Luận Văn Thạc Sĩ: Phương Pháp Xấp Xỉ Ngoài Giải Bài Toán Quy Hoạch Nguyên Tuyến Tính

Bài viết trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính bằng phương pháp nhánh cận và ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Đào Minh Bằng
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng
• Đề tài: Một Phương Pháp Xấp Xỉ Ngoài Giải Bài Toán Quy Hoạch Nguyên Tuyến Tính Theo Phương Pháp Nhánh Cận Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: Luận Văn
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN
• 1.1. Một số mô hình thực tế thuộc dạng bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn
• 1.2. Bài toán pha cắt vật liệu
• 1.3. Bài toán lập kế hoạch sản xuất
• 1.4. Bài toán cái túi
• 1.5. Mô hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí trên toàn mạng đường bay hàng không
• 1.6. Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu
• 1.7. Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn và phương pháp giải
• 1.8. Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính
• 1.9. Thuật toán Land-Doig giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Xấp Xỉ Ngoài Trong Quy Hoạch Nguyên Tuyến Tính

Phương pháp xấp xỉ ngoài là một trong những kỹ thuật quan trọng trong việc giải quyết các bài toán giải quy hoạch nguyên tuyến tính. Phương pháp này giúp tối ưu hóa các bài toán phức tạp mà không thể giải quyết bằng các phương pháp truyền thống. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương pháp xấp xỉ ngoài và ứng dụng của nó trong thực tiễn.

1.1. Khái Niệm Về Quy Hoạch Nguyên Tuyến Tính

Quy hoạch nguyên tuyến tính (ILP) là một phương pháp tối ưu hóa trong đó các biến quyết định phải là số nguyên. Điều này làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn so với quy hoạch tuyến tính thông thường.

1.2. Tại Sao Cần Phương Pháp Xấp Xỉ Ngoài

Phương pháp xấp xỉ ngoài giúp giải quyết các bài toán mà các phương pháp truyền thống không thể áp dụng. Nó cho phép tìm ra các giải pháp gần đúng nhưng hiệu quả cho các bài toán khó khăn.

II. Vấn Đề Trong Giải Quy Hoạch Nguyên Tuyến Tính

Một trong những thách thức lớn trong giải quy hoạch nguyên tuyến tính là tính phức tạp của bài toán. Các bài toán này thường có nhiều biến và ràng buộc, dẫn đến việc tìm kiếm giải pháp tối ưu trở nên khó khăn. Việc sử dụng các phương pháp như xấp xỉ ngoài có thể giúp giảm thiểu thời gian tính toán và cải thiện hiệu quả.

2.1. Các Thách Thức Chính

Các thách thức bao gồm số lượng biến lớn, tính phi tuyến tính của các ràng buộc, và yêu cầu về tính chính xác của các giải pháp. Những yếu tố này làm cho việc tìm kiếm giải pháp tối ưu trở nên khó khăn.

2.2. Tác Động Của Các Ràng Buộc

Các ràng buộc trong bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính có thể làm giảm không gian tìm kiếm, dẫn đến việc khó khăn trong việc tìm ra giải pháp tối ưu. Việc hiểu rõ các ràng buộc này là rất quan trọng.

III. Phương Pháp Xấp Xỉ Ngoài Hiệu Quả Trong Quy Hoạch Nguyên Tuyến Tính

Phương pháp xấp xỉ ngoài là một trong những giải pháp hiệu quả nhất để giải quyết các bài toán giải quy hoạch nguyên tuyến tính. Phương pháp này sử dụng các thuật toán như nhánh cận và nón xoay để tìm ra các giải pháp gần đúng nhưng vẫn đảm bảo tính khả thi.

3.1. Thuật Toán Nhánh Cận

Thuật toán nhánh cận là một phương pháp mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. Nó giúp phân chia không gian tìm kiếm thành các nhánh nhỏ hơn để tìm ra giải pháp tối ưu.

3.2. Thuật Toán Nón Xoay

Thuật toán nón xoay là một phương pháp xấp xỉ ngoài giúp cải thiện hiệu quả tính toán. Nó cho phép tìm kiếm giải pháp trong không gian nhiều chiều một cách hiệu quả hơn.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Phương Pháp Xấp Xỉ Ngoài

Phương pháp xấp xỉ ngoài đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như sản xuất, logistics và quản lý chuỗi cung ứng. Các ứng dụng này cho thấy tính hiệu quả của phương pháp trong việc tối ưu hóa quy trình và giảm chi phí.

4.1. Ứng Dụng Trong Sản Xuất

Trong sản xuất, phương pháp xấp xỉ ngoài giúp tối ưu hóa quy trình sản xuất, giảm thiểu lãng phí và tăng hiệu quả sản xuất.

4.2. Ứng Dụng Trong Logistics

Trong logistics, phương pháp này giúp tối ưu hóa việc phân phối hàng hóa, giảm chi phí vận chuyển và cải thiện thời gian giao hàng.

V. Kết Luận Về Tương Lai Của Phương Pháp Xấp Xỉ Ngoài

Phương pháp xấp xỉ ngoài sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán giải quy hoạch nguyên tuyến tính trong tương lai. Với sự phát triển của công nghệ và thuật toán, khả năng áp dụng phương pháp này sẽ ngày càng mở rộng.

5.1. Xu Hướng Phát Triển

Xu hướng phát triển các thuật toán mới sẽ giúp cải thiện hiệu quả của phương pháp xấp xỉ ngoài, mở ra nhiều cơ hội mới trong nghiên cứu và ứng dụng.

5.2. Tác Động Đến Các Ngành Công Nghiệp

Phương pháp xấp xỉ ngoài sẽ tiếp tục ảnh hưởng tích cực đến nhiều ngành công nghiệp, giúp tối ưu hóa quy trình và giảm chi phí.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1, trình bày một số mô hình bài toán thực tế có dạng bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính, phương pháp nhánh cận Land-Doig và thuật toán nón xoay xấp xỉ ngoài tái tối ưu hóa TTH giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn. Chương 2, trình bày việc xây dựng thuật toán xấp xỉ ngoài ILP giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính từ thuật toán nhánh cận Land-Doig và thuật toán nón xoay xấp xỉ ngoài TTH. Thuật toán đã dựa trên một định lý làm cho trong mỗi bước để tìm các cận dưới đúng của bài toán nguyên, chúng ta chỉ phải đi giải các bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng khi chưa có điều kiện nguyên có số chiều là n - 1 (n là số chiều của bài toán). Tiếp đó minh họa ứng dụng thuật toán trình bày giải cho một số ví dụ đã có trong một số tài liệu [2], [3] và [5] để so sánh tính thuận lợi của thuật toán khi trường hợp bài toán có sô chiều hay số ràng buộc chính là nhỏ.

Và trong trường hợp bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn 2 chiều thì việc giải các bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng khi chưa có điều kiện nguyên, trong mỗi bước để Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] v tìm các cận dưới đúng của bài toán chỉ còn là việc kiểm tra tìm giá trị nhỏ nhất của hàm một biến tại hai đầu mút (nếu có). Các thuật toán trình bày trong luận văn này được xây dựng chi tiết, các bước của thuật toán được trình bày sao cho chúng ta có thể dễ dàng lập trình chuyển sang các chương trình trên máy tính bằng các ngôn ngữ như Pascal, C, Basis, Java,. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 1 Chƣơng 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số bài toán thực tế điển hình thuộc dạng bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính, giới thiệu một số phương pháp quan trọng thường dùng để giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. Và trong quá trình các bước giải bài toán này cần phải giải các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trung gian khi thêm vào các siêu phẳng cắt hoặc thêm vào các ràng buộc dạng bất phương trình tuyến tính để chia nhỏ miền chấp nhận sau mỗi bước.

Chính vì thế, trong phần cuối của chương này sẽ trình bày một thuật toán xấp xỉ ngoài giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính và thuật toán này khá hiệu quả trong trường hợp tái tối ưu hóa. Một số mô hình thực tế thuộc dạng bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn 1. Bài toán pha cắt vật liệu Một phân xưởng có những thanh vật liệu (thanh thép, ống nhựa, ….) có độ dài cho trước, chúng ta cần cắt chúng thành những đoạn ngắn theo các mẫu cho trước. Vấn đề đặt ra là ta nên cắt như thế nào cho tổng những phần dư còn thừa lại là tốn ít nhất? Giả sử aij là độ dài đoạn loại i theo mẫu j, bi là số đoạn loại i cần có, cj là rẻo thừa khi cắt theo mẫu j, gọi xj là số thanh cắt theo mẫu j (j= 1,2, …, n).

Ta có bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính sau: n  c x  min j 1 j j Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 2 với các điều kiện n  a x  b , i  1,.,n Đây là một bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc nguyên. Bài toán lập kế hoạch sản xuất Giả sử một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm và sử dụng m loại nguyên liệu khác nhau, cj là lãi suất (hay giá bán) đối với một đơn vị sản phẩm j (j =1,…, n), aij là suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j, bi là lượng dự trữ tài nguyên loại i (i = 1,…,m). Gọi xj là lượng sản phẩm loại j (j = 1,…, n) mà xí nghiệp sản xuất. Trong các điều kiện đã cho, hãy xác định các giá trị x j (j = 1,…, n) sao cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) là lớn nhất với số tài nguyên hiện có.

Mô hình toán học có dạng bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau: n  c x  max j 1 j j với các điều kiện n  a x  b , i  1,.,n Đây là một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên. Bài toán cái túi Một người du lịch muốn đem theo một cái túi có thể đựng được các đồ vật nặng không quá b kilogam. Có n loại đồ vật mà anh ta dự định đem theo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 3 Mỗi một đồ vật loại j có khối lượng a j kilogam và giá trị c j.

Người du lịch muốn chất vào túi các đồ vật sao cho tổng giá trị đồ vật đem theo là lớn nhất. Ký hiệu x j là số đồ vật loại j sẽ chất vào túi. Ta có bài toán sau: n  c j x j  max j 1 n  a jx j  b j 1 x j  0, j  1,.,n Đây là một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên. Mô hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí trên toàn mạng đường bay hàng không 1.

Các tham số và biến quyết định của bài toán: Giả sử chúng ta đang khai thác sử dụng K loại máy bay (777, 767, A321, A330, A320, AT7,.), M k là số máy bay loại k đang khai thác sử dụng (k=1,2,.,K), giả sử số sân bay (thành phố) tham gia vào mạng là N. Ta sử dụng các ký hiệu sau đây: (i, j) là chặng bay từ sân bay i đến sân bay j (i, j=1,2. Ta giả thiết chiều dài trung bình thực tế Dij và chiều dài thương mại của mỗi chặng bay là bằng nhau. Pij là số lượng khách trung bình dự báo có thu nhập thực tế chuyên chở được trên chặng bay (i, j) (trong mỗi tuần).

Sk là số ghế tương ứng (số ghế tối đa được phép xếp khách cho từng chặng bay của loại máy bay k) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 4 gij là ghế suất (hệ số sử dụng ghế suất) trung bình trên chặng bay (i, j) hmax - số giờ khai thác bay trung bình lớn nhất cho phép của một chiếc k máy bay loại k trong một tuần. v - là vận tốc bình quân thực tế của máy bay loại k. Cijk là chi phí theo chuyến bay (trong một tuần) trên chặng bay (i, j) của loại máy bay k. fijk là tần suất bay (số chuyến bay trong một tuần) của loại máy bay k trên chặng bay (i, j) (biến quyết định).

Hàm mục tiêu: Ta ký hiệu Cost là tổng chi phí theo chuyến bay cho tất cả máy bay đang khai thác sử dụng trong thời kỳ phân tích (một tuần) trên các tuyến bay toàn mạng. Thời kỳ phân tích là khoảng thời gian cần nghiên cứu cần phân tích mà ta có thể quy định là một tuần, một tháng, một quý, sáu tháng, một năm,. Hàm mục tiêu Cost là tổng chi phí cho chuyến bay trên toàn mạng được xác định như sau: k fk Cost  C    C ij 0 ij k ij (I.1) Trong đó C 0 (chi phí cố định) là tổng chi phí không phát sinh thêm khi chuyến bay được thực hiện như: giá thuê máy bay, bảo hiểm máy bay, bảo dưỡng sửa chữa máy bay, khấu hao thiết bị máy bay, quản lí chung.C ijk là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 5 chi phí biến đổi theo chuyến bay của loại máy bay k xuất hiện khi thực hiện chuyến bay như: phục vụ hàng khách, giờ bay, hàng hóa, nhiên liệu. Các ràng buộc của bài toán: Ràng buộc về thương mại: min(ij ) max(ij ) 0 F  fijk  F (I.2) k k Ràng buộc này có nghĩa là tần suất bay fijk của loại máy bay k trên chặng bay (i, j) không ít hơn Fkmin(ij) và không nhiều hơn Fkmax(ij ) (ràng buộc về hạn chế thương mại).

Ràng buộc về khai thác: Với mỗi vòng bay j (Pairing) ta có: k  f ji =  fijk (I.3) có nghĩa là trong khoảng thời gian phân tích (của một chu kỳ bay) thì các đội bay của loại máy bay k rời sân bay căn cứ j (Crew Base) bay đến sân bay i thì sẽ bay về sân bay j trong vòng bay.4) D ij Trong đó Tijk  là thời gian bay trên chặng bay (i, j) của loại máy bay k.4) có nghĩa là số giờ khai thác bay trung bình của một chiếc máy bay loại k không vượt quá số giờ bay cho phép. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 6 Pij gij  1 (i, j = 1,2,.f k 1 k ij Ràng buộc (I.5) có nghĩa là hệ số sử dụng ghế (ghế suất) thực tế trên chặng bay (i, j) của loại máy bay k phải đạt ít nhất bằng g ij và không vượt quá 100%. Bài toán đặt ra là cựu tiểu hàm mục tiêu (I.1) với ràng buộc thỏa mãn (I. Vậy mô hình bài toán “Phân bố máy bay” cực tiểu tổng chi phí cho chuyến bay như sau: Cost  C0   Cijk f ijk  min (I.6) ij k Với các ràng buộc: min(ij ) max(ij ) 0 F  fijk  F k k  f jik =  fijk i i (j = 1,2,.,K) k k max  Tij fij  M k .hk (i, j ) Pij gij  1 (i, j=1,2,.f k 1 k ij Đây là một bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên.

Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu: Để mở rộng hoạt động, hãng hàng không dự định mua (thuê) K loại máy bay (B777, B767, A321, A330, A320, AT7,.) ta gọi tương ứng là loại máy bay k (k=1, 2, …, K). máy bay loại k có giá mua (thuê) là ck và có thời gian sử dụng là Tk năm. Hãng dự định mua (thuê) tối đa là N máy bay trong Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.