CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Khái niệm Theo Từ điển tiếng Việt của Hoàng Phê, bài toán là “Vấn đề cần giải quyết bằng các phương pháp khoa học”. [14] Một vấn đề toán học là một vấn đề có thể được biểu diễn, phân tích và có thể được giải quyết bằng các phương pháp toán học. Đây có thể là một bài toán trong thế giới thực, chẳng hạn như tính toán quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời, hoặc một bài toán có tính chất trừu tượng hơn, chẳng hạn như bài toán số 3 của Hilbert: “Có thể ứng dụng phương pháp phân tích thành đa diện để tính thể tích được không?”.
Nó cũng có thể là một vấn đề đề cập đến bản chất của toán học, chẳng hạn như nghịch lý Russell: “Giả sử R là một tập hợp của tất cả các tập hợp không phải là thành viên của chính nó. Nếu R tồn tại dưới tư cách là một tập hợp của chính nó, R mâu thuẫn với định nghĩa một tập hợp của tất cả các tập hợp không phải là thành viên của chính nó. Ngược lại, nếu một tập hợp như R không phải là thành viên của chính nó, thì do định nghĩa được nêu nó sẽ tồn tại như một thành viên của chính nó”[22] Kết quả của vấn đề toán học được giải quyết được chứng minh và kiểm tra một cách chính thức. Theo Trần Vui, bài toán là “Một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức đã học trước đó để giải”.
[21] Trong lĩnh vực logic học, bài toán còn có thể hiểu là sự phản ánh tình huống có vấn đề, tức là phản ánh những điều đã biết và những điều chưa biết mang tính khách thể chứ không phụ thuộc vào chủ thể. Từ đó, chúng ta thấy bài toán là một tình huống, trong đó người ra đề đưa ra những giả thuyết, những dữ kiện toán học để người nhận đề thực hiện một yêu cầu phù hợp. Yêu cầu của bài toán cao hơn là một câu hỏi hay một bài tập, vì học sinh cần phải huy động nhiều kiến thức đã học, tổng hợp những kiến thức đó thì mới có thể tìm ra phương hướng trả lời. Qua những bài toán, 6 học sinh có thể rèn luyện và phát huy những phẩm chất, năng lực như tính sáng tạo, năng lực tư duy toán học, năng lực giải quyết vấn đề,.
Đặc điểm Bài toán đặt ra một yêu cầu được HS chấp nhận để tư duy. Theo Trần Vui, một bài toán cần phải thỏa mãn 3 tiêu chí: − Chấp nhận: Cá nhân chấp nhận bài toán, có mong muốn giải được bài toán. − Cản trở: Bước đầu giải bài toán của HS không thành công, những dạng toán quen thuộc không dùng để giải bài toán được mà cần HS tư duy sâu hơn. − Khám phá: Do mong muốn giải được bài toán, HS nỗ lực tìm ra phương án mới để giải quyết bài toán.
Như vậy một tình huống có thể là bài toán đối với người này nhưng không phải là bài toán đối với người khác.1: Cho hình bình hành ABCD có AB và BD cắt nhau tại O, Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và không cắt đoạn BD, gọi BB’, CC’, DD’ là khoảng cách từ B, C, D đến đường thẳng (d), ( B’, C’, D’ nằm trên (d) ). Chứng minh rằng: BB’ + DD’ = CC’ Nếu chúng ta hỏi câu hỏi này với một học sinh lớp 8, học sinh cần vận dụng các kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình thang và đường trung bình của hình thang một cách linh hoạt mới có thể đưa ra câu trả lời đúng. Bây giờ khi chúng ta hỏi câu hỏi này với một học sinh lớp 6, mặc dù đây là một vấn đề học sinh chưa biết nhưng không gợi được nhu cầu tìm hiểu, không được HS chấp nhận nên không phải một bài toán. Bài toán mở 1.
Khái niệm Khái niệm bài toán mở đã được nhiều nhà nghiên cứu đề cập đến. Theo Pehkonen: “Bài toán kết thúc mở đưa ra những tình huống và yêu cầu HS đưa thêm những giả thiết vào bài toán để một tính chất nào đó được thỏa 7 mãn, giải thích các kết quả, tạo ra các bài toán mới có liên quan hay tổng quát hóa bài toán”.[3] Theo Trần Vui, “Vấn đề kết thúc mở có nội dung toán cụ thể cho phép học sinh trả lời một cách phù hợp tùy theo mức độ của học sinh. Hầu hết các vấn đề kết thúc mở đòi hỏi sự nhập cuộc trí tuệ của học sinh, nó tạo điều kiện cho các em học tập thông qua sự nhập cuộc.” [21] Theo tác giả Bùi Văn Nghị: “Bài toán mở được hiểu là bài toán mà đáp số của nó không phải là duy nhất, có nhiều phương án khác nhau để giải quyết nó với các kết quả khác nhau”. [2] Từ đó chúng ta có thể thấy bài toán mở là bài toán mà học sinh có thể tham gia thay đổi giả thiết để có thể đạt được kết luận mong muốn (bài toán mở giả thiết), hoặc học sinh có thể có nhiều câu trả lời (bài toán mở kết luận) hoặc có nhiều phương pháp giải.2: Có 36 hình vuông có diện tích là 1 cm2.
