Rèn luyện kỹ năng toán học hóa cho học sinh thông qua dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân lớp 12 ở trường trung học phổ thông

Luận văn rèn luyện kỹ năng toán học hóa qua dạy nguyên hàm và tích phân lớp 12 - ĐH Sư phạm Thái Nguyên

• Tác giả: Nguyễn Duy Nam
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Danh Nam
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán
• Đề tài: Rèn luyện kỹ năng toán học hóa cho học sinh thông qua dạy học chủ đề nguyên hàm và tích phân lớp 12 ở trường trung học phổ thông
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan về rèn luyện kỹ năng toán học hóa tại Thái Nguyên

Toán học hóa giữ vai trò then chốt trong giáo dục phổ thông hiện đại. Khái niệm này thể hiện khả năng gắn kết tri thức hàn lâm với bối cảnh đời sống. Tại tỉnh Thái Nguyên, chương trình giáo dục trung học phổ thông đang đổi mới mạnh mẽ. Trọng tâm chuyển từ truyền thụ kiến thức sang hình thành phẩm chất và năng lực giải quyết vấn đề. Chủ đề nguyên hàm và tích phân thuộc chương trình Giải tích lớp 12 đóng vai trò đặc biệt quan trọng. Mảng kiến thức này chứa đựng nhiều liên hệ thực tế sâu sắc. Các bài toán tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể hay chuyển động biến đổi đều bắt nguồn từ nhu cầu thực tiễn. Rèn luyện kỹ năng toán học hóa giúp học sinh chuyển ngữ cảnh đời sống thành ngôn ngữ giải tích chuẩn xác. Quá trình này bao gồm việc thu thập dữ liệu, thiết lập hàm số, tính toán tích phân và kiểm chứng kết quả. Việc tiếp cận kiến thức theo hướng ứng dụng tạo động lực học tập tích cực cho học sinh vùng trung du miền núi. Học sinh nhận ra giá trị thực tiễn to lớn của các công thức trừu tượng. Năng lực toán học hóa vì vậy trở thành cầu nối thiết yếu giữa lý thuyết sách giáo khoa và các hiện tượng tự nhiên xã hội.

1.1. Bản chất của kỹ năng toán học hóa trong giáo dục

Kỹ năng toán học hóa là một bộ phận cốt lõi của năng lực mô hình hóa toán học. Kỹ năng này yêu cầu học sinh nhận biết các dấu hiệu toán học ẩn chứa trong hiện tượng thực tiễn. Người học phải loại bỏ yếu tố nhiễu để trích xuất các đại lượng biến thiên then chốt. Tiếp theo, học sinh sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để biểu diễn mối quan hệ giữa các biến số. Trong mạch kiến thức giải tích, việc thiết lập biểu thức hàm số và vi phân là bước chuyển đổi quyết định. Kỹ năng này không dừng lại ở thao tác tính toán thuần túy. Nó đòi hỏi tư duy phân tích, liên tưởng liên môn và lập luận phản biện. Kết quả toán học luôn cần được đối chiếu trở lại với điều kiện thực tế ban đầu.

1.2. Vị trí chủ đề nguyên hàm và tích phân lớp 12

Nguyên hàm và tích phân là nội dung trọng tâm của chương trình toán lớp 12. Mảng kiến thức này mở rộng tư duy hàm số sang công cụ đo lường vô cùng bé. Công cụ tích phân giải quyết triệt để các bài toán tính diện tích các hình có biên cong phức tạp. Ngoài ra, tích phân xác định thể tích các vật thể tròn xoay trong kỹ thuật và kiến trúc đời sống. Trong vật lý, tích phân dùng để tính quãng đường di chuyển và công cơ học sinh ra. Việc giảng dạy chủ đề này tạo môi trường lý tưởng để rèn luyện kỹ năng toán học hóa. Học sinh trực tiếp trải nghiệm con đường toán học hóa từ hiện tượng thực tế đến mô hình vi tích phân trừu tượng.

II. Thực trạng dạy học nguyên hàm và tích phân ở trường Thái Nguyên

Thực tế dạy học Giải tích lớp 12 tại các trường trung học phổ thông tỉnh Thái Nguyên bộc lộ nhiều điểm nghẽn. Áp lực thi cử và bệnh thành tích vẫn còn chi phối phương pháp giảng dạy của nhiều giáo viên. Việc luyện kỹ năng giải nhanh trắc nghiệm máy móc khiến giờ học trở nên nặng nề. Phần lớn học sinh chỉ tập trung học thuộc công thức tính nguyên hàm mà không hiểu rõ bản chất vi tích phân. Phân hóa trình độ giữa các nhóm đối tượng học sinh diễn ra rất rõ rệt. Nhóm học sinh khá giỏi tại các trường trọng điểm có khả năng tự tra cứu tài liệu nâng cao. Ngược lại, đa số học sinh trung bình và yếu tại khu vực nông thôn thường xuyên tính sai nguyên hàm cơ bản. Nhóm học sinh này lúng túng khi gặp các bài toán thực tế diễn đạt bằng ngôn ngữ đời sống. Học sinh thiếu kỹ năng nhận diện giả thiết và không thể lập được hàm số cần tính tích phân. Nhiều giáo viên chưa dành thời gian thỏa đáng để hướng dẫn quy trình chuyển dịch từ bài toán thực tiễn sang mô hình toán. Thực trạng này làm suy giảm đáng kể năng lực tư duy sáng tạo của học sinh phổ thông.

