị i/túiìí’ Sd/iíỊ sonỊỊ Hai đường tháng song song với nhau nếu chúng thoa mãn 3 đièu kiện sau: - Hình chiếu của hai đường Iháng song song với nhau. ' Khoang của 2 dường Ihảng bằng nhau. - Các độ chia của 2 đườna thảng có cùng hướng tăn£ (hoạc cùng hướng giảm) (xem hình 5b). Ilu i íliíờniỊ ỉiìihìíỊ c h éo lìỉuiti Hình biêu diền cúa chúng khỏng thoá mãn đồng thời các điéu kiện của sự cắi nhau hoặc sự song song (xem hình 5c).
MẬT PHẲNG 1ỀBiểu diẻn Trong hình chiếu có số, mặt pháng được bicu diẻn bằng một irong các cách sau: - Ba điếm khóng (háng hàng. Ví dụ mặt phẳng cho bãn" ha điếm A. Và đặc biệt, trong hình chiếu có sô mặt pháng Ihường được biểu diỗn bàng Đườ/iịị tỷ lệ tỉộ dốc. Giá thiết cho mặt phẳng H\\ác định bằng ba đicm khống thẳng hàng B4 G, (xem hình 6a).
Trong vẽ các đường bằng licn tiếp cỏ độ cao chênh nhau 1 đơn vị. Đẽ ve dược các đường bằno nàv. nước hết phái chia độ các cạnh bên của tam giác (xem hình 6a) theo bài toán trong §2 mục 2 rồi vẽ các đường bằng qua các cặp điếm có cùng mộl độ cao (xem hình 6b). Độ dài hình chiếu cùa khoáng cách giũa 2 đường bàng liên tiếp có độ cao nguyên chcnh nhau mộl đơn vị được gọi là khoảng của mặt phẳng.
Ta ký hiệu, khoảng của mặt phảng bằng chữ m (ngoài thực địa thường gọi là “mái dóc” m). 9 rp _1_ 1 _ , Ta CÓ: m - - = ----- = cotga i tga Trong đó: i - Độ dốc của mặt phẳng. a - Góc nghiêng của mặt phẳng so với mặt phẳng chuẩn Vẽ đường dốc nhất p của mặt phẳng đã cho đối với 7ĩ0. Hình chiếu Pị của đường dốc nhất này vuông góc với hình chiếu của các đường bằng vừa vẽ 5-5, 6-6.
(xem hình 6b) và cắt các đường bằng ở các điểm chia có độ cao tương ứng với độ cao của các đường bằng. Hình chiếu có chia độ của đường dốc nhất được gọi là đường tỷ lệ độ dốc của mặt phẩng. Khoảng của mặt phẳng bằng khoảng của đường tỷ lệ độ dốc của mặt phẳng đó. Góc nghiêng của mặt phẳng đối với rc0 cũng bằng góc nghiêng của đường dốc nhất của mặt phẳng đó đối với 710.
Hình 6c cho thấy cách sử dụng mặl phẳng, hình chiếu phụ đế xác định đọ lớn góc nghiêng của mật phẳng ÍR 3. Đường tỷ lệ độ dốc biểu diễn mặt phẳng hoàn toàn xác định vị trí của mặt phẳng trong không gian. Thật vậy, từ đường tỷ lệ độ dốc đã cho ta có thể xác định được góc nghiêng của mặt phẳng đối với H0, hoặc qua một điểm chia nào đó của đường tý lệ độ dốc đã cho, vẽ một đường bằng vuông góc với đường tỷ lệ độ dốc ây, ví dụ trên hình 6c ta đã vẽ đường bằng ở độ cao 7. Như vậy mặt phẳng đã cho được biếu diễn bàng 2 đường thẳng cắt nhau.
Sự song song và sự thẳng góc 1. Hai mặt phẳng song song Điều kiện cần và đủ để cho 2 mặt phảng song song với nhau là 2 đường tỷ lệ độ dốc của chúng phải song song. Hình 7 diễn tả sự song song của 2 mặt phảng 0C|và pr 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phảng Hình 8a biểu diễn hình không gian của đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng Q.
Góc nghiêng của mặt phẳng D với mặt phẳng chuẩn 7Ĩ0 là a thì góc nghiêng của đường thẳng a so với 7t0 sẽ là (90° - a). Hình 7 10 Ta đã biết: rnmp = — tga 1 tg (90°-a) Rút ra: / lt = —— mp Vậy khoáng cúa đường thảng vuông góc với mặt phẳng lù một đại lượng tý tệ nghịch với khoáng cùa mặt phầng. 3 b) 9 Hình 8b là đồ thức của đường thắng a vuông góc với mạt phẳng Q tạí điểm K 7. Nhận ihấy rằng trên đồ thức hình chiếu của đường thẳng a song song với hình chiếu cúa đường tý lệ độ dốc của mặt phẳng Q.
khoảng của chúng tỷ lệ nghịch với nhau và độ lãng ngược chiều. Trên hình 8b cũng cho ihấy cách tìm độ lớn khoảng của đường thẳng a dựa vào khoảng cúa mặt phẳng đã biết trước (bạn đọc tự giải thích cách làm này). Chương 2 BIỂU DIỄN ĐƯỜNG - MẶT §1. ĐA DIỆN Đa diện được diễn tả bằng hình chiếu có số của các đỉnh, các cạnh và các mặt bên của chúng.
Hình 9 dicn tá tháp S. đỉnh tháp có độ cao 5, đáv tháp nàm tron tỉ mặt phăng chuán và lăng trụ xicn có các đáy 1'à 2 tam giác (D,|E„F,|) và (PcQc. ĐƯỜNG CONG - MẶT CONG 1- Đường cong Đường cong được diễn tả bằng hình chiếu có số của mội tập hợp điểm đú xác định đường cong đó. Hình 10 diễn tả đường cong nhờ các đicm 1.
M ạt cong Mặt cong được diễn tả bằng hình chiếu có số của các yếu tố xác định mặt cong và các đường đồng mức của nó {đường đồng mức là giao luyến của mật cong vói mặl Hỉnh 10 phẳng bàng. Nói cách khác đó là đường mà tất cả các điểm nầm trên đường đó đcu có cùng mội độ cao). 12 Hình l l a là hình không gian của một nón tròn xoay, trục thẳng góc với mặt phảng chuẩn n0 đỉnh nón có độ cao 3, đáy nón thuộc na. Cắt nón này bằng các mặt phẳng bằng ở các độ cao khác nhau ta được các đường đổng mức là các đường tròn bằng.
Hình chiếu của chúng là các đường tròn đồng tâm s3. Nhận thấy rằng, nếu các mặt phẳng bằng chênh nhau 1 đơn vị độ cao, thì bán kính của các đường tròn bằng cũng hơn kém nhau một đoạn bằng khoảng của đường sinh nón. Hình ] lb diền tả hình chiếu có số của nón dó và cách vẽ các đường đồng mức ở độ cao 1 và 2 dựa vào sự chia độ của đường sinh nón. Hình 12 diền tả một nón xiên và cách vẽ các dường đồng mức của nó nhờ mặt phẳng hình chiếu phụ 71’ vuông góc với nữ Hình I I và song song với trục SI của nón.
Hình 12 Hình 13a diễn tả trụ chiếu bằng nhận đường cong A0 ' 1 - 2 - 3 - 4 - B? là đường chuẩn.