mở đầu 1.1 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất cơ bản và (R, B) là không gian đo được với R là tập số thực, B là σ - đại số borel trên R. Ta gọi ánh xạ đo được X : Ω −→ R (tức là X −1 (B) ⊂ A)) là biến ngẫu nhiên.2 Hàm phân phối xác suất Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó độ đo ảnh XP được gọi là phân phối (hay chính xác hơn, phân phối xác suất) của X. Ta ký hiệu PX = XP , như vậy PX (B) = P (X −1 (B)) là xác suất trên không gian đo được (R, B).
Nếu X là biến ngẫu nhiên thì ta gọi FX (x) = P {ω : X(ω) < x} là hàm phân phối xác suất của X. 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó: FX (x) = P {ω : X(ω) < x} có các tính chất sau: 1) Không giảm: FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) với x1 ≤ x2. 2) Liên tục bên trái: FX (x) = FX (x − 0).
3) Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 tại +∞. Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít nhất một không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P ) và một biến ngẫu nhiên X sao cho F là hàm phân phối của nó FX = F .3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục Định nghĩa 1. Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc (hay biến ngẫu nhiên rời rạc) nếu hàm phân phối F của nó là hàm bước nhảy. Giả sử {xk } là tập hợp tất cả các điểm gián đoạn của F và {pk } là các bước nhảy tương ứng: pk = F (xk + 0) − F (xk ).
Khi đó, ta có: pk = Pξ {xk } = P {ω : ξ(ω) = xk }. Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ξ: ξ x1 x2 · · · = , P p1 p2 · · · trong đó xk , k = 1, 2,. là các giá trị có thể của ξ (hay là điểm tập trung khối lượng của ξ) và pk , k = 1, 2,. là xác suất để ξ lấy giá trị xk (hay là khối lượng của Fξ đặt tại xk ).
có các tính chất sau: X pk > 0, pk = 1, (1.2) xk <x 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ngược lại, nếu cho trước xk là dãy bất kỳ và {pk } là dãy có tính chất (1.1) thì vế phải của (1.2) xác định hàm phân phối và do đó, tồn tại đại lượng ngẫu nhiên ξ tập trung tại các điểm {xk } với khối lượng tương ứng {pk } Định nghĩa 1. Nói rằng X có phân phối liên tục, nếu phân phối PX của nó tuyệt đối liên tục đối với độ đo Lebesgue của đường thẳng. Vậy, nếu X có phân phối liên tục (hay tuyệt đối liên tục), thì có đạo hàm Radon - Nikodym. dPX (x) pX (x) = dx pX (x) được gọi là mật độ phân phối của X.
Nó có các tính chất sau: Z +∞ pX (x) ≥ 0, pX (x)dx = 1.4) −∞ Ngược lại, nếu cho trước hàm số p(x) có tính chất (1.3) thì vế phải (1.4) xác định một hàm phân phối và do đó tồn tại một biến ngẫu nhiên nhận p(x) làm hàm mật độ phân phối của nó. Vì vậy, hàm số có tính chất (1.3) được gọi là hàm mật độ (xác suất). Đặc biệt, nếu hàm mật độ có dạng: 1 x2 p(x) = √ exp{− } 2π 2 thì ta gọi hàm phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng là phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn. Ta sẽ dùng ký hiệu N (0, 1) để chỉ phân phối (đại lượng ngẫu nhiên) Gauss tiêu chuẩn.
Nếu ξ = σγ +m, trong đó σ > 0, m ∈ R, thì ta nói ξ có phân phối Gauss hay chuẩn với tham số (m, σ 2 ). Rõ ràng, mật độ của ξ = σγ + m có dạng 1 1 x−m 2 p(x) = √ exp{− ( ) }, σ 2π 2 σ với ξ như thế, ta sẽ dùng ký hiệu N (m, σ 2 ) để chỉ hàm phân phối của nó. 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối liên tục F (x).
Khi đó hàm phân phối của Y = F (X) là phân phối đều trên (0, 1).2 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 1.1 Moment Định nghĩa 1. Nói p R rằng, pX có moment cấp (hay bậc) p > 0, nếu |X| ∈ L1 (P ), tức là Ω |X(ω)| dP (ω) < ∞. Ký hiệu Lp (P ) là tập hợp gồm tất cả các đại lượng ngẫu nhiên có moment cấp p. Nếu X ∈ L1 , thì ta gọi số Z EX = X(ω)dP Ω là kỳ vọng (hay giá trị trung bình) của X.
Tính chất: a) E1Ω = 1, E(aX1 + bX2 ) = aEX1 + bEX2. b) X, Y ∈ L1 và X ≤ Y, EX ≤ EY. Cách tính: a) Nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối FX , thì Z +∞ EX = xdFX (x). −∞ b) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, thì X EX = xk pk k trong đó {xk } là các điểm tập trung của X với khối lượng {pk } tương ứng.
