Tuyển tập chuyên đề hình cầu, hình trụ và hình nón cho học sinh lớp 9

Tuyển tập chuyên đề hình trụ, hình nón, hình cầu mới nhất cho học sinh lớp 9, giúp ôn tập và nâng cao kiến thức toán học hiệu quả.

• Trường học: Trường Trung Học Cơ Sở
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Chuyên Đề Hình Cầu, Hình Trụ Và Hình Nón
• Loại tài liệu: Chuyên Đề
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng quan về hình cầu hình trụ và hình nón cho học sinh lớp 9

Chuyên đề hình cầu, hình trụ và hình nón là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Những khái niệm này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức hình học mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Hình cầu, hình trụ và hình nón đều là những hình học không gian cơ bản, có ứng dụng rộng rãi trong thực tế.

1.1. Định nghĩa và đặc điểm của hình cầu hình trụ và hình nón

Hình cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách bằng một bán kính từ một điểm cố định gọi là tâm. Hình trụ là hình được tạo ra khi một hình chữ nhật quay quanh một cạnh cố định. Hình nón được tạo ra khi một tam giác vuông quay quanh một cạnh cố định.

1.2. Tầm quan trọng của hình học không gian trong đời sống

Hình học không gian giúp học sinh hiểu rõ hơn về các hình dạng trong thực tế, từ đó áp dụng vào các lĩnh vực như kiến trúc, thiết kế và khoa học. Việc nắm vững kiến thức về hình cầu, hình trụ và hình nón sẽ giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo và khả năng phân tích.

II. Vấn đề và thách thức trong việc học hình cầu hình trụ và hình nón

Học sinh thường gặp khó khăn trong việc hình dung và áp dụng các công thức tính diện tích và thể tích của hình cầu, hình trụ và hình nón. Việc thiếu thực hành và ứng dụng thực tế cũng là một trong những nguyên nhân khiến học sinh không nắm vững kiến thức.

2.1. Những khó khăn phổ biến khi học hình học không gian

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc hình dung các hình khối trong không gian ba chiều. Điều này dẫn đến việc áp dụng sai công thức và không hiểu rõ bản chất của các khái niệm.

2.2. Giải pháp để khắc phục những thách thức này

Giáo viên có thể sử dụng mô hình 3D, phần mềm hình học hoặc các hoạt động thực tế để giúp học sinh hình dung rõ hơn về các hình khối. Việc thực hành thường xuyên và làm bài tập sẽ giúp củng cố kiến thức.

III. Phương pháp tính diện tích và thể tích của hình cầu hình trụ và hình nón

Để tính diện tích và thể tích của hình cầu, hình trụ và hình nón, học sinh cần nắm vững các công thức cơ bản. Việc hiểu rõ cách áp dụng các công thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

3.1. Công thức tính diện tích và thể tích hình cầu

Diện tích mặt cầu được tính bằng công thức: S = 4πR^2, trong đó R là bán kính. Thể tích hình cầu được tính bằng công thức: V = (4/3)πR^3.

3.2. Công thức tính diện tích và thể tích hình trụ

Diện tích xung quanh hình trụ được tính bằng công thức: Sxq = 2πRh, trong đó R là bán kính đáy và h là chiều cao. Thể tích hình trụ được tính bằng công thức: V = πR^2h.

3.3. Công thức tính diện tích và thể tích hình nón

Diện tích xung quanh hình nón được tính bằng công thức: Sxq = πRl, trong đó R là bán kính đáy và l là độ dài đường sinh. Thể tích hình nón được tính bằng công thức: V = (1/3)πR^2h.

IV. Ứng dụng thực tiễn của hình cầu hình trụ và hình nón trong đời sống

Hình cầu, hình trụ và hình nón có nhiều ứng dụng trong thực tế, từ thiết kế kiến trúc đến sản xuất công nghiệp. Việc hiểu rõ về các hình khối này sẽ giúp học sinh áp dụng kiến thức vào thực tiễn.

4.1. Ứng dụng của hình cầu trong công nghệ và khoa học

Hình cầu được sử dụng trong nhiều lĩnh vực như thiết kế bóng đèn, quả bóng thể thao và các thiết bị quang học. Việc hiểu rõ về hình cầu giúp cải thiện thiết kế và hiệu suất của các sản phẩm này.

