mở đầu 1.1 Không gian và thời gian: Theo cơ học cổ điển, không gian trong đó các vật chuyển động được xem là một chân không ba chiều (hình học Euclide). Không gian ấy đẳng hướng, (chuyển động của vật lá đồng nhất khi thay đổi phương). Thời gian được xem mặc nhiên là không phụ thuộc vào chuyển động. Thời gian trôi đều nhau từ quá khứ đến tương lai và độc lập với vật được qui chiếu đứng yên.
Nói cách khác, thời gian và không gian có tính chất tuyệt đối. Lưu ý rằng những vật chuyển động nhanh cỡ vận tốc ánh sáng được nghiên cứu trong cơ học tương đối thì khái niệm thời gian và không gian không còn độc lập với vận tốc chuyển động.2 Chuyển động cơ học Sự thay đổi vị trí của vật này so với vật khác. Đối với vật này thì vật mà ta khảo sát đứng yên, nhưng đối với vật kia thì nó chuyển động. Như vậy, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vật mà ta qui ước đứng yên.
Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một cách tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. Vì vậy, khi nói rằng một vật chuyển động thì ta phải nói rõ vật đó là chuyển động đối với vật nào mà ta qui ước là đứng yên.3 Chất điểm và hệ chất điểm Vật có kích thước nhỏ so với quãng đường mà nó chuyển động. Khái niệm chất điểm có tính tương đối, ví dụ khi nghiên cứu chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời ta có thể xem Trái đất là chất điểm, nhưng khi nghiên cứu chuyển động tự quay quanh trục của nó thì ta không thể xem Trái đất là chất điểm được. Hệ chất điểm là một tập hợp các chất điểm.
Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách tương hỗ giữa các chất điểm không thay đổi.4 Hệ quy chiếu Vật được chọn làm mốc và xem là đứng yên để xét chuyển động của các vật khác trong không gian. Vì chuyển động là sự thay đổi khoảng cách theo thời gian từ vật được quan sát đến hệ qui chiếu được chọn, cho nên khi mô tả chuyển động một vật, bắt buộc phải xác định rõ hệ qui chiếu đang xét. Với các hệ qui chiếu khác nhau, chuyển động sẽ có dạng khác nhau. Việc chọn hệ qui chiếu là tùy ý nhưng nên chọn sao cho việc khảo sát là thích hợp và tiện lợi.
Để mô tả các chuyển động trên Trái đất, ta thường chọn hệ qui chiếu là các vật gắn liền với Trái đất. Khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh, người ta sử dụng hệ qui chiếu Copernic được gọi là hệ qui chiếu đứng yên tuyệt đối (gốc là tâm Mặt trời, ba trục nối với ba ngôi sao cố định), nhờ có hệ qui chiếu này, Kepler mới tìm ra các qui luật đúng đắn để mô tả chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt trời.5 Hệ tọa độ Là hệ thống các đường thẳng có định các véctơ đơn vị và các góc định hướng dùng để xác định vị trí và chuyển động của các vật. Các hệ tọa độ thường gặp là hệ tọa độ vuông góc Descartes, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cực, hệ tọa độ véctơ, hệ tọa độ cong, … Tùy theo đặc điểm của chuyển động mà người ta chọn hệ tọa độ này, hệ tọa độ khác sao cho thích hợp và tiện lợi. Sau đây là vài tọa độ thông dụng đối với cơ học: a) Hệ tọa độ Descartes Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc cùng nhau từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận.
Điểm O gọi là gốc tọa độ. Vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định hoàn toàn bởi véctơ định vị 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀, hay bởi tập hợp của ba số (x, y, z) trong đó x, y, z là hình chiếu của điểm mút M của véctơ r lên các trục tương ứng Ox, Oy, Oz được gọi là ba tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Descartes. Gọi 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ là các véctơ đơn vị hướng theo các trục Ox, Oy, Oz thì ta có thể viết: 𝑟⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘⃗⃗ [1.1-1] ► 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀: bán kính véctơ hoặc là véctơ vị trí của chất điểm M. VẬT LÝ 1 _ NLU 4 b) Hệ tọa độ cầu Ở hệ tọa độ cầu, vị trí một điểm M bất kỳ được xác định bởi ba tọa độ r, θ, φ.
Trong đó r là độ dài bán kính véctơ 𝑟⃗, θ là góc định hướng từ trục Oz đến 𝑟⃗ và φ là góc định hướng từ trục Ox đến tia hình chiếu của 𝑟⃗ trong mặt phẳng xOy với quy ước góc quay luôn theo chiều kim đồng hồ. Như vậy, ta có: 0 r , 0 180, 0 360. Biết ba tọa độ cầu của điểm M bất kỳ, ta có thể tính được các tọa độ Descartes của điểm M đó theo công thức sau: r = x 2 + y 2 + z 2 x = rsin cos z y = rsin sin = arccos 2 [1.1-2] z = rcos x + y2 + z2 = arctan y x Hệ tọa độ cầu thuận tiện khi nghiên cứu chuyển động của những vật mà quỹ đạo của vật đó có tính đối xứng cầu. VẬT LÝ 1 _ NLU 5 c) Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ này dùng cho chuyển động một chiều như chuyển động xảy ra dọc theo đường cong (C) tùy ý và quỹ đạo đã được xác định trước trong không gian.
