Luận văn thạc sĩ về các đại lượng đo lường rủi ro trong toán tài chính của Trần Thu Trang

Khám phá luận văn thạc sĩ về các đại lượng đo lường rủi ro trong toán tài chính, cung cấp kiến thức và ứng dụng thực tiễn trong ngành.

• Tác giả: Trần Thu Trang
• Người hướng dẫn: PGS. Trần Hùng Thao
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
• Đề tài: Đo Lường Rủi Ro Trong Toán Tài Chính
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2011
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
• 1.1. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
• 1.2. Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
• 1.3. Các mô hình phi tuyến ARCH, GARCH
• 1.4. Phân vị thống kê (quantiles)
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC ĐỘ ĐO RỦI RO TÀI CHÍNH
• 2.1. Độ đo rủi ro VaR
• 2.2. Độ đo rủi ro liên kết (Coherent risk measures)
• 3. CHƯƠNG 3: ĐỊNH MỨC RỦI RO
• 3.1. Giới thiệu hệ thống định mức rủi ro
• 3.2. Lựa chọn các tham số định lượng trong phân tích VaR
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về đo lường rủi ro trong toán tài chính

Đo lường rủi ro trong toán tài chính là một lĩnh vực quan trọng, giúp các nhà đầu tư và quản lý tài chính hiểu rõ hơn về các yếu tố có thể ảnh hưởng đến giá trị tài sản và khoản nợ. Rủi ro tài chính có thể đến từ nhiều nguồn khác nhau, bao gồm biến động thị trường, rủi ro tín dụng và rủi ro thanh khoản. Việc áp dụng các phương pháp đo lường rủi ro giúp các tổ chức tài chính đưa ra quyết định đầu tư chính xác hơn và giảm thiểu tổn thất.

1.1. Khái niệm về rủi ro tài chính

Rủi ro tài chính được định nghĩa là khả năng xảy ra tổn thất do sự biến động không lường trước của giá trị tài sản. Các loại rủi ro tài chính bao gồm rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng và rủi ro thanh khoản. Mỗi loại rủi ro đều có những đặc điểm và cách thức đo lường riêng.

1.2. Tầm quan trọng của đo lường rủi ro

Đo lường rủi ro giúp các nhà đầu tư và tổ chức tài chính có cái nhìn rõ ràng hơn về mức độ rủi ro mà họ đang đối mặt. Điều này không chỉ giúp họ đưa ra quyết định đầu tư thông minh hơn mà còn giúp bảo vệ tài sản và tối ưu hóa lợi nhuận.

II. Các thách thức trong đo lường rủi ro tài chính

Mặc dù có nhiều phương pháp đo lường rủi ro, nhưng việc áp dụng chúng trong thực tế vẫn gặp nhiều thách thức. Một trong những vấn đề lớn nhất là sự không chắc chắn và biến động của thị trường. Các mô hình đo lường rủi ro thường dựa trên giả định rằng các biến số sẽ tuân theo các phân phối xác suất nhất định, nhưng thực tế có thể khác xa so với giả định này.

2.1. Sự không chắc chắn trong mô hình

Nhiều mô hình đo lường rủi ro như VaR và CVaR dựa trên các giả định về phân phối xác suất. Tuy nhiên, trong thực tế, các biến động thị trường có thể không tuân theo các phân phối này, dẫn đến việc ước lượng rủi ro không chính xác.

2.2. Biến động thị trường và rủi ro thanh khoản

Biến động thị trường có thể gây ra rủi ro thanh khoản, khi các tài sản không thể được bán ra với giá hợp lý trong thời gian ngắn. Điều này làm tăng thêm mức độ rủi ro mà các nhà đầu tư phải đối mặt.

III. Phương pháp đo lường rủi ro tài chính hiệu quả

Có nhiều phương pháp khác nhau để đo lường rủi ro tài chính, trong đó nổi bật nhất là Value-at-Risk (VaR) và các độ đo rủi ro liên kết. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào mục tiêu và điều kiện cụ thể của từng tổ chức.