4.2. Ứng dụng của hình trụ trong xây dựng và sản xuất

Hình trụ thường được sử dụng trong thiết kế cột, ống dẫn và các cấu trúc xây dựng khác. Việc nắm vững kiến thức về hình trụ giúp học sinh hiểu rõ hơn về các công trình xây dựng.

4.3. Ứng dụng của hình nón trong nghệ thuật và thiết kế

Hình nón được sử dụng trong thiết kế chóp, nón bảo hiểm và nhiều sản phẩm khác. Việc hiểu rõ về hình nón giúp học sinh phát triển khả năng sáng tạo trong thiết kế.

V. Kết luận và tương lai của việc học hình cầu hình trụ và hình nón

Việc học hình cầu, hình trụ và hình nón không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Tương lai của việc học này sẽ ngày càng trở nên quan trọng khi công nghệ và khoa học phát triển.

5.1. Tầm quan trọng của hình học không gian trong giáo dục

Hình học không gian là một phần không thể thiếu trong chương trình giáo dục. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các môn học khác và cuộc sống sau này.

5.2. Xu hướng phát triển của hình học không gian trong tương lai

Với sự phát triển của công nghệ, việc học hình học không gian sẽ ngày càng trở nên phong phú và đa dạng hơn. Các công cụ học tập hiện đại sẽ giúp học sinh tiếp cận kiến thức một cách dễ dàng và hiệu quả hơn.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Tài liệu chuyên đề "Hình cầu, hình trụ và hình nón" thuộc phân môn Hình học không gian trong chương trình Toán học cơ sở (lớp 9), đồng thời đóng vai trò tư liệu nền tảng phục vụ học phần Phương pháp dạy học Toán học và Hình học sơ cấp ở bậc đào tạo đại học sư phạm. Chuyên đề này giữ vị trí mắt xích chuyển tiếp giữa hình học phẳng hai chiều ($2\text{D}$) và hình học không gian ba chiều ($3\text{D}$), đặt nền móng cho các học phần hình học giải tích và giải tích đa biến sau này.

Mục tiêu học tập của tài liệu tập trung vào việc:

1. Xác lập khái niệm các khối tròn xoay (hình trụ, hình nón, hình nón cụt, hình cầu và mặt cầu) thông qua phép biến đổi quay hình học.
2. Thiết lập và chứng minh hệ thống công thức tính diện tích xung quanh ($S_{xq}$), diện tích toàn phần ($S_{tp}$) và thể tích ($V$).
3. Phân tích các dạng thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt khối tròn xoay.
4. Rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán định lượng kết hợp hình học phẳng và không gian, cũng như giải bài toán thực tế.

Cấu trúc giáo trình được tổ chức thành 3 khối nội dung tương ứng với 3 loại thực thể hình học: Hình cầu - Mặt cầu, Hình nón - Hình nón cụt, và Hình trụ. Mỗi đơn vị bài học tuân thủ quy trình sư phạm chuẩn tắc: định nghĩa động học từ phép quay, khảo sát thiết diện phẳng, thiết lập công thức toán học, ví dụ mẫu có lời giải chi tiết, hệ thống câu hỏi trắc nghiệm kiểm tra độ hiểu và phần bài tập tự luận/vận dụng phân cấp độ.

Điểm đặc trưng của tài liệu là phương pháp tiếp cận trực quan - định lượng. Khái niệm không gian được hình thành từ việc quay các đường và đa giác phẳng quanh một trục cố định, giúp người học chuyển đổi tư duy hình học phẳng sang tư duy thể tích một cách có hệ thống.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung tài liệu được chia thành các chủ đề chuyên sâu với mạch logic liên tục:

1. Chủ đề 1: Hình cầu, mặt cầu, diện tích và thể tích

   • Khái niệm: Hình cầu và mặt cầu được tạo thành khi quay nửa hình tròn tâm $O$, bán kính $R$ một vòng quanh đường kính $AB$ cố định. Điểm $O$ là tâm, $R$ là bán kính.
   • Thiết diện cắt bởi mặt phẳng: Mặt phẳng $(P)$ cắt hình cầu luôn tạo thành một hình tròn. Khi cắt mặt cầu, nếu mặt phẳng đi qua tâm sẽ tạo ra đường tròn lớn có bán kính $R$; nếu không đi qua tâm sẽ tạo ra đường tròn có bán kính $R' < R$.
   • Công thức định lượng: Diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^2 = \pi d^2$; Thể tích hình cầu $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{6}\pi d^3$.

