CHƯƠNG I Cơ SỞ TOÁN CỦA QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 1. VÉC Tơ Ta gọi một bộ n số thực {xx, x2,. xn) -được sắp xếp theo một thứ tự nhất định là một véc tơ n - chiều. Nếu sắp xếp theo thứ tự từ trên xuống dưới thì ta gọi là véc tơ cột và ký hiệu: X1 x2 xn *T» từ trái sang phải thì ta gọi Nếu sắp theo thứ tự * là véc tơ hàng và ký hiệu X = [xx, x2,.
,n) gọi là thành phần (hay toạ độ) thứ i của véc tơ X. Ví dụ: 2 là một véc tơ cột hai chiều, [-3, 5, -1, -4] là 3 một véctơ hàng bôn chiều. 5 Các véc tợ mà sau này chúng ta thường nói tới, là các véc tơ cột. Để chỉ các véc tơ hàng, ta dùng chỉ số T (chuyển vị) ghi ở góc trên bên phải, chẳng hạn AT = [-5, 4, 2, 6].
Hai véc tơ n chiều X = [xx, x2,.,rXn]T và Y = [yx, y2,.yn]T được gọi là bằng nhau nếu các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau, tức là X = Y nếu Xị = y¡, Vị = 1,2,.,n Đối vối hai véc tơ n chiều A = [ax, a2,., an]T và B = [bi, b2,. bn]T Ta ký hiệu A < B (đọc là A nhỏ hơn B) nếu xảy ra đồng thời ax < bx, a2 < b2,., an < bn Ta kí hiệu: A < B nếu ax < bx, a2 < b2(., an < bn Tương tự, chúng ta đưa ra các ký hiệu: A > B (đọc A lớn hơn B) A > B - Một véc tơ mà tất cả các thành phần của nó đều bằng 0, ta gọi là véc tơ không, ký hiệu 0T = [0, 0,. CÁC PHÉP TÍNH VÉC Tơ 1. Phép nhân véc tơ với một số thực Ta gọi tích của một véc tơ n chiều A vởi một số thực k là một véc tơ n chiều, ký hiệu là kA, mà các thành phần của nó là tích của sô k với các thành phần ứng của véc tơ A., kan]T 6 Nếu ta nhân véc tơ A với -1 ta nhận được véc tơ -A, là một véc tơ mà toạ độ của nó sai khác về dấu so với toạ độ của A.
Véc tơ -A gọi là véc tơ đối của véc tơ A. Tổng của hai véc tơ Tổng của hai véc tơ n chiều AT = [ab a2,., an] và BT = [bj, b2,. bn] là một véc tơ n chiều, ký hiệu AT + BT mà các thành phần của nó là tổng của các thành phần tương ứng của AT và BT. Như vậy AT + BT = [ai + b1( a2 + b2,.
, an + bn] Chúng ta định nghĩa hiệu của hai véc tơ A và B như là tổng của véc tơ A và véc tơ -B. Như vậy A - B = [ax - b1; a2 - b2,., an - bn] Phép nhân véc tơ với một số và phép cộng véç tơ có các tính chất sau: a. Tính giao hoán A + B = B + A b. Tính kết hợp t(kA) = (tk)A; A + (B + C) = (A + B) + c c.
Tính phân bố (t + k)A = tA + kA; k(A + B) = kA + kB Vởi mỗi véc tơ A = [a1; a2,., an] đều tồn tại một véc tơ đối -A = [-ax, -a2,. Tích vô hướng của hai véc tơ Ta gọi tích vô hướng của hai vềctơ n chiều X và Y là một số thực, được xác định bỏi tổng các tích của các thành phần tương ứng của X và Y, ký hiệu là (X,Y) hay X.Y Như vậy nếu X = [xx, x2,., xn]T và Y = [yx, y2,., yn]T thì (X,Y) = ỈVi i=l Ví dụ: Cho X = [-2, 3, -1, 0]T, Y = [4, -1, 5, 2]T thì (X,Y) = -8 - 3 - 5 + 0 = -16 Tích vô hướng có các tính chất sau: a. Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi X = 0 1. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 1.
Tổ hợp tuyếi* tính của các véc tơ Cho.m véc tơ n chiều Ax, A2,., Am khi đó véc tơ A = kxAx +k2A2+. + kjjAn Vởi kx, k2,., km là các sô thực, được gọi là tổ hợp tuyến tính của m véc tơ đã cho hay A biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ Ax, A2,. Cho Ax = [-2, 1, 0], A2 = [1, 3, 2], A3 = [4, -1, 1] thì A = 2AX + 5A2 - 3Ag = [-11, 20, 7] là một tổ hợp tuyêh tính của Ax, A2 và A3 8 - Tổ hợp tuyến tính được gọi là không âm nếu kj > 0 với mọi: i = 1, 2,., m - Ta gọi tổ hợp tuyến tính: klAl + k2A2 +. + kmAm là tổ hợp lồi nếu: kl + k2 +.
Các véc tơ Ax, A2, Ajn được gọi là độc lập tuyến tính nếu tổ hợp tuyến tính của chúng bằng véc tơ không chỉ khi tất cả các hệ số đệu bằng 0, tức là hệ thức kiAi + k2A2 +.1) chỉ khi kx = k2 =.2) - Nếu hệ thức (1.1) xẩy ra khi có ít nhất một hệ số kj khác không thì các véc tơ Ax, A2,., Ajn được gọi là phụ thuộc tuyến tính 3. Điều kiện cần và đủ để hệ véc tơ Ax, A2,. Aja phụ thuộc tuyến tính là có ít nhất một véc tơ của hệ biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại. Thật vậy, nếu các véc tơ Ax, A2,., Anj phụ thuộc tuyến tính thì hệ thức (1.1) xẩy ra với ít nhất một hệ số khác không, chẳng hạn kj * 0, khi‘đó từ (1.1) ta có kl ko kj_x kj + x 4 = - ^A!-^A2 -••• "k^-i" 1(^ + 1 tức là A¿ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại 9 Ngược lại nếu ít nhất một véc tơ của hệ, chẳng hạn Ax biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại, nghĩa là: Ax = a2A2 + Œ3A3 +.
+ amAm thế thì Ax - a2A2 - a3A3 -. - amAm = 0 Với ít nhất hệ sô của Ax khác không. Điều đó chứng tỏ hệ Ax, A2,., Am phụ thuộc tuyến tính. Từ đây, ta suy ra mệnh đề tương tự cho hệ véc tơ độc lập tuyến tính: Điều kiện cần và đủ để một hệ véc tơ độc lập tuyến tính là bất kỳ véc tơ nào của hệ cũng không thể biểu diễn tuyến tính qua những véc tơ còn lại.
Từ định lý trên, ta dễ thấy nếu một trong các véc tơ Ax, A2, .Am là véc tơ không thì hệ là phụ thuộc tuyến tính. Chẳng hạn Ax = 0 thì Ax có thể biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại Ax = O.Ajn Ví dụ: Các véc tơ: AT = [3, 2, -4], B1' = [2, -1, 3], CT = [0, -7, 17] là phụ thuộc tuyến tính vì 2AT - 3BT + CT =0 Nhưng các véc tơ AT = [3, 2, -4], BT = [2, -1, 3], DT = [2, 2, 2] là độc lập tuyến tính vì không một véc tơ nào trong chúng có thể biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ kia. HẠNG CỦA HỆ VÉC Tơ 1. Định nghĩa hệ con độc lập tuyến tích cực đại Cho một hệ véc tơ (có thể gồm một số hữu hạn hay vô hạn các véc tơ).
Giả sử, hệ này có một hệ con gồm h véc tơ độc lập tuyến tính sao cho nếu thêm vào đó bất kỳ một véc tơ nào của hệ đã cho, ta đều được hệ (h + 1) véc tơ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ta nói hệ h véc tơ ấy là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ đã cho. Ví dụ: Xét hệ gồm ba véc tơ: AT = [1, -2, 3], BT = [4, 2, -1] và CT = [6, -2, 51. Ta thấy AT và BT là hai véc tơ độc lập tuyến tính, nhưnạ c có thê biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ A và B : c = 2A + BT, nên hệ con độc lập tụ^ến tính cực đại của hệ ba véc tơ đã cho gồm hai véc tơ AT và BT.
- Đối với một hệ véc tơ đã cho, mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của nó có sô lượng véc tơ bằng nhau. Hạng của hệ véc tơ Định nghĩa: số lượng các véc tơ trong hệ con độc lập tuyến tính cực đại củạ một hệ véc tơ, được gọi là hạng của hệ véc tơ ấy. Định lý: Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng h thì mỗi véc tơ của hệ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của h véc tơ độc lập tuyến tính bất kỳ của hệ và cách biểu diễn đó là duy nhất. Chứng minh: Phần một của định lý là hiển nhiên.
Thật vậy vì hệ véc tơ có hạng bằng h, nên ta có thể chọn ra h véc tơ độc lập tuyến tính A1; A2,. 11 Giả sử một véc tơ B khác của hệ không có thể biểu diễn tuyến tính qua h véc tơ trên. Điều này có nghĩa (h + 1) véc tơ A1; A2,., Ah, B lập thành hệ con độc lập tuyến tính - mâu thuẫn với giả thiết hạng của hệ véc tơ bằng h, nên B phải là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ A1( A2,. Ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn.
Giả sử B có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của A1; A2,., Ah theo hai cách, tức là: B = (XjAi + a2A2 +. + ßhAh Trừ hai phương trình cho nhau ta được 0 = (et} - ßi)Ar + ( a2 - ß2)A2 +. Ah độc lập tuyến tính nên hệ thức trên chỉ xẩy ra khi tất cả các hệ số đều bằng 0, tức là: «i = ßi> Vi = 1, 2, ., h Như vậy cách biểu diễn của B là duy nhất. Từ định lý trên ta có thể suy ra hai hệ quả quan trọng, chứng minh chúng nhường cho độc giả: Hệ quả 1.
Ta loại ra từ hệ véc tơ đã cho một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại thì hạng của hệ không thay đổi. Ta đưa vào hệ véc tơ đã cho một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của hệ thì hạng của hệ không thay đổi. CÁC KHÔNG GIAN VÉC Tơ 1. Định nghĩa 1 Tập hợp tất cả các véc tơ n chiều vởi hai phép tính cộng và nhân véc tơ với một số đã nêu ở 1.2, được gọi là một không gian véc tơ n chiều trên trưòng số thực (còn gọi là không gian tuyến tính n chiều), ký hiệu Rn.