3.1. Phương pháp Value at Risk VaR

VaR là một trong những phương pháp phổ biến nhất để đo lường rủi ro tài chính. Nó cho biết mức tổn thất tối đa có thể xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định với một mức độ tin cậy nhất định. Tuy nhiên, VaR cũng có những hạn chế, chẳng hạn như không phản ánh được rủi ro trong các tình huống cực đoan.

3.2. Độ đo rủi ro liên kết Coherent Risk Measures

Độ đo rủi ro liên kết là một phương pháp mới hơn, được phát triển để khắc phục những hạn chế của VaR. Nó cung cấp một cái nhìn toàn diện hơn về rủi ro và có thể áp dụng cho nhiều loại tài sản khác nhau.

IV. Ứng dụng thực tiễn của đo lường rủi ro tài chính

Việc áp dụng các phương pháp đo lường rủi ro tài chính trong thực tế đã giúp nhiều tổ chức tài chính giảm thiểu tổn thất và tối ưu hóa lợi nhuận. Các công ty có thể sử dụng các độ đo này để xác định mức độ rủi ro của danh mục đầu tư và đưa ra các quyết định đầu tư hợp lý.

4.1. Ứng dụng trong quản lý danh mục đầu tư

Các nhà quản lý danh mục đầu tư sử dụng các phương pháp đo lường rủi ro để đánh giá mức độ rủi ro của các tài sản trong danh mục. Điều này giúp họ điều chỉnh danh mục đầu tư để đạt được lợi nhuận tối ưu trong khi vẫn kiểm soát được rủi ro.

4.2. Ứng dụng trong định giá tài sản

Các phương pháp đo lường rủi ro cũng được sử dụng trong định giá tài sản, giúp các nhà đầu tư xác định giá trị hợp lý của các tài sản dựa trên mức độ rủi ro mà chúng mang lại.

V. Kết luận và tương lai của đo lường rủi ro tài chính

Đo lường rủi ro trong toán tài chính là một lĩnh vực đang phát triển nhanh chóng. Với sự tiến bộ của công nghệ và các phương pháp phân tích dữ liệu, các công cụ đo lường rủi ro ngày càng trở nên chính xác và hiệu quả hơn. Tương lai của lĩnh vực này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều cơ hội mới cho các nhà đầu tư và tổ chức tài chính.

5.1. Xu hướng phát triển trong đo lường rủi ro

Các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy đang được áp dụng để cải thiện độ chính xác của các phương pháp đo lường rủi ro. Điều này giúp các tổ chức tài chính có thể dự đoán và quản lý rủi ro tốt hơn.

5.2. Tương lai của quản lý rủi ro tài chính

Quản lý rủi ro tài chính sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong việc bảo vệ tài sản và tối ưu hóa lợi nhuận. Các tổ chức cần phải liên tục cập nhật và cải tiến các phương pháp đo lường rủi ro để đáp ứng với những thay đổi của thị trường.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Quản lý rủi ro tài chính đã trở thành một lĩnh vực trọng yếu trong quản trị tài chính hiện đại, đặc biệt từ thập kỷ 1990 khi công nghệ và kỹ thuật phát triển vượt bậc, cho phép xây dựng các hệ thống đánh giá rủi ro ngày càng hoàn thiện. Theo báo cáo ngành, các vụ đổ bể tài chính của ngân hàng và tập đoàn lớn trên thế giới, từ Mỹ, Nhật, Anh đến các nước đang phát triển như Thái Lan, Malaysia, Hàn Quốc, đã làm nổi bật tầm quan trọng của việc quản lý rủi ro hiệu quả. Rủi ro tài chính được định nghĩa là khả năng xảy ra các tổn thất do biến động thị trường tài chính như lãi suất, tỷ giá, giá chứng khoán, tín dụng và thanh khoản.