2. Chủ đề 2: Hình nón và diện tích, thể tích hình nón

   • Khái niệm: Tạo thành khi quay tam giác vuông $AOC$ một vòng quanh cạnh góc vuông $OA$ cố định. $A$ là đỉnh, $OA$ là đường cao ($h$), $OC$ là bán kính đáy ($R$), $AC$ là đường sinh ($l$). Quan hệ hệ thức lượng: $l^2 = h^2 + R^2$.
   • Công thức định lượng: Diện tích xung quanh $S_{xq} = \pi R l$; Diện tích toàn phần $S_{tp} = \pi R l + \pi R^2$; Thể tích $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

3. Chủ đề 3: Hình nón cụt và bài toán khai triển

   • Khái niệm: Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng song song với đáy và mặt phẳng đáy. Có hai bán kính đáy $R$ (đáy lớn) và $r$ (đáy nhỏ), trục $OO' = h$, đường sinh $l$.
   • Công thức định lượng: $S_{xq} = \pi (R + r) l$; Thể tích $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)$.
   • Khai triển mặt xung quanh: Khai triển mặt xung quanh hình nón tạo thành hình quạt tròn có bán kính bằng đường sinh $l$ và độ dài cung bằng chu vi đáy $2\pi R$.

4. Chủ đề 4: Hình trụ, diện tích và thể tích hình trụ

   • Khái niệm: Tạo thành khi quay hình chữ nhật $ABCD$ một vòng quanh cạnh $AB$ cố định. Trục $AB$, bán kính đáy $R = AD$, đường sinh $CD = h$ vuông góc với hai đáy.
   • Thiết diện: Cắt bởi mặt phẳng song song với đáy cho mặt cắt là hình tròn bằng hình tròn đáy; cắt bởi mặt phẳng song song với trục $OO'$ cho mặt cắt là hình chữ nhật.
   • Công thức định lượng: $S_{xq} = 2\pi R h$; Diện tích toàn phần $S_{tp} = 2\pi R h + 2\pi R^2$; Thể tích $V = \pi R^2 h$.

5. Chủ đề 5: Mối quan hệ tương đối và bài toán tổ hợp khối

   • Hình cầu nội tiếp hình trụ: Khảo sát hình cầu bán kính $R$ nội tiếp hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h = 2R$. Tài liệu chứng minh hệ thức tỷ lệ: $$\frac{V_{\text{cầu}}}{V_{\text{trụ}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\pi R^2 (2R)} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{S_{\text{cầu}}}{S_{tp_\text{trụ}}} = \frac{4\pi R^2}{2\pi R(2R) + 2\pi R^2} = \frac{4\pi R^2}{6\pi R^2} = \frac{2}{3}$$
   • Mô hình cơ khí và vật thể phức hợp: Khối phối hợp gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu hai đầu (chi tiết máy có trục $AA' = 2x + h = 2a$), khối gỗ hình trụ bị khoét rỗng hai nửa hình cầu bán kính $r$ (diện tích bề mặt $S = 8\pi r^2$).

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Chuyên đề củng cố hệ thống lý thuyết không gian cơ bản:

• Cơ chế hình thành các mặt tròn xoay từ các yếu tố hình học phẳng đơn giản (đoạn thẳng, tam giác vuông, hình chữ nhật, nửa hình tròn).
• Bản chất topo và vi phân sơ cấp của diện tích xung quanh (thông qua phép trải phẳng - khai triển thành hình quạt hoặc hình chữ nhật) và thể tích khối tròn xoay.
• Mối liên hệ giải tích giữa các thông số kích thước: mối quan hệ giữa đường sinh, đường cao và bán kính thông qua định lý Pitago; mối quan hệ giữa chu vi đáy và độ dài cung của hình khai triển.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng tính toán và đại số hóa hình học: Biến đổi linh hoạt giữa các đại lượng (tính bán kính $R$ từ thể tích $V = 972\pi\text{ cm}^3$ hoặc diện tích $S = 64\pi\text{ cm}^2$; tìm chiều cao hình nón khi biết diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu).
• Kỹ năng phân tích thiết diện và chứng minh: Khai thác tính chất tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng ($\Delta MON \sim \Delta APB$) trong mặt cắt qua trục để tính toán các đại lượng không gian.
• Kỹ năng mô hình hóa thực tế: Giải quyết bài toán định lượng cho các vật thể thực tế như khinh khí cầu Montgolfier đường kính $11\text{m}$, xô tôn hình nón cụt, chao đèn nón cụt, hộp sữa hình trụ, bồn chứa công nghiệp.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình áp dụng mô hình sư phạm tam cấp: Trực quan hóa $\rightarrow$ Công thức hóa $\rightarrow$ Vận dụng đa tầng.