4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com c) X là biến ngẫu nhiên liên tục, thì Z +∞ EX = xpX (x)dx −∞ pX (x) là hàm mật độ phân phối của X.2 Phương sai Định nghĩa 1. Khi đó, đại lượng DX = E[X − EX]2 hữu hạn và được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X, còn σX = √ DX được gọi là độ lệch tiêu chuẩn của X. a) Nếu X có hàm phân phối FX , thì Z +∞ Z +∞ Z +∞ 2 2 DX = (x−EX) dFX (x) = x dFX (x)−( xdFX (x))2. P b) X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì DX = c) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: Z +∞ DX = (x − EX)2 pX (x)dx.3 Hiệp phương sai Định nghĩa 1.
Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y là một số xác định bởi công thức: cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY ) với EX = µ và EY = λ. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì: XX cov(X, Y ) = xi yj pij − µλ i j với pij = P (X = xi , Y = yi ). 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f (x, y) là hàm mật độ đồng thời của (X, Y ) thì Z +∞ Z +∞ cov(X, Y ) = xyf (x, y)dxdy − µλ.
Nếu X, Y độc lập thì cov(X, Y ) = 0 nhưng ngược lại thì chưa chắc đúng.4 Hệ số tương quan Định nghĩa 1. Hệ số tương quan của X, Y , ký hiệu bởi ρ(X, Y ) được định nghĩa bởi công thức: cov(X, Y ) ρ(X, Y ) =. ρX ρY Ý nghĩa của hệ số tương quan: Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. Nếu |ρ(X, Y )| càng gần 1 thì mối quan hệ tuyến tính càng chặt, càng gần 0 thì sự phụ thuộc tuyến tính càng ít, hay càng “lỏng lẻo”.
Nếu ρ(X, Y ) = 0 thì X, Y không tương quan. Tính chất của hệ số tương quan: i) Ta luôn có: −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1. ii) Nếu X, Y độc lập thì ρ(X, Y ) = 0. Nếu Y phụ thuộc tuyến tính vào X, tức là Y = aX + b thì ρ(X, Y ) = ±1.5 Độ nhọn Định nghĩa 1.
Độ nhọn là một đại lượng thống kê mô tả đo mức độ tập trung của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên, cụ thể là mức độ tập trung của các quan sát quanh trung tâm của phân phối trong mối quan hệ với hai đuôi, được định nghĩa bởi µ4 γ2 = − 3, σ4 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó µ là moment trung tâm bậc 4, còn σ là độ lệch chuẩn. Tỷ lệ µ4 được gọi là moment chuẩn hóa bậc 4.6 Bất đẳng thức Chebyshev Mệnh đề 1. Giả sử ξ ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không âm và không giảm trên [0, ∞). g(ε) Đó là bất đẳng thức Chebyshev.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.6) εp Người ta thường gọi (1.5) là bất đẳng thức Chebyshev, còn (1.6) là bất đẳng thức Markov. Đó là những bất đẳng thức quan trọng của lý thuyết xác suất. Mặc dù chứng minh của chúng hoàn toàn đơn giản, nhưng nó có ý nghĩa toán học sâu sắc.5) cho ta thấy: nếu biết phương sai của ξ thì ta sẽ biết với xác suất bằng bao nhiêu để ξ rơi vào lân cận ε của giá trị trung bình, tức là cho ta biết mức độ tập trung (phân tán) của ξ quanh Eξ.3 Các mô hình phi tuyến ARCH, GARCH Nhiều tính toán trong toán học tài chính có thể dựa vào sự phỏng đoán rằng một giá cả đã chiết khấu là một mac-tin-gan, làm cho khái 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com niệm mac-tin-gan trở thành một khái niệm trung tâm để phân tích giá cả; các giá cả này được xem như các dãy ngẫu nhiên hoặc các quá trình ngẫu nhiên với những phân phối đặc biệt nào đó. Tuy nhiên, các phân phối có tính chất mac-tin-gan là không đủ dùng để tính toán cụ thể.
Người ta cần biết những cấu trúc tinh vi hơn về những phân phối đó. Do đó cần phải nghiên cứu các loại mô hình xác suất và thống kê khác nhau tỉ mỉ hơn để tìm ra những mô hình phù hợp với các phân phối thực nghiệm xây dựng trên cơ sở các số liệu thống kê. Trong phân tích tài chính, nếu ký hiệu một loại giá cả thay đổi hằng ngày là Sn , để thuận tiện cho việc phân tích các yếu tố ngẫu nhiên của các chỉ số, người ta hay xét các đại lượng Sn hn = ln , n = 1, 2,. Sn−1 Ta hiểu rằng hn = lnSn − lnSn−1 được xem là “lợi nhuận” hay “lợi nhuận lôgarit”.
Giả thiết thường được ưa chuộng nhất là giả thiết cho rằng (h1 , ., hn ) tuân theo luật phân phối chuẩn. Thế nhưng, tiếc thay, theo sự phân tích thống kê các chuỗi thời gian tài chính, giả thiết đó nhiều khi không phù hợp thực tế diễn biến của các giá cả tài chính.