Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tối ưu hóa Chương 2: Tối ưu hóa hàm số Chương 3: Ứng dụng phần mềm Altair Inspire trong tối ưu hóa thiết kế cơ khí Cuối mỗi chương đều có câu hỏi và bài tập nhằm giúp sinh viên nắm chắc kiến thức lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài tập bằng công cụ ứng dụng phần mềm với sự trợ giúp của máy tính để nhanh chóng đưa ra kết quả chính xác, đáp ứng yêu cầu đề ra. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỐI ƯU HÓA TRONG THIẾT KẾ CƠ KHÍ 1. Phân dạng các vấn đề tối ưu hóa Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực khoa học – công nghệ và kinh tế – xã hội. Trong thực tế, việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan trọng.
Phương án tối ưu là phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao. Công việc đầu tiên để giải bài toán tối ưu là phân dạng được bài toán tối ưu, bài toán tối ưu gồm có 2 dạng: - Tối ưu hóa không có ràng buộc Tối ưu hóa không có ràng buộc: là quá trình tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm mục tiêu, trong đó các biến lựa chọn không phụ thuộc vào một số ràng buộc nào đó trong điều kiện quy hoạch. - Tối ưu hóa có ràng buộc Tối ưu hóa có ràng buộc: là quá trình tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm mục tiêu, trong đó các biến lựa chọn phụ thuộc vào một số ràng buộc nào đó. Chẳng hạn khi tối tiểu hóa khối lượng chi tiết máy thì nó phụ thuộc vào vật liệu chế tạo chi tiết máy đó, khi sử dụng vật liệu tốt thì kích thước chi tiết nhỏ đi và khối lượng nhỏ hơn và ngược lại.
Trong toán học, tối ưu hóa có điều kiện cũng là quá trình tối ưu hóa một hàm mục tiêu đối với một số biến với sự hiện diện của các ràng buộc lên các biến đó. Hàm mục tiêu có thể là hàm chi phí hoặc hàm thông số kỹ thuật nào đó, với mục tiêu cần được giảm thiểu tối đa, hoặc tăng tối đa. Các ràng buộc có thể là một "ràng buộc cứng", là những điều kiện đặt cho các biến được yêu cầu phải được thỏa mãn, hoặc các "ràng buộc mềm", những ràng buộc có một số giá trị biến không được chấp nhận trong hàm mục tiêu và dựa trên mức độ nào đó, các điều kiện trên các biến không được thỏa mãn. Mô hình tính toán tối ưu khoảng cách trục của bộ truyền bánh răng trụ 1.
Tham biến, hàm mục tiêu và ràng buộc kỹ thuật Trong mô hình tính toán (hình 1.1) khoảng cách trục phụ thuộc vào số vòng quay (N), mô men xoắn (T), chiều dày bánh răng (B), được biểu diễn bởi hàm tổng quát sau: X= x1 , x 2 , x 3 = N, T, B T T (1-1) Tham biến thiết kế (X) thường là: Kích thước của các kết cấu (dài, góc), các thuộc tính vật liệu (khối lượng, nhiệt độ,…). Giá trị của các tham biến thường nằm trong một khoảng giới hạn. Hàm mục tiêu (x) thường là: Khối lượng của một vật hay chi tiết, cụm chi tiết, ứng suất, độ bền, chuyển vị, độ cứng, vận tốc, gia tốc, độ nhám, giá thành, chí phí, hiệu suất, công suất, năng suất, thẩm mỹ, công nghệ. Ràng buộc kỹ thuật: Thường là các điều kiện kiên quan đến ngưỡng giới hạn của một hiện tượng vật lý nào đó, ngưỡng giới hạn của yêu cầu kỹ thuật về kích thước, khối lượng, ứng suất, biến dạng, tần số dao động, năng suất, độ nhám bề mặt, sai số.
Tính lồi lõm (Convexity) Khái niệm lồi - lõm quan trọng để xác định hàm số chỉ có 1 giá trị cực tiểu. Một hàm lồi sẽ có 1 cực tiểu toàn cục. Nếu hàm không lồi thì cực trị có thể chỉ là địa phương. Đồ thi xác định cực trị 3 Hàm số có nhiều hơn 1 cực đại và cực tiểu gọi là hàm đa phương thức (Multimodal function).
Nếu f(x) là hàm lồi thì -f(x) sẽ là hàm lõm Hình 3. Tính đối nghịch của hàm số 1. Đạo hàm (độ dốc) của hàm số 1. Khái niệm Phương của độ dốc thể hiện sự thay đổi giá trị cuả hàm số một cách lớn nhất, Độ đốc cung cấp thông tin cần thiết về phương hướng tìm kiếm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) địa phương của hàm số.
Trong hầu hết các bài toán tối ưu, khi mà hàm số f(x) là phi tuyến thì đạo hàm (độ dốc) thường được tính bằng phương pháp số. Đạo hàm bậc nhất của hàm số Đối với hàm 1 biến số thì tiếp tuyến tại mọi điểm của đô thị và độ dốc của nó là như nhau. Công thức tính gần đúng đạo hàm - Công thức tính đạo hàm theo hiệu số trước 4 f x x f x f x (2-1) x - Công thức tính đạo hàm theo hiệu số sau f x f x x f x (3-1) x - Công thức tính đạo hàm theo hiệu số giữa f x x f x x f x (4-1) 2x - Công thức tính đạo hàm bậc 2 f x x 2f x f x x f x (5-1) x 2 - Phân định cực đại hay cực tiểu và điểm uốn. Hàm số đạt cực trị tại vị trí có đạo hàm bậc nhất bằng không, đạo hàm bậc hai lớn hơn không hàm số đạt giá trị cực tiểu, đạo hàm bậc hai nhỏ hơn không hàm số đạt giá trị cực đại, đạo hàm bậc hai bàng không tại vị trí đó là điểm uốn.