• Tiếp cận sư phạm: Bắt đầu từ thao tác quay hình trực quan, giúp người học hiểu rõ nguồn gốc hình học của từng yếu tố (đỉnh, trục, đường sinh, mặt đáy). Việc phân tích mặt cắt vuông góc hoặc song song với trục giúp rèn luyện khả năng biểu diễn không gian trên mặt phẳng $2\text{D}$.
• Hệ thống bài tập mẫu và bài tập trắc nghiệm:
  • Ví dụ mẫu: Trình bày tuần tự từng bước tính toán có lời giải mẫu mực (ví dụ: tìm bán kính từ thể tích rồi suy ra diện tích mặt cầu).
  • Bài tập trắc nghiệm (10 câu/chuyên đề): Rèn luyện phản xạ tính nhanh, phân biệt các biến đổi tỉ lệ (ví dụ: khi tăng chiều cao lên 2 lần và giảm bán kính đáy đi 2 lần thì diện tích xung quanh của hình trụ không đổi).
• Bài tập tự luận chuyên sâu và nghiên cứu tình huống (Case studies):
  • Bài toán chứng minh hình học gắn với thiết diện (Câu 9 phần tự luận hình cầu: chứng minh hệ thức $AM \cdot BN = R^2$, tỉ số diện tích tam giác đồng dạng $\frac{S_{MON}}{S_{APB}} = \frac{25}{16}$, tính thể tích khối tròn xoay do nửa hình tròn quay quanh đường kính).
  • Bài toán liên kết khối và hình học ứng dụng (khảo sát thể tích nước tràn khi thả khối cầu vào bình trụ, tính diện tích bề mặt chi tiết máy cơ khí liên hoàn).
• Phương pháp tự học: Người học cần chủ động lập bảng so sánh các công thức $S_{xq}, S_{tp}, V$ giữa ba khối tròn xoay, giải lại các bài tập có lời giải trước khi thực hiện các bài tập vận dụng độc lập.

---

Điểm nổi bật và tính hệ thống

Tài liệu thể hiện tính nhất quán và chặt chẽ trong phương pháp xây dựng nội dung:

1. Tính tích hợp liên môn và liên cấp độ: Nội dung kết nối chặt chẽ giữa kiến thức Hình học phẳng (tiếp tuyến đường tròn, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông) với Hình học không gian, tạo điều kiện thuận lợi cho việc ôn tập tổng hợp.
2. Hệ thống bài toán thực nghiệm phong phú: Đưa vào các dữ kiện thực tế có tính lịch sử và kỹ thuật:
   • Lịch sử kỹ thuật: Bài toán tính diện tích bề mặt khinh khí cầu của anh em nhà Montgolfier phát minh ngày 4-6-1783 dạng hình cầu đường kính $11\text{m}$ ($S \approx 379{,}94\text{ m}^2$).
   • Đời sống & Công nghiệp: Bài toán tính dung tích xô tôn hình nón cụt ($R=10\text{ cm}, r=5\text{ cm}, h=20\text{ cm}$); tính diện tích vỏ hộp sữa hình trụ ($h=12\text{ cm}, d=8\text{ cm}$); bài toán chao đèn hình nón cụt ($R_1=5\text{ cm}, R_2=13\text{ cm}, S_{xq}=306\pi\text{ cm}^2 \Rightarrow h=15\text{ cm}$).
3. Phân hóa cấu trúc bài tập rõ ràng: Tài liệu chia tách minh bạch các phần: Lý thuyết cơ bản $\rightarrow$ Ví dụ $\rightarrow$ Bài tập trắc nghiệm $\rightarrow$ Bài tập tự luận có lời giải $\rightarrow$ Bài tập vận dụng tự giải, giúp kiểm soát tiến trình tiếp thu kiến thức một cách khoa học.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