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa các lý thuyết về độ đo rủi ro tài chính, đặc biệt tập trung vào các đại lượng đo lường rủi ro như Value-at-Risk (VaR) và độ đo rủi ro liên kết (Coherent Risk Measures), đồng thời minh họa bằng các ví dụ cụ thể để làm rõ các khái niệm trừu tượng. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các mô hình và phương pháp đo lường rủi ro tài chính phổ biến trong giai đoạn từ 1990 đến 2011, với trọng tâm là các mô hình toán học và thống kê áp dụng trong thị trường tài chính toàn cầu.

Ý nghĩa nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp một hệ thống kiến thức toàn diện về các đại lượng đo rủi ro, giúp các nhà quản lý tài chính, ngân hàng và các tổ chức đầu tư có công cụ khoa học để lượng hóa và quản lý rủi ro hiệu quả, từ đó nâng cao khả năng phòng ngừa và ứng phó với các biến động thị trường.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học, trong đó các khái niệm chính bao gồm:

• Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất: Giúp mô tả các biến động lợi suất tài chính dưới dạng các biến ngẫu nhiên với phân phối rời rạc hoặc liên tục.
• Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên: Kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai, hệ số tương quan và độ nhọn, dùng để đo lường mức độ biến động và mối quan hệ giữa các tài sản.
• Mô hình phi tuyến ARCH và GARCH: Mô hình tự hồi quy với phương sai có điều kiện khác nhau, được sử dụng để mô phỏng biến động lợi suất tài chính theo thời gian, phản ánh tính chất tập kết và biến động không đồng nhất.
• Độ đo rủi ro VaR (Value-at-Risk): Định nghĩa và tính toán giá trị thua lỗ lớn nhất có thể xảy ra với một mức độ tin cậy xác định trong một khoảng thời gian nhất định.
• Độ đo rủi ro liên kết (Coherent Risk Measures): Bao gồm các tính chất như tính đơn điệu, thuần nhất dương, cộng tính dưới và bất biến tịnh tiến, nhằm khắc phục những hạn chế của VaR.
• Độ đo thua lỗ trung bình (Expected Shortfall - ES): Là độ đo rủi ro liên kết, phản ánh kỳ vọng tổn thất trong các trường hợp tồi tệ nhất, vượt qua giới hạn VaR.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các tài liệu học thuật, báo cáo ngành và các mô hình toán học được phát triển trong lĩnh vực tài chính. Phương pháp phân tích bao gồm:

• Phân tích lý thuyết: Hệ thống hóa các khái niệm, định nghĩa và tính chất của các đại lượng đo rủi ro.
• Mô phỏng và ví dụ minh họa: Sử dụng các ví dụ cụ thể về danh mục đầu tư gồm nhiều chứng khoán với các tham số lợi suất, phương sai và hệ số tương quan để tính toán VaR và ES.
• Phân tích so sánh: Đánh giá ưu nhược điểm của các phương pháp đo rủi ro khác nhau, đặc biệt là VaR và các độ đo rủi ro liên kết.
• Timeline nghiên cứu: Tập trung vào các phát triển lý thuyết và ứng dụng từ năm 1990 đến 2011, với các bước nghiên cứu từ cơ sở lý thuyết đến thực nghiệm và đề xuất giải pháp quản lý rủi ro.