Vậy ở hệ này, chỉ cần một tọa độ là độ dài đại số tính từ gốc tọa độ (thường được chọn tại điểm xuất phát chuyển động) đến vị trí của chất điểm M ở mỗi thời điểm. Ta thấy véctơ đơn vị 𝑖⃗ bằng véctơ đơn vị 𝜏⃗, tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theo chiều dương do ta chọn với điểm đặt là tại M. Trục tọa độ cong s cũng có phần dương và âm như trục x. Nếu chuyển động không đổi chiều thì s mới là quãng đường đã đi.6 Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo a) Phương trình chuyển động của chất điểm Phương trình xác định vị trí của chất điểm tại những thời điểm khác nhau.
Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc theo thời gian của bán kính véctơ 𝑟⃗ của chất điểm: 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟(𝑡) [1.1-3] Vậy; phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ gồm ba phương trình: x = x(t ) r = r (t ) Trong hệ Descartes y = y (t ) và trong hệ tọa độ cầu: = (t ) z = z (t ) = (t ) Ví dụ: Phương trình huyển động thẳng đều: x = vt VẬT LÝ 1 _ NLU 6 x = R cos t Phương trình chuyển động tròn: y = R sin t b) Phương trình quỹ đạo của chất điểm Phương trình mô tả dạng hình học của quỹ đạo chuyển động của chất điểm ở các thời điểm khác nhau. Về nguyên tắc, phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm là không phụ thuộc vào tham số thời gian, vì thế bằng cách khử tham số t, chúng ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các tọa độ, tức là tìm được phương trình quỹ đạo. Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyển động là phương trình quỹ đạo cho ở dạng tham số. Quay lại ví dụ về chuyển động tròn của chất điểm với phương trình: x = R cos t y = R sin t Khử t giữa các phương trình chuyển động ta được: x2 + y 2 = R2 Ta kết luận quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn bán kính R và tâm nằm ở gốc tọa độ.
Đường tròn này nằm trong mặt phẳng xOy.2 Vận tốc và véctơ vận tốc Vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều và sự nhanh chậm của chuyển động.1 Định nghĩa vận tốc Xét một chất điểm chuyển động theo quỹ đạo cong trong hệ qui chiếu O gắn lên hệ tọa độ Descartes ba chiều. Chọn gốc tọa độ cong là M0, giả sử ở thời điểm t, chất điểm ở vị trí M, tọa độ cong của nó là s (cung M0M) và véctơ vị trí của chất điểm ở thời điểm t là 𝑟⃗, sau đó ở thời điểm 𝑡 ′ = 𝑡 + ∆𝑡 chất điểm ở vị trí M’ và véctơ vị trí của nó là: 𝑟⃗ ′ = 𝑟⃗ + ∆𝑟⃗ [1.1-4] VẬT LÝ 1 _ NLU 7 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ được gọi là độ dịch chuyển véctơ của chất điểm trong thời gian Δt. ∆𝑟⃗ = ∆𝑀𝑀′ Quãng đường chất điểm đi được trong quãng thời gian Δt là Δs (cung MM’).2 Giá trị của vận tốc Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian Δt là: s v tb [1.1-5] t Vận tốc tức thời của chất điểm ở thời điểm t, là vận tốc trung bình khi khoảng thời gian Δt là rất bé (Δt→0) hay t’→t), ta có: s lim =v t →0 t s ds Ngoài ra: lim = t →0 t dt ds Vậy v tb = [1.1-6] dt Ta có: vtb là đại lượng đại số, v > 0 khi chất điểm chuyển động theo chiều dương của s và v < 0 khi chất điểm chuyển động ngược lại. Tuy nhiên người ta thường ký hiệu v = v vì chúng không khác nhau về trị số.3 Véctơ vận tốc Ta thấy, độ dịch chuyển véctơ của chất điểm trong khoảng thời gian Δt là: ∆𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
∆𝑀𝑀′ VẬT LÝ 1 _ NLU 8 Véctơ vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian Δt: r v tb = [1.1-7] t tại thời điểm cụ thể t nào đó (Δt→0, t’→t), ta có: r v = lim t →0 t r dr mà lim = t →0 t dt dr suy ra: v= [1.1-8] dt được gọi là véctơ vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.4 Véctơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes Véctơ vị trí của chất điểm ở thời điểm t là: 𝑟⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘⃗⃗ Véctơ vận tốc lúc này là: d r dx dy dz v= = i+ j+ k dt dt dt dt Mặt khác: v = vx i + v y j + vz k VẬT LÝ 1 _ NLU 9 Do đó: dx v = x dt dy v y = → v = vx 2 + v y 2 + vz 2 dt [1.1-9] dz v = z dt Ta có: r v= v = t Khi Δt khá lớn thì r s ; còn khi Δt nhỏ thì: d r ds .