Nhóm đối tượng	Mục đích và cách thức sử dụng	Yêu cầu kiến thức tiên quyết
Học sinh lớp 9 / Luyện thi vào 10	Dùng làm tài liệu chuyên đề ôn tập phần hình học không gian, chuẩn bị cho các kỳ thi học kỳ và tuyển sinh vào THPT / THPT Chuyên.	Kiến thức hình học phẳng THCS: Định lý Pitago, hệ thức lượng tam giác vuông, đường tròn.
Sinh viên Sư phạm Toán	Dùng làm tài liệu tham khảo để phân tích phương pháp xây dựng bài giảng, cấu trúc hệ thống câu hỏi phân hóa cho học sinh phổ thông.	Kiến thức Hình học sơ cấp, Giải tích cổ điển, Phương pháp dạy học Toán học.
Giáo viên THCS / Giảng viên	Dùng làm ngân hàng đề thi, bài tập mẫu và định hướng thiết kế giáo án chuyên đề về khối tròn xoay.	Nắm vững chương trình khung môn Toán cấp THCS và ma trận đề thi chuẩn.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với đối tượng nào?

Tài liệu được thiết kế chuyên biệt cho học sinh lớp 9 ôn tập chương trình Hình học không gian, người học cần củng cố kiến thức khối tròn xoay, cùng sinh viên và giáo viên ngành Sư phạm Toán học làm tài liệu giảng dạy và biên soạn đề kiểm tra.

2. Cần chuẩn bị những kiến thức nền tảng nào trước khi học chuyên đề?

Người học cần nắm vững các kiến thức hình học phẳng cơ bản: định lý Pitago, định lý Ta-lét, các trường hợp đồng dạng của tam giác, tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, công thức diện tích tam giác và hình chữ nhật, cũng như các phép biến đổi đại số cơ bản.

3. Điểm khác biệt trong cách tiếp cận của tài liệu là gì?

Tài liệu không chỉ đưa ra các công thức thuần túy mà xây dựng bản chất hình học từ phép quay các đa giác phẳng, kết hợp khảo sát thiết diện cắt chi tiết và mở rộng sang các bài toán tổ hợp khối phức hợp (hình cầu nội tiếp hình trụ, chi tiết máy phối hợp, khối khoét rỗng).

4. Làm sao để tự học hiệu quả với tài liệu này?

Nên học tuần tự theo 4 bước:

1. Đọc hiểu phần hình thành khái niệm động học và vẽ lại các thiết diện.
2. Tự suy dẫn và ghi nhớ bảng công thức $S_{xq}, S_{tp}, V$.
3. Làm bài tập trắc nghiệm để kiểm tra độ chính xác của việc ghi nhớ công thức.
4. Tự giải các bài toán tự luận có lời giải trước khi đối chiếu đáp án, sau đó hoàn thành phần bài tập vận dụng.

5. Tài liệu có đề cập đến các dạng bài liên quan đến hình học phẳng không?

Có. Rất nhiều bài toán tự luận trong tài liệu yêu cầu vận dụng tính chất tiếp tuyến, tam giác vuông đồng dạng và hệ thức lượng trong tam giác phẳng (như Bài 9 phần Tự luận hình cầu, Bài 1 phần Tự luận hình nón) làm cơ sở để xác định kích thước các yếu tố không gian.

---

Kết luận

Chuyên đề "Hình cầu, hình trụ và hình nón" là tài liệu học thuật có cấu trúc hoàn chỉnh, chuyển tải đầy đủ cơ sở lý thuyết, công thức định lượng và hệ thống bài toán về các khối tròn xoay. Tài liệu cung cấp lộ trình học tập logic từ việc tiếp cận trực quan cơ chế tạo hình, phân tích thiết diện phẳng, làm chủ công thức tính toán diện tích - thể tích, đến việc giải quyết các bài toán chứng minh và mô hình hóa thực tiễn. Đây là nguồn tư liệu chuẩn xác phục vụ việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu phương pháp dạy học hình học không gian sơ cấp.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chuyên đề Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu - Toán 9 A. Hình cầu Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu. - Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.