Cỡ mẫu nghiên cứu là các chuỗi thời gian lợi suất tài chính với độ dài đủ lớn để áp dụng các mô hình thống kê như RiskMetrics và GARCH, lựa chọn phương pháp phân tích dựa trên tính phù hợp với đặc điểm dữ liệu và mục tiêu đo lường rủi ro.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. VaR là công cụ đo rủi ro phổ biến nhưng có hạn chế: VaR được định nghĩa là giá trị thua lỗ lớn nhất có thể xảy ra với xác suất (1 − α) trong một khoảng thời gian nhất định. Ví dụ, với độ tin cậy 95%, VaR cho một danh mục đầu tư 1 triệu đô la có thể là khoảng 1,18 triệu đô la trong 5 ngày, nghĩa là có 5% khả năng thua lỗ vượt quá mức này. Tuy nhiên, VaR không thỏa mãn tính cộng tính dưới, dẫn đến trường hợp tổng VaR của các khoản đầu tư con có thể lớn hơn VaR của danh mục tổng thể.

2. Mô hình RiskMetrics và GARCH là phương pháp tính VaR hiệu quả: RiskMetrics sử dụng mô hình EWMA để ước lượng phương sai có điều kiện, với hệ số rủi ro tối ưu λ khoảng 0,94 cho chuỗi lợi suất hàng ngày. Mô hình GARCH cho phép dự báo phương sai và trung bình có điều kiện, giúp tính toán VaR chính xác hơn trong các trường hợp lợi suất không tuân theo phân phối chuẩn.

3. Độ đo rủi ro liên kết (Coherent Risk Measures) khắc phục hạn chế của VaR: Độ đo này thỏa mãn bốn tính chất quan trọng: tính đơn điệu, thuần nhất dương, cộng tính dưới và bất biến tịnh tiến. Ví dụ, Expected Shortfall (ES) đo kỳ vọng tổn thất trong các trường hợp tồi tệ nhất, có tính cộng tính dưới và được xem là độ đo rủi ro tốt hơn VaR.

4. Hệ số điều chỉnh k trong hiệp định Basel: Để bù đắp sai số mô hình và các rủi ro không được bao hàm trong VaR, hệ số k = 3 được sử dụng để nhân với VaR nhằm xác định vốn an toàn rủi ro tối thiểu cho ngân hàng. Việc lựa chọn k dựa trên bất đẳng thức Chebyshev và giả định phân phối đối xứng của lợi suất, với giá trị rủi ro tối đa có thể lên đến 7,07σ, trong khi VaR chuẩn chỉ là 2,326σ.

Thảo luận kết quả

Kết quả cho thấy VaR là công cụ đo rủi ro tài chính được sử dụng rộng rãi nhờ tính đơn giản và dễ hiểu, tuy nhiên các hạn chế về tính cộng tính dưới và giả định phân phối chuẩn làm giảm độ chính xác trong thực tế. Mô hình RiskMetrics và GARCH cung cấp các phương pháp ước lượng phương sai có điều kiện linh hoạt hơn, phù hợp với đặc điểm biến động không đồng nhất của thị trường tài chính.

Độ đo rủi ro liên kết, đặc biệt là Expected Shortfall, được đánh giá cao hơn vì thỏa mãn các tiên đề toán học nghiêm ngặt, giúp đo lường rủi ro một cách toàn diện và chính xác hơn. Việc áp dụng hệ số điều chỉnh k trong hiệp định Basel phản ánh sự thận trọng trong quản lý rủi ro, nhằm đảm bảo các tổ chức tài chính có đủ vốn dự phòng trước các biến động bất ngờ.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ phân phối lợi suất, bảng ma trận xác suất chuyển đổi mức rủi ro, và đồ thị so sánh VaR với Expected Shortfall theo các mức độ tin cậy khác nhau, giúp minh họa rõ ràng sự khác biệt và ưu điểm của từng phương pháp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng đồng thời VaR và Expected Shortfall trong quản lý rủi ro: Các tổ chức tài chính nên sử dụng cả hai độ đo để có cái nhìn toàn diện về rủi ro, trong đó Expected Shortfall giúp bù đắp hạn chế của VaR về tính cộng tính dưới. Mục tiêu là nâng cao độ chính xác của dự báo rủi ro trong vòng 6-12 tháng tới, do bộ phận quản lý rủi ro thực hiện.