2.1. Rào cản tâm lý thi cử và phương pháp truyền thống

Tâm lý chạy theo điểm số trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông tạo rào cản lớn. Giáo viên thường ưu tiên các dạng bài toán thuần đại số nhằm tối ưu hóa thời gian thao tác máy tính cầm tay. Các bài toán ứng dụng thực tế thường dài và có dung lượng chữ lớn. Học sinh dễ nảy sinh tâm lý e ngại khi đọc các đề bài chứa nhiều ngữ cảnh kỹ thuật hoặc vật lý. Thời lượng tiết học trên lớp còn hạn hẹp, gây khó khăn cho việc tổ chức hoạt động trải nghiệm toán học hóa. Giáo viên thiếu nguồn học liệu thực tế gắn với địa phương Thái Nguyên. Do đó, việc dạy học tích phân phần lớn vẫn dừng lại ở mức rèn luyện mẹo giải hình thức.

2.2. Khó khăn của học sinh trong chuyển đổi mô hình

Học sinh gặp trở ngại lớn nhất ở khâu chuyển đổi ngôn ngữ đời thực thành biểu thức giải tích. Nhiều học sinh không thể xác định được biến số độc lập và hàm số phụ thuộc trong bài toán thực tiễn. Khi gặp dữ kiện liên quan đến vận tốc hay gia tốc, người học lúng túng trong việc tìm mối liên hệ nguyên hàm. Tình trạng hiểu sai bản chất định lý dẫn đến việc đặt sai cận tích phân khi tính diện tích. Bên cạnh đó, học sinh thường bỏ qua bước đánh giá ý nghĩa thực tế của đáp số thu được. Khi kết quả tính toán mâu thuẫn với thực tế vật lý, học sinh không nhận diện được sai sót trong mô hình ban đầu.

III. Phương pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa nguyên hàm tích phân

Nhằm khắc phục hạn chế, giáo viên cần áp dụng quy trình rèn luyện kỹ năng toán học hóa có hệ thống. Quy trình này gồm bốn giai đoạn rõ ràng gắn với chủ đề nguyên hàm và tích phân. Giai đoạn một tập trung hướng dẫn học sinh phát hiện yếu tố toán học trong các tình huống thực tế quen thuộc. Giai đoạn hai đòi hỏi học sinh phân tích giả thiết, xác định các đại lượng biến thiên và thiết lập hàm số tương ứng. Giai đoạn ba thực hiện giải quyết bài toán toán học bằng các công thức và định lý tích phân chuẩn xác. Giai đoạn bốn yêu cầu học sinh kiểm tra, phiên giải nghiệm toán học theo đúng bối cảnh thực tế đã đặt ra. Giáo viên cần đa dạng hóa các bài toán thực tiễn gắn với đời sống kinh tế xã hội tỉnh Thái Nguyên. Các chủ đề tiêu biểu bao gồm tính sản lượng chè qua hàm mật độ, tính dung tích bồn chứa công nghiệp hay đo đạc diện tích đất đai đồi núi. Phương pháp thảo luận nhóm kết hợp sử dụng phần mềm hỗ trợ vẽ đồ thị giúp học sinh hình dung trực quan mô hình. Việc này giúp biến tri thức giải tích phức tạp thành công cụ giải quyết vấn đề hiệu quả.

3.1. Thiết kế chuỗi tình huống thực tiễn có mục tiêu

Giáo viên cần biên soạn bài tập theo cấu trúc tăng tiến từ đơn giản đến phức tạp. Ban đầu, các tình huống chỉ yêu cầu nhận dạng trực tiếp công thức tích phân trong chuyển động thẳng hoặc tính diện tích mảnh vườn. Sau đó, giáo viên mở rộng sang các bài toán kinh tế đòi hỏi tìm hàm tổng chi phí từ hàm chi phí cận biên. Việc liên hệ với các ngành công nghiệp gang thép hoặc chế biến chè tại địa phương tạo hứng thú đặc biệt cho học sinh. Học sinh được khuyến khích tự thu thập số liệu thực nghiệm thông qua các dự án học tập nhỏ. Trải nghiệm này củng cố năng lực liên tưởng và phân tích mối quan hệ định lượng giữa các đại lượng.