Hãy xếp thành các hình chữ nhật và tính chu vi của nó. Trong các hình chữ nhật xếp được, hình nào có chu vi nhỏ nhất? Hãy giải thích.3: Hãy tìm diện tích của hình sau đây bằng ít nhất 2 cách, coi mỗi ô vuông là 1 đơn vị diện tích.1 Học sinh có thể làm theo cách thứ 1: đếm hình vuông và nửa hình vuông, cách thứ 2: cắt ghép hình hoặc cách thứ 3: chia thành 3 hình thang vuông.4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD song song với BC. Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SDC ; M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định vị trí tương đối của MN và PQ? Nếu thay đổi các điều kiện về vị trí của M, N và đáy của hình chóp thì vị trí tương đối của MN và PQ thay đổi như thế nào? 8 Ví dụ 1.5: Cho hình thoi ABCD, đường chéo AC ≥ BD, M là 1 điểm tùy ý trên AC, đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD tại E, Cắt BC tại G, đường thẳng qua M song song với AD cắt AB tại F, cắt CD tại H a.
Chứng minh rằng tứ giác MEAF là hình thoi, từ đó chứng minh tứ giác EFGH là hình thang cân b. Xác định vị trí của điểm M sao cho EFGH là hình chữ nhật c. Hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện gì để hình chữ nhật EFGH ở câu b là hình vuông 1. Đặc điểm của bài toán mở Bài toán mở yêu cầu cao hơn bài toán đóng, vì học sinh cần tư duy nhiều hơn để giải quyết vấn đề “mở” của bài toán.
HS cần hiểu sâu, có kiến thức nền vững chắc về kiến thức được đề cập đến trong bài. Để có thể giải quyết yêu cầu của bài toán, HS cần có năng lực phân tích, phán đoán chính xác. Van den Henvel-Panhuizen cho rằng việc sử dụng câu hỏi có kết thúc mở đem lại những lợi ích cho HS khi các em giải quyết vấn đề thực tế, mặc dù thông tin đưa ra không đầy đủ và các em được yêu cầu để tạo ra các giả định về các thông tin còn thiếu và cung cấp cho GV các thông tin có ý nghĩa về quá trình học sinh biết cách giải quyết vấn đề. [5] Foong có mô tả câu hỏi có kết thúc mở thường có cấu trúc thiếu, vì nó thiếu dữ kiện, giả thiết và không có một thuật toán cố định để giải.
Điều này dẫn đến việc có thể có nhiều lời giải đúng cho một câu hỏi kết thúc mở. Phân loại bài toán mở 1. Bài toán mở giả thiết a. Khái niệm Bài toán mở giả thiết là bài toán mà HS có tham gia vào việc xây dựng giả thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết để đạt được một kết luận, một tính chất mà đề bài yêu cầu.
Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q là trung điểm 4 cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MNPQ là hình thoi? Lời giải Hình 1.2 Ta dễ dàng nhận ra tứ giác MNPQ là hình bình hành do có MN / / PQ / / AC 1 và MN = PQ = AC. 2 Để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì MN = NP hay AC = BD. Vậy tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì MNPQ là hình thoi.
Ở bài toán này, HS được quyền tham gia thay đổi giả thiết để đạt được kết luận tứ giác MNPQ là hình thoi. Vì vậy đây là bài toán mở giả thiết.7 Cho tam giác ABC nhọn, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG và CG. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác EDKI là hình chữ nhật? Lời giải Hình 1.3 Xét tứ giác EDKI có: 10 ED KI BC và EI DK AG (tính chất đường trung bình của tam giác) EDKI là hình bình hành.
Để EDKI là hình chữ nhật thì ED ⊥ EI AG ⊥ BC Tam giác ABC cân tại A Vậy để tứ giác EDKI là hình chữ nhật thì tam giác ABC là tam giác cân tại A. Bài toán mở kết luận a. Khái niệm Bài toán mở kết luận là bài toán không chỉ có một kết luận, mà sẽ có nhiều đáp án, nhiều trường hợp khác nhau. Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q là trung điểm 4 cạnh AB, BC, CD, DA.
Khi thay đổi tính đặc biệt của tứ giác ABCD thì tính đặc biệt của tứ giác MNPQ thay đổi như thế nào? (hình 1.2) Lời giải Với ABCD là tứ giác lồi bất kì thì MNPQ là hình bình hành Khi ABCD có hai đường chéo AC= BD thì MNPQ là hình thoi Khi ABCD có hai đường chéo vuông góc thì MNPQ là hình chữ nhật. Khi ABCD có hai đường chéo vừa vuông góc vừa bằng nhau thì MNPQ là hình vuông. Bài toán có nhiều cách giải a. Khái niệm Bài toán có nhiều cách giải là bài toán có nhiều phương hướng giải quyết, nhiều cách tiếp cận vấn đề.
Ví dụ Có thể coi bài toán sau là bài toán mở cách làm: Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi BD, CE lần lượt là đường cao của tam giác ABC.