CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường Nguyên tử hydro trung hòa bao gồm haṭ nhân là môṭ proton và môṭ electron chuyển đông̣ xung quanh haṭnhân. Trong nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường thìlưc̣ tác dung̣ giữa proton vàelectron chính làlưc̣ Coulomb. Goị ≡ ( ℎ, ℎ, ℎ) và ≡ ( , , ) lần lươṭ làvector toạ đô ̣của haṭnhân và electron, ℎ và lần lươṭ làkhối lương̣ của haṭnhân vàelectron.
− z y x Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử hydro đươc̣ viết như sau ̂ 1 1 1 2 ( , )= ̂ + ̂ − , 2 ℎ 2 4πεε0 | − | trong đó ̂, ̂ lần lươṭ làtoán tử xung lương̣ của haṭnhân vàelectron, có dạng ̂ = − ℏ∇ , (1.3) ∇ la toan tư Nabla, đươc̣ đinḥ nghia như sau ̀ ́ ̉ ̃ 9 ∇= + +. Đểđưa bài toán vềhê ̣toạ đô ̣khối tâm, ta se ̃sử dung̣ hai vector mới như sau = − , = ℎ + , ℎ+ trong đó r làvector mô tảchuyển đông̣ tương đối của electron so với haṭ nhân; R là vector toạ đô ̣khối tâm của nguyên tử hydro. Ta se ̃biến đổi sang hệ quy chiếu khối tâm qua các công thức liên hê ̣như sau = −ℎ {= −ℎ, = − ℎ = (1.
Các biểu thức đaọ hàm riêng phần cũng se ̃đươc̣ biến đổi sang hê ̣quy chiếu khối tâm, cụ thể là đối với haṭnhân, ta có ℎ = + =− + + ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ = ℎ + ℎ =− + ℎ+ ; ℎ { = + =− + + ℎ ℎ ℎ ℎ đối với electron, ta có 10 = + = + ℎ + = + = + ℎ +. { = + = + + ℎ Bây giờ, ta sẽ lần lượt đưa các toán tử động lượng của hạt nhân và electron về hệ quy chiếu khối tâm. Viết toán tử xung lượng của hạt nhân dưới dạng tường minh ta thu được ̂ = − ℏ ( + + ℎ ℎ Thay (1.10) vào biểu thức trên, ta thu được ̂ = − ℏ [− ( + + )+( ℎ )( + + )] ℎ+ ⟹ ̂ = − ℏ(−∇ ) + ( ) (− ℏ∇ ) ℎ ℎ+ ⟹ ̂ =− ̂+( ) ̂ , ℎ (1.12) ℎ+ trong đó ̂ = − ℏ∇ làtoán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ tương đối giữa electron vàhaṭnhân ứng với toạ đô ̣(x,y,z); ̂ = − ℏ∇ làtoán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ khối tâm của hê ̣ứng với toạ đô ̣(X,Y,Z). Thực hiện tương tự các bước biến đổi trên với toán tử động lượng của electron, ta cũng thu được ̂ = ̂+( ) ̂.
ℎ+ Bây giờ, ta se ̃lần lươṭ thay các biểu thức toán tử đông̣ lương̣ vàthếnăng trên vào Hamiltonian ban đầu của nguyên tử hydro. Đểđơn giản, ta se ̃xét toán tử đông̣ năng của hê ̣trước 11 ℎ 1 1 1 1 2 2 ̂ + ̂ = [− ̂ + ( ) ̂ ] + [ ̂ + ( ) ̂ ]. 2 ℎ 2 2 ℎ ℎ+ 2 ℎ+ Thực hiện các phép biến đổi toán học, ta thu được 1 1 1 ℎ+ 1 1 2 ℎ ̂ + ̂ = ( ) ̂ + ( ) ̂ .14) 2 ℎ 2 Đến đây, ta đặt như sau ℎ = ℎ+ , (1.16) vớilà khối lượng của khối tâm,là khối lượng rút gọn của chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron. Khi đó, ta co Hamiltonian cua nguyên tư hydro trong hệ quy chiếu khối tâm như sau ́ ̉ ̉ ̂ −ℏ2 2 −ℏ2 2 1 2 = 2 ∇+ 2 ∇ − 4πεε 0 || .17), ta thấy chuyển đông̣ của nguyên tử hydro khi chưa có từ trường cóthểtách ra làm hai chuyển đông:̣ môṭlàchuyển đông̣ của môṭhaṭcókhối lương̣ rút gọn , hai làchuyển đông̣ của khối tâm cókhối lương̣ [1].
