Chương I Chuyên đề 3 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG A.Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa • Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h.1) • Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang (h. Tính chất • Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. BC Trên hình 3.1 thì MN //BC và MN = 2 • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
AB + CD Trên hình 3.2 thì MN //AB //CD và MN = 2 3. Định lí • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng AG chia đôi MN .3) * Tìm cách giải Kết luận của bài toán gợi ý cho ta dùng định lý đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Gọi H là trung điểm của BG thì ta có thể dùng định lý đường trung bình để chứng minh.
* Trình bày lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.com Gọi O là giao điểm của AG và MN. Gọi H là trung điểm của BG. = HG Theo tính chất của trọng tâm, ta có: BH = GN. Xét ∆ABG có MH là đường trung bình ⇒ MH //AG.
Xét ∆HMN có AG //MH và NG = GH nên ON = OM. Vậy AG chia đôi MN. Nhận xét: Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng là cách vẽ hình phụ thường dùng để vận dụng định lý đường trung bình của tam giác. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có chu vi là 4a.
Gọi E, F , G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EG và HF có một đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a .4) * Tìm cách giải Để chứng minh một trong hai đoạn thẳng EG và HF có độ dài không lớn hơn a , ta chứng minh tổng của hai đoạn này không lớn hơn 2 a. Khi đó một trong hai đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a. * Trình bày lời giải Gọi M là trung điểm của BD.
AB Xét ∆ABD có HM là đường trung bình nên HM =. 2 CD Xét ∆BDC có MF là đường trung bình nên MF =. 2 AB + CD Xét ba điểm M ,H ,F có HF ≤ MH + MF =. 2 AD + BC Chứng minh tương tự, ta được: EG ≤.
2 AB + CD + AD + BC 4a Vậy HF + EG ≥ = = 2a. 2 2 Suy ra một trong hai đoạn thẳng HF ,EG có độ dài không lớn hơn a. Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này vẫn là vẽ trung điểm của đoạn thẳng BD. Cũng có thể vẽ trung điểm của đoạn thẳng AC thay cho trung điểm của đoạn thẳng BD.
1 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , BC = 6 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Vẽ 3 DE //BC ( E ∈ AC ). Tính độ dài DE .5) * Tìm cách giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.com 1 Vì AD = DB nên ta vẽ trung điểm F của DB.
Từ F vẽ một đường thẳng song song với BC thì 2 DE chính là đường trung bình của một tam giác. Từ đó sẽ tính được độ dài của nó. * Trình bày lời giải Gọi F là trung điểm của DB. Khi đó: AD = DF = FB.
Vẽ FH //BC ( H ∈ AC ). Xét ∆AFH có DE //FH và AD = DF nên AE = EH. Xét hình thang DECB có FH //BC và DF = FB nên EH = HC. Ta đặt DE = x.
1 Ta có DE là đường trung bình của ∆AFH ⇒ DE= FH ⇒ FH = 2 x. 2 Ta có FH là đường trung bình của hình thang DECB DE + BC x+6 ⇒ FH = ⇒ 2= x ⇒= x 2( cm ). 2 2 Vậy DE = 2cm. Nhận xét: Phương pháp vẽ hình phụ trong ví dụ này là ngoài việc vẽ trung điểm của một đoạn thẳng ta còn thêm đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD , AB là đáy nhỏ. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC. a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N , P, Q thẳng hàng; CD − AB b) Chứng minh PQ //CD và PQ = ; 2 c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN Giải (h.6) * Tìm cách giải Trong hình vẽ có nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng nên có thể vận dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh thẳng hàng. * Trình bày lời giải a) Xét ∆ABD có MP là đường trung bình ⇒ MP //AB ⇒ MP //CD.
Xét ∆ADC có MQ là đường trung bình ⇒ MQ //CD. Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình ⇒ MN //CD. Qua điểm M có các đường thẳng MP,MQ,MN cùng song song với CD nên các đường thẳng này trùng nhau, suy ra bốn điểm M ,N ,P,Q thẳng hàng. Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.com CD AB CD − AB b) Ta có: MN //CD nên PQ //CD; PQ = MQ − MP = − =.
2 2 2 AB AB CD − AB c) Ta có: MP = NQ = .MP = PQ ⇔ = 2 2 2 ⇔ AB = CD − AB ⇔ 2 AB = CD (đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ). Nhận xét: Đường trung bình MN của hình thang và đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai đường chéo có tính chất giống nhau là cùng song song với hai đáy, có tính chất khác nhau là MN bằng nửa tổng hai đáy còn PQ bằng nửa hiệu hai đáy. Bài tập vận dụng • Đường trung bình của tam giác 3. Cho tứ giác ABCD, đường chéo BD là đường trung trực của AC.
Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Vẽ ME ⊥ BC và NF ⊥ CD ( E ∈ BC,F ∈ CD ). Chứng minh rằng ba đường thẳng ME,NF và AC đồng quy. Cho tam giác ABC.
Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q. Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A ? 3.
Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy. a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang; b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để hình thang BCKH là hình thang cân? 3.
Cho tam giác ABC , trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH. Cho tam giác ABC cân tại A , đường cao AH và đường phân giác BD.
Biết rằng AH = BD , tính 2 số đo các góc của tam giác ABC 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D ở trong tam giác. Vẽ tam giác ADE vuông cân tại A sao cho D và E thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC.
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CD và DE. Tính số đo các góc của tam giác MNP. Cho hình thang cân ABCD ( AB //CD ) , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi G, E, F lần lượt là = 60° , tính các góc của tam giác GEF.
trung điểm của OA, OD và BC. Cho biết COD 3. Cho tam giác ABC , góc A nhọn. Vẽ về phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ABM và CAN theo thứ tự có cạnh đáy là AB và AC.
Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác vuông cân. Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039. Tam giác ABC, AB < AC.
Trên cạnh AB lấy điểm E , trên cạnh AC lấy điểm F sao cho BE = CF. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng khi E và F di động trên AB, AC thì trung điểm M của EF nằm trên một đường thẳng cố định. Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1 ,O2 ,.,On không nằm giữa A và B sao cho O1 A + O2 A +.
Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho O1M + O2 M +. Cho tam giác ABC,C ≤ A. Biết trung điểm của ba đường cao thẳng hàng. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
• Đường trung bình của hình thang 3. Cho hình thang cân ABCD ( AB < CD ). Vẽ AH ⊥ CD. Chứng minh rằng: a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; b) HC bằng đường trung bình của hình thang.
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho 1 1 BO = BC. Đường thẳng OM cắt OC tại N.
Chứng minh rằng: AN = AC. Cho tam giác ABC , cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B , tam giác CAN vuông cân tại C. Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên =D cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho C .