mở đầu. Giải Chọn hệ trục toạ độ có gốc toa d6 dat tai vi tri 702 khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo v như hình bên. Khi đó, theo Vật li, ta biết răng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường ap + parabol có phương trình (với ø là gia tộc cư trọng trường) y = a 2 2 2 + xtana. pe, V6 COS œ o 4 % Ÿ 2g So, Cho y= 0ta được —_~ 9 x? + xtana =0, suy ra x= 0 hoặc x = V0 SD2.
2vậ cos œ g 5 2 oi 2 Quả đạn tiếp đất khi x= V0SD2# Ta có „- VõSỈ2# „ Về dấu bằng xảy ra khi sin2ơ =1. g g g Giải phương trình sin 2œ = 1, ta được œ =2 +Rm, keZ. Do 0<œ<—~ mz nên ơ = hay œ =45°. 2 Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng 4°.
Giải các phương trình sau: a) sinx = a b) sin3x =—sin5x.PHƯƠNG TRÌNH cosx= m -Ä u©s. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cos x = a a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [—z;z). b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.22a Minh hoạ bằng đồ thị: Nghiệm của phương trình cosx = -4 là hoành độ các giao điểm của đường thẳng y = -4 va dé thi ham sé y =cos x. iy 2m Ban 2+ 2y cột 2x mm, 2 ?2m 2m 2y 2xHơn 2a - áy/ v : `4 ! ei.
pegs | * : y=oosx 72 Hình 1. Đường thẳng y = 5 và đồ thị ham sé y= cos x « _ Phương trình cosx = m có nghiệm khi và chỉ khi |m| < 1. + Khi lm|<1, sẽ tồn tại duy nhất œ e[0;x] thoả mãn cosơ = m. Khi đó x=ưœ+k2r cos x =m = cosx=cosa = (k eZ).22b a) Nếu số đo của góc ơ được cho bằng đơn vị độ thì 5 x=ø° + k360° COSX =COSơ” <= (k eZ).
x=-a° + k360° b) Một số trường hợp đặc biệt: 5 cosx =0 x =2 +Kn, keZ. Giải các phương trình sau: a) E0SX=— ⁄3Ti b) cosx = 0,1. Giải a) osx => 3 <> cos x= cosa co x = TC + kôm K Cu b) Gọi œ e[0;z] là góc thoả mãn cosơ = 0,1. Khi đó ta có: CoS X =0,1<© COS X = COSŒ > X =+ơœ + K2n, k e Z.
Giải phương trình cos2x = cos(45° - x). Giải 2x =45° - x + k3609 cos2x = cos(48° ~ x) © 2x =~(46° - x) + k360° 3x = 45° + k360° x =15° + k120° 2S eS (k eZ). Giải các phương trình sau: a) 2cosx =-V¥2; _b) cos3x —sin5x =0. 33 vận dụng Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đắt, mặt đối diện với Trái Dat thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần.
Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là œ (0°< a < 360°) thi tilé F cua phan Mặt Trăng được chiều sáng cho bởi công thức E= z(t —cos«). (Theo trang usno. Xác định góc œ tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng: a) F = 0 (trăng mới); Mặt Trăng b) F= 0,25 (trăng lưỡi liễm); c) F= 0,5 (trang ban nguyét đầu tháng hoặc trang ban nguyét cudi thang); X_ Trái Đất / d) E= 1 (trăng tròn).PHƯƠNGTRÌNH tan x= m 'Ä uo4.
Nhận biết công thức nghiệm của phương trình tan x = 1 a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng Lễ Ze 2:12 hs IN +m ala Hình 1. Đường thằng y= 1 và đồ thị hàm số y = tan x b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho. » Phương trình tan x = m có nghiệm với mọi m. «_ Với mọi me I®, tồn tại duy nhất œ (4 =) thoả mãn tan œ =m.
Khi đó †tanx =m < tanx =tanœ © x=œ + km (k e2). Nếu số đo của góc œ được cho bằng đơn vị độ thì tanx =tana® = x=a°+k180° (k eZ). Giai cac phương trình sau: a) tanx = -3; b)tanx=2. Giải a) tanx --W es tanx=tan{ 2) <x =f thn, keZ.
b) Goi a (-$: 4 là góc thoả mãn tanoœ = 2. Khi đó ta có: tanx =2 = tanx = tanœ © x=œ+ km, keZ. Giải các phương trình sau: a)-ƒ3tan2x =~1, b) tan3x + tan5x =0.PHU'ONG TRINH cot x=m `3 u©s. Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cot x = -1 a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = ~1 cắt dé thị hàm số y = cotx tại mấy điểm trên khoảng (0;x)? i i 74 : ; ‘ {| y= cot x : ' ! oa RẾ: ¬ _T+m! cát 2m ae ———— ~ | \ SN Ð TP NI x ' ' ' s ¿ ' ! ! ! ! ! ! Hình 1.
Đường thẳngy = -1 và đồ thi ham sé y= cot x b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho. 5 Phương trình cotx = m có nghiệm với mọi m. «_ Với mọi me I, tồn tại duy nhất « <(0;x) thoa man cota =m. Khi do cot x =im © cotx=cotas x=a+kn (keZ).