=̂+̂ , Từ đây, Hamiltonian được tách thànĥ ̂ hai ̂ thành phần như sau trong đó ta có ̂ −ℏ2 2 ∇, 2 = ̂ 2 −ℏ 2 1 = ∇ − 2 Lúc này hàm sóng sẽ có dạng phân ly biến số như sau 12 Ψ( , , ) = ( ) ( , ).18) ̂ Thay vào phương trình Schrodinger Ψ = Ψ, ta có hai phương trình sau −ℏ2 2 (1.20) 2 4πεε || 0 Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn rất nhiều do hai biến với khối lượng của electron nên ≈ , tuy nhiên trong các tính toán chính xác hơn, ta cần số đã phân ly hoàn toàn. Do khối lượng hạt nhân là proton lớn hơn nhiều (1836 lần) so tính thêm hiệu ứng khối lượng hạt nhân. Phương trình (1.19) mô tả chuyển động tự do của hạt có khối lượng. Vì có sự tách biến giữa hai chuyển động này, khi khảo sát nguyên tử hydro, ta có thể xem như nó đứng yên và chỉ để lại thành phần chuyển động tương đối giữa electron và hạt nhân trong Hamiltonian [1].
Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường Nguyên tử heli bao gồm haṭ nhân là hai proton mang điện tích dương và hai electron mang điện tích âm chuyển đông̣ xung quanh haṭnhân. Lưc̣ tác dung̣ giữa proton vàelectron vàgiữa các electron với nhau chinh́ làlưc̣ điêṇ (lưc̣ Coulomb). ) ) Goị ≡ ( ℎ ℎ, ℎ) và ≡ ( 1 1, 1 , ≡ ( 2 2, 2 lần lươṭ làvector toạ đô ̣của haṭnhân vàelectron thứ nhất, thứ hai; ℎ và lần lươṭ làkhối lương̣ của haṭ nhân vàelectron. 13 − − 1 − z y 2 O x Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes.
Hamiltonian của nguyên tử heli đươc̣ viết như sau ̂ 1 1 1 ̂ ̂ ̂ ̂ = + + + , ̂ trong đó ( , , ) làtoán tử thếnăng (cóthểcoi làhàm thếnăng). Hàm thếnăng là hàm thếnăng tương tác Coulomb giữa từng electron với 2 ℎ 2 2 haṭnhân vàgiữa các electron với nhau được viết như sau 1 2 2 2 2 2 = (− − + ), (1.22) 4πεε0 | − | | − | | − | ̂, ̂ , ̂ lần lươṭ la toan tư xung lương̣ cua haṭnhân va tưng electron. ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ̀ Đểđưa bài toán vềhê ̣toạ đô ̣khối tâm, ta se ̃sử dung̣ các vector mới như sau 1 = ( + )− , 2 = − , + + = ℎ .25) 14 Trong bài toán hydro, do chỉcómôṭhaṭnhân vàmôṭelectron nên khi chuyển vềhê ̣khối tâm, ta chỉxét hai vector (môṭthành phần chuyển đông̣ tương đối giữa electron với haṭ nhân vàmôṭ thành phần chuyển đông̣ của khối tâm). Đối với bài toán heli, do cũng có môṭhaṭnhân nhưng cóđến hai electron nên viêc̣ chuyển vềhê ̣khối tâm se ̃phức tap̣ hơn, nghiã làta phải xét đến ba vector bao gồm = ( , , ) làvector mô tảchuyển đông̣ tương đối của hai electron so với haṭnhân, = ( 0, 0, 0) làvector mô tảchuyển đông̣ tương đối của hai electron so với nhau, = ( , , ) làvector mô tảchuyển đông̣ của khối tâm.25), ta cũng se ̃tiến hành biến đổi từ hê ̣toạ đô ̣Descartes sang hê ̣toạ đô ̣khối tâm tương tư ̣như bài toán hydro.