Phân định cực đại, cực tiểu và điểm uốn 1. Độ dốc của hàm nhiều biến Xét hàm số nhiều biến: f x , x x1 , x 2 ,, x n Độ độ dốc (gradient) là một véc tơ: 5 f x 1 f x 2 f x = . f x n f Trong đó: là đạo hàm riêng phần của hàm f(x) theo biến x n x n 1. Ứng dụng bài toán tối ưu giải quyết các vấn đề thực tế trong sản xuất cơ khí 1.
Phương pháp mô hình hoá toán học Nhiều vấn đề phát sinh trong thực tế có thể giải được bằng cách áp dụng các phương pháp tối ưu toán học. Tuy nhiên, điểm mấu chốt ở đây là từ bài toán thực tế cần xây dựng được một mô hình tối ưu thích hợp dựa vào các dạng bài toán tối ưu đã biết. Sau đó cần áp dụng phương pháp tối ưu toán học và quy trình tính toán thích hợp để tìm ra lời giải cho mô hình đã đặt ra. Các bước cần thiết tiến hành khi áp dụng phương pháp mô hình hoá toán học có thể được phát biểu một cách khái quát như sau: - Trước hết phải khảo sát bài toán thực tế và phát hiện vấn đề cần giải quyết.
- Phát biểu các điều kiện ràng buộc và mục tiêu của bài toán dưới dạng định tính. Sau đó lựa chọn các biến quyết định trong các ẩn số và xây dựng mô hình định lượng còn gọi là mô hình toán học. - Thu thập dữ liệu và lựa chọn phương pháp toán học thích hợp để giải quyết mô hình trên. - Trong trường hợp mô hình toán học là mô hình tối ưu, cần lựa chọn phương pháp tối ưu thích hợp để giải mô hình.
- Xác định quy trình giải thuật toán. Có thể giải mô hình bằng cách tính toán thông thường trên giấy. Đối với các mô hình lớn, bao gồm nhiều biến và nhiều điều kiện ràng buộc cần tiến hành lập trình và giải mô hình trên máy tính để tìm ra phương án thỏa mãn mô hình. - Đánh giá kết quả tính toán.
Trong trường hợp phát hiện thấy có kết quả bất thường, cần xem xét nguyên nhân, kiểm tra và chỉnh sửa lại mô hình hoặc dữ liệu đầu vào hoặc quy trình giải, thuật toán, chương trình máy tính. - Kiểm chứng các kết quả tính toán trên thực tế. Nếu các kết quả thu được được coi là hợp lý, phù hợp với thực tế hay được các chuyên gia đánh giá là có hiệu quả hơn 6 so với các phương án trước đây thì cần tìm cách triển khai phương án tìm được trên thực tế. - Rõ ràng rằng để giải quyết các vấn đề phát sinh từ các bài toán thực tế cần có được sự hợp tác chặt chẽ giữa các chuyên gia trong lĩnh vực chuyên môn, chuyên gia toán ứng dụng và các chuyên gia tin học, kỹ sư lập trình.
Điều này là đặc biệt cần thiết khi giải quyết các bài toán cho các hệ thống lớn. Việc thiết lập được một mô hình hợp lý, phản ánh được bản chất của bài toán thực tế đồng thời khả thi về phương diện tính toán mang tính khoa học thuần túy, vừa có tính khoa học. Các thuật ngữ sau thường gặp khi áp dụng phương pháp mô hình hoá toán học: - Toán ứng dụng (Applied Mathematics). - Vận trù học (Operations Researchviết tắt là OR).
- Khoa học quản lý (Management Scienceviết tắt là MS). - Ứng dụng máy tính (Computer Applications). - Mô hình tối ưu (Optimization Models)… 1. Một số ứng dụng của bài toán tối ưu Những năm gần đây, nhiều bài toán thực tế được giải quyết bằng phương pháp mô hình hóa toán học rất thành công.
Trong số các mô hình toán học đã được áp dụng có nhiều mô hình tối ưu, được giải quyết thông qua các bài toán tối ưu kinh điển. Trong trường hợp hàm mục tiêu cũng như tất cả các ràng buộc đều là các hàm tuyến tính, thì bài toán tối ưu là bài toán quy hoạch tuyến tính. Bài toán quy hoạch tuyến tính có thể giải được bằng một số phương pháp tối ưu quen biết (như phương pháp đơn hình, phương pháp đơn hình cải biên hay các phương pháp điểm trong). bài toán quy hoạch tuyến tính đã và đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực trong đó có lĩnh vực cơ khí.
Trong trường hợp hoặc hàm mục tiêu hoặc một trong số các ràng buộc là phi tuyến, chúng ta có bài toán quy hoạch tuyến tính. Trong các mô hình tối ưu dựa trên BTQHPT nói chung, và trong các mô hình tối ưu trong lĩnh vực nông nghiệp nói riêng, lời giải tối ưu toàn cục có một ý nghĩa quan trọng.