Nếu số đo góc œ được cho bằng đơn vị độ thì cotx =cotơ9 © x= œ9 +k180° (k2). Giải các phương trình sau: Tố cố a) cotx =-v3: b) cotx=5. Giải a) cotx= YB > cotx=cot{-2] <ox =- 5 tke, keZ. b) Gọi ơ e(0;z) là góc thoả mãn coto = 5.
Khi đó ta có: cot x = 5 © cotx =cotơ © X =ơ + km, ke Z. Giải các phương trình sau: a) cotX = 1 b) V3 cotx+1=0. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM MỘT 6ÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA NÓ Cac phim (sin*), (cos”) và (tan'!) của máy tính cầm tay được dùng đẻ tìm só đo (độ hoặc rađian) của một góc khi biết một trong các giá trị lượng giác của nó. Để tìm số đo ta thực hiện các bước sau: Bước 1.
Muốn tìm số đo độ (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ D), ta ấn Ea)ft [3) Muốn tìm số đo rađian (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ R), ta ấn Ea) ft (4) Bước 2. Khi biết sin, côsin hay tang của góc ơ. cằn tìm bằng mm, ta lần lượt ân các phím [sam) và một trong các phím [sir), (005) va (tan), roi nhp giá trị lượng giác m và cuối cùng ân phím [E). Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc œ (độ hoặc rađian).
om ở chế độ rađian, các phím (sin'1), (tan'?), cho kết quả là một số thuộc khoảng (-: 5) phim (eos”) cho kết quả là một số thuộc khoảng (0; x), tat nhién voi (sin~*) va (cos”) thì |m| <1. + Khi ở chế độ số đo độ, các phim (sin-*) và (tan!) cho kết quả là số đo góc ơ từ —90° đến 90°, phím (cos'') cho kết quả là số đo góc ơ.†ừ 0° đến 1809, với (sin'*) và (cos”") thì lm| <1. «+ Khi có kết quả (trường hợp chọn đơn vị đo độ), ấn phím G4 thi dua két qua vé dang độ - phút - giây. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ va radian của góc ơ, biết sin œ = 0,58.
Giải Số đo độ: sina Bam phim Màn hình hiện | Kết quả của a (gần đúng) 0,58.45054264 88*27'2" Số đo rađian: sina Bam phim Màn hình hiện | Kết quả của ơ (gần đúng) 058 | he Ah OO) E] |0. Sử dụng máy tinh cam tay, tìm số đo độ và rađian của góc ơ, biết: a) cos a =—0,75; b) tana = 2,46; c) cota =-6,18. Giải các phương trình sau: a)sinx 2, b) 2cosx = —2; c) WStan( 215°) —4 d) cot (2x ~1) = cot =. Giải các phương trình sau: a) sin2x +cos4x = 0; b) cos3x =—cos7X.
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu vạ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc ơ. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình ⁄ =, 4,-? +xtana, 0 đó g = 9,8 m/s? là gia tốc trọng trường. 2Vvậ cos“ œ a) Tính theo góc bắn ơ. tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).
b) Tìm góc bắn ơ đề quả đạn trúng mục tiêu cách vị tri dat khẩu pháo 22 000 m. c) Tìm góc bắn œ đề quả đạn đạt độ cao lớn nhất. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \ x=2c0s{ 5-2) 6 Ở đây, thời gian t tinh bang giay va quang dung x tinh bang centimét. Hãy cho biét trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần? /® Em có biết? & ¬ Lượng giác được phát triển bởi các nhà thiên văn học người Hy Lạp cổ đại, những người coi bầu trời là nằm bên trong của một mặt cầu, do đó lẽ tự nhiên là các hình tam giác trên mặt cầu được nghiên cứu khá sớm bởi Menelaus ở Alexandria vào khoảng năm 100 sau Công nguyên và các hỉnh tam giác trên mặt phẳng được nghiên cứu muộn hơn nhiều.
Cuỗn sách đầu tiên chứa đựng các phương pháp xử lí có hệ thống về lượng giác phẳng và lượng giác cầu được viết bởi nhà thiên văn học người Ba Tư Nasir Eddin, khoảng năm 1250 sau Công nguyên. Regiomontanus (1436 ~ 1476) là người có công lớn trong việc chuyển Lượng giác từ Thiên văn học sang Toán học. Công trình của ông đã được cai tién boi Copernicus (1473 ~ 1543) và một học trò của Copernicus là Rhaeticus (1514 ~ 1576). Cuốn sách của Rhaeficus là cuốn sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác là tỉ số các cạnh của tam giác, mặc dù ông chưa đưa ra tên gọi như hiện nay của chúng.
Các tên gọi và kí hiệu như ngày nay chúng †a dùng được đưa ra bởi Leonhard Euler (1707 — 1783), người đã xây dựng lí thuyết hiện đại về các hàm số lượng giác trong cuốn "Mở đầu về giải tích các đại lượng vô cùng bé” xuất bản năm 1748. Lượng giác là ngành khoa học có nhiều ứng dụng. Có thể kể đến việc sử dụng Lượng giác trong các vấn đề đo đạc của Thiên văn và Địa lí, cũng như những ứng dụng phong phú của Lượng giác trong Lí thuyết số, Cơ học, Điện học, Hoá học, Sinh học, Hải dương học, Đồ hoạ máy tính, Lí thuyết âm nhạc và nhiều lĩnh vực khác. Merzbach, A History of Mathematics, Third Edition, Wiley, 2011).