Cụ thể ta có 1 = + + =− + + , (1.28) ℎ+2 Từ kết quả trên, ta se ̃biến đổi toán tử đông̣ lương̣ từ hê ̣toạ đô ̣Descartes qua hê ̣toạ đô ̣ khối tâm như sau ̂ = − ̂ + ̂, ℎ ℎ +2 ̂ = − ̂ + ̂ + ̂, 1 2 ℎ+2 1 ̂ = ℏ = ̂ + ̂ + ̂, 2 trong đó ̂ = − ℏ∇ làtoán tử xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ tương đối giữa hai electron với nhau trong toạ đô ̣(x,y,z), ℎ+2 15 ̂ = − ℏ∇ la toan tư xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ tương đối giưa hai ̀ ́ ̉ ̃ electron vơi haṭnhân trong toạ đô ̣(x0,y0,z0), ́ ̂ la toan tư xung lương̣ đăc̣ trưng cho chuyển đông̣ khối tâm cua hê ̣ưng vơi = − ℏ∇ ̀ ́ ̉ ̉ ́ ́ toạ đô ̣(X,Y,Z). 2 2 2 ℎ+2 Khai triển các biểu thức trên và thu gọn, ta thu được Hamiltonian của heli như sau 1 1 1 ̂ ̂ ̂ +( = + + 2( ℎ+2 ) 2 ℎ (1.32) 1 2 2 2 2 + (− − 4πεε0 |− +| | 2 2 Đến đây, ta đặt như sau 2 = ℎ, 2 + ℎ (1.30), Hamiltonian cua bai toan nguyên tư heli ́ ̉ ̀ ́ ̉ trung hoa trong trương xuyên tâm co dang̣ như sau ̀ ̀ ́ −ℏ2 −ℏ2 −ℏ2 1 2 2 2 2 ̂ 2 2 2 2 = ∇+ ∇ + ∇+ (− − + ).35) 2 2 4πεε0 | | |− 2+| | 2 +| 16 Khác với bài toán hydro, do nguyên tử heli có 2 electron tương tác với hạt nhân và còn tương tác với nhau nên ngoài hai chuyển động của một khối tâm có khối lượng , một hạt có khối lượng rút gọn đặc trưng cho chuyển động tương đối của electron với hạt nhân, Hamiltonian còn xuất hiện một toán tử đặc trưng cho chuyển động tương đối của 2 electron với nhau. =̂+̂ , Từ đây, Hamiltonian được tách thànĥ ̂ hai ̂ thành phần như sau trong đó ta có −ℏ2 ̂= ∇2, 2 ̂ −ℏ 2 2 −ℏ 2 2 1 2 2 2 2 2 = ∇ + ∇ + (− − + ). 2 4πεε0 |− 2 +| | 2 +| | | Tương tự như nguyên tử hydro, sau khi thế vào phương trình Schrodinger, ta cũng thu được hai phương trình như sau −ℏ2 2 (1.
Do ℎ ≫ nên có thể xem ≈. Tuy nhiên trong một số tính toán khác, đặc biệt là trong bài toán exciton trong bán dẫn hai chiều, ta vẫn phải xét đến hiệu ứng khối lượng lỗ trống do lúc này khối lượng của lỗ trống xấp xỉ bằng khối lượng của electron. 17 CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG 2. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động Để mô tả từ trường, người ta dùng vector từ trường.
Ý nghĩa vật lý của vector này liên quan đến lực Lorentz tác dụng lên điện tích khi nó đặt trong từ trường. Khi một điện tích chuyển động trong vùng không gian có từ trường, điện tích đó sẽ bị chịu tác dụng bởi lực Lorentz có dạng [1] =(×). Ngoài cách mô tả từ trường theo cách tiếp cận lực như trên, người ta còn sử dụng cách mô tả theo tiếp cận năng lượng bằng cách sử dụng thế điện động lực bao gồm thế vector (ngoài ra còn có thế vô hướng nhưng trong trường hợp này ta chỉ xét từ trường mà không có điện trường nên không xét đến thế vô hướng). Hai cách tiếp cận đều tương đương nhau.
Điều đó được thể hiện qua hệ thức =∇× .