2. Triển khai mô hình GARCH và RiskMetrics cho ước lượng phương sai có điều kiện: Cần xây dựng hệ thống phân tích chuỗi thời gian lợi suất tài chính theo mô hình GARCH để dự báo biến động thị trường chính xác hơn, đặc biệt trong các giai đoạn biến động cao. Thời gian triển khai dự kiến 3-6 tháng, do phòng phân tích tài chính đảm nhiệm.

3. Tăng cường đào tạo và nâng cao nhận thức về các độ đo rủi ro liên kết: Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu cho cán bộ quản lý và nhân viên tài chính về lý thuyết và ứng dụng của các độ đo rủi ro liên kết, nhằm nâng cao năng lực đánh giá và quản lý rủi ro. Kế hoạch đào tạo trong 12 tháng, do phòng nhân sự phối hợp với chuyên gia bên ngoài thực hiện.

4. Xây dựng hệ thống giám sát và điều chỉnh hệ số k phù hợp với đặc thù thị trường: Thay vì áp dụng cứng nhắc hệ số k = 3 theo Basel, các tổ chức nên nghiên cứu điều chỉnh hệ số này dựa trên đặc điểm rủi ro thực tế và sai số mô hình, nhằm tối ưu hóa vốn dự phòng. Thời gian nghiên cứu và triển khai khoảng 6 tháng, do ban quản trị rủi ro chủ trì.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nhà quản lý rủi ro tài chính tại ngân hàng và tổ chức tài chính: Giúp hiểu rõ các công cụ đo lường rủi ro hiện đại, từ đó xây dựng chiến lược quản lý vốn và phòng ngừa rủi ro hiệu quả.

2. Chuyên gia phân tích tài chính và đầu tư: Cung cấp kiến thức về mô hình thống kê và toán học áp dụng trong dự báo biến động thị trường, hỗ trợ ra quyết định đầu tư chính xác hơn.

3. Giảng viên và sinh viên ngành tài chính, toán ứng dụng: Là tài liệu tham khảo học thuật sâu sắc về lý thuyết xác suất, thống kê và các mô hình đo lường rủi ro tài chính.

4. Cơ quan quản lý và hoạch định chính sách tài chính: Hỗ trợ xây dựng các quy định và tiêu chuẩn về vốn an toàn rủi ro, đảm bảo sự ổn định của hệ thống tài chính quốc gia.

Câu hỏi thường gặp

1. Value-at-Risk (VaR) là gì và tại sao nó quan trọng?
   VaR là giá trị thua lỗ lớn nhất có thể xảy ra trong một khoảng thời gian với mức độ tin cậy xác định, giúp các tổ chức tài chính đánh giá rủi ro thị trường. Ví dụ, VaR 5% trong 1 ngày là mức thua lỗ không vượt quá trong 95% các ngày giao dịch.

2. Những hạn chế chính của VaR là gì?
   VaR không thỏa mãn tính cộng tính dưới, nghĩa là tổng VaR của các khoản đầu tư con có thể lớn hơn VaR của danh mục tổng thể, dẫn đến đánh giá rủi ro không chính xác. Ngoài ra, VaR giả định phân phối chuẩn, trong khi thực tế lợi suất có thể không tuân theo phân phối này.

3. Độ đo rủi ro liên kết (Coherent Risk Measures) khác gì so với VaR?
   Độ đo rủi ro liên kết thỏa mãn bốn tính chất toán học nghiêm ngặt, bao gồm tính cộng tính dưới, giúp đo lường rủi ro chính xác và nhất quán hơn VaR. Expected Shortfall là một ví dụ điển hình của độ đo rủi ro liên kết.

4. Mô hình RiskMetrics hoạt động như thế nào trong tính toán VaR?
   RiskMetrics sử dụng mô hình EWMA để ước lượng phương sai có điều kiện của lợi suất, với trọng số giảm dần theo thời gian, giúp phản ánh biến động thị trường gần đây có ảnh hưởng lớn hơn trong dự báo VaR.

