TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TP. HCM KHOA KHOA HỌC BỘ MÔN TOÁN Giáo trình XAC SUAT THONG KE Biên soạn: Ngô Thiện ĐặngThành Danh Ha Thi Thao Tram Bui Dai Nghia Tủ sách Đại hoc Nông Lâm TP.HCM Lưu hành nội bộ 2021 Chuong 1 LY THUYET TO HOP 1.1 KHAI NIEM TAP HOP 1. Tap hop: Mot nhom cac đối tượng cùng thỏa mãn một số tính chất nào đó cho ta khái niệm về tập hợp. Ví du -— Tập hợp các nam sinh viên của một lớp học.
— Tập hợp các sô nguyên k thỏa mãn tính chât: k?-4k+3=0 1. Biểu diễn tập hợp được biểu diễn dưới hai hình thức là liệt kê phần tử hoặc nêu đặc trưng — Liệtkê: A= {ai,a2,., ak } ai là một phần tử của A, kí hiệu a¡e A b không là phần tử của A , kí hiệu b £ A — Nêu đặc trưng: A = Í xeE | x thỏa tính chất P } Ví dụ Gọi A là tập hợp các số nguyên k thỏa mãn tính chất: k?-4k + 3 =0 thì: A={keZ | k?-4k+3= 0} 1. Số phầntử của tập hợp A ta kí hiệu | A | Nếu |A|= 0 thì A được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu: A=Ø Ví dụ: A = { keZ|k?—4k+1=0}—=A=Ø 1. Tâp hợp con Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của X thì A được gọi là tập hợp con của X.
Ki hiéu: Ac X Dac biét: OC KX va XcxX 1. Cac phép toan. ChoA,BcX e_ Hai tập hợp bằng nhau: A=B @ ACB vaBcA e_ Phần bù của A trong X:X\A = ƒxeX| xe A }. Có thê ký hiệu là CẬ hoặc A e Hop cuaA voi B: AUB= { xeEX| xeA hay xeB} e Giao cuaA va B: ANB= {xeEX| xeEA va xeB} e HiéuctaA vaB:A\B={xeX| xeA va x¢B} 1.
Tinh chat e Tinh két hop :(AUB)UC = AU(BUC) (AnB}^C = An(Bn¬C) e Tinh giao hoan: AUB =BUA, ANB=BNA ¢ Tinh phan phdéi : AU(BNC) = (AUB)A(AUC) AX (BUC) = (AB) (ANC) e Tinh déingau: AUB=ANB ANMB=AUB 1. QUI TAC DEM Đê đêm sô phân tử của một tập hợp, người ta thường sử dụng một trong hai qui tắc sau: 1.1Qui tắc công Xét các tập hợp có hữu hạn phần tử A:, (i=1. Dat | Aj] 1a sé phan tir tap hop Ai. UAK va AiNAj =D Vi¥j _ thi |X| =| Ail + | Ad] +.
+ | Ax Y nghia: Ta nén chia tập hợp thành những tập con không giao nhau đê đêm. Ví dụ Một đoàn vận động viên thi đấu hai môn bắn súng và bơi lội trong đó có 10 vận động viên nam. Số vận động viên bắn súng cả nam và nữ là 14. Số nữ vận động viên bơi lội thì bằng số nam vận động viên bắn súng.
Hỏi đoàn có bao nhiêu người? Biết rằng mỗi vận động viên chỉ thị đấu một môn. Giải Đặt A; là tập hợp vận động viên nam bắn súng. A¿ là tập hợp vận động viên nam bơi lội. Aa là tập hợp vận động viên nữ bắn súng.
A4 là tập hợp vận động viên nữ bơi lội. => X= AIUA2U Az©A¿ là tập hợp cả đoàn vận động viên. 3 Vi AiNAj =O VI+z], ta có: |Ait2A2|=10 |Ail+|Az|=10 |Ai2Aal=14_ =1 |Ai|+|Aa|=14 Ail=|Aal Ail=|Aal nhanh > |As|+|Aa|=14 Suy Ta : x | = | A1VA2VA3U/ Aa | + 14=24 = |Ai| +|A2|+]As|+|As]=10 Ví du Một lớp học gồm: 42 học sinh giỏi Toán, 30 học sinh giỏi Lý, 28 học sinh giỏi Hóa trong đó có: I5 học sinh giỏi 2 môn Toán và Lý, 8 học sinh giỏi Toán và Hóa, 10 học sinh giỏi Lý và Hóa, 5 học sinh giỏi Toán, Lý và Hóa. Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh? Giải T: tập hợp các học sinh chỉ giỏi l môn Toán.