3.2. Quy trình hóa các thao tác lập mô hình giải tích

Quy trình hóa các bước toán học hóa giúp học sinh trung bình giảm tải áp lực nhận thức. Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng quy chiếu giữa đại lượng thực tế và ký hiệu giải tích. Cụ thể, thời gian tương ứng với biến số t, vận tốc tức thời tương ứng với đạo hàm của quãng đường. Khi tính diện tích hình phẳng có đường biên bất kỳ, học sinh học cách chọn trục tọa độ tối ưu để đơn giản hóa biểu thức hàm số. Giáo viên rèn luyện cho học sinh thói quen đặt điều kiện biên và kiểm tra đơn vị đo lường trước khi tính tích phân. Thao tác này ngăn ngừa các sai lầm tính toán phi lý ngay từ giai đoạn lập mô hình.

IV. Ứng dụng và hiệu quả rèn kỹ năng toán học hóa tại Thái Nguyên

Việc đổi mới dạy học theo hướng toán học hóa mang lại chuyển biến rõ nét tại các trường trung học phổ thông Thái Nguyên. Học sinh không chỉ nắm chắc bản chất toán học của nguyên hàm và tích phân mà còn phát triển tư duy mô hình hóa thực tế. Điểm số kiểm tra định kỳ và khả năng xử lý câu hỏi ứng dụng thực tế trong đề thi tốt nghiệp được cải thiện vững chắc. Tỷ lệ học sinh hiểu sai định lý hoặc tính nhầm cận tích phân giảm đáng kể qua các đợt khảo sát thực nghiệm. Quan trọng hơn, học sinh hình thành được thái độ học tập chủ động và tự tin khi đối mặt với các vấn đề liên môn. Kỹ năng toán học hóa trang bị nền tảng tư duy định lượng thiết yếu cho học sinh bước vào giảng đường đại học và thị trường lao động. Học sinh có khả năng vận dụng vi tích phân vào phân tích kỹ thuật, dự báo kinh tế và nghiên cứu môi trường. Thành công từ các trường thực nghiệm tại Thái Nguyên khẳng định tính đúng đắn của việc đưa toán học hóa vào tâm điểm dạy học toán. Mô hình phương pháp này hoàn toàn có thể nhân rộng ra nhiều địa phương khác trên toàn quốc.

4.1. Đánh giá sự tiến bộ về năng lực của học sinh

Kết quả khảo sát thực tế cho thấy sự tiến bộ vượt bậc của cả hai nhóm học sinh khá giỏi và trung bình. Học sinh khá giỏi thể hiện tư duy sáng tạo khi giải quyết các bài toán tối ưu hóa hình học phi tuyến tính. Học sinh trung bình nắm vững kỹ thuật chọn hệ trục tọa độ và thiết lập biểu thức tích phân chính xác. Tinh thần hợp tác nhóm và kỹ năng thuyết trình giải pháp toán học được nâng cao rõ rệt. Đa số học sinh bày tỏ sự hào hứng khi nhìn thấy ứng dụng thực tiễn của toán học trong đời sống hằng ngày. Sự chuyển biến này khẳng định hiệu quả vượt trội của phương pháp rèn luyện kỹ năng có định hướng.

4.2. Khả năng mở rộng và phát triển chuyên môn sư phạm

Kinh nghiệm triển khai tại Thái Nguyên cung cấp bài học quý giá cho công tác đào tạo giáo viên bộ môn toán. Đội ngũ giáo viên nâng cao năng lực sư phạm thông qua việc biên soạn ngân hàng tình huống thực tế liên môn. Các tổ chuyên môn tại các trường trung học phổ thông tăng cường sinh hoạt chuyên đề về đổi mới phương pháp giảng dạy. Hoạt động này tạo động lực thúc đẩy đổi mới kiểm tra đánh giá theo định hướng tiếp cận năng lực của Chương trình giáo dục phổ thông 2018. Mô hình toán học hóa chủ đề nguyên hàm và tích phân có thể chuyển giao hiệu quả cho các chủ đề hình học và xác suất thống kê tiếp theo.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT cùng Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban Chấp hành Trung ương Đảng đã đánh dấu bước chuyển mang tính lịch sử của nền giáo dục Việt Nam: chuyển dịch mạnh mẽ từ lối truyền thụ kiến thức một chiều sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học. Trong cấu trúc năng lực toán học, năng lực mô hình hóa và giải quyết vấn đề thực tiễn giữ vai trò cầu nối trọng yếu giữa tri thức hàn lâm và cuộc sống. Tuy nhiên, tại các trường trung học phổ thông hiện nay, nội dung giải tích lớp 12, đặc biệt là chủ đề Nguyên hàm và Tích phân, vẫn đang bị xem là một trong những mảng kiến thức trừu tượng, nặng nề và phức tạp nhất, khiến học sinh gặp muôn vàn khó khăn khi vận dụng vào đời sống.

Vấn đề cốt lõi được đặt ra là khoảng cách quá lớn giữa khả năng thực hiện các thuật toán thuần túy và năng lực giải quyết tình huống thực tế của học sinh. Đa số học sinh có thể thao tác thành thạo các biến đổi đại số nhưng lại lúng túng khi phải diễn đạt một bài toán thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học. Trước yêu cầu cấp thiết đó, luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán của tác giả Nguyễn Duy Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo sư Nguyễn Danh Nam tại Trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên (bảo vệ thành công năm 2022, đạt mức độ tương đồng Turnitin chuẩn mực là 18%), đã tập trung giải quyết trọn vẹn thách thức này.

Mục tiêu cụ thể của luận văn là làm sáng tỏ cơ sở lý luận về kỹ năng toán học hóa, đánh giá chính xác thực trạng dạy học, từ đó đề xuất hệ thống 3 biện pháp sư phạm khả thi nhằm rèn luyện kỹ năng toán học hóa cho học sinh lớp 12 thông qua chủ đề Nguyên hàm và Tích phân. Phạm vi nghiên cứu được thực hiện tại Trường Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên trong năm học 2021-2022 với sự tham gia của 90 học sinh khối 12 và toàn bộ giáo viên tổ Toán - Tin. Ý nghĩa thực tiễn của công trình thể hiện qua mục tiêu định lượng rõ ràng: nâng tỷ lệ học sinh có khả năng tự thiết lập mô hình toán học từ dưới 10% lên trên 75%, giảm tỷ lệ thụ động trong học tập và tạo bước đệm vững chắc cho giáo viên phổ thông khi triển khai chương trình giáo dục mới.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn xây dựng hệ thống luận cứ dựa trên nền tảng lý thuyết giáo dục toán học hiện đại, nổi bật là quan điểm của nhà giáo dục học Hans Freudenthal. Theo ông, toán học hóa là quá trình dẫn dắt thế giới của cuộc sống thực tại về thế giới của các ký hiệu, trong đó toán học không phải là một hệ thống chân lý đóng kín có sẵn mà là kết quả của chuỗi hoạt động sáng tạo của con người. Nghiên cứu kế thừa và đào sâu lý thuyết của A. Treffers về sự phân định rạch ròi giữa hai chiều kích toán học hóa: toán học hóa chiều ngang (quá trình chuyển đổi vấn đề thực tiễn sang ngôn ngữ, sơ đồ và mô hình toán học) và toán học hóa chiều dọc (quá trình tổ chức, thao tác và xử lý bên trong thế giới ký hiệu toán học).

Bên cạnh đó, nghiên cứu tích hợp quy trình mô hình hóa 4 giai đoạn kinh điển do Swetz và Hartzler công bố năm 1991, bao gồm: quan sát tình huống thực tiễn và phát hiện tham số; thiết lập giả thuyết và xây dựng mô hình tương ứng; sử dụng công cụ toán học để phân tích mô hình; đối chiếu kết quả với thực tiễn và rút ra kết luận. Nhằm định lượng hóa quá trình rèn luyện, luận văn thiết lập thang đo 6 mức độ kỹ năng toán học hóa (từ mức 0 đến mức 5) dựa trên khung tham chiếu quốc tế của Ludwig và Xu kết hợp với chuẩn đánh giá PISA. Bốn khái niệm trọng tâm được chuẩn hóa xuyên suốt đề tài gồm: toán học hóa tình huống thực tiễn, mô hình toán học, bài toán có nội dung thực tiễn và ứng dụng tích phân Newton-Leibniz trong bài toán tính diện tích hình phẳng cùng thể tích vật thể tròn xoay.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu được triển khai trên cỡ mẫu khảo sát thực tế gồm 90 học sinh khối 12 và đội ngũ giáo viên bộ môn Toán tại Trường Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên vào tháng 3 năm 2022. Đây là thời điểm học sinh đã hoàn thành trọn vẹn khối lượng kiến thức của chủ đề Nguyên hàm - Tích phân và đang bước vào giai đoạn ôn tập nước rút chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông. Tác giả áp dụng phương pháp chọn mẫu chủ đích kết hợp chọn mẫu thuận tiện nhằm lựa chọn những lớp học có sự đồng đều về năng lực nhận thức cơ bản, giúp việc quan sát hành vi tư duy và đánh giá mức độ tiếp nhận các biện pháp can thiệp diễn ra thuận lợi, khách quan.

Lý do lựa chọn trường trung học phổ thông chuyên làm địa bàn nghiên cứu là nhằm nhận diện rõ nét nhất rào cản nhận thức: ngay cả ở nhóm học sinh có tư duy giải toán thuần túy rất tốt, khoảng trống về kỹ năng thực hành và mô hình hóa thực tế vẫn bộc lộ rất rõ rệt. Về phương pháp phân tích, đề tài kết hợp phương pháp nghiên cứu lý luận, điều tra xã hội học bằng bảng hỏi, phỏng vấn sâu cá nhân và thực nghiệm sư phạm đối chứng. Phương pháp thống kê mô tả và thống kê suy luận được lựa chọn nhằm lượng hóa số liệu điều tra thực trạng, kiểm định sự khác biệt về điểm số giữa nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng thông qua 2 bài kiểm tra định kỳ, từ đó đảm bảo các kết luận rút ra đạt độ tin cậy khoa học cao nhất.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Phân tích dữ liệu điều tra thực trạng và số liệu thực nghiệm đã mang lại 4 phát hiện cốt lõi:

Thứ nhất, mức độ nhận thức về tính ứng dụng của toán học ở học sinh còn ở mức báo động. Kết quả khảo sát cho thấy có hơn 80% học sinh thừa nhận bản thân ít hoặc rất ít khi nhận biết được các ứng dụng thực tiễn của kiến thức toán học nói chung và mảng nguyên hàm, tích phân nói riêng vào đời sống hàng ngày.

Thứ hai, tính chủ động tự học của học sinh đối với các vấn đề thực tiễn còn rất thấp. Hơn 70% học sinh không có thói quen tự tìm hiểu các tình huống thực tế liên quan đến bài học. Tỷ lệ học sinh thực sự có niềm đam mê, ý thức tự giác tìm tòi và nhìn nhận các sự vật hiện tượng dưới góc độ toán học chỉ chiếm vỏn vẹn khoảng 6% đến 8%.

Thứ ba, thực trạng giảng dạy của giáo viên vẫn tồn tại nghịch lý lớn. Mặc dù hơn 80% giáo viên tham gia khảo sát cho biết có đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giờ học, song hầu hết chỉ dừng lại ở các bài tập mẫu quen thuộc trong sách giáo khoa nhằm đối phó với kiểm tra, thiếu tính cập nhật và chưa tạo được hoạt động trải nghiệm thực chất cho người học do áp lực thời gian và thi cử.

Thứ tư, kết quả thực nghiệm sư phạm khẳng định tính ưu việt của 3 biện pháp đề xuất. Điểm số trung bình của học sinh lớp thực nghiệm đã có sự bứt phá ngoạn mục, tăng từ 6,5 điểm ở giai đoạn trước can thiệp lên mức 8,2 điểm ở bài kiểm tra sau thực nghiệm. Tỷ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi ở lớp thực nghiệm tăng thêm 35%, vượt trội hoàn toàn so với mức tăng nhẹ từ 6,4 lên 6,8 điểm của lớp đối chứng.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân sâu xa của thực trạng học sinh lúng túng trước các bài toán thực tế bắt nguồn từ tư duy dạy học nặng về truyền thụ kiến thức hàn lâm và áp lực điểm số thi cử trắc nghiệm kéo dài. Người học quen với việc ghi nhớ công thức và rập khuôn các bước tính toán hơn là việc phân tích bản chất hiện tượng. So sánh với các khung chương trình tiên tiến trên thế giới như tiêu chuẩn biểu diễn của Hoa Kỳ hay phương pháp tiếp cận khoa học của Pháp, học sinh phổ thông Việt Nam đang thiếu hụt trầm trọng cơ hội trải nghiệm quá trình trừu tượng hóa và lý tưởng hóa các hiện tượng thực tế.

Trong công trình nghiên cứu, dữ liệu khảo sát và kết quả thực nghiệm được minh họa trực quan, sinh động thông qua các dạng biểu đồ và bảng số liệu khoa học. Tỷ lệ nhận thức của 90 học sinh được mô tả rõ nét qua biểu đồ hình tròn với diện tích áp đảo thuộc về nhóm thụ động (chiếm hơn 80%). Sự tiến bộ về năng lực giải quyết vấn đề được minh chứng qua biểu đồ cột so sánh kết quả trước và sau thực nghiệm, cho thấy phổ điểm của lớp can thiệp dịch chuyển mạnh mẽ sang nhóm điểm 8, 9 và 10. Bên cạnh đó, bảng số liệu phân loại hành vi theo 6 cấp độ của thang Ludwig và Xu phản ánh sự gia tăng vượt bậc của tỷ lệ học sinh đạt mức 3 và mức 4 (tăng từ 15% lên mức 68%), khẳng định học sinh đã biết cách chuyển đổi ngôn ngữ đời sống sang ngôn ngữ ký hiệu.

Minh chứng điển hình nhất được phân tích sâu trong luận văn là bài toán tính thể tích thùng rượu gỗ sồi có cạnh bên hình parabol. Thông qua việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa, học sinh lớp thực nghiệm đã biết cách phân tích kích thước thực tế sau khi trừ đi độ dày các thanh gỗ 3 cm và phần đế đỡ, xác định chính xác bán kính đáy trong là 30 cm, bán kính giữa trong là 40 cm và chiều cao trong là 100 cm. Các em đã lập thành công phương trình parabol trên hệ trục tọa độ Oxy và áp dụng công thức tích phân khối tròn xoay để tính ra dung tích thực tế chứa được tối đa là 425,16 lít rượu. Đây là bằng chứng thuyết phục chứng minh học sinh đã hoàn toàn làm chủ quy trình mô hình hóa.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm chuyển hóa kết quả nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy, tác giả luận văn đề xuất 4 giải pháp hành động cụ thể:

Giải pháp 1: Tích hợp có hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn gắn liền với đời sống (như bài toán thùng rượu, thiết kế cổng vòm parabol, tính diện tích mái vòm sân vận động) vào tối thiểu 30% thời lượng các tiết luyện tập chuyên đề giải tích lớp 12. Giáo viên bộ môn Toán chịu trách nhiệm thiết kế và thực hiện ngay trong năm học 2022-2023, giúp học sinh làm quen với việc bóc tách thông tin và lược bỏ các yếu tố không bản chất.

Giải pháp 2: Xây dựng các chuyên đề học tập trải nghiệm và dự án liên môn giữa Toán học, Vật lý và Tin học định kỳ 1 lần mỗi học kỳ. Hoạt động do tổ chuyên môn Toán - Tin chủ trì triển khai từ quý 4 năm 2022, hướng tới mục tiêu 100% học sinh hoàn thành ít nhất 2 bài tập dự án thực tế bằng cách sử dụng các phần mềm toán học bổ trợ như GeoGebra hoặc máy tính cầm tay để kiểm chứng mô hình.

Giải pháp 3: Chuẩn hóa ngân hàng đề kiểm tra đánh giá năng lực toán học hóa bám sát 6 cấp độ của thang đo Ludwig và Xu. Nhóm giáo viên cốt cán bộ môn Toán của nhà trường sẽ chịu trách nhiệm biên soạn trong vòng 6 tháng, đặt mục tiêu nâng tỷ lệ học sinh lớp 12 đạt từ mức độ 3 trở lên (xác lập mô hình và giải quyết chuẩn xác) lên trên 85% trước kỳ thi tốt nghiệp.

Giải pháp 4: Tổ chức các chương trình tập huấn, bồi dưỡng phương pháp sư phạm về thiết kế tình huống thực tiễn cho 100% giáo viên dạy môn Toán khối 12. Ban Giám hiệu nhà trường phối hợp cùng các chuyên gia phương pháp giảng dạy từ các trường đại học sư phạm tổ chức vào tháng 8 hàng năm, nhằm trang bị cho thầy cô kỹ năng biên soạn tài liệu và phương pháp tổ chức dạy học hợp tác nhóm hiệu quả.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Bản luận văn là tài liệu chuyên khảo mang giá trị học thuật và ứng dụng thực tiễn to lớn cho 4 nhóm đối tượng:

Nhóm 1: Giáo viên giảng dạy môn Toán tại các trường trung học phổ thông trên cả nước. Thầy cô có thể khai thác trực tiếp hệ thống bài tập thực tiễn sinh động (như bài toán thùng rượu 425,16 lít, bài toán tính diện tích pano quảng cáo) cùng quy trình 3 biện pháp sư phạm chi tiết để đưa vào bài soạn giáo án hàng ngày, biến những tiết học giải tích khô khan thành giờ học khám phá hấp dẫn.

Nhóm 2: Cán bộ quản lý giáo dục, hiệu trưởng và tổ trưởng chuyên môn Toán - Tin. Tài liệu cung cấp cơ sở lý luận vững chắc và bảng tiêu chí đánh giá hành vi theo chuẩn quốc tế, hỗ trợ các nhà quản lý trong việc xây dựng kế hoạch bồi dưỡng giáo viên, đổi mới kiểm tra đánh giá định kỳ đáp ứng trọn vẹn yêu cầu của Chương trình Giáo dục phổ thông 2018.

Nhóm 3: Sinh viên sư phạm và học viên cao học chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán. Luận văn là công trình mẫu mực về phương pháp nghiên cứu thực nghiệm sư phạm, từ cách thức tổng quan tài liệu, thiết kế bảng hỏi khảo sát 90 mẫu, xử lý dữ liệu kiểm định thống kê cho đến quy trình kiểm soát độ tương đồng Turnitin ở mức 18%.

Nhóm 4: Các tác giả biên soạn sách giáo khoa, sách bài tập và tài liệu tham khảo môn Toán. Các cứ liệu thực chứng và kết quả khảo sát thực tế trong đề tài sẽ giúp các nhà biên soạn định hình chuẩn xác độ khó của các bài toán thực tiễn, đảm bảo tính liên môn và tính thực tế vừa sức với tâm lý lứa tuổi học sinh lớp 12.

Câu hỏi thường gặp

Câu hỏi 1: Kỹ năng toán học hóa khác biệt như thế nào so với kỹ năng giải bài tập toán thông thường? Trả lời: Kỹ năng giải toán thông thường tập trung thao tác trên các biểu thức và dữ kiện toán học đã được làm sạch sẵn. Trong khi đó, kỹ năng toán học hóa đòi hỏi học sinh phải tự mình phân tích tình huống thực tế phức tạp, loại bỏ các yếu tố nhiễu, sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để lập mô hình và đối chiếu ngược lại kết quả với thực tế đời sống.

Câu hỏi 2: Làm thế nào để học sinh hình thành được mô hình tích phân từ một tình huống thực tiễn phức tạp? Trả lời: Học sinh cần vận dụng quy trình 4 giai đoạn, tiêu biểu như bài toán thùng rượu gỗ: phân tích kích thước lòng trong sau khi trừ độ dày 3 cm, gắn hệ trục Oxy để tìm phương trình parabol đi qua các điểm mút, từ đó xác lập công thức tích phân khối tròn xoay để tính thể tích chính xác là 425,16 lít.

Câu hỏi 3: Rào cản lớn nhất của giáo viên khi đưa toán học hóa vào tiết dạy lớp 12 là gì? Trả lời: Khảo sát thực tế chỉ ra hơn 80% giáo viên e ngại áp lực thời gian ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông và sự thiếu hụt tài liệu thực tế chuẩn hóa. Cấu trúc đề thi trắc nghiệm hiện hành vẫn chú trọng kỹ thuật tính nhanh, khiến giáo viên gặp khó khăn khi dành thời gian cho học sinh trải nghiệm mô hình hóa.

Câu hỏi 4: Thang đo của Ludwig và Xu được ứng dụng như thế nào trong đề tài? Trả lời: Thang đo được cụ thể hóa thành 6 mức từ 0 đến 5: mức 0 là chưa hiểu tình huống; mức 1 hiểu nhưng chưa kết nối toán học; mức 2 mô hình hóa sơ bộ; mức 3 giải toán chính xác; mức 4 hiểu đúng lời giải thực tế; mức 5 đánh giá, phản biện và cải tiến mô hình.

Câu hỏi 5: Rèn luyện kỹ năng toán học hóa có làm ảnh hưởng đến điểm số thi tốt nghiệp của học sinh không? Trả lời: Hoàn toàn không gây ảnh hưởng tiêu cực. Kết quả thực nghiệm sư phạm trên 90 học sinh chứng minh nhóm được rèn luyện kỹ năng toán học hóa có điểm trung bình kiểm tra tăng vượt bậc từ 6,5 lên 8,2 điểm, đồng thời tư duy giải quyết vấn đề linh hoạt giúp các em xử lý tốt các bài toán phân hóa cao.

Kết luận

Những đóng góp then chốt của luận văn thạc sĩ được đúc kết qua 5 luận điểm chính:

• Khẳng định tính tất yếu của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa như một giải pháp đột phá nhằm hiện thực hóa mục tiêu phát triển năng lực của Chương trình Giáo dục phổ thông 2018.
• Làm sáng tỏ bức tranh thực trạng qua khảo sát 90 học sinh tại Trường THPT Chuyên Thái Nguyên, chỉ ra khoảng trống lớn khi hơn 80% học sinh ít nhận biết ứng dụng thực tiễn của giải tích.
• Đề xuất hệ thống 3 biện pháp sư phạm đồng bộ và khoa học, tập trung vào việc khơi gợi động cơ thực tiễn, chuẩn hóa ngôn ngữ toán học và rèn luyện kỹ năng xác định mô hình tích phân.
• Kiểm chứng thực nghiệm thành công với các con số biết nói, nâng điểm trung bình của lớp can thiệp từ 6,5 lên 8,2 điểm và gia tăng tỷ lệ học sinh khá giỏi thêm 35%.
• Xây dựng hoàn chỉnh bảng tiêu chí đánh giá năng lực gồm 6 cấp độ dựa trên thang đo Ludwig và Xu, cung cấp công cụ đo lường thực chứng cho giáo viên phổ thông.

Đóng góp lớn nhất của công trình là phá bỏ tính trừu tượng, khô khan của chủ đề Nguyên hàm và Tích phân, biến các công thức giải tích phức tạp thành công cụ sắc bén để giải quyết các vấn đề thực tiễn sinh động. Về lộ trình tiếp theo, các nhà trường và tổ chuyên môn cần nhân rộng mô hình thực nghiệm sư phạm này trong khung thời gian 12 đến 24 tháng tới tại nhiều trường trung học phổ thông trên địa bàn. Quý thầy cô giáo, cán bộ quản lý và các bạn học viên hãy tham khảo, áp dụng ngay các biện pháp sư phạm của luận văn vào thực tế bài giảng để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trong kỷ nguyên giáo dục mới.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa cho học sinh thông qua dạy học chủ đề nguyên hàm – tích phân. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.

Định hướng đổi mới chương trình môn Toán phổ thông Ngày 26/12/2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Chương trình giáo dục phổ thông kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn”.[4] Về phương pháp dạy học Toán, đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, lấy học sinh làm trung tâm, quan tâm đến học sinh từ chỗ học được cái gì đến chỗ vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ phương pháp dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy học sinh cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Thực hiện dạy học phù hợp nhận thức của học sinh (đi từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó), chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá nhân học sinh. Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin,…), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy.

Việc đổi mới phương pháp dạy học gắn liền với đổi mới các hình thức tổ chức dạy học. Tùy theo từng mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cơ sở vật chất để có những hình thức tổ chức thích hợp như: học các nhân, học nhóm, học trong lớp, học ở ngoài lớp,…tăng cường phối hợp họp tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành môi trường giao tiếp GV – HS và HS- HS. Người dạy cũng phải cần chuẩn bị tốt về phương pháp giảng dạy trong các giờ thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kỹ năng toán học hóa cho học sinh, kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Từ đó giúp học sinh tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được sắp đặt sẵn.

Giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học 5 tập phát hiện kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình huống thực tiễn. Định hướng cho học sinh cách tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự,… để dần hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo. Về đánh giá kết quả giáo dục môn Toán: Mục tiêu đánh giá là cung cấp thông tin chính xác, kịp thời, có giá trị về sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở yêu cầu cần đạt ở mỗi lớp học để điều chỉnh các hoạt động dạy học, bảo đảm sự tiến bộ của từng học sinh và nâng cao chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung. Việc đánh giá thường xuyên do giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá của bản thân học sinh và các học sinh khác trong tổ, trong lớp hoặc đánh giá của cha mẹ học sinh, đi liền với tiến trình hoạt động học tập của học sinh, bảo đảm mục tiêu đánh giá vì sự tiến bộ trong học tập của học sinh.

Vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đánh giá (quan sát, ghi lại quá trình thực hiện, vấn đáp, trắc nghiệm khác quan, tự luận, kiểm tra viết, bài tập thực hành, các dự án học tập, thực hiện nhiệm vụ thực tiễn,…) giáo viên lựa chọn phương pháp đánh giá phù hợp với từng thành phần năng lực toán học. Có thể khẳng định, đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh là một tiêu chuẩn về giáo dục hiệu quả, hướng dẫn cho việc đổi mới cả phương pháp đào tạo giáo viên và việc dạy học ở các trường phổ thông. Theo tác giả luận văn, để đổi mới phương pháp dạy học có hiệu quả phải đổi mới mục tiêu, nội dung dạy học, đổi mới cơ sở vật chất và thiết bị dạy học, đổi mới các hình thức tổ chức dạy học, đổi mới môi trường giáo dục để học tập gắn liền với thực hành và vận dụng, xây dựng các bộ công cụ đánh giá kết quả học tập học sinh qua nhiều hình thức kiểm tra. Từ đó giúp học sinh phát triển các phẩm chất năng lực tư duy, năng lực lập luận, chuẩn bị năng lực xử lý tình huống của đời sống thực tế cá nhân và xã hội, phát triển thái độ tích cực và năng lực sáng tạo sẵn sàng của tuổi trẻ vào thực tiễn đời sống chính trị, kinh tế, văn hóa, xã hội của đất nước trong thời kỳ đổi mới hiện nay.

Khái niệm toán học hóa Toán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong lao động sản xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán học hóa tình huống thực tiễn. Theo Hans Freudenthal: “Toán học hóa dẫn thế giới của cuộc sống về thế giới các kí hiệu…”[1, tr. Ông cũng cho rằng: “Tiên đề hóa, công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là 6 tiền đề của thuật ngữ toán học hóa; trong đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong ngữ cảnh của toán học”. Trong các công trình khoa học, nhiều tác giả có đề cập đến vấn đề toán học hóa, tuy nhiên không giải thích tường minh thuật ngữ này nhưng có một điểm chung mà họ đề cập đến là xậy dưng mô hình toán cho vấn đề đang quan tâm.97], tác giả Nguyễn Ngọc Anh cho rằng, “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế, được coi là cơ sở của việc toán học hóa các tình huống thực tế.” Thuật ngữ “toán học hóa” được giải nghĩa là: “đưa về dạng toán học”.

Từ đó, có thể hiểu quá trình toán học hóa vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó về dạng toán học (xây dựng mô hình toán cho vấn đề thực tế). Bởi vậy, để thực hiện được hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế, con người cần được trang bị phương pháp mô hình hóa.[2] Toán học có mối liên hệ không thể tách rời với cuộc sống hằng ngày, trong quá trình sản xuất và trong nghiên cứu mọi ngành khoa học. Việc đưa toán học vào trong cuộc sống đó chính là quá trình toán học hóa các vấn đề thực tiễn. Theo Hans Freudenthal quan niệm rằng “Toán học dẫn thế giới của cuộc sống về thế giới của các ký hiệu.

Tiên đề hóa, công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiên đề của sự ra đời thuật ngữ “Toán học hóa” và “toán học là kết quả hoạt động của con người”[1]. Vì vậy , học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà học toán là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế hay trong nội tại toán học để xây dựng lại kiến thức toán và ông gọi quá trình đó là “toán học hóa (mathematization)”. Sau đó, Treffer[30] đã trình bày khái niệm này rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa trong bối cảnh giáo dục. “Toán học hóa” là một thuật ngữ không được giải nghĩa một cách tường minh nhưng khi nhắc đến toán học hóa, thì trọng tâm nhất phải nhắc đến là việc xây dựng mô hình toán cho các tình huống thực tế.

Tóm lại, toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, toán học trở nên thiết yếu với mọi ngành khoa học góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại văn minh.1 Khái niệm mô hình Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, có thể thao tác 7 và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó.

Tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) mà ta quan tâm. Các đặc trưng của mô hình Mô hình là vật đại diện, là vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu).

Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. cho rằng: “Mô hình có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới” [28]. “Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc, ngày nay với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu, cho nên nó có thể phức tạp hơn vật gốc. Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể.

Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác đối tượng nghiên cứu đã được lý tưởng hóa.