5. Tại sao hiệp định Basel lại sử dụng hệ số điều chỉnh k = 3 trong tính toán vốn an toàn?
   Hệ số k = 3 được chọn để bù đắp sai số mô hình và các rủi ro không được bao hàm trong VaR, dựa trên bất đẳng thức Chebyshev và giả định phân phối đối xứng của lợi suất, nhằm đảm bảo mức vốn dự phòng đủ an toàn cho ngân hàng.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa các lý thuyết cơ bản và nâng cao về đo lường rủi ro tài chính, tập trung vào VaR và độ đo rủi ro liên kết.
• Mô hình RiskMetrics và GARCH được chứng minh là các công cụ hiệu quả trong ước lượng phương sai có điều kiện và tính toán VaR.
• Expected Shortfall được giới thiệu như một độ đo rủi ro liên kết, khắc phục các hạn chế của VaR và phù hợp với các yêu cầu quản lý rủi ro hiện đại.
• Hệ số điều chỉnh k trong hiệp định Basel phản ánh sự thận trọng cần thiết trong xác định vốn an toàn rủi ro.
• Các bước tiếp theo bao gồm triển khai đồng bộ các phương pháp đo rủi ro, đào tạo nhân sự và điều chỉnh hệ số rủi ro phù hợp với thực tế thị trường.

Để nâng cao hiệu quả quản lý rủi ro tài chính, các tổ chức và cá nhân liên quan nên áp dụng các kiến thức và phương pháp được trình bày trong luận văn, đồng thời tiếp tục nghiên cứu và cập nhật các mô hình mới phù hợp với sự biến động không ngừng của thị trường.

Trích đoạn nội dung tài liệu

mở đầu 1.1 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất cơ bản và (R, B) là không gian đo được với R là tập số thực, B là σ - đại số borel trên R. Ta gọi ánh xạ đo được X : Ω −→ R (tức là X −1 (B) ⊂ A)) là biến ngẫu nhiên.2 Hàm phân phối xác suất Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó độ đo ảnh XP được gọi là phân phối (hay chính xác hơn, phân phối xác suất) của X. Ta ký hiệu PX = XP , như vậy PX (B) = P (X −1 (B)) là xác suất trên không gian đo được (R, B).

Nếu X là biến ngẫu nhiên thì ta gọi FX (x) = P {ω : X(ω) < x} là hàm phân phối xác suất của X. 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó: FX (x) = P {ω : X(ω) < x} có các tính chất sau: 1) Không giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2. 2) Liên tục bên trái: FX (x) = FX (x − 0).

3) Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 tại +∞. Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít nhất một không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P ) và một biến ngẫu nhiên X sao cho F là hàm phân phối của nó FX = F .3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục Định nghĩa 1. Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc (hay biến ngẫu nhiên rời rạc) nếu hàm phân phối F của nó là hàm bước nhảy. Giả sử {xk } là tập hợp tất cả các điểm gián đoạn của F và {pk } là các bước nhảy tương ứng: pk = F (xk + 0) − F (xk ).

Khi đó, ta có: pk = Pξ {xk } = P {ω : ξ(ω) = xk }. Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ξ:     ξ x1 x2 · · · = , P p1 p2 · · · trong đó xk , k = 1, 2,. là các giá trị có thể của ξ (hay là điểm tập trung khối lượng của ξ) và pk , k = 1, 2,. là xác suất để ξ lấy giá trị xk (hay là khối lượng của Fξ đặt tại xk ).

có các tính chất sau: X pk > 0, pk = 1, (1.2) xk <x 2 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Ngược lại, nếu cho trước xk là dãy bất kỳ và {pk } là dãy có tính chất (1.1) thì vế phải của (1.2) xác định hàm phân phối và do đó, tồn tại đại lượng ngẫu nhiên ξ tập trung tại các điểm {xk } với khối lượng tương ứng {pk } Định nghĩa 1. Nói rằng X có phân phối liên tục, nếu phân phối PX của nó tuyệt đối liên tục đối với độ đo Lebesgue của đường thẳng. Vậy, nếu X có phân phối liên tục (hay tuyệt đối liên tục), thì có đạo hàm Radon - Nikodym. dPX (x) pX (x) = dx pX (x) được gọi là mật độ phân phối của X.

Nó có các tính chất sau: Z +∞ pX (x) ≥ 0, pX (x)dx = 1.4) −∞ Ngược lại, nếu cho trước hàm số p(x) có tính chất (1.3) thì vế phải (1.4) xác định một hàm phân phối và do đó tồn tại một biến ngẫu nhiên nhận p(x) làm hàm mật độ phân phối của nó. Vì vậy, hàm số có tính chất (1.3) được gọi là hàm mật độ (xác suất). Đặc biệt, nếu hàm mật độ có dạng: 1 x2 p(x) = √ exp{− } 2π 2 thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn. Ta sẽ dùng ký hiệu N (0, 1) để chỉ phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn.

Nếu ξ = σγ +m, trong đó σ > 0, m ∈ R, thì ta nói ξ có phân phối Gauss hay chuẩn với tham số (m, σ 2 ). Rõ ràng, mật độ của ξ = σγ + m có dạng 1 1 x−m 2 p(x) = √ exp{− ( ) }, σ 2π 2 σ với ξ như thế, ta sẽ dùng ký hiệu N (m, σ 2 ) để chỉ hàm phân phối của nó. 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối liên tục F (x).

Khi đó hàm phân phối của Y = F (X) là phân phối đều trên (0, 1).2 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 1.1 Moment Định nghĩa 1. Nói p R rằng, pX có moment cấp (hay bậc) p > 0, nếu |X| ∈ L1 (P ), tức là Ω |X(ω)| dP (ω) < ∞. Ký hiệu Lp (P ) là tập hợp gồm tất cả các đại lượng ngẫu nhiên có moment cấp p. Nếu X ∈ L1 , thì ta gọi số Z EX = X(ω)dP Ω là kỳ vọng (hay giá trị trung bình) của X.

Tính chất: a) E1Ω = 1, E(aX1 + bX2 ) = aEX1 + bEX2. b) X, Y ∈ L1 và X ≤ Y, EX ≤ EY. Cách tính: a) Nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối FX , thì Z +∞ EX = xdFX (x). −∞ b) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, thì X EX = xk pk k trong đó {xk } là các điểm tập trung của X với khối lượng {pk } tương ứng.

4 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] c) X là biến ngẫu nhiên liên tục, thì Z +∞ EX = xpX (x)dx −∞ pX (x) là hàm mật độ phân phối của X.2 Phương sai Định nghĩa 1. Khi đó, đại lượng DX = E[X − EX]2 hữu hạn và được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X, còn σX = √ DX được gọi là độ lệch tiêu chuẩn của X. a) Nếu X có hàm phân phối FX , thì Z +∞ Z +∞ Z +∞ 2 2 DX = (x−EX) dFX (x) = x dFX (x)−( xdFX (x))2. P b) X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì DX = c) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: Z +∞ DX = (x − EX)2 pX (x)dx.3 Hiệp phương sai Định nghĩa 1.

Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y là một số xác định bởi công thức: cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) với EX = µ và EY = λ. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì: XX cov(X, Y ) = xi yj pij − µλ i j với pij = P (X = xi , Y = yi ). 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f (x, y) là hàm mật độ đồng thời của (X, Y ) thì Z +∞ Z +∞ cov(X, Y ) = xyf (x, y)dxdy − µλ.

Nếu X, Y độc lập thì cov(X, Y ) = 0 nhưng ngược lại thì chưa chắc đúng.4 Hệ số tương quan Định nghĩa 1. Hệ số tương quan của X, Y , ký hiệu bởi ρ(X, Y ) được định nghĩa bởi công thức: cov(X, Y ) ρ(X, Y ) =. ρX ρY Ý nghĩa của hệ số tương quan: Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. Nếu |ρ(X, Y )| càng gần 1 thì mối quan hệ tuyến tính càng chặt, càng gần 0 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng ít, hay càng “lỏng lẻo”.

Nếu ρ(X, Y ) = 0 thì X, Y không tương quan. Tính chất của hệ số tương quan: i) Ta luôn có: −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1. ii) Nếu X, Y độc lập thì ρ(X, Y ) = 0. Nếu Y phụ thuộc tuyến tính vào X, tức là Y = aX + b thì ρ(X, Y ) = ±1.5 Độ nhọn Định nghĩa 1.

Độ nhọn là một đại lượng thống kê mô tả đo mức độ tập trung của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên, cụ thể là mức độ tập trung của các quan sát quanh trung tâm của phân phối trong mối quan hệ với hai đuôi, được định nghĩa bởi µ4 γ2 = − 3, σ4 6 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] trong đó µ là moment trung tâm bậc 4, còn σ là độ lệch chuẩn. Tỷ lệ µ4 được gọi là moment chuẩn hóa bậc 4.6 Bất đẳng thức Chebyshev Mệnh đề 1. Giả sử ξ ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không âm và không giảm trên [0, ∞). g(ε) Đó là bất đẳng thức Chebyshev.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.6) εp Người ta thường gọi (1.5) là bất đẳng thức Chebyshev, còn (1.6) là bất đẳng thức Markov. Đó là những bất đẳng thức quan trọng của lý thuyết xác suất. Mặc dù chứng minh của chúng hoàn toàn đơn giản, nhưng nó có ý nghĩa toán học sâu sắc.5) cho ta thấy: nếu biết phương sai của ξ thì ta sẽ biết với xác suất bằng bao nhiêu để ξ rơi vào lân cận ε của giá trị trung bình, tức là cho ta biết mức độ tập trung (phân tán) của ξ quanh Eξ.3 Các mô hình phi tuyến ARCH, GARCH Nhiều tính toán trong toán học tài chính có thể dựa vào sự phỏng đoán rằng một giá cả đã chiết khấu là một mac-tin-gan, làm cho khái 7 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] niệm mac-tin-gan trở thành một khái niệm trung tâm để phân tích giá cả; các giá cả này được xem như các dãy ngẫu nhiên hoặc các quá trình ngẫu nhiên với những phân phối đặc biệt nào đó. Tuy nhiên, các phân phối có tính chất mac-tin-gan là không đủ dùng để tính toán cụ thể.

Người ta cần biết những cấu trúc tinh vi hơn về những phân phối đó. Do đó cần phải nghiên cứu các loại mô hình xác suất và thống kê khác nhau tỉ mỉ hơn để tìm ra những mô hình phù hợp với các phân phối thực nghiệm xây dựng trên cơ sở các số liệu thống kê. Trong phân tích tài chính, nếu ký hiệu một loại giá cả thay đổi hằng ngày là Sn , để thuận tiện cho việc phân tích các yếu tố ngẫu nhiên của các chỉ số, người ta hay xét các đại lượng Sn hn = ln , n = 1, 2,. Sn−1 Ta hiểu rằng hn = lnSn − lnSn−1 được xem là “lợi nhuận” hay “lợi nhuận lôgarit”.

Giả thiết thường được ưa chuộng nhất là giả thiết cho rằng (h1 , ., hn ) tuân theo luật phân phối chuẩn. Thế nhưng, tiếc thay, theo sự phân tích thống kê các chuỗi thời gian tài chính, giả thiết đó nhiều khi không phù hợp thực tế diễn biến của các giá cả tài chính.