L: tập hợp các học sinh giỏi l môn Lý. H: tập hợp các học sinh giỏi 1 môn Hóa. TL: tap hop các học sinh giỏi 2 môn Toán, Lý. TH: tập hợp các học sinh giỏi 2 môn Toán , Hóa.
LH: tập hợp các học sinh giỏi 2 môn Ly , Hóa. TLH: tập hợp các học sinh giỏi 3 môn Toán, Lý, Hóa. Ta có: |T|+| TL|+| THỊ+| TUH|=42 > |T|=42-15-8-5=14 |IL|+|TL|+|LH|+|TUH|=30=> |L|=30-5~10-5=0 IH|+~|TH|+|LH|+| TLH |=28 > | H|=28-8-10-5= 5 Do do, số lượng học sinh là: IT| +[LI+|H|+|TL|+|TH|+|LH|+| TLH| =14+0 +5+4+15 +8 +10 +5 =57 1. Qui tắc nhân a).
Tap hop tich Descartes Cho A = {a1 , a2,., an} va B= {bi ,bo,., bm} Ta dinh nghia tich Descartes cua hai tap A va B 1a: AxB = { (a,b)/ acA vabeB } 4 Đề đếm số phần tử của AxB, ta liệt kê các phần tử của AxB như sau: (ai,bi) (ai,ba). (a2,bm) có m phần tử (an,b1) (an, ba) ceeeee (an,bm) có m phần tử Theo qui tắc cộng: | AxB| = m†+m+. Qui tắc nhân e Nếu A và B có hữu hạn phần tử thì | AxB|=| A |. | B| ® Suy rộng : |Aix Azx.| A2 | nes | Ax | Y nghĩa: Một công việc cân có k giai đoạn thực hiện: lẪ1,.Á?; a5 Ak Mỗi giai đoạn A¡ có nị cách thực hiện (¡=1.
Số cách hoàn thành công việc đó là : H1. Hạ Ví du Một cơ quan có 5 nhân viên nam và 3 nhân viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên khác nhau dé cé | nam va 1 nữ đi công tác. Giải Ta có 2 giai đoạn + Giai doan 1: chọn l nam đi công tác có 5 cách.
+ Giai đoạn 2: chọn l nữổđi công tác có 3 cách. Vậy, sô cách chọn 1 nam và 1 nữ đi công tác là: 5x3= 15. Ví dụ Từ Hà Nội vào Huế có 3 cách đi: máy bay, ôtô, tàu hỏa. Từ Huế vào Tp Hồ Chí Minh có 4 cách đi: máy bay, ôtô, tàu hỏa, tàu thủy.
Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ Hà Nội vào Tp Hồ Chí Minh phải qua Huế. Giải Để thực hiện công việc, ta có 2 giai đoạn + Giai đoạn 1 : chọn 1 cách đi từ H Nội vào Huế, có 3 cách. + Giai đoạn 2: chọn ] cách đi từ Huế vào Tp. Vậy, ta có số cách là: 3x4= 12.
Ví du Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số ? Giải Để tạo một số gồm 4 chữ số, ta có 4 giai đoạn: + Giai đoạn 1 : chọn chữ số thứ 1 có 9 khả năng vì z 0 + Giai đoạn 2 : chọn chữ số thứ 2 có 10 khả năng. + Giai đoạn 3 : chọn chữ số thứ 3 có 10 khả năng. 5 + Giai đoạn 4 : chọn chữ số thứ 4 có 10 kha nang.10= 9000 số gồm4 chữ số Ví dụ Biển số xe mô tô gồm 2 phần: phần chữ gồm 2 chữ cái và phần số gồm 4 chữ số. Hỏi với cách đánh số này, có thể gắn biển số cho bao nhiêu xe mô tô ? Giải Đề tạo l biển số xe mô tô, ta có 6 giai đoạn : * chọn chữ cái thứ 1 từ A đến Z có 26 cách.
* chọn chữ cái thứ 2 ” có 26 cách. * chọn chữ số thứ Itừ0 đến 9 có 10 cách. * chọn chữ số thứ 2 øg có 10 cách. * chọn chữ số thứ 3 « có 10 cách.
* chọn chữ số thứ 4 * có 10 cách.000 biển sé xe moto. Ví dụ Trong các số gồm 5 chữ số có bao nhiêu số mà tất cả các chữ số đều là số lẻ? Giải Để tạo một số có 5 chữ số đều lẻ, ta có 5 giai đoạn: * Chọn chữ số thứ I có 5 cách vì có 5 số lẻ 1,3,5,7,9 * Chọn chữ số thứ 2 có 5 cách vì có thể trùng số đã chọn * Chọn chữ số thứ 3 có 5 cách * Chọn chữ số thứ 4 có 5 cách * Chọn chữ số thứ 5 có 5 cách Do đó, ta có tất cả: 5. Ví du Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 quả bóng bàn khác nhau vào 3 chiếc hộp phân biệt? Giải Mỗi cách xếp ứng với việc chọn hộp cho từng quả bóng. * Quả bóng 1 có 3 cách xếp vào một chiếc hộp ( vì có 3 hộp) * Quả bóng 2 có 3 cách xếp vào một chiếc hộp ( vì có 3 hộp) * Quả bóng 5 có 3 cách xếp vào một chiếc hộp ( vì có 3 hộp) Do đó, ta có: 3°== 243 cách xếp.
Ví dụ Tính số dãy nhị phân (dãy chữ số 0 và 1) có độ dài N Giải Một dãy nhị phân có độ dài N là I1 nhóm N phần tử. * Phần tử I có 2 cách chọn là 0 hoặc 1. * Phần tử 2 có 2 cách chọn là 0 hoặc 1. * Phần tử N có 2 cách chọn là 0 hoặc I.
Do đó có, tat cả 2N dãy. Ví dụ Thang máy của một khách sạn 10 tầng xuất phát từ tầng trệt với 5 người khách. Mỗi khách ra khỏi thang máy một cách ngẫu nhiên. Hỏi có bao nhiêu trường hợp xảy ra? Giải * Khách thứ 1 có 10 cách đề ra khỏi thang máy.
(vì có thể ra ở tầng 1, 2,., 10) * Khách thứ 2 có 10 cách đề ra khỏi thang máy. * Khách thứ 5 có 10 cách đề ra khỏi thang máy.000 trường hợp xảy ra. GIẢI TÍCH TÔ HỢP Bài toán Giả sử tập hợp X có n phân tử. Chọn từ X ra một nhóm gôm k phân tử.
Hỏi có thê tạo được bao nhiêu nhóm khác nhau? Nhóm k phần tử có 2 đặc trưng: các phần tử của nhóm được chọn có thứ tự hay không? có lặp lại các phần tử hay không? Dựa vào hai đặc trưng nay, ta chia thành các loại nhóm thường gặp sau đây: 1.1 Chỉnh hợp e_ Đinh nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn ra từ n phần tử cho trước (0 <k<n,n>]) e _ Đặc trưng: Chỉnh hợp là nhóm có tính thứ tự va không lặp. Các chỉnh hợp chập 2 của X là: 12,13,14 21, 23,24 31,32 ,34 41, 42,43 (có 12nhom) e Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: AE =ní(n—1)(n—2).(n—k+1) (Một chỉnh hop co dang aia2.dk : + Chọn ai có n cách. + Chọn a› có n — l cách vì d› khác ai. 7 +Chọn ay có n — (k —l) cách vì khác k-l phân tử trước đó.
Số cách chọn là : n.(n -k+1) _/ n! ee Dé cho gon, ta viết Ak = (n—E) (Qui ude 0! = 1) Ví dụ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 3 người vào chiếc bàn dài có 5 chỗ ngồi ? Giải Mỗi cách xếp là chọn 3 trong 5 ghế cho 3 người là một nhóm 3 phần tử có thứ tự và không lặp nên là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Do đó có Aš =5x4x 3=60 cách xếp. Ví dụ Một học sinh phải thi 4 môn trong 10 ngày, mỗi ngày chi thi 1 môn. Hỏi có bao nhiêu cách lập lịch thị ?