- Điểm O được gọi tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn. Mặt phẳng (P) cắt hình cầu tâm O, bán kính R ta được hình tròn như hình vẽ. Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn: - Đường tròn đó có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm (gọi là đường tròn lớn).

- Đường tròn đó có bán kính bé hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm. Khi cắt mặt cầu tâm O bán kính R bởi một mặt phẳng ta được: - Đường tròn tâm O bán kính R: mặt phẳng đi qua tâm. - Đường tròn tâm O’ bán kính R’: mặt phẳng không đi qua tâm. Ta có hình vẽ: 3.

Diện tích và thể tích của hình cầu Ví dụ 3. Một hình cầu có thể tích bằng 972π cm3. Tính diện tích của mặt cầu đó. Lời giải: Bán kính của mặt cầu đó là: Diện tích của mặt cầu đó là: S = 4πR2 = 4π.

92 = 324π (cm2) Vậy diện tích của mặt cầu đó là 324π cm2. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình cầu có đường kính d = 6cm. Diện tích mặt cầu là: A. 36π (cm2) Lời giải: Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho mặt cầu có thể tích V = 288π (cm3). Tính đường kính mặt cầu: A. 16cm Lời giải: Chọn đáp án B. Câu 3: Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng số đo thể tích.

Tính bán kính mặt cầu: A. 12 Lời giải: Từ giả thiết ta có: Chọn đáp án A. Câu 4: Cho hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu.

Tính chiều cao của hình nón: A. 6√2 Lời giải: Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón. Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có: Chọn đáp án D. Câu 5: Cho hình cầu có diện tích mặt cầu là 64π (cm2).

Tính thể tích khối cầu? Lời giải: Ta có: Chọn đáp án A. Câu 6: Cho hình cầu có thể tích là: ,tính diện tích mặt cầu? A. 75π (cm2) Lời giải: Ta có: Chọn đáp án B. Câu 7: Cho hình nón có bán kính đáy là 4cm và chiều cao 6cm.

Thể tích của một hình cầu bằng thể tích hình nón. Tính bán kính hình cầu? Lời giải: Chọn đáp án C. Câu 8: Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm và chiều cao h = 4cm. Một hình cầu có diện tích bằng diện tích xung quang của hình trụ.

Tính bán kính của hình cầu? A. R = √6 cm Lời giải: Chọn đáp án D. Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy là 4cm. Một hình cầu có diện tích mặt cầu bằng diện tích hai đáy của hình trụ.Tính bán kính hình cầu? A.

R = 3√2 cm Lời giải: Chọn đáp án C. Câu 10: Một hình cầu có thể tích là cm3. Tính diện tích của mặt cầu? A. 64π Lời giải: Chọn đáp án D.

Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3 cm và hiệu các thể tích bằng 1332π cm3. Tính hiệu các diện tích của hai mặt cầu. Lời giải: Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r. Giải ra được r1 = –12 (loại), r2 = 9 (chọn).

Do đó bán kính hình cầu nhỏ là 9 cm, bán kính hình cầu lớn là 12 cm. Diện tích mặt cầu lớn là: S1 = 4πR2 = 4π. Diện tích mặt cầu nhỏ là: S2 = 4πr2 = 4π. Hiệu diện tích hai mặt cầu là: S = S1 – S2 = 576π – 324π = 252π (cm2) Vậy hiệu diện tích hai mặt cầu là 252π cm2.

Câu 2: Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu. Lời giải: Gọi bán kính hình cầu cũng như bán kính đáy hình nón là R.

Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR. Diện tích mặt cầu là: 4πR2. Vì diện tích xung quanh hình nón bằng diện tích mặt cầu nên: 12πR = 4πR2 ⇒ R = 3 (cm). Thể tích hình cầu là: V=43πR3=43π.

Vậy thể tích hình cầu là 36π cm3. Câu 3: Cho một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu bằng 23 thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu bằng 23 diện tích toàn phần hình trụ. Lời giải: Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ là 2R.

Vậy thể tích hình cầu bằng 23 thể tích hình trụ. b) Diện tích mặt cầu là: S1 = 4πR2. Diện tích hình trụ là: S2 = 2πR(h + R) = 2πR(2R + R) = 6πR2. Vậy diện tích mặt cầu bằng 23 diện tích toàn phần hình trụ.

Câu 4: Cắt một hình trụ hoặc một hình cầu với mặt phẳng vuông góc với trục, ta được hình gì ? Hãy điền vào bảng (chỉ với từ “có”, “không”) (h.104) Lời giải: Mặt cắt Hình trụ Hình cầu Hình chữ nhật Không Không Hình tròn bán kính R Có Có Hình tròn bán kính nhỏ hơn R Không Có Câu 5: Nếu thể tích của một hình cầu là 11317cm3 thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó, lấy π≈227 ? Lời giải Ta có công thức tính thể tích của hình cầu: V=43πR3⇒R3=3V4π Mà theo đề bài ta có: V = 11317cm3 và π≈227 ⇒R3≈3.227≈27⇒R≈273=3 (cm) Câu 6: Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau: Bán kính hình cầu 0,3mm 6,21dm 0,283m 100km 6hm 50dam Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu Lời giải: Cách tính: Dòng thứ nhất : S = 4πR2. Thay số vào ta được R = 0,3 mm ⇒ S = 4. 502 = 31400 (dam2) Dòng thứ hai : V = 43 πR3 thay số vào ta được : R = 0,3 mm ⇒ V = 43. Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108.

Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong). Lời giải: Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh của một hình trụ bán kính đường tròn đáy r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r (cm). Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh = 2πr.2r = 4πr2 (cm2) Diện tích mặt cầu: S = 4πr2 (cm2) Diện tích cần tính là: 4πr2 + 4πr2 = 8πr2 (cm2) Câu 8: Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier) Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu có đường kính 11m.

Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hình 109 Lời giải Diện tích mặt khinh khí cầu là: S= πd2=3,14.112=379,94 ( m2) Câu 9: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N. a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh AM.BN = R2 c) Tính tỉ số d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra. Lời giải: a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP^, BOP^ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Mà AOP^ kề bù với BOP^ nên suy ra OM vuông góc với ON. Vậy tam giác MON vuông tại O.

Góc APB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên APB^=90o Do AM là tiếp tuyến với (O) tại A nên MAO^=90o Do MN là tiếp tuyến với (O) tại P nên MPO^=90o Tứ giác AOPM có: MAO^+MPO^=90o+90o=180o Do đó, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn ⇒PMO^=PAO^ (do là hai góc nội tiếp chắn cung OP) Xét tam giác MON và tam giác APB có: MON^=APB^=90o (chứng minh trên) PMO^=PAO^ (chứng minh trên) Do đó, tam giác MON đồng dạng với tam giác APB (góc – góc). b) Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: OP2=MP.NP (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và AM cắt nhau ta có: MA = MP (2) Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và BN cắt nhau ta có: NP = NB (3) Theo (1), (2) và (3) ta có: OP2=MA.NB (đcpcm) c) Theo phần a, tam giác MON và tam giác APB đồng dạng với nhau Do đó, tỉ số đồng dạng là: k=MNAB⇒SMONSAPB=k2=MN2AB2 (*) Theo phần b, ta có: R2=MA.NB Lại có: AM=R2 nên BN = R2:R2=2R Mà: MN = MP + NP = MA + NB = R2 + 2R = 52R Nên MN2=52R2=25R24 và AB = 2R Thay vào (*) ta có: SMONSAPB=MN2AB2=25R24(2R)2=2516. d) Nửa hình tròn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R nên thể tích khối cầu tạo ra là: V=43πR3. Câu 10: Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị: cm).

a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a. b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a. Hình 111 Lời giải: a) Ta có: AA’ = AO + OO’ + O’A’ hay 2a = x + h + x hay 2x + h = 2a. b) Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là x, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có bán kính là x.

Bài tập vận dụng Câu 1: Tính thể tích của một hình cầu biết diện tích của mặt cầu đó bằng 32π. Câu 2: Một quả bóng có dạng hình cầu thả vào một lọ thuỷ tinh đựng đầy nước dạng hình trụ bán kính đáy là 3cm (đường kính đường tròn lớn hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ). Hỏi lượng nước tràn ra là bao nhiêu ? Câu 3: Tính diện tích của mặt cầu biết thể tích hình câu đó băng 121,5π. Câu 4: Tính diện tích bề mặt kim loại cần để làm đủ một bồn chứa có dạng hình